X/ENS Physique MP 2016

Thème de l'épreuve Optomécanique d'une cavité
Principaux outils utilisés électromagnétisme, mécanique, physique quantique
Mots clefs optomécanique, cavité Fabry-Perot, pression de radiation, photon, bistabilité, cycle d'hystérésis

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ­ ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES FILIÈRE MP CONCOURS D'ADMISSION 2016 COMPOSITION DE PHYSIQUE (XULCR) (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. Les résultats des applications numériques seront donnés avec un chiffre significatif. Optomécanique en cavité L'optomécanique se consacre à l'étude du couplage de dispositifs mécaniques à une onde électromagnétique. Ce problème étudie différents aspects d'un système optomécanique modèle, à savoir une cavité résonante linéaire formée de deux miroirs semi-réfléchissants parallèles se faisant face, dont l'un est mobile. Dans la première partie, on établit les équations dynamiques générales d'une cavité de longueur fixée, soumise à un champ électromagnétique incident. Dans la seconde partie, on étudie le couplage optomécanique en supposant que l'un des miroirs est libre de se déplacer sous l'action de la force d'origine électromagnétique imposée par le faisceau incident, et d'une force de rappel élastique appliquée par le support sur lequel ce miroir est monté. Dans tout ce problème, on utilise le signe " " (plutôt que " = ") pour définir une grandeur. Dansles applications numériques, on prendra c 3 × 108 m.s-1 pour la vitesse de la lumière dans le vide, 3 et 0, 9 0, 9. 1. Cavité résonante de longueur fixée On considère une cavité linéaire, d'axe (Oz), délimitée par deux miroirs (diélectriques) semi-réfléchissants plans identiques, notés (M1 ) et (M2 ). On admettra que les faces « internes » des miroirs (M1 ) et (M2 ) ­ c'est-à-dire les faces dirigées vers l'intérieur de la cavité (représentées en trait plein sur la figure 1), ont même coefficient de réflexion en amplitude (pour le champ électrique) pris égal à (-), où est supposé réel et positif ; le coefficient de réflexion des faces « externes » de (M1 ) et (M2 ) ­ c'est-à-dire les faces dirigées vers l'extérieur de la cavité (représentées par les zones grisées sur la figure 1), est quant à lui pris égal à . On admettra aussi que les deux miroirs (M1 ) et (M2 ) possèdent le même coefficient de transmission en amplitude (pour le champ électrique), noté , que l'on suppose réel et positif ; ce coefficient est identique pour les deux sens de traversée des miroirs. On admettra enfin que les coefficients (, ) ne dépendent pas de la pulsation du champ incident, et que la relation 2 + 2 = 1 est vérifiée. On note R 2 et T 2 . Dans cette partie, on suppose les deux miroirs fixes dans le référentiel du laboratoire et l'on note L la distance qui sépare (M1 ) et (M2 ). On envoie vers la cavité formée par (M1 ) et (M2 ) une onde incidente plane progressive monochromatique se propageant selon l'axe (Oz) et polarisée selon l'axe (Ox), décrite par son champ électrique : ~Ei (z,t) = [Ei (z,t)]~ex h z i Ei (z,t) = Ei exp i t - c 1 (1) (2) F IGURE 1 ­ Cavité résonante linéaire de longueur L, soumise à un champ incident (partie 1). où désigne la partie réelle, Ei l'amplitude de l'onde incidente à l'origine des temps et des coordonnées, supposée réelle, et i2 = -1. Vous admettrez que cette onde crée une onde réfléchie dans le demi-espace z < 0 de même direction de polarisation que l'onde incidente, de sorte que le champ total en amont de la cavité (dans la zone notée I sur la figure 1) s'écrit ~EI (z,t) = [Ei (z,t) + Er (z,t)]~ex h z i Er (z,t) = Er exp i t + c (3) (4) où Er désigne l'amplitude de l'onde réfléchie à l'origine des temps et des coordonnées, a priori complexe. De même, le champ créé à l'intérieur de la cavité (zone II) prend la forme générale ~EII (z,t) = [E+ (z,t) + E- (z,t)]~ex h z i E+ (z,t) = E+ exp i t - h cz i E- (z,t) = E- exp i t + c (5) (6) (7) Enfin, le champ au-delà de la cavité (zone III) s'écrit ~EIII (z,t) = [Et (z,t)~ex ] h z i Et (z,t) = Et exp i t - c (8) (9) Ces différents champs sont représentés sur la figure 1 ainsi que les vecteurs d'ondes associés ~ki =~k+ =~kt ~kr =~k- ~ez c = - ~ez c = 1) Que représentent les coefficients R et T ? Que signifie physiquement la relation R + T = 1 ? 