X Physique MP 2011

Thème de l'épreuve Imagerie par résonance magnétique
Principaux outils utilisés magnétostatique, électromagnétisme, loi de Boltzmann
Mots clefs champ magnétique, supraconducteur, IRM, théorème d'Ampère, équations de Maxwell, moment magnétique

Corrigé

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ­ ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES FILIÈRE CONCOURS D'ADMISSION 2011 MP COMPOSITION DE PHYSIQUE (XULC) (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. On se contentera, pour les applications numériques, d'un seul chiffre significatif. Imagerie par résonance magnétique L'imagerie par résonance magnétique (ou IRM) est une technique utilisée par les radiologues pour visualiser les tissus mous du corps humain. Elle permet en particulier de localiser précisément les cancers. Cette technique utilise un champ magnétique intense pour orienter les moments magnétiques des protons des molécules d'eau, et un champ magnétique oscillant pour en perturber l'orientation. Ce problème expose le principe physique de l'IRM, et certains aspects de sa mise en oeuvre pratique. Données numériques Perméabilité du vide : Conductivité du cuivre : Masse de l'électron : Moment magnétique du proton : Constante de Boltzmann : Constante de Planck réduite : Charge élémentaire : Masse du proton : Vitesse de la lumière dans le vide : Formulaire ä - Ä- ~ ä -- Ä ~ - B ~ rot rot B = grad div B 1 µ0 me µ kB ~ e mp c = = = = = = = = = 1, 3 × 10-6 H · m-1 6, 0 × 107 S · m-1 9, 1 × 10-31 kg 1, 4 × 10-26 J · T-1 1, 4 × 10-23 J · K-1 1, 1 × 10-34 J · s 1, 6 × 10-19 C 1, 7 × 10-27 kg 3, 0 × 108 m · s-1 I. Production de champs magnétiques intenses et homogènes On utilise un solénoïde d'axe Oz, parcouru par un courant continu, pour produire un champ magnétique. On choisit un système de coordonnées cylindro-polaires d'axe Oz, dont on note (r, , z) les coordonnées et (O, ~er , ~e , ~ez ) le repère orthonormé direct. I.1 On suppose que tout plan contenant l'axe Oz est un plan d'antisymétrie de la distribution de courant. Quelles conditions la densité de courant ~j (jr , j , jz ) doit-elle vérifier pour cela ? ~ r , B , Bz ) ? I.2 Quelles conditions en résultent pour le champ magnétique B(B I.3 On suppose que j est uniforme à l'intérieur d'un cylindre de révolution creux de rayon extérieur R2 , de rayon intérieur R1 < R2 , et de longueur L très grande devant R2 . Quelle est la particularité du champ magnétique créé par un tel solénoïde ? Donner l'expression de sa valeur B0 au centre. I.4 La conductivité ohmique du matériau, notée , est supposée uniforme. Donner l'expression de la puissance dissipée dans le solénoïde par effet Joule. I.5 B0 , L et R2 étant fixés, comment faut-il choisir R1 pour minimiser la puissance dissipée ? I.6 On considère un solénoïde de cuivre de longueur L = 1 m délivrant un champ B0 = 1, 3 T. Calculer une borne inférieure de la puissance dissipée. Comparer à la puissance d'un radiateur électrique ordinaire. I.7 B0 étant fixé, comment choisir R2 pour minimiser l'élévation de température du solénoïde due à l'effet Joule ? Commenter. I.8 On réalise la bobine en enroulant un fil électrique autour d'un cylindre de rayon R1 . Expliquer pourquoi la propriété de symétrie de la question I.1 ne peut pas être exacte. Comment réaliser le bobinage en pratique pour qu'elle soit une bonne approximation ? I.9 Tracer, sans calcul, l'allure de la variation du champ magnétique sur l'axe Oz lorsque R2 et L sont du même ordre de grandeur. Comment faudrait-il modifier le bobinage pour que le champ sur l'axe soit uniforme au voisinage du centre ? On se contentera d'une réponse qualitative et d'un croquis. I.10 On parvient à réaliser une bobine telle que le champ sur l'axe soit quasiment uniforme dans un intervalle autour du centre de la bobine. Montrer que le champ est alors également uniforme au voisinage de l'axe. II. Utilisation de supraconducteurs Pour s'affranchir de l'effet Joule, on utilise pour les bobinages des matériaux supraconducteurs, qui ont la propriété de pouvoir transporter un courant sans dissipation au-dessous d'une température critique Tc . 