X/ENS Physique MP 2015

Thème de l'épreuve Propagation d'ondes le long d'une chaîne de pendules couplés
Principaux outils utilisés mécanique, physique ondulatoire
Mots clefs oscillateurs couplés, impédance mécanique, onde mécanique, soliton

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ­ ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES FILIÈRE MP CONCOURS D'ADMISSION 2015 COMPOSITION DE PHYSIQUE (XULCR) (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. Les résultats des applications numériques seront donnés avec un chiffre significatif. Propagation d'ondes le long d'une chaîne de pendules couplés Introduction. Cette étude porte sur la propagation d'ondes le long d'une chaîne de pendules couplés par l'intermédiaire d'un câble de torsion. Elle est conduite dans la limite du milieu continu. Elle comprend deux parties. Dans la première, l'étude est menée dans l'approximation linéaire. Dans ce cadre, nous nous intéressons également à l'analogue électrique d'une chaîne de pendules. Cette analogie est construite à partir de la notion d'impédance. Dans la seconde partie, nous quittons l'approximation linéaire pour décrire la propagation d'ondes d'extension spatiale limitée, appelées "solitons". Des rappels sont faits occasionnellement, il est toutefois conseillé de suivre le cheminement de l'énoncé. 1 Étude d'une chaîne de pendules couplés. Jusqu'à la question 26 incluse, nous nous plaçons dans l'approximation des petits angles. 1.1 Cas de deux pendules couplés. Un câble de torsion 1 , inextensible, de longueur 3a, d'extension radiale et de masse négligeables, est fixé rigidement par ses extrémités à un support immobile. Deux pendules (m, l) identiques sont soudés sur le câble, aux abscisses x1 = a et x2 = 2a (figure 1). Chaque pendule est constitué d'une masse m quasi-ponctuelle fixée à l'extrémité d'une tige de longueur l et de masse négligeable. La tension du câble est telle qu'il reste rectiligne (selon e~x ). Le vecteur unitaire e~y est dirigé selon l'accélération de la pesanteur ~g et le trièdre (e~x , e~y , e~z ) est direct. L'origine de l'axe (Ox) est choisie à l'extrémité gauche (O) du câble. 1. Ou tout autre élément susceptible de se déformer en torsion (seule déformation que nous considérons). ­ Page 1/8 ­ a a O a l g ez ex l 1 m 2 m ey Figure 1 ­ Deux pendules couplés par l'intermédiaire d'un câble de torsion. Le mouvement des pendules s'effectue, chacun, dans un plan vertical (e~y ,e~z ), perpendiculaire au câble. Nous notons 1 (resp. 2 ) l'angle que forme le premier (resp. second) pendule avec la verticale. Ces angles algébriques sont comptés positivement dans le sens trigonométrique. Au repos, 1 = 2 = 0, et le câble n'est soumis à aucune torsion. Lorsque les sections, déliminant une portion de câble de longueur a, tournent d'un angle de torsion relatif , cette portion est alors soumise à un couple, parallèle à l'axe du câble. Sa norme s'exprime par le produit C ||, où C est la constante de raideur de torsion propre à la portion de câble. Enfin, nous négligeons tout phénomène dissipatif. Pour les applications numériques, nous adoptons les valeurs suivantes : g = 10 m · s-2 m = 20 g l = 10 cm a = 1 cm C = 20 Nm · rad-1 (1) 1. Pour un tel système, en pratique, préciser dans quelle mesure il devient légitime de négliger les phénomènes dissipatifs. On donnera des critères qualitatifs, sans calcul. 2. Établir les équations différentielles couplées régissant la dynamique du système. On fera appap p raître deux pulsations caractéristiques g g/l et C C/(ml2 ) dont on donnera une interprétation physique. 