X Physique MP 2009

Thème de l'épreuve Compression de la matière par onde de choc
Principaux outils utilisés interférences, ondes, thermodynamique des systèmes ouverts
Mots clefs onde de choc, interférence en ondes planes, plasma, VISAR, compression de matière, hautes pressions, compression par laser

Corrigé

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP CONCOURS D'ADMISSION 2009 COMPOSITION DE PHYSIQUE (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve. Compression de la matière par onde de choc On s'intéresse dans ce problème à l'étude d'états de la matière dans des conditions extrêmes de température et de pression, soit plusieurs milliers de kelvins et plus d'un million de fois la pression atmosphérique. De tels états de la matière sont rendus accessibles au moyen d'un laser de puissance, qui permet de "déposer" de l'énergie sur de petites surfaces pendant des durées très brèves. La matière est localement portée à l'état de plasma et elle est le siège de phénomènes complexes comme la propagation d'ondes de choc qui vont aboutir aux compressions extrêmes évoquées plus haut. On se propose de décrire quelques uns des aspects de la physique de la matière à haute densité d'énergie, ainsi que l'un des diagnostics utilisés pour mesurer l'état thermodynamique du système. Les trois parties sont indépendantes. Données numériques Masse du proton : Masse de l'électron : Charge élémentaire : Constante de Boltzmann : Nombre d'Avogadro : Permittivité du vide : Perméabilité du vide : Vitesse de la lumière dans le vide : Formulaire mp me e kB NA 0 µ0 c = = = = = = = = 1, 67 × 10-27 kg 9, 1 × 10-31 kg 1, 6 × 10-19 C 1, 38 × 10-23 J · K-1 6, 02 × 1023 mol-1 8, 85 × 10-12 F · m-1 4 × 10-7 H · m-1 (0 µ0 )-1/2 = 3, 0 × 108 m · s-1 -- - - ~a rot rot ~a = grad div ~a - ~ Équations de Maxwell ~ = div E 0 ~ =0 div B ~ B - ~ rot E =- t ~ E - ~ rot B = µ0~j + 0 µ0 t 1 I. Interaction onde électromagnétique - plasma I.1 On considère un plasma neutre composé d'ions, p fois ionisés, de masse mi et de densité volumique ni , ainsi que d'électrons de masse me et de densité ne . Traduire en équation la neutralité électrique du plasma. On s'intéresse au couplage de ce plasma avec une onde électromagnétique plane progressive se propageant dans le sens des z croissants, de vecteur d'onde ~k = k~ez . On utilisera les notations complexes avec : ~ = E0 exp i(t - ~k · ~r) ~ex , B ~ = B0 exp i(t - ~k · ~r) ~ey E I.2 On suppose le plasma suffisamment dilué pour que les ions et les électrons puissent être considérés comme indépendants les uns des autres. De plus on néglige l'action du champ magnétique. Écrire la relation fondamentale de la dynamique pour les ions et les électrons. En déduire que, pour des particules de vitesses initiales nulles, les déplacements s'effectuent selon Ox, perpendiculairement à ~k. I.3 En utilisant la notation complexe, exprimer les vitesses des ions ~vi et des électrons ~ve en fonction du champ électrique. En déduire l'expression locale de la densité de courant ~j en fonction ~ Justifier que seuls les électrons contribuent en pratique au courant dans le plasma. de E. I.4 Établir la relation de dispersion des ondes électromagnétiques » dans le plasma, c'est-à-dire la relation k(). On définira la "fréquence plasma" p par p = ne e2 /0 me . Tracer l'allure de la courbe k() ; on précisera en particulier la tangente en k = 0 et la forme asymptotique aux grandes fréquences. I.5 À quelle condition l'onde électromagnétique se propage-t-elle effectivement dans le plasma ? Pour une pulsation donnée, en déduire qu'il existe une densité électronique critique nC au-delà de laquelle l'onde ne peut plus se propager. I.6 Que se passe-t-il lorsqu'une onde électromagnétique, se