2 II.1 On adopte un modèle microscopique de supraconducteur dans lequel les électrons de conduc-- tion (de charge --e et de masse me), initialement au repos7 sont mis en mouvement sous l'action d'un champ électrique Ê, supposé uniforme et constant. Ecrire l'équation du mouvement d'un électron. II. 2 On note 77. la densité volumique d' électrons supposée uniforme. Déduire de la question précédente une relation simple entre Ôj /Ôt et Ê. II.3 On suppose que la relation obtenue a la question II.2 reste valable même si le champ n'est ni uniforme ni constant, et on se place dans l'approximation des régimes quasi--stationnaires. En utilisant les équations de Maxwell7 montrer que le champ magnétique vérifie l'équation %ÇÊOEÊÊ+£ÆÛ=OE ... où À est une longueur dont on donnera l'expression. II.4 Calculer À pour une densité d'électrons de conduction u = 1028 m_3. II.5 Lorsqu'on plonge un supraconducteur dans un champ magnétique extérieur7 il expulse ce champ. Cette propriété7 qui porte le nom d'effet Meissner7 est représentée sur la figure 1. B B A AAAA T>TC T 0 dans un système de coordonnées cartésiennes de repère orthon0rmé direct (0, ë}... @, (2). On suppose que le champ a l'extérieur du supraconducteur (a: < 0) est uniforme et vaut Bgë'z, et on admet que B ne dépend que de a:. Calculer le champ magnétique pour a: > 0 en fonction de B0, 313 et À. En quoi ce modèle explique--t--il l'effet Meissner ? II.6 Déterminer la densité de courant î(a:) a l'intérieur du supraconducteur. III. Moments magnétiques et aimantation III.1 Un proton de vitesse nulle possède un moment magnétique intrinsèque ~ µ, dont la norme µ est constante, mais la direction peut varier. L'imagerie par résonance magnétique utilise l'interaction des protons des atomes d'hydrogène de l'eau avec un champ magnétique. Donner l'expression de l'énergie potentielle d'interaction, notée U , d'un proton (assimilé à un dipôle magnétique) avec ~ 0 = B0~ez . un champ magnétique uniforme et constant B Application numérique : on donne B0 = 1, 5 T. Calculer les valeurs maximale et minimale de U . III.2 Un échantillon étudié par IRM contient un grand nombre de protons dont les moments magnétiques pointent dans des directions différentes et aléatoires. On admet qu'à l'équilibre thermodynamique, la probabilité pour que la direction d'un moment donné µ ~ soit dans l'angle solide élémentaire d2 autour d'une direction donnée vaut dp = 1 U exp - Z kB T Å RR Ä ã d2 , (3) ä où T est la température absolue et Z = exp - kBUT d2 , l'intégrale portant sur toutes les directions spatiales. Comment s'appelle cette loi ? Dans quel contexte l'avez-vous rencontrée ? Quelle est la direction de ~ µ la plus probable ? III.3 Exprimer l'énergie potentielle U et l'angle solide élémentaire d2 dans un système de coordonnées sphériques d'axe polaire Oz. III.4 On suppose dorénavant que |U | est très petit devant kB T . Est-ce une bonne approximation à température ambiante avec le champ magnétique de la question III.1 ? III.5 On appelle aimantation d'un échantillon contenant N protons la somme de leurs moments ~ . Expliquer pourquoi, lorsque N 1, l'aimantation vaut approximativemagnétiques, notée M ~ ment M N h~ µi, où h~ µi désigne la valeur moyenne de ~ µ avec la loi de probabilité (3). III.6 Développer la loi de probabilité (3) à l'ordre 1 en U/(kB T ). Calculer la valeur moyenne de ~ dans cette approximation, et en déduire que l'aimantation vérifie la loi de Curie : µ ~ = CB ~ 0, M T (4) où C est une constante qu'on exprimera en fonction de N , µ et kB . ~ 0 sur le dipôle magnéIII.7 Rappeler l'expression du couple exercé par le champ magnétique B tique de moment magnétique ~ µ. III.8 Un proton de vitesse nulle est animé d'un mouvement de rotation propre. Ce mouvement ~ de norme constante S = ~/2, lui confère un moment cinétique intrinsèque, nommé spin et noté S, ~ et ~ où ~ est la constante de Planck réduite. On