2) Justifiez la nature progressive choisie pour le champ ~EIII (z,t). 2 (10) (11) 3) Au moyen des coefficients de réflexion et transmission, écrivez trois relations entre les amplitudes Ei , E+ , E- et Et traduisant la transmission/réflexion en z = 0 et z = L. 4) Déduisez les amplitudes E+ , E- et Et en fonction de Ei , , L, c, R et T . Vous mettrez le résultat sous la forme E+ = () Ei T r E- = - () Et = () Ei (12) 2iL R Ei exp - T c (13) (14) et vérifierez que la fonction () prend la forme () T 2iL 1 - R exp - c (15) 2 5) Exprimez la fonction | ()| et tracez sa représentation graphique pour R = 0, 9 en fonction de la variable L réduite . c 6) Montrez l'existence d'une famille discrète de pulsations nN du champ incident pour lesquelles ||2 est maximale. À quoi ces pulsations correspondent-elles physiquement pour l'intensité transmise ? 7) Montrez que l'intensité (moyennée sur une période) III (z) à l'intérieur de la cavité se met sous la forme 1 III (z) = | ()|2 L (, z)Ii où Ii désigne l'intensité incidente et L (, z) un terme que vous exprimerez en foncT tion de R et (z - L) /c. 8) Tracez les courbes représentatives de L (n , z) pour R = 0, 9 et n = 1, 2 et 3 en fonction de la variable réduite (z/L). Même question pour R = 1 ; quelle est la nature de l'onde observée à l'intérieur de la cavité dans ce cas ? 9) On revient au cas général (R < 1). En vous plaçant au voisinage d'une pulsation n déterminez une expression approchée de la fonction () puis mettez la fonction | ()|2 sous la forme | ()|2 1 - n 1+4 1 2 !2 (16) où 1 est un paramètre dont vous préciserez l'expression et la signification physique. Donnez l'expression ap2 prochée de 1 dans la limite T 1. 2 10) En vous servant des résultats précédents, établissez une analogie entre la cavité étudiée et des dispositifs rencontrés dans un (d') autre(s) domaine(s) de la physique. À partir de cette analogie, définissez un facteur de qualité pour la cavité considérée et indiquez sa signification physique. Dans les questions 11 à 15, on cherche à relier le paramètre 1 au taux de perte en énergie de la cavité. 2 Pour ce faire, on va suivre une approche particulaire. On rappelle qu'une onde électromagnétique est composée de photons, particules sans masse, dont la quantité de mouvement p et l'énergie E sont données par les formules p = h/c et E = h, où est la pulsation du rayonnement électromagnétique considéré. On admet que, lorsqu'il atteint l'un des miroirs (M1 ) ou (M2 ), un photon est transmis, sans modification de son énergie ni de sa quantité de mouvement, avec la probabilité T , tandis qu'il « rebondit », sans modification de son énergie mais avec une quantité de mouvement opposée, avec la probabilité R. 11) Exprimez le temps t mis par un photon pour parcourir une longueur de cavité. 12) Durant cet intervalle de temps, combien un photon subit-il de rebonds sur les parois de la cavité ? 3 13) Quelle est la probabilité pour ce photon de quitter la cavité pendant la durée t ? 14) Si la cavité contient, à l'instant t, n ph (t) photons, combien de photons auront quitté la cavité à l'instant (t + t) (on suppose n ph 1) ? 