propageant dans le vide, pénètre dans un plasma de densité électronique telle que p > ? En particulier, y a-t-il dissipation énergétique ? I.7 Application numérique. Les lasers de puissance en service dans le monde (installation OMEGA aux USA, Ligne d'Intégration Laser en France) ou en cours de construction (Laser Mégajoule, National Ignition Facility) fonctionnent à la longueur d'onde L = 351 nm. Calculer la densité critique correspondante. La comparer à la densité électronique d'un métal qui est de l'ordre de 1 × 1023 cm-3 . I.8 L'expérience montre que le faisceau d'un laser de puissance, focalisé sur un échantillon, l'ionise en formant un plasma et qu'il est absorbé, essentiellement au voisinage de la position où la densité électronique est voisine de la densité critique nC . Pour pouvoir interpréter ce phénomène, quelle hypothèse effectuée au début de cette partie faut-il remettre en cause ? 2 I.9 Pour préciser l'état d'un plasma de densité électronique ne , on considère deux électrons. À quelle distance rL leur énergie d'interaction coulombienne est-elle égale à l'énergie d'agitation thermique kB T correspondant à la température T ? On prend cette distance comme ordre de grandeur pour estimer le libre parcours moyen d'un électron par l'expression = 1/rL2 ne . Calculer rL et pour ne = 1 × 1022 cm-3 et kB T = 10 eV. Commenter. I.10 Une onde électromagnétique, arrivant orthogonalement à la surface d'un milieu absorbant, exerce sur ce milieu des forces se traduisant par une pression p égale à la moyenne temporelle de la densité volumique énergétique de l'onde : p = huem i. À quelle grandeur physique de l'onde peut-on associer ces forces de pression ? Un laser de puissance typique émet pendant une durée = 5 ns une énergie EL = 5 kJ concentrée sur une tache focale de l'ordre de 1 mm2 . Calculer la pression qu'il exerce sur une surface absorbante ; l'exprimer en bar (1 bar = 1 × 105 Pa = 1 atm). En fait, une telle impulsion laser crée dans le matériau une onde de choc avec une pression qui atteint la dizaine de Mbar (cf. partie II). Cette valeur est-elle compatible avec la pression de radiation calculée ci-dessus ? II. Onde de choc ; aspects thermodynamiques L'interaction d'un rayonnement laser de forte puissance avec un matériau initialement au repos engendre, après ionisation du milieu et effets thermiques, une brusque mise en mouvement par compression. On se propose d'obtenir dans cette partie les relations thermodynamiques régissant l'évolution ultérieure du milieu. Figure 1. Propagation d'une onde de choc dans un tube Figure 2. Bilans sur une tranche de gaz Dans une conduite cylindrique de section d'aire S, on considère un gaz initialement au repos, de pression P0 , de température T0 et de masse volumique 0 . Ce gaz est mis en mouvement et il se forme une discontinuité de pression ou "onde de choc" qui se propage dans la conduite à une vitesse D. La pression du gaz passe de P0 à P1 , la vitesse du gaz de v0 = 0 à v1 , et la masse volumique de 0 à 1 . Le processus est supposé adiabatique. La pression P1 du gaz après passage de l'onde sera prise comme paramètre. On se propose de déterminer la masse volumique 1 et la température T1 après passage de l'onde de choc et de déterminer la vitesse D de celle-ci. 3 II.1 On considère un tronçon fixe AB de la conduite contenant initialement une masse m de gaz. Il est traversé par la discontinuité pendant l'intervalle de temps [t, t + t] (figure 2). II.1.1 Déterminer les volumes occupés par la masse m aux instants t et t + t. En déduire une relation entre 0 , 1 , v1 et D. II.1.2 Toujours pour la masse m, exprimer le bilan de quantité de mouvement entre les instants t et t + t ; en déduire une relation entre 