admet que les vecteurs S µ sont proportionnels : ~ avec = µ/S. Montrer que ~ µ = S, ~ µ est animé d'un mouvement de précession de vitesse angulaire ~ 0 = 0~ez , et donner l'expression de 0 , dite pulsation de Larmor, en fonction de B0 et . Calculer 0 pour B0 = 1, 5 T. 4 ~ 0 . Rappeler l'expression de la vitesse III.9 Soit un proton de vitesse initiale ~v0 perpendiculaire à B ~ angulaire de sa trajectoire dans le champ B0 (pulsation cyclotron), et comparer sa valeur à celle de la pulsation de Larmor. IV. Résonance magnétique ~ 0, L'imagerie par résonance magnétique utilise d'une part un champ uniforme et constant B ~ 1 (t), qu'on supposera dirigé suivant l'axe Oz, et d'autre part un champ dépendant du temps B ~ ~ avec |B1 | |B0 |. IV.1 On place dans le champ un échantillon contenant N protons, avec N 1. On assimile chacun de ces protons à un dipôle magnétique soumis au couple exercé par le champ magnétique ~0 + B ~ 1 (t). Ecrire l'équation du mouvement de l'aimantation M ~ (t) sous la forme total B ~ dM ~ = (~ 0 + ~ 1 (t)) M dt (5) ~ 1 (t). et définir le vecteur rotation ~ 1 (t) en fonction de B ~ 1 (t) est un champ tournant autour de B ~ 0 et perpendiculaire à celuiIV.2 Le champ auxiliaire B ci. Dans un référentiel galiléen de repère cartésien R = (O, ~ex , ~ey , ~ez ), ses coordonnées sont (B1 cos(t), B1 sin(t), 0). On définit le repère R = (O, ~uX (t), ~uY (t), ~uZ (t)) tournant à la vitesse ~ 1 (t) = B1 ~uX (t). angulaire autour de l'axe Oz et coïncidant avec R à t = 0, de telle sorte que B ~ dans R . Ecrire l'équation du mouvement de M IV.3 On suppose dans toute cette partie que l'aimantation à t = 0 est la valeur d'équilibre déter~ 0 = CB ~ 0 /T . Expliquer pourquoi les composantes de l'aimantation minée à la question III.6, M perpendiculaires à Oz sont petites pour tout t > 0, sauf si est très proche de 0 . IV.4 On se place à la résonance, définie par = 0 . Décrire au moyen d'un schéma l'évolution de l'aimantation dans R puis dans R. IV.5 En prenant pour 0 la valeur obtenue à la question III.8, à quel domaine de fréquences ~ 1 (t) ? appartient le champ B IV.6 On donne B1 = 3 × 10-5 T. Calculer la norme du vecteur de Poynting d'une onde électro~ 1 (t) se propageant dans le vide. magnétique plane de champ magnétique B ~ 1 (t) uniquement entre les IV.7 On se place toujours à la résonance, et on applique le champ B instants t = 0 et t = , où est choisi de telle sorte que l'aimantation tourne d'un angle /2 dans R entre les instants t = 0 et t = . Donner l'expression de et calculer sa valeur. Montrer que l'aimantation est un vecteur constant pour t > dans R . Quelle est sa direction ? ~ 0 n'est pas parfaitement homogène sur tout l'échantillon, et l'écart IV.8 En pratique, le champ B à la résonance = - 0 fluctue autour de 0 d'un bout à l'autre de l'échantillon. On suppose en tout point || 1 . Décrire qualitativement comment évolue l'aimantation de l'échantillon pour t dans R . 5 ~ 1 (t) une deuxième fois IV.9 Pour pallier l'effet de ces inhomogénéités, on applique le champ B entre les instants t = TE et t = TE + 2 , avec TE , et on mesure l'aimantation à l'instant t = 2TE . Déterminer l'orientation de l'aimantation à t = 2TE dans R pour = 0, puis pour 6= 0. Conclure. Cette technique porte le nom d'écho de spin. IV.10 L'étude ci-dessus ne prend en compte que l'interaction des protons avec le champ magnétique extérieur. Dans cette modélisation, nous avons montré à la question IV.7 qu'à la ~ 1 (t). En réalité, elle résonance, l'aimantation dans R est constante après l'arrêt du champ B n'est pas constante indéfiniment mais finit par retourner à sa valeur d'équilibre, déterminée à la question III.6, sous l'effet de processus dits de relaxation. On donne les équations d'évolution des coordonnées (MX , MY , MZ ) de l'aimantation dans R à la résonance et en l'absence de ~1 : champ B dMX dt = - MX T2 dMY dt = - MY T2 dMZ dt = - MZ - M0 . T1 T1 et T2 sont deux constantes appelées temps de relaxation. On donne les valeurs T1 = 0, 9 s et T2 = 0, 1 s pour un proton