X Physique MP 2012

Thème de l'épreuve Effet du champ gravitationnel terrestre sur le mouvement d'un gyroscope en orbite
Principaux outils utilisés équations de Maxwell, électrostatique, magnétostatique, mécanique du point, mécanique du solide
Mots clefs relativité générale, gravitation, gravitomagnétisme

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ­ ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES FILIÈRE CONCOURS D'ADMISSION 2012 MP COMPOSITION DE PHYSIQUE (XULC) (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. On se contentera, pour les applications numériques, d'un seul chiffre significatif. Effet du champ gravitationnel terrestre sur le mouvement d'un gyroscope en orbite La théorie de la relativité générale, publiée par A. Einstein en 1916, prédit l'existence de deux effets, dits effet géodétique et effet Lense-Thirring, sur le mouvement d'un gyroscope en orbite autour de la Terre. Ceux-ci ont été mesurés avec succès par le satellite Gravity Probe B en 2008. Dans ce problème, nous allons essayer de rendre compte de ces perturbations du mouvement classique en nous fondant sur une généralisation post-newtonienne du champ gravitationnel obtenue par analogie avec l'électromagnétisme. Cette analogie permet de comprendre l'origine des phénomènes et d'en calculer un ordre de grandeur, mais ne donne pas les mêmes résultats que la théorie de la relativité générale. Données numériques Vitesse de la lumière dans le vide Rayon de la Terre Accélération de la pesanteur à la surface de la Terre Durée de l'année Masse de l'électron : Charge élémentaire : Formulaire c R g 1 an me e = = = = = = 3, 0 × 108 m · s-1 6, 4 × 106 m 9, 8 m · s-2 3, 2 × 107 s 9, 1 × 10-31 kg 1, 6 × 10-19 C ä - Ä- ~ ä -- Ä ~ - A ~ rot rot A = grad div A I. Une théorie du gravitomagnétisme Dans cette partie, nous allons partir de l'analogie formelle entre le champ électrique et le champ gravitationnel. Ceci nous permettra de construire l'équivalent gravitationnel des équations de Maxwell et fera apparaître un champ « gravitomagnétique », analogue du champ magnétique. 1 ~ créé en M par une charge ponctuelle q placée I.1 Quelle est l'expression du champ électrique E en O ? Donner l'expression du champ gravitationnel ~g obtenu en M en remplaçant q par une masse ponctuelle m. On notera G la constante de gravitation universelle. I.2 On s'intéresse maintenant à une distribution continue de charge électrique ayant la densité e (~r) ou de matière ayant la masse volumique (~r). En poursuivant l'analogie de la question précédente, justifier que la divergence du champ gravitationnel prend la forme div ~g = /g , où g est une constante donc on précisera l'expression. Montrer que l'on peut alors retrouver le théorème de Gauss gravitationnel. Dans le cas général, le champ électromagnétique vérifie les équations de Maxwell. En nous fondant sur l'analogie formelle entre le champ électrique d'une distribution de charge et le champ gravitationnel d'une distribution de masse, nous allons supposer l'existence d'un champ gravitomagnétique ~h couplé au champ gravitationnel ~g selon les équations div ~g = div ~h = 0 g Å ã ~h ~g - ~ - rot h = µg ~j + g rot ~g = - t t où ~j = ~v désigne le vecteur densité de courant, ~v étant la vitesse de la matière au point considéré. I.3 Quelle est la dimension de ~h ? I.4 À partir de ces équations, déduire la forme locale de l'équation de conservation de la masse. I.5 Montrer que le champ gravitationnel dans le vide, en l'absence de masse, est solution d'une équation d'onde. On suppose que la vitesse de propagation de ces ondes gravitationnelles est égale à c, vitesse de la lumière dans le vide. En déduire l'expression de µg en fonction de G et c. I.6 Rappeler l'expression de la force subie par une masse ponctuelle m plongée dans un champ gravitationnel ~g . Par analogie avec l'électromagnétisme, donnez l'expression de la force de Lorentz due au champ gravitomagnétique ~h. Nous allons maintenant comparer l'action du champ gravitationnel