3. Nous introduisons les nouvelles variables : ( + = 1 + 2 - = 1 - 2 (2) (a) Établir le système d'équations différentielles qu'elles vérifient. (b) Préciser l'intérêt de ce changement de variables. 4. (a) Décrire le mouvement des deux pendules correspondant à chacun des deux états particuliers (+ (t) ; - (t) = 0) et (+ (t) = 0 ; - (t)), appelés modes propres. (b) Exprimer les pulsations correspondantes, appelées pulsations propres et notées 1,1 et 1,-1 , en fonction de g et C . (c) Pour un mode propre, justifier que les deux pendules oscillent à la même pulsation. (d) En considérant la torsion des différentes portions du câble, retrouver directement l'expression de 1,1 , ou celle de 1,-1 . Choix que l'on précisera. 5. La constante de raideur de torsion C dépend d'une caractéristique d'élasticité propre au matériau, G (en Pa), du rayon R du câble et de sa longueur a. Donner la forme de sa dépendance avec ces paramètres. On précisera la démarche suivie. ­ Page 2/8 ­ 1.2 Cas de N pendules couplés. Nous considérons dans cette partie une chaîne constituée de N pendules (m, l) identiques. Le nième pendule oscille dans le plan xn = na et son paramètre angulaire est noté n (figure 2). Le cadre général de l'étude reste inchangé et nous rappelons que nous restons dans l'approximation des petits angles. ez ex g n-1 n ey n+1 Figure 2 ­ N pendules couplés par l'intermédiaire d'un câble de torsion. 6. Établir l'équation régissant le mouvement du nième pendule (1 < n < N ). 7. Passage à la limite du milieu continu. L'état de torsion du câble est décrit continûment par une fonction (x, t) telle que n (t) = (na, t). Nous nous plaçons dans une situation de déformation telle que le développement de cette fonction, dans le passage de l'abscisse na à l'abscisse na ± a, peut être limité au second ordre relativement au pas a. Établir alors que, dans cette limite du milieu continu, la fonction vérifie l'équation aux dérivées partielles : 8. 9. 10. 11. 2 2 2 - c + 02 = 0 , (3) 0 t2 x2 où c0 et 0 sont des constantes que l'on exprimera et pour lesquelles on proposera une interprétation physique. Pour un pas a fixé, préciser à quelle condition le passage à la limite du milieu continu demeure valide. Cette condition implique le pas a ainsi que deux dérivées spatiales de la fonction . Nous posons µ m/a et Ca. Exprimer alors c0 en fonction de , µ et l. Justifier que c0 reste inchangée si l'on modifie a tout en maintenant le rapport µ fixé. Donner la valeur de c0 . Dans la suite du problème, on conservera les notations 0 et c0 , sans les expliciter. Nous étudions la propagation d'une onde harmonique (OH) de pulsation ( R+ ) et de nombre d'onde k (k C), écrite en notation complexe : (4) (x, t) = 0 exp[j(t - kx)] . 12. Nous supposons le pas a fixé. Traduire, pour cette onde, la condition de validité de la limite continue établie question 8. 13. (a) Établir la relation de dispersion du milieu, pour cette onde. On posera /0 et K c0 k/0 . (b) Esquisser l'allure de l'évolution, avec , des parties réelle et imaginaire de K. 14. Pour ces deux sous-questions, nous supposons 1. (a) Exprimer les vitesses de phase V et de groupe VG (adimensionnalisées), en fonction de . (b) Représenter leur allure sur un même graphique. Commenter brièvement ces évolutions. 15. Nous imposons au premier pendule, à l'origine de la chaîne, un mouvement angulaire sinusoïdal. Décrire alors qualitativement le comportement du système mécanique selon la pulsation d'excitation, pour [0 + ] (la chaîne est supposée infinie). ­ Page 3/8 ­ 1.3 1.3.1 Analogue électrique de la chaîne de pendules. Impédance mécanique des éléments constituant le motif de la chaîne. Nous considérons, successivement, un élément (C, a) du câble de torsion puis un pendule (m, l), qui composent le motif de base de la chaîne. Un opérateur mécanique, extérieur à ces éléments, est susceptible d'imposer un moment de la forme M = M0 exp(jt), de direction portée par l'axe ~ex . 