appartenant à la matière grise du cerveau. Expliquer pourquoi il est légitime, avec ces valeurs, de négliger les processus de relaxation entre les instants t = 0 et t = . Résoudre ces équations pour t > tracer les variations de MX , MY et MZ . IV.11 L'IRM consiste à mesurer l'aimantation au cours du temps pour t > , et à en déduire T1 et T2 , qui dépendent fortement de l'environnement du proton et donnent des informations fines sur la nature des tissus contenus dans l'échantillon étudié. On utilise, pour mesurer T2 , la technique d'écho de spin exposée à la question IV.9. Quelle valeur de TE choisiriez vous pour cette mesure ? 6

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 X Physique MP 2011 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Tom Morel (ENS Cachan) et Sébastien Dusuel (Professeur en CPGE). Cette épreuve porte sur l'imagerie par résonance magnétique (IRM). Elle est organisée en quatre parties indépendantes. · Dans la première partie, on envisage la production d'un champ magnétique par un solénoïde infini épais, puis celle d'un champ quasi uniforme à l'aide de deux bobines coaxiales. · La suppression de l'effet Joule, mis en évidence dans la première partie, justifie l'étude d'un matériau supraconducteur effectuée dans la seconde partie. · Dans la troisième partie, on caractérise le comportement à l'équilibre thermique d'une assemblée de moments magnétiques protoniques dans un champ extérieur. · Enfin, la quatrième partie décrit la séquence d'écho de spin utilisée dans le cadre de l'IRM. L'épreuve fait appel à de nombreuses notions relatives à l'électromagnétisme des première et seconde années : considérations d'invariance et de symétrie, utilisation du théorème d'Ampère, de la loi d'Ohm locale, calculs relatifs à la puissance dissipée par effet Joule, aux ondes planes, au vecteur de Poynting, manipulation des équations de Maxwell, notion de moment magnétique et expressions de l'énergie potentielle et du couple subi dans un champ magnétique extérieur. À ce titre, elle peut servir de problème de révision en électromagnétisme, quel que soit le concours préparé. En effet, l'ensemble forme un problème très directif, dont la difficulté est raisonnable pour une épreuve qui inaugure la fusion des écrits des concours de l'X et des ENS. Parmi les points délicats, notons l'utilisation, assez courante dans ce type de problème, de la loi de Boltzmann en tant que densité de probabilité. Enfin, signalons que, comme l'année dernière, la calculatrice n'était pas autorisée pour cette épreuve. Les applications numériques sont dans ce cas valorisées dans les barèmes et ce n'est pas une perte de temps de s'y intéresser. Indications Première partie - I.1 Le champ (M) est perpendiculaire aux plans d'antisymétrie des courants. I.3 Supposer la nullité du champ à l'extérieur du solénoïde et appliquer le théorème d'Ampère à un contour appuyé sur l'axe et refermé à l'extérieur. - I.4 La puissance volumique dissipée par effet Joule est pv = - · E. I.7 La puissance thermique perdue au contact de l'atmosphère est proportionnelle à la surface de contact. I.9 Envisager l'approche progressive de deux bobines identiques et coaxiales. Deuxième partie II.5 Le champ magnétique est continu en x = 0 et ne peut diverger quand x +. II.6 Utiliser l'équation de Maxwell-Ampère. Troisième partie - III.1 L'énergie potentielle dans le champ extérieur est U = -- µ · B0 . III.3 L'angle solide sous lequel est vue une surface dS à la distance r de O est - dS · - er 2 d = 2 r - III.6 On peut justifier au préalable que h µ i = hµ i - e . z z III.8 Utiliser le théorème du moment cinétique et la relation de composition des dérivées temporelles - - d µ d µ - = +- µ 0 dt /R dt /R0 entre un référentiel absolu R et un référentiel R0 tournant dans R à la vitesse . angulaire - 0 Quatrième partie IV.1 Reprendre la question III.8 pour chaque - µi . IV.2 Utiliser le résultat de la question IV.1 et la relation de composition des dérivées temporelles. - - IV.3 À l'aide de la question