et du champ gravitomagnétique en étudiant le système constitué de deux fils parallèles infinis. I.7 Déterminer le champ gravitationnel créé par un fil rectiligne infini, immobile, de masse linéique , en tout point extérieur à celui-ci. En particulier, on précisera les arguments de symétrie qui permettent de simplifier le calcul. - I.8 Exprimer la force gravitationnelle par unité de longueur Fg entre deux fils identiques et parallèles, séparés par une distance d. I.9 On considère à présent un fil rectiligne infini de masse linéique en mouvement uniforme à la vitesse ~v parallèle au fil. Déterminer le champ gravitomagnétique ~h qu'il crée en un point extérieur quelconque. Une fois encore, on précisera les arguments de symétrie qui permettent de simplifier le calcul. 2 - I.10 Donner l'expression de la force gravitomagnétique par unité de longueur Fh entre deux fils rectilignes identiques et parallèles, en mouvement à la même vitesse ~v parallèle à leur direction et séparés par une distance d. Cette force est-elle attractive ou répulsive ? Comment s'écrit le - - rapport kFh k/kFg k ? Quelle est l'importance relative des effets gravitomagnétiques pour des vitesses ordinaires ? Que se passe-t-il si on inverse le sens de la vitesse de l'un des fils ? On s'intéresse maintenant à l'action d'un champ gravitomagnétique sur un gyroscope. - I.11 Rappeler l'expression du moment magnétique M d'une spire circulaire de rayon R parcourue par un courant I. I.12 On considère une spire circulaire de masse m et de rayon R en rotation uniforme à la vitesse angulaire ~ autour de l'axe perpendiculaire à son plan et passant par son centre. En - poursuivant l'analogie, montrer que son moment gravitomagnétique M g est proportionnel à son moment cinétique ~ . Donner la valeur de la constante de proportionnalité. On supposera cette relation de proportionnalité générale. I.13 Rappeler le couple que subit un moment magnétique plongé dans un champ magnétique uniforme et constant. On considère un gyroscope de moment cinétique ~ placé dans un champ gravitomagnétique ~h uniforme et constant. Déduire par analogie l'équation du mouvement de ~ et décrire succinctement son évolution au cours du temps. II. Effet gravitomagnétique sur un satellite dû à sa révolution II.1 On considère un satellite en orbite circulaire autour de la Terre. Exprimer sa vitesse v en fonction de son altitude a, de la masse M et rayon R de la Terre et de la constante de gravitation universelle G. Comment s'écrit cette vitesse en fonction de l'accélération de la pesanteur à la surface de la Terre g, de a et de R ? Application numérique : Calculer v pour un satellite orbitant à basse altitude a R . En déduire la valeur de sa période de révolution. Dans le référentiel barycentrique du satellite, la Terre tourne autour de lui, ce qui crée un champ gravitomagnétique dont nous allons étudier l'effet. Pour simplifier la modélisation, nous supposons, dans cette partie uniquement, que le référentiel barycentrique du satellite est galiléen. - II.2 Rappeler l'expression du champ magnétique B au centre d'une spire circulaire de rayon R parcourue par un courant d'intensité I. II.3 Par analogie, en déduire l'expression du champ gravitomagnétique ~h ressenti par le satellite, dans la limite où la Terre est ponctuelle. On l'exprimera en fonction de v, c et de sa période de révolution T . II.4 Un gyroscope est placé au centre de gravité du satellite en s'arrangeant pour qu'il n'ait aucun contact avec celui-ci, de sorte à laisser libres tous ses degrés de libertés de rotation. On notera ~ le moment cinétique du gyroscope dans le référentiel barycentrique du satellite. La direction initiale de ~ est choisie dans le plan orbital du satellite. 