15) Reliez l'énergie électromagnétique Eem (t) contenue dans la cavité au nombre de photons n ph (t). En supposant n ph 1, exprimez la variation d'énergie électromagnétique (Eem )pertes entre t et t + t due aux pertes au niveau des miroirs. En assimilant (Eem )pertes et t à des éléments infinitésimaux exprimez le taux de perte de la dEem 1 cavité - . Finalement, reliez au paramètre 1 introduit à la question 9. 2 Eem dt pertes On suppose maintenant que les champs sont quasi-monochromatiques, c'est-à-dire qu'ils peuvent se mettre sous la forme de paquets d'ondes ^ h z i 1 d (17) E+ (z,t) = E+ () exp i t - c ^ h 1 z i (18) Ei () exp i t - Ei (z,t) = d, c h i autour où les fonctions E+ () et Ei () ne prennent de valeurs significatives que sur l'intervalle c - , c + 2 2 c d'une pulsation c = n où n N et . L 16) Rappelez brièvement pourquoi un paquet d'ondes de la forme précédente constitue une solution des équations de M AXWELL. 17) En utilisant la forme approchée pour () obtenue à la question 9, établissez la relation linéaire entre les composantes E+ () et Ei () dans le régime R 1. 18) Déduisez du résultat précédent l'équation différentielle vérifiée par la fonction E+ r h i c E+ - - ic E+ + Ei . (19) t 2 4L 19) On considère une cavité de longueur L = 0, 9 mm, constituée de deux miroirs de même coefficient R = 0, 99. Calculez 3000 ainsi que la longueur d'onde associée 3000 . À quel type d'onde électromagnétique a-t-on affaire ? Calculez 1 ainsi que le facteur de qualité Q3000 . Commenter la comparaison aux ordres de grandeur caractéris2 tiques rencontrés dans d'autres domaines de la physique. 2. Cavité résonante à miroir mobile Dans cette partie, on suppose que le miroir (M2 ) est libre de se déplacer selon la direction z. Il est soumis à la force imposée par le champ électromagnétique à l'intérieur de la cavité ainsi qu'à une force de rappel élastique linéaire modélisée par un ressort de raideur K et de masse négligeable devant celle du miroir (M2 ) qu'on notera m. Expérimentalement, cette configuration peut être réalisée en suspendant le miroir comme un pendule. On repère la position de (M2 ) par son écart, noté (t), à sa position d'équilibre à champ incident nul, correspondant à une longueur de cavité L (cf Figure 2). On supposera que le mouvement de (M2 ) reste de faible amplitude devant la longueur initiale L de la cavité. 20) Exprimez la longueur de la cavité à la date t. 21) Donnez la nouvelle expression c (t) de la pulsation introduite dans la première partie. Calculez sa forme nc c et Gc (appelée « constante approchée au premier ordre en /L. Vous ferez intervenir les grandeurs c L L de couplage électromécanique »). 22) À quelle condition (intuitive) l'équation dynamique (19) reste-t-elle valable ? Pour répondre à cette question, vous pourrez introduire l'échelle des variations temporelles de la fonction (t). 4 F IGURE 2 ­ Cavité résonante à miroir mobile (partie 2). On suppose que le champ incident est monochromatique, de pulsation L = c + , h z i Ei (z,t) = Ei exp iL t - c (20) où Ei est une constante réelle, et l'on écrit la composante E+ du champ à l'intérieur de la cavité sous la forme h z i E+ (z,t) = E+ (t) exp iL t - (21) c 23) Pourquoi suppose-t-on, a priori, que E+ (t) dépend du temps ? Justifiez qualitativement que E+ (t) ne varie pas de manière significative sur une période du champ incident. 24) Montrez que E+ (t) vérifie r h d i c E+ (t) - i ( + Gc ) + E+ (t) + Ei (22) dt 2 4L Dans les questions 25 à 34, on souhaite déterminer l'expression de la force imposée au miroir (M2 ) par le champ électromagnétique en cavité, appelée « force de pression de radiation », en fonction des paramètres du problème et notamment du déplacement (t). Pour ce faire, on va suivre le même type d'approche particulaire que dans les questions 11 à 15. 