précédente, identifier le vecteur rotation de M dans R et considérer son inclinaison par rapport à - e . z - IV.4 Considérer avec = 0 . - - IV.8 Considérer avec 6= 0 et l'angle dont a tourné M dans le plan (XOY) au bout d'une durée t. - IV.9 Justifier graphiquement que dans tous les cas, M a tourné d'un angle total égal à , dans le plan (XOY) entre t = et t = 2TE . IV.10 Initialement, MX ( ) = MZ ( ) = 0 et MY ( ) = M0 . IV.11 Il est nécessaire que la séquence d'écho de spin ait lieu avant un avancement significatif du processus de relaxation. Imagerie par résonance magnétique I. Production de champs magnétiques intenses et homogènes I.1 Le plan (M, - er , - ez ) contenant l'axe (Oz) est un plan d'antisymétrie de la dis tribution de courant, alors le vecteur - (M) est nécessairement perpendiculaire au - - plan ( er , ez ). Ainsi, les composantes jr et jz sont nulles et on écrit - (M) = j - e Par ailleurs, considérons deux points M et M , images l'un de l'autre par une rotation d'axe (Oz) avec - - - (M) = j (r, , z) - e et (M ) = j (r, , z) e Ces points sont disposés symétriquement par rapport au plan bissecteur correspon dant à l'angle ( + )/2. Ce plan contient l'axe (Oz), donc - (M) et - (M ) sont antisymétriques. Comme on le voit sur le schéma ci-après, cela impose j (r, , z) = j (r, , z) et que la composante j est indépendante de . On résume ces conditions en - (M) = j (r, z) - e y y - (M) - e r M - (M ) M - er - (M) - ez O x M O x Rappelons que l'antisymétrique d'un vecteur est l'opposé de son symétrique et qu'en un point d'un plan de symétrie (respectivement antisymétrie), un vecteur est nécessairement porté par le plan (resp. orthogonal au plan) pour être confondu avec son symétrique (resp. antisymétrique). I.2 Le plan (M, - er , - ez ) étant plan d'antisymétrie de la distribution de courant, le - - champ B (M) lui appartient et s'écrit a priori B (M) = Br - e r + Bz - ez . Par ailleurs, la distribution de courant est invariante par rotation d'angle , donc les composantes Br et Bz ne dépendent pas de . Finalement, - B (M) = Br (r, z) - er + Bz (r, z) - ez Rappelons aussi que les seules symétries qui comptent en magnétostatique sont celles de la distribution de courant et que les résultats de la magnétostatique restent valables dans l'approximation des régimes quasi stationnaires. I.3 Un tel solénoïde peut être vu comme la superposition de solénoïdes minces de grande longueur L, devant leurs rayons compris entre R1 et R2 . Ainsi, en négligeant les effets de bords pour chaque solénoïde et donc pour l'ensemble par superposition, on sait que le champ magnétique est uniforme et porté par - ez à l'intérieur et nul à l'extérieur. Appliquons le théorème d'Ampère en régime C stationnaire au contour C rectangulaire dans un plan méridien, de longueur L, passant par - - R2 dS le centre et se refermant à l'extérieur : I - - R1 B · d = µ0 Ienlacée C O - z B0 La circulation s'écrit B0 × , car le champ est nul à l'extérieur et perpendiculaire au contour - sur les deux côtés radiaux. L'intensité enlacée est Ienlacée = j × (R2 - R1 ) , puisque j est L uniforme, donc - B0 = µ0 j (R2 - R1 ) - ez - I.4 La loi d'Ohm locale s'écrit - = E et la puissance volumique dissipée par effet Joule est 2 - - - pv = · E = Comme pv est uniforme, la puissance dissipée dans le solénoïde est P Joule = pv × (R22 - R12 ) L c'est-à-dire P Joule = j2 (R22 - R12 ) L I.5 En remplaçant j = B0 /µ0 (R2 - R1 ) dans l'expression établie à la question précédente, il vient P Joule = B02 L R2 + R1 × µ02 R2 - R1 À B0 , L et R2 fixés, P Joule est une fonction croissante de R1 sur [ 0 ; R2 [, donc Il faut prendre R1 R2 pour minimiser la puissance dissipée. Avoir R1 nul serait physiquement impossible et sans intérêt pratique. I.6 La borne inférieure de la puissance dissipée atteinte pour R1 R2 est P Joule = B02 L = 5.104 W µ02 Bien que le cuivre soit un très bon conducteur, cette puissance dissipée est importante comparée à celle d'un radiateur électrique ordinaire, qui est de l'ordre de 103 W.