3 Montrer que ~ précesse à une vitesse angulaire 1 dont on donnera l'expression en fonction de v, c et T (effet dit « géodétique »). On précisera sur un schéma la direction et le sens du mouvement de précession. II.5 Calculer numériquement l'angle dont tourne ~ en un an pour un satellite orbitant à basse altitude. Comparer ce résultat théorique avec la valeur expérimentale 3, 2 × 10-5 radian mesurée par le satellite Gravity Probe B. III. Effet gravitomagnétique de la rotation de la Terre sur un satellite Dans cette partie, il s'agit maintenant de calculer l'effet gravitomagnétique induit par la rotation propre de la Terre sur l'orientation d'un gyroscope en orbite. On désigne par Oxyz un référentiel géocentrique, supposé galiléen, où O est le centre de la Terre et Oz son axe de - rotation. On note = ~ez la vitesse angulaire de la Terre dans ce référentiel et J son moment d'inertie par rapport à l'axe Oz. - III.1 Donner l'expression du moment gravitomagnétique de la Terre, noté M g , dû à sa rotation propre. - III.2 On rappelle que le champ magnétique B créé en un point P par un dipôle magnétique de - moment M situé en O est donné par - - ~r - - µ0 3(M .~n) ~n - M avec ~r = OP et ~n = B = 4 r3 r Donner l'expression du champ gravitomagnétique de la Terre, assimilée dans la suite du problème à un moment gravitomagnétique ponctuel. Tracer l'allure de ses lignes de champ dans un plan contenant l'axe de rotation terrestre. On considère désormais un satellite de plan orbital Oyz (orbite polaire). La position du satellite sur son orbite est repérée par un angle de sorte que les coordonnées du satellite sont données par y = (R + a) sin et z = (R + a) cos . III.3 Donner l'expression des composantes hy et hz du champ gravitomagnétique terrestre ressenti par le satellite en fonction de . Comme dans la partie II, un gyroscope est placé au centre de gravité du satellite, sans contact avec celui-ci. On notera ~ le moment cinétique du gyroscope dans le référentiel barycentrique du satellite. Initialement, la direction de ~ est parallèle à Oy. III.4 Exprimer la variation ~ , supposée faible, de ~ sur une période orbitale T . III.5 De quel angle tourne ~ pendant la période T ? En déduire l'expression de la vitesse angulaire moyenne de précession de ~ , notée 2 (effet dit « Lense-Thirring »). 2 et on se place dans la limite où a R . Exprimer en fonction III.6 On donne J 13 M R 2 de , c et v, la vitesse du satellite. III.7 Déterminer le rapport 2 /1 , où 1 est la vitesse angulaire calculée dans la partie II. 4 Application numérique : le satellite Gravity Probe B a mesuré |2 | = 1, 9 × 10-7 radian/an. L'ordre de grandeur de ce résultat est-il compatible avec la modélisation proposée plus haut ? III.8 Le satellite Gravity Probe B a aussi mesuré la direction des deux mouvements de précession du gyroscope. Montrer que le choix d'une orbite polaire permet de séparer l'effet géodétique de l'effet Lense-Thirring. IV. Mesure du mouvement du gyroscope Le gyroscope est une boule de quartz isolant revêtue d'une fine pellicule de niobium supraconducteur. L'ensemble est mis en rotation. Un supraconducteur en rotation est le siège d'un champ magnétique aligné avec son axe de rotation. La précession du gyroscope est déterminée par des mesures de flux de ce champ magnétique à travers une boucle à induction. Le but de cette partie est d'établir l'expression du champ magnétique engendré par un supraconducteur en rotation, puis d'estimer la précision de la mesure. IV.1 On admet qu'il existe un choix du potentiel vecteur tel que la vitesse des électrons soit donnée en tout point du supraconducteur par ~v = e ~ A, me ~ est le potentiel vecteur au où e est la charge élémentaire, me est la masse de l'électron, et A point où se trouve l'électron. Vérifier que cette équation est dimensionnellement correcte. IV.2 On note N la densité volumique d'électrons dans le supraconducteur. Exprimer la densité de courant ~j en supposant que les électrons sont les seuls porteurs de charge. IV.3 On admet qu'un supraconducteur est un conducteur ohmique de résistivité nulle. Écrire la forme locale de l'équation de conservation de la charge en un point à l'intérieur du supraconduc~? teur. Quelle condition impose-t-elle sur le potentiel vecteur A IV.4 