25) Exprimez la quantité de mouvement fournie au miroir (M2 ) par un photon de pulsation L lors d'un rebond. Comme dans la première partie, on supposera que ce rebond ne modifie pas l'énergie du photon de manière significative mais change sa quantité de mouvement en son opposée. 26) En notant dNph = ph (t) dt le nombre de photons qui frappent le miroir (M2 ) entre t et t + dt, donnez l'expression de la force de pression de radiation due au champ à l'intérieur de la cavité. 27) Reliez ph (t) à la puissance électromagnétique, moyennée sur une période du champ incident, qui est réfléchie par le miroir (M2 ) à l'instant t. 28) Montrez que, dans la limite R 1, la force de pression de radiation instantanée prend alors la forme Fpr (t) 0 S |E+ (t)|2 On introduit les nouvelles grandeurs a et ai définies par s hL 0 S L s 2hL = ai 0 cS E+ = a Ei 5 (23) (24) (25) 29) Précisez les dimensions respectives de a et ai et explicitez la signification physique des quantités |a|2 et |ai |2 . 30) Établissez l'équation régissant l'évolution de a. 31) Établissez l'équation mécanique sur (t) régissant le mouvement du miroir. Vous introduirez la pulsation propre de l'oscillateur que vous relierez à la raideur K du ressort et la masse m de (M2 ). 32) On se propose d'étudier le système dans le cas . Que signifie cette condition physiquement ? 33) Montrez que, pour des temps t 1/, on peut alors écrire r 2 (26) a (t) ai . i [ + Gc (t)] + 2 34) Dans le régime considéré à la question précédente, établissez l'expression de la force de pression de radiation. Dans la suite du problème, on supposera toujours être dans les conditions d'application de la formule (26). Le but des questions 35 à 40 est d'étudier les positions d'équilibre mécanique du miroir mobile (M2 ), ainsi que leur stabilité. 35) Établissez la condition d'équilibre mécanique du miroir mobile (M2 ) reliant à |ai |2 . 36) En l'absence de champ incident, déterminez le nombre et la nature (stable ou instable) de points d'équilibre du miroir mobile (M2 ). On considère maintenant le cas d'un champ incident non nul. 37) Mettez la condition d'équilibre identifiée à la question 35 sous la forme A = F ( ), où F est une fonction sans dimension de maximum unité et A une constante qui s'exprime en fonction des paramètres du problème, puis montrez comment déterminer graphiquement le(s) point(s) d'équilibre du miroir (M2 ). 38) À l'aide de la représentation graphique de la question précédente, montrez que le miroir (M2 ) possède au plus trois points d'équilibre et étudiez leur stabilité respective. Justifiez le nom de bistabilité donné au phénomène observé. Pt Pt(sup) Pi Pt(inf) Pi(inf) Pi(inf) F IGURE 3 ­ Relevé expérimental de la puissance Pt (représentée en ordonnée) transmise par une cavité (L = 0, 9 mm, m = 60 mg, R = 0, 99) obtenu en faisant passer très lentement la puissance du champ incident Pi (représentée (inf) (inf) (sup) (sup) en abscisse) de Pi = 1, 1 W à Pi = 2, 2 W et inversement. Lors du passage Pi Pi , on suit la partie (inf) inférieure du cycle d'hystérésis (le niveau moyen du plateau inférieur est Pt 0, 2 mW) ; au cours du passage (inf) (sup) (sup) Pi Pi , on suit la partie supérieure du cycle (le niveau moyen du plateau supérieur est Pt 5 mW). La figure est extraite de A. D ORSEL et al, Phys. Rev. Lett. 51, 1550 (1983). 6 3 39) À partir de la condition d'équilibre de la question 35, montrez qu'il est nécessaire de choisir < - 2 pour obtenir plus d'un point d'équilibre pour le miroir (M2 ). 