16. L'une des extrémités de l'élément (C, a) est supposée fixe, l'autre est soumise au moment M. Celle-ci répond alors à cette excitation par sa vitesse angulaire (portée par l'axe ~ex ). Exprimer l'impédance mécanique de cet élément, définie par le rapport M/ Zcable (). 17. C'est maintenant à un pendule (m, l), seul, soumis au champ de pesanteur, qu'est appliqué le moment M. Exprimer son impédance mécanique Zpendule (). 18. La figure 3 représente trois quadripôles électriques de structures différentes. Chacun de ces quadripôles constitue le motif de base d'une ligne bifilaire. Figure 3 ­ Différentes cellules de base d'une ligne électrique bifilaire. (a) À partir de l'expression de chacune des impédances Zcable () et Zpendule (), et en considérant la structure de la chaîne, identifier le quadripole électrique équivalent à un motif de la chaîne. On argumentera ce choix. (b) Indiquer l'analogue mécanique de chacun des trois composants électriques du quadripôle choisi. 19. L'analogue électrique trouvé, dans la limite du milieu continu, est-il matérialisable par un câble coaxial tel que ceux utilisés en travaux pratiques ? On argumentera la réponse. 1.3.2 Impédance mécanique de la chaîne de pendules. Comme à la question 15, nous imposons au premier pendule de la chaîne, supposée infinie, un mouvement angulaire sinusoïdal = 0 exp(jt). Nous nous plaçons dans la limite du milieu continu. Nous notons M(x, t) le moment appliqué, par la partie gauche sur la partie droite de la chaîne, à travers la section d'abscisse x du câble, à l'instant t. La rotation de cette section est repérée par l'angle (x, t). 20. Exprimer l'impédance mécanique Zmeca () M/ de la chaîne. 21. L'écrire sous la forme Zmeca = ± µl2 c0 () où est une fonction de la variable /0 . On notera que Zmeca est indépendante de x. 22. Préciser la dimension de la fonction . 23. Illustrer graphiquement la dépendance, relativement à , des parties réelle et imaginaire de la fonction . 24. Analyser ces dépendances et en particulier leur limite vers les hautes fréquences. Pour 1 établir le lien entre et la vitesse de groupe adimensionnalisée VG obtenue question 14. ­ Page 4/8 ­ 25. Pour 1, il apparaît que l'impédance de la chaîne est réelle. L'opérateur mécanique fournit donc continûment de la puissance à la chaîne. Concilier ce fait avec l'absence de composant dissipatif dans son modèle. 26. Pour 1, l'impédance de la chaîne est imaginaire. Analyser ce résultat à la lumière de la question 15. 2 Non-linéarité et propagation d'un soliton. Dès lors, et jusqu'à la fin du sujet, nous quittons l'approximation des petits angles. Dans cette partie, nous étudions la propagation d'ondes dans le milieu non-linéaire constitué par la chaîne infinie de pendules, dans la limite des milieux continus. Dans ces conditions, l'équation d'onde vérifiée par l'angle (x, t) de torsion du câble s'écrit : 2 2 2 - c + 02 sin = 0 , 0 t2 x2 (5) où c0 et 0 sont les constantes déterminées à la question 7. Rappelons que l'on conserve ces notations sans les expliciter. Nous considérons la longueur L de la chaîne comme "infinie". Les extrémités de la chaîne ont alors pour abscisses ±L/2 ±, x = 0 étant celle de son milieu. Nous recherchons des solutions progressives de l'équation 5 sous la forme : (6) (x, t) = F (x - vt) F (z) , où v est une constante et z x - vt est la position dite réduite. 