0 , P0 , P1 , v1 et D. On négligera tout frottement du gaz sur la paroi de la conduite. II.1.3 Exprimer le travail W des forces extérieures de pression exercées sur la masse m pendant l'intervalle de temps t. II.1.4 La masse m subit une variation d'énergie interne et acquiert de l'énergie cinétique. On appellera e0 et e1 les énergies internes massiques du gaz respectivement avant et après le passage de la discontinuité. Exprimer le bilan énergétique de m entre t et t + t. II.1.5 Au moyen des relations établies en II.1.1, II.1.2 et II.1.4, montrer que : e1 - e0 = 1 1 1 (P1 + P0 ) - 2 0 1 II.1.6 P1 étant supposé connu, les 3 relations établies en II.1.1, II.1.2 et II.1.5, dites d'Hugoniot-Rankine, sont-elles suffisantes à la détermination thermodynamique complète du système ? II.2 On considère le cas particulier d'un gaz parfait. II.2.1 Montrer que l'énergie interne massique e du gaz est donnée par : e = P/[( - 1)] avec = CP /CV , CP et CV étant les capacités thermiques massiques du gaz. II.2.2 En déduire que le rapport de compression pressions P1 , par : P0 1 est donné, en fonction du rapport des 0 1 ( - 1) + ( + 1)(P1 /P0 ) = 0 ( + 1) + ( - 1)(P1 /P0 ) II.2.3 Exprimer également le rapport des températures P1 T1 en fonction de et de . T0 P0 On considère maintenant une compression forte pour laquelle P1 /P0 >> 1. II.2.4 Montrer que le rapport des masses volumiques tend vers une valeur limite. Calculer cette limite pour un gaz parfait monoatomique. II.2.5 Qu'en est-il du rapport des températures ? Quels phénomènes pouvant avoir de l'importance ont été négligés ? 4 II.3 On s'intéresse maintenant à la célérité D de l'onde de choc, toujours pour un gaz parfait. P0 . Quel en 0 = 29 g, sous les conditions II.3.1 La vitesse c0 des ondes sonores dans le gaz est donnée par : c0 = est l'ordre de grandeur dans l'air, de masse molaire moyenne MA normales de température et de pression ? II.3.2 Exprimer D en fonction de c0 , et du rapport P1 . P0 II.3.3 Application au cas d'un gaz parfait monoatomique pour un rapport de pression Calculer P1 = 3. P0 D 1 T1 , et . c0 0 T0 II.3.4 L'entropie massique d'un gaz parfait est de la forme : s = CV ln [P - ] + s0 . Avec les valeurs numériques obtenues en II.3.3, calculer la variation d'entropie massique en fonction de CV ; qu'en concluez-vous ? II.4 On s'intéresse maintenant succinctement au cas de la propagation d'une onde de choc dans un solide. Les bilans établis en II.1 restent valides. Une loi empirique donne la relation suivante entre la vitesse de propagation de l'onde de choc et la vitesse v1 pour la plupart des solides : D = av1 + b. II.4.1 En utilisant la relation établie en II.1.2, établir la forme de la courbe P1 = f (v1 ), dénommée polaire de choc. II.4.2 Pour l'aluminium : 0 = 2, 7 g · cm-3 et D = 1, 2 v1 + 6, les vitesses D et v1 étant exprimées en km · s-1 . On cherche à comprimer ce matériau à 1 = 8 g · cm-3 . Estimer la célérité D de l'onde de choc nécessaire, ainsi que la vitesse v1 de la matière. En déduire l'ordre de grandeur de la pression P1 à appliquer. L'exprimer en bar (1 bar = 1 × 105 Pa). Comparer à la pression atmosphérique standard. II.4.3 On admet qu'une loi d'échelle relie la pression de l'onde de choc engendrée par un laser de puissance (de longueur d'onde 351 nm) et l'intensité laser directement incidente sur le matériau. Soit I15 l'intensité laser en unité de 1015 W·cm-2 . La loi donne : P (Mbar) = 80(I15 )2/3 . Quelle est l'intensité laser nécessaire pour engendrer la pression calculée en II.4.2 ? Ce domaine est-il accessible avec le laser de caractéristiques données en I.10 ? II.4.4 Pour des considérations géométriques, le laser Mégajoule permet de concentrer sur la cible une énergie de l'ordre de 500 kJ pendant une durée de 25 ns, avec une tache focale de 1 mm2 . En déduire un ordre de grandeur de la pression maximale accessible. La pression à l'intérieur du noyau terrestre est de l'ordre de 100 à 350 GPa. Ce type d'expériences de compression a-t-il un intérêt en géophysique et en astrophysique ? 