3 40) En supposant < - , identifiez l'intervalle dans lequel |ai |2 doit se situer pour qu'il existe plus d'un 2 point d'équilibre pour le miroir mobile (M2 ). Dans les questions suivantes, on considère une cavité de longueur initiale L = 0, 9 mm, constituée d'un miroir massif (immobile) et d'un miroir mobile de masse 60 mg, tous deux possédant le même coefficient R = 0, 99. La figure 3 présente un relevé expérimental de la puissance transmise par la cavité, notée Pt et représentée en ordonnée, obtenu lorsque l'on fait passer très lentement la puissance incidente Pi (représentée en abscisse) de (inf) (sup) la valeur inférieure Pi vers la valeur supérieure Pi , puis inversement. La courbe obtenue, appelée cycle d'hystérésis, présente deux branches dont le sens de parcours est indiqué par des flèches : durant la première (inf) (sup) phase, c'est-à-dire lorsque l'on augmente Pi de Pi à Pi , on suit la partie inférieure du cycle ; au cours de la (inf) (sup) deuxième phase, c'est-à-dire lorsque l'on diminue Pi de Pi à Pi , on suit la partie supérieure du cycle. 41) Établissez la relation entre puissances transmise et incidente faisant intervenir la quantité . 42) En vous appuyant sur les résultats des questions 37 et 38, donnez une interprétation qualitative des résultats obtenus. Expliquez notamment l'existence de deux plateaux pour la puissance transmise et le « passage » de l'un à l'autre de ces plateaux. Vous pourrez vous aider de représentations graphiques de votre choix pour illustrer votre réponse. 7

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 X/ENS Physique MP 2016 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Valentin Raban (ENS Lyon) ; il a été relu par Tom Morel (Professeur en CPGE) et Louis Salkin (Professeur en CPGE). Le sujet porte sur le couplage optomécanique entre une cavité Fabry-Perot et le champ électromagnétique qu'elle contient. La source du couplage est la force de pression de radiation de ce champ. Les deux parties de l'épreuve sont de longueur et de difficulté inégales. · La première partie aborde le calcul du champ électrique dans la cavité. Les premières questions sont classiques et constituent une bonne illustration de l'utilisation des facteurs de transmission/réflexion. Cette approche conduit naturellement à relier la sélectivité de la cavité à ses pertes énergétiques et permet d'aboutir à une équation dynamique pour le champ. · Dans la deuxième partie, l'un des miroirs est rendu mobile et attaché à un ressort. La force de pression de radiation, qui tend à pousser le miroir, s'oppose alors à la force de rappel du ressort. De cette compétition résultent des positions d'équilibre qui font l'objet des dernières questions du sujet. Le sujet n'est pas particulièrement long, mais certaines questions de la fin de la deuxième partie sont peu guidées et nécessitent d'y consacrer un temps conséquent. Celles-ci reposent notamment sur une analyse de courbes qu'il faut savoir tracer sans l'aide de la calculatrice, interdite ici. Elles restent néanmoins les questions les plus intéressantes. Remarquons par ailleurs que la plupart des résultats intermédiaires sont donnés dans l'énoncé, ce qui évite de rester bloqué. Indications Partie 1 3 Écrire les champs comme provenant de la réflexion/transmission d'autres champs. 6 L'intensité est proportionnelle au module du champ électrique au carré. 7 Écrire EII = E+ + E- puis utiliser les expressions établies à la question 4. 8 Pour déterminer la nature du champ lorsque R = 1, commencer par écrire la condition de réflexion totale sur (M1 ), puis calculer le champ dans la cavité. 9 Introduire = n + dans l'expression de , puis utiliser le développement limité e x 1 + x valable pour x 1. 10 Faire l'analogie avec les filtres en électrocinétique. 15 L'énoncé n'est pas clair ici. Il faut introduire un dt différent du t des questions précédentes. 17 Remplacer 1/2 par son expression en fonction de . 18 Commencer par dériver l'expression (17) de l'énoncé par rapport au temps. Écrire ensuite = c + et utiliser la question 17 pour exprimer E+ . Partie 2 21 Substituer L par L(t) dans l'expression de c . 