27. Établir que F est solution de l'équation : 1 2 dF dz 2 (7) + A cos F = B , où A est une constante à exprimer et B une constante d'intégration. 28. (a) Justifier que l'étude du système est ainsi transposable à celle d'un point matériel, de masse unitaire, soumis au potentiel Vef f (F ) = A cos F , l'angle F jouant le rôle de sa position et la variable z celui du temps. Soulignons qu'il s'agit d'une transposition, en particulier Vef f n'a pas la dimension d'une énergie. (b) Quel est alors le rôle à attribuer à la constante B ? 29. (a) Représenter l'allure du potentiel dans chacun des cas, v < c0 et v > c0 . (b) Sur chacun des tracés précédents, positionner la constante B en envisageant les différentes situations (en vue d'une interprétation énergétique de ces diagrammes). 30. Analyse qualitative des diagrammes d'énergie. (a) Nous nous plaçons dans le cas v < c0 et B A- (B tend vers A, par valeur inférieure). À partir du diagramme d'énergie, décrire le mouvement du point matériel en s'attachant à son aspect "temporel". (b) Nous nous plaçons dans le cas v > c0 et A < B < -A. À partir du diagramme d'énergie, décrire le mouvement du point matériel et en déduire celui de la chaîne de pendules. (c) Toujours pour v > c0 et A < B < -A, mais avec B A+ , préciser quel cadre d'étude nous retrouvons alors. ­ Page 5/8 ­ Onde solitaire, ou soliton. Pour v < c0 et B = A, la fonction Fd suivante est une solution progressive de l'équation 7 : q h z i , où z = x - vt , = 0 1 - v 2 /c20 et 0 = c0 /0 . Fd (z) = 4 arctan exp (8) Nous sommes donc dans la situation décrite question 30a. 31. (a) Représenter l'allure de la fonction Fd . Préciser notamment sa valeur en 0 et ses limites en ±. (b) Déterminer les limites en ± de la dérivée spatiale /x. (c) Sur la zone où sa variation est la plus marquée, nous approchons la fonction Fd par sa tangente en 0, et par ses limites en - et + respectivement à gauche et à droite de cette zone. Dans ce cadre, déterminer l'extension spatiale caractéristique, notée , de cette zone. (d) Calculer la valeur de 0 . Un soliton apparaît ainsi être une onde d'étendue spatiale limitée. 32. Pour ces deux sous-questions, nous supposons v > 0. (a) Tracer, sur un même graphique, l'allure de l'angle le long de la chaîne, à trois instants t1 < t2 < t3 que l'on fera apparaître sur les tracés. (b) De même, tracer sur un second graphique les trajectoires (en fonction du temps) des pendules situés à différentes positions x1 < x2 < x3 que l'on fera apparaître sur les tracés. 33. En représentant les pendules par des petits segments, illustrer l'allure de la chaîne à un instant donné. 34. (a) En se reportant à la figure 2, préciser en quoi la solution Fd est "dextre" (droite). (b) Donner alors, en le justifiant, la fonction Fs décrivant un soliton "senestre" (gauche) se propageant vers x > 0. Pour caractériser simultanément les évolutions spatiale et temporelle de la chaîne, nous représentons l'angle le long de la chaîne, à différents instants tn = t0 + nt (n Z), régulièrement espacés. Afin que cette illustration reste lisible, les différentes courbes sont translatées verticalement, d'un pas n ( > 0). Ainsi, on trace en réalité n + (x, t0 + nt) en fonction de x, et pour une série de valeurs de n. La figure 4 présente deux exemples de solitons, obtenus sur des chaînes identiques, mais avec des conditions initiales (excitations) différentes. Figure 4 ­ Diagrammes spatio-temporels décrivant une onde soliton, pour des conditions initiales différentes, avec le pas de temps t = 0, 12 s. 35. (a) Préciser, en le justifiant, s'il s'agit de solitons dextres ou senestres. (b) Estimer, dans chacun