On suppose par ailleurs que le potentiel scalaire V est partout nul à l'intérieur du supra~ et le champ magnétique B ~ en fonction de ~j. conducteur. Exprimer le champ électrique E IV.5 Parmi les quatre équations de Maxwell, lesquelles sont automatiquement vérifiées par ces ~ et B ~? expressions de E ~ = ~ez autour de l'axe IV.6 Le supraconducteur est en rotation uniforme à la vitesse angulaire Oz. On suppose que les électrons sont au repos par rapport au supraconducteur. En déduire ~ dans la pellicule supraconductrice. l'expression de ~v en un point ~r, puis l'expression du champ B ~ à l'intérieur de la boule constituant le gyroscope. IV.7 En déduire l'expression du champ B Application numérique : La vitesse angulaire de rotation du gyroscope embarqué sur le satellite Gravity Probe B est = 900 rad · s-1 . Calculer B, module du champ magnétique à l'intérieur du gyroscope. 5 IV.8 Un magnétomètre appelé SQUID permet, par une mesure de flux du champ magnétique, de détecter la variation d'une composante quelconque du champ magnétique avec une précision B = 5 × 10-17 T. En déduire la précision relative sur la mesure de l'effet Lense-Thirring pour une expérience durant un an. 6

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 X Physique MP 2012 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Jimmy Roussel (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE). Cette épreuve porte sur la caractérisation de deux phénomènes gravitationnels relativistes, l'effet géodétique et l'effet Lense-Thirring. Elle en propose une approche par analogie avec l'électromagnétisme. Le problème est organisé en quatre parties plus ou moins liées. · La première partie établit cette analogie entre la gravitation et l'électromagné - tisme et introduit, en complément du champ gravitationnel - g , les champ h et - moment Mg gravitomagnétiques. · Dans la deuxième, on montre d'abord les caractéristiques de la trajectoire circulaire d'un satellite de faible altitude. En assimilant cette orbite à une spire selon les termes de l'analogie, on évalue le champ gravitomagnétique ressenti par le satellite et la rotation d'un gyroscope embarqué. C'est l'effet géodétique. · Selon une progression similaire, la troisième partie s'intéresse à la rotation de la Terre sur elle-même. Là encore, on détermine le champ gravitomagnétique associé et la rotation d'un gyroscope embarqué, cette dernière étant appelée effet Lense-Thirring. · Enfin, dans la quatrième partie, on montre comment le champ magnétique induit dans un supraconducteur par la rotation du gyroscope permet la mesure des effets précédents. L'épreuve fait appel à la mécanique du point et du solide (moment d'inertie, théorème du moment cinétique, expressions du champ de gravitation et étude de la trajectoire circulaire) et surtout à l'électromagnétisme des première et seconde années (considérations d'invariance et de symétrie, utilisation des théorèmes de Gauss et d'Ampère, manipulation des équations de Maxwell et de l'équation de conservation de la charge, champ magnétique créé par une spire circulaire, expressions du champ magnétique créé et du couple subi par un moment magnétique). Réussir une telle épreuve demande alors une triple compétence : une connaissance sans faille de ces nombreux aspects du cours, le recul et l'analyse nécessaires à leur utilisation dans une situation originale, et enfin une autonomie certaine, puisqu'on ne trouve aucun schéma dans l'énoncé et que de nombreuses questions laissent le candidat libre de paramétrer ses calculs comme il l'entend. Enfin, signalons que, comme les années précédentes, la calculatrice n'était pas autorisée pour cette épreuve. Les applications numériques sont dans ce cas souvent valorisées dans les barèmes. Indications Première partie I.3 Utiliser l'équation de Maxwell-Faraday gravitationnelle. - - - I.4 Utiliser l'équation de Maxwell-Ampère et div (rot F ) = 0 pour tout champ F . - I.5 Dans le vide, = 0 et - = 0. I.7 Le champ - g appartient aux plans de