24 L'équation (19) reste valable. 26 Calculer la quantité de mouvement totale reçue par le miroir. La force qui s'exerce sur lui est alors Fpr = dptot /dt. 27 La puissance électromagnétique est l'intégrale surfacique du vecteur de Poynting. 30 Utiliser l'équation (22) de l'énoncé. 33 La question précédente permet d'écrire da/dt = 0. 34 Utiliser les expressions (23), (24) et (26) de l'énoncé. 37 Les positions d'équilibre correspondent aux points d'intersection entre la représentation graphique de F et la droite y = A . 38 La courbe associée à F traduit la force de pression de radiation tandis que la droite y = A représente la force de rappel du ressort. 39 Tracer F, puis chercher dans quelles conditions une droite passant par l'origine intersecte trois fois F. 41 Utiliser les résultats des questions 4 et 17. La puissance est proportionnelle au module du champ électrique au carré. 42 Faire varier la pente A de la droite, et regarder comment évoluent les points d'intersection avec F. Optomécanique en cavité I. Cavité résonante à longueur fixée 1 L'énergie est proportionnelle au carré du champ électrique : R et T sont donc respectivement les coefficients de réflexion et de transmission en énergie des miroirs. La relation R + T = 1 traduit ainsi la conservation de l'énergie de l'onde. 2 Puisqu'il n'y a pas de source de champ dans la zone III, le champ EIII ne provient que du champ E+ transmis à travers (M2 ) : il est par conséquent progressif tout comme E+ . 3 Le champ E+ résulte de la transmission de Ei à travers (M1 ) et de la réflexion de E- sur la face intérieure de (M1 ). On a donc en z = 0 : E+ e it = E i e it - E- e it soit E+ = E i - E- Le champ E- provient uniquement de la réflexion de E+ sur le miroir (M2 ). En z = L, E- e i(t+L/c) = - E+ e i(t-L/c) donc E- = - E+ e -2iL/c Enfin, Et a pour origine la transmission de E+ à travers (M2 ), que l'on écrit E t e i(t-L/c) = E+ e i(t-L/c) d'où E t = E+ 4 Substituons E- dans l'expression de E+ : E+ = E i + 2 E+ e -2iL/c Par conséquent, E+ = 2 Ei e -2iL/c 1- Puisque = T et = R, on aboutit à () E+ = E i T avec () = T 1 - R e -2iL/c Il s'ensuit que r R -2iL/c E- = - R e -2iL/c E+ = - () e Ei T E = T E = () E + t i 5 Calculons |()|2 : |()|2 = donc T2 1 - R e -2iL/c |()|2 = 1-R e = 2iL/c T2 1 + R2 - 2 R cos (2 L/c) T2 (1 - R)2 + 2 R (1 - cos (2 L/c)) Puisque 1 - cos(2a) = 2 sin2 (a) et R + T = 1, 2 1 |()| on en conclut |()|2 = 1 L 4R 1 + 2 sin2 T c Pour R = 0,9 on a 4R/T2 1 donc la fonction |()|2 ne prend des valeurs appréciables 0 qu'au voisinage des annulations du sinus. 6 La fonction ||2 est maximale lorsque le sinus s'annule, soit n = nc L avec 2 L/c n N Cette condition de quantification peut se réécrire 2 L = n : le chemin optique correspondant à un aller-retour dans la cavité doit valoir un nombre entier de fois la longueur d'onde. C'est une condition d'interférences constructives. Pour cette famille de pulsations, |(n )|2 = 1. Par ailleurs, puisque l'intensité I est proportionnelle au carré du champ, I = |E|2 . En utilisant la relation (14), It = |E t |2 = |(n )|2 |E i |2 = Ii L'intensité incidente est donc intégralement transmise pour les pulsations n . 7 L'intensité III (z) s'écrit III (z) = |E II |2 = |E+ e i(t-z/c) + E- e i(t+z/c) |2 = |E+ e -iz/c + E- e iz/c |2 car |e it |2 = 1 -2iz/c III (z) = |E+ |2 + |E- |2 + E+ E- e 2iz/c + E- E+ e Remplaçons E- et E+ par les formules établies à la question 4 : R ||2 R ||2 2iL/c -2iz/c ||2 2 2 III (z) = |E i | + |E i | - e e |E i |2 T T T R ||2 -2iL/c 2iz/c - e e |E i |2 T 2 |()|2 soit III (z) = 1 + R - 2 R cos (z - L) Ii T c On identifie Finalement, 2 L(, z) = 1 + R - 2 R cos (z - L) c 2 2 = (1 - R) + 2 R 1 - cos (z - L) c L(, z) = (1 - R)2 + 4 R sin2 (z - L) c