des cas, la valeur de la vitesse de propagation du soliton. (c) De même, estimer la valeur de . ­ Page 6/8 ­ Initiation d'une onde soliton. Le pendule situé en x = 0 est excité par un opérateur extérieur qui lui impose une rotation selon la loi horaire : 0 (t) = 4 arctan [exp (0 t)] (t ] - , +[ , 0 > 0) . (9) 36. (a) Expliquer pourquoi cette excitation crée deux solitons dans la chaîne. (b) Préciser leur sens de propagation et leur chiralité (dextre ou senestre). Nous nous intéressons par la suite à l'onde se propageant sur le domaine x 0. 37. (a) Exprimer la vitesse réduite v/c0 de propagation du soliton, en fonction du rapport 0 /0 , puis illustrer graphiquement cette dépendance. (b) Calculer la valeur de v pour 0 /0 = 0, 5. Aspects énergétiques. L'énergie mécanique totale de la chaîne infinie, parcourue par le soliton décrit par l'équation 8, ou son correspondant senestre, s'écrit : E0 E=p 1 - v 2 /c20 p où E0 = 8 µgl . (10) Nous considérons maintenant une chaîne dont la masse des pendules subit un saut en x = 0, les autres paramètres restant inchangés. On note µ- la masse linéique pour x < 0 et µ+ celle pour x 0, avec µ- < µ+ . Un soliton de vitesse v- est créé par un opérateur en x -. Les diagrammes de la figure 5 décrivent cette situation pour un soliton à basse vitesse et un autre à haute vitesse. Figure 5 ­ Diagrammes spatio-temporels d'évolution d'un soliton parcourant une chaîne présentant un saut de masse linéique en x = 0. 38. En s'appuyant sur les résultats des questions 31c et 31d, préciser dans quelle mesure la relation 10 reste applicable à une chaîne occupant seulement un demi-espace. C'est un argument qualitatif qui est attendu. 39. Commenter les diagrammes présentés figure 5 en précisant notamment l'évolution du soliton dans chacun des cas. 40. (a) Quelle énergie minimale un soliton doit-il disposer pour être transmis dans la seconde moitié de la chaîne (x > 0) ? ­ Page 7/8 ­ (b) En déduire la valeur critique vc de la vitesse d'un soliton incident (x < 0) au dessus de laquelle il poursuivra sa propagation dans la seconde moitié de la chaîne (x > 0). On exprimera ce résultat en fonction de , l, 1/µ- et 1/µ+ . 41. Plaçons-nous dans le cas particulier µ+ /µ- = 8. Comment faut-il alors choisir les rapports + /- et l+ /l- , pour qu'un soliton incident soit toujours transmis, et sans modification de sa vitesse, quelle qu'elle puisse être ? 42. Lorsque les paramètres mécaniques µ, et l varient continûment le long de la chaîne, l'équation de propagation 5 n'est plus valable. Comment faut-il alors la modifier pour qu'elle décrive un tel système ? Analogies avec d'autres systèmes physiques. 43. Quelle analogie suggèrent les dépendances, par rapport à la vitesse v, de l'énergie E et de la longueur (ou ), relatives au soliton étudié ? 44. Dans quelle(s) autre(s) situation(s) rencontre-t-on également ce type d'onde, d'extension spatiale limitée, se propageant sur une longue distance sans modification (sensible) de sa forme ? 45. Peut-on observer la propagation d'un soliton dans un câble coaxial tel que ceux utilisés en travaux pratiques ? Dans une fibre optique ? On argumentera chacune des réponses. ­ Page 8/8 ­