symétrie de la distribution de masse. Appliquer le théorème de Gauss à un cylindre de rayon r et de hauteur . - I.9 Le champ h est orthogonal aux plans de symétrie de la distribution de masse. Appliquer, après justifications, le théorème d'Ampère I - - 4G Ienlacé h · d = - c2 C à un cercle de rayon r où l'intensité due au mouvement du fil est I = v. I.12 L'intensité due à la rotation de la spire de période T est I = m/T. I.13 Appliquer le théorème du moment cinétique. L'équation d- =- - dt caractérise la rotation de - avec le vecteur rotation - . Deuxième partie II.1 Appliquer le principe fondamental de la dynamique au satellite et identifier l'accélération centripète v 2 /r. II.3 L'intensité due au mouvement de la Terre sur son orbite est I = M /T. Troisième partie - - III.2 Le champ B créé par un dipôle magnétique en O de moment M = M - ez est µ0 M - B = 2 cos - er + sin - e 4r3 III.3 Projeter simplement - er et - e selon - ey et - ez . III.4 Appliquer le théorème du moment cinétique. Évaluer Z T - Z 2 - - d d T = × dt = × d dt dt 2 t=0 =0 - - kk - III.5 Représenter dans la base cartésienne et et calculer tan = - . k k Quatrième partie - IV.6 Calculer - v = - r en coordonnées cartésiennes. - - IV.7 Vérifier que les champs E et B dans la coquille supraconductrice sont solutions des équations de Maxwell dans la boule de quartz. - IV.8 Le champ magnétique B reste aligné sur le moment cinétique - du gyroscope. Reprendre la paramétrisation de la question III.5. En notant la durée d'une année, justifier la variation de la composante selon - ex Bx -2 B Effet du champ gravitationnel terrestre sur le mouvement d'un gyroscope en orbite I. Une théorie du gravitomagnétisme I.1 On se place dans le repère sphérique (O, - er , - e , - e ). Le champ électrique créé en M par une charge ponctuelle q en O est - E (M) = q - er 40 r2 - er r M O Le champ gravitationnel créé en M par une masse ponctuelle m en O est Gm - g (M) = - 2 - er r I.2 Les expressions précédentes justifient l'analogie formelle - champ électrique E champ gravitationnel - g charge q charge volumique e 1 40 masse m masse volumique -G e - div E = 0 possède donc l'équivalent gravitationnel L'équation de Maxwell-Gauss - div g = g avec g = - 1 4G Selon la même analogie, le théorème de Gauss pour une surface fermée S orientée dans le sens sortant ZZ - - Q int E · dS sort = 0 S où Qint est la charge à l'intérieur de S devient ZZ - - g · dS sort = -4G Mint S avec Mint , la masse à l'intérieur de S. I.3 Notons L et T, les dimensions d'une longueur et d'une durée. Le champ de gravitation - g , comme le champ de pesanteur, a la dimension d'une accélération : - g = L.T-2 Le rotationnel correspond à une dérivation spatiale du premier ordre donc - - rot g = [- g ] . L-1 = T-2 L'équation de Maxwell-Faraday - h - - rot g = - t - impose alors pour le champ gravitomagnétique h - T-2 = h .T-1 donc - h possède la dimension de l'inverse d'une durée. I.4 Prenons la divergence de l'équation de Maxwell-Ampère, intervertissons les dérivée temporelle et spatiales et utilisons l'équation de Maxwell-Gauss, - g - - div rot h = µg div - + g div t = µg div - + g div - g t - - - div rot h = µg div + g t g - - - Sachant que div rot F = 0 pour tout champ F , on en déduit l'équation de conservation de la charge + div - =0 t I.5 Partons cette fois-ci du rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday, employons la formule rappelée en début d'énoncé et intervertissons la dérivée temporelle et les dérivées spatiales du rotationnel, - - - - - h rot rot g = - rot t -- - - soit grad div - g - - g =- rot h t - Dans le vide, = 0 et - = 0 donc les équations de Maxwell-Gauss et MaxwellAmpère s'écrivent - g - - rot h = µg g t - 2- g d'où 0 - - g = -µg g 2 t Ainsi, le champ gravitationnel dans le vide est solution d'une équation de d'Alembert div - g =0 et - 1 2- g - g - 2 = 0 cg t2 avec 1 cg = µg g L'identification de la célérité cg à la vitesse c de la lumière dans le vide conduit à 1 µg = g c2 soit µg = - 4G c2