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 X/ENS Physique MP 2015 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jimmy Roussel (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Tom Morel (Professeur en CPGE) et Vincent Freulon (Professeur en CPGE). L'épreuve porte sur la propagation d'ondes le long d'une chaîne de pendules couplés par l'intermédiaire d'un câble de torsion. L'étude est effectuée dans l'approximation du milieu continu et comprend deux parties. · La première partie débute par l'étude de deux pendules couplés, puis on établit les équations pour une chaîne de N pendules couplés dans le cadre des petits angles. L'approximation des milieux continus permet de montrer que le système est le siège d'une propagation dispersive si la fréquence dépasse une valeur critique. En outre, une analogie électrique permet d'établir l'expression de l'impédance mécanique associée à la chaîne de pendules. · La seconde partie aborde un aspect plus original puisque l'on quitte l'approximation linéaire pour envisager des solutions ondulatoires localisées se propageant sans déformation, que l'on appelle « solitons ». L'épreuve fait essentiellement appel à la mécanique (mouvement d'un solide autour d'un axe fixe) et à la physique ondulatoire (équation de propagation, relation de dispersion, vitesse de phase, vitesse de groupe). Bien que la partie sur l'analogie électrico-mécanique soit hors programme, l'ensemble de l'épreuve laisse beaucoup de place à l'analyse qualitative des phénomènes et elle est de ce fait conforme à l'esprit du programme. La difficulté majeure est sans doute la longueur du sujet et l'absence de résultats intermédiaires, ce qui exigeait une grande autonomie de la part des candidats. Enfin, comme les années précédentes, l'usage de la calculatrice était interdit. Les applications numériques sont dans ce cas particulièrement valorisées. Indications Partie 1 2 Utiliser le théorème du moment cinétique projeté suivant l'axe des x. 4.d Remarquer, par exemple, que dans le mode symétrique, chaque pendule n'est soumis qu'à un seul couple de torsion. 5 Montrer que la constante de torsion varie comme 1/a puis effectuer une analyse dimensionnelle. 6 Remarquer que le n-ième pendule subit le couple -C(n - n-1 ) de la part de la portion de câble située à sa gauche et -C(n - n+1 ) de la part de l'autre portion située à sa droite. 8 Exprimer le fait que le terme d'ordre trois est petit devant le terme d'ordre deux, lors du développement de (x + - a, t). 13.a Dans l'équation d'onde, remplacer par la fonction proposée puis déterminer la relation entre et k qui permet l'existence de telles ondes harmoniques. 14.a La vitesse de phase vaut /K et la vitesse de groupe d/dK. 15 Analyser le caractère complexe ou réel du nombre K. 17 Appliquer le théorème du moment cinétique à un pendule soumis à M. 19 La chaîne électrique trouvée peut-elle transmettre une tension continue ? 20 Exprimer le couple que subit le câble situé entre deux pendules puis effectuer une approximation continue. Partie 2 30.a Imaginer un point matériel lâché au voisinage du sommet du potentiel. À partir de son mouvement, déduire l'évolution de F(z). 35.c Déterminer la longueur d'onde en estimant , l'extension spatiale du soliton. 37.a Utiliser la fonction Fs (z) trouvée à la question 34.b puis identifier. 40.b Effectuer un raisonnement énergétique. 41 Utiliser la conservation de l'énergie et de la vitesse. 1. Étude d'une chaîne de pendules couplés 1 Les frottements dissipent l'énergie des pendules et entraînent un phénomène d'amortissement des oscillations qui s'effectue sur une durée caractéristique . Par exemple, dans le cas d'un oscillateur harmonique soumis à un faible frottement visqueux, les oscillations s'amortissent sur une durée = Q/0 où Q désigne le facteur de qualité et 0 la pulsation propre. Si est grand devant la période des oscillations, cela signifie que l'énergie stockée est faiblement dissipée à chaque période de sorte que les effets dissipatifs sont négligeables. En pratique, on compare la période d'oscillation T avec le temps d'amortissement . Il est alors légitime de négliger les phénomènes dissipatifs si T. 2 Étudions le pendule de gauche dans le référentiel du laboratoire que l'on considère galiléen. Ce système est soumis à l'action de la pesanteur et aux actions de contact dues aux portions de câble situées de part et d'autre du pendule. Appliquons le théo rème du moment cinétique en projection suivant l'axe () orienté par - ex . Le moment - du poids selon ex vaut - M P = -mg sin 1 avec sin 1 1 Quant à l'action du câble, la portion de gauche étant en torsion d'angle 1 , elle produit un couple de rappel g = -C 1 alors que la portion de droite exerce le couple d = -C(1 - 2 ). Le théorème du moment cinétique s'écrit donc dL = -mg 1 - C 1 - C(1 - 2 ) dt Enfin, le moment cinétique du pendule vaut L = I 1 = m2 1 , d'où m2 1 = -mg 1 - C 1 - C(1 - 2 ) En reproduisant le même raisonnement sur le pendule de droite, on trouve m2 2 = -mg 2 - C 2 - C(2 - 1 ) Ainsi, le mouvement des deux pendules est régi par le système d'équations différentielles couplées suivant : r g 2 2 2 = 1 + (g + 2C )1 - C 2 = 0 g 2 r avec C 2 + (g 2 + 2C 2 )2 - C 2 1 = 0 C = m2 g représente la pulsation à laquelle chaque pendule oscille sous l'effet de son poids en l'absence de couplage alors que C est celle à laquelle oscille chaque pendule en l'absence de pesanteur dans le mode symétrique (1 = 2 ). 3.a Sommons (resp. soustrayons) les deux équations différentielles précédentes et introduisons la variable + (resp. - ). On obtient + + (g 2 + C 2 ) + = 0 et - + (g 2 + 3 C 2 ) - = 0 3.b Ce changement de variables permet de transformer deux équations différentielles couplées en un système de deux équations différentielles indépendantes. 4.a Lorsque - = 0, 1 = 2 = + /2. Les deux pendules oscillent de façon harmonique, synchrone et en phase. On parle de mode symétrique. En revanche, lorsque + = 0, 1 = -2 = - /2. Les deux pendules oscillent de façon harmonique et synchrone, mais sont en opposition de phase (1 = -2 ). On parle de mode antisymétrique. 4.b Dans le mode symétrique, les deux angles vérifient l'équation de l'oscillateur harmonique x + (g 2 + C 2 ) x = 0 avec x = 1 ou 2 p La pulsation est 1,1 = g 2 + C 2 De même, pour le mode antisymétrique, on obtient l'équation d'un oscillateur harmonique pour 1 et 2 mais cette fois p 1,-1 = g 2 + 3 C 2 On peut montrer que les oscillations libres de chaque pendule se décomposent en une somme de deux oscillations harmoniques de pulsation 1,1 et 1,-1 , dont les amplitudes dépendent des conditions initiales. Cette propriété se généralise aux systèmes de N oscillateurs harmoniques couplés. 4.c D'après la question précédente, 1 et 2 vérifient la même équation différentielle : dans chaque mode propre, les deux pendules oscillent à la même pulsation. 4.d Reprenons l'étude menée à la question 2, en supposant 1 = 2 à chaque instant (mode symétrique). Analysons le mouvement du pendule de gauche caractérisé par l'angle 1 . Sur sa gauche le câble exerce un couple de torsion -C 1 . En revanche, de l'autre côté, le câble ne présentant aucune torsion (2 - 1 = 0), il ne produit aucun couple. Ainsi le mouvement du pendule est régi par m2 1 = -mg 1 - C 1 soit d'où 1 + (g 2 + C 2 ) 1 = 0 p 1,1 = g 2 + C 2 On peut retrouver également la pulsation 1,-1 du mode antisymétrique en procédant de la même manière. Dans ce mode, 1 = -2 de sorte que la portion centrale présente une torsion angulaire égale à 21 . Au total, le couple de torsion que subit le pendule de gauche vaut -3C 1 et le théorème du moment cinétique appliqué à ce pendule donne m2 1 = -3C 1 - mg 1 soit d'où 1 + (g 2 + 3 C 2 ) 1 = 0 p 1,-1 = g 2 + 3 C 2