5 III. Détermination de la vitesse d'une onde de choc Nous avons vu dans la partie II que la détermination de la vitesse D d'une onde de choc, associée à celle de la vitesse de la matière mise en mouvement permettait de remonter à l'état de pression d'un matériau soumis à une forte compression via les relations d'Hugoniot ­ Rankine établies dans cette même partie. On décrit dans cette partie le dispositif interférométrique qui permet d'effectuer la mesure. Figure 3. Schéma optique et table optique d'un VISAR La figure 3 montre le schéma optique et une photographie de la table optique portant ce dispositif nommé par son acronyme anglais VISAR (Velocity Interferometer System for Any Reflector). M1 et M2 sont deux miroirs supposés identiques. M2 est monté sur un support piézoélectrique qui permet des réglages fins de translation. S1 et S2 sont deux lames séparatrices, également supposées identiques. L'analyse qualitative et théorique de ce dispositif peut se faire à partir des connaissances expérimentales relatives à l'interféromètre de Michelson. III.1 Un faisceau lumineux parallèle et monochromatique entre dans l'interféromètre via la lame séparatrice S1 . III.1.1 Décrire qualitativement le fonctionnement de cet interféromètre. III.1.2 Les composants optiques sont initialement tous réglés avec des faces parallèles entre elles et les chemins optiques des deux bras de l'interféromètre sont égaux. Qu'observe-t-on en sortie de la séparatrice S2 ? III.1.3 On tourne le miroir M2 d'un petit angle autour de la verticale Oz. Faire un schéma des surfaces d'ondes en sortie de la séparatrice S2 . Qu'observe-t-on en sortie de S2 ? 6 III.2 Les champs électriques des ondes lumineuses en sortie et ayant parcouru les 2 bras sont notés : ~ 1 = E0 exp i(t - ~k1 · ~r) ~ez E ~ 2 = E0 exp i(t - ~k2 · ~r) ~ez E avec k~k1 k = k~k2 k = k = 2/ ~ 1 et E ~ 2 en coordonnées cartéIII.2.1 Exprimer les phases ~k1 · ~r et ~k2 · ~r des champs E siennes (x, y). ~ le champ électrique total en sortie de la séparatrice, plan origine dont on III.2.2 Soit E ~ 2. posera l'abscisse x nulle. Expliciter l'intensité lumineuse I = kEk III.2.3 Faire un schéma de la répartition d'intensité lumineuse dans le plan (y, z). Déterminer l'interfrange que l'on notera i. III.3 On interpose maintenant sur le trajet optique, tout contre le miroir M2 , un étalon, c'est-àdire une pièce transparente (verre, quartz ou autre) d'épaisseur e calibrée et d'indice optique n supposé connu (n > 1). Afin d'assurer la même position du faisceau en sortie de S2 , le miroir M2 est légèrement reculé. Soient la différence de chemin optique correspondant à l'introduction de l'étalon et à la translation du miroir M2 , et le retard temporel correspondant. ~ 2 parcourant le bras inférieur de l'interféromètre. En déduire Exprimer la phase du champ E comme en III.2.2 l'expression analytique de l'intensité lumineuse dans le plan (y, z). Quel est l'effet de l'étalon sur la figure d'interférences ? III.4 La lumière entrant dans l'interféromètre provient de la réflexion sur une surface réfléchissante mobile (dénommée cible) d'un faisceau laser de longueur d'onde dans le vide 0 . La vitesse de cette surface mobile est notée V (t) et cette surface se rapproche de la source lumineuse laser. Du fait de ce mouvement, on admettra que la pulsation de la lumière après réflexion sur l'interface est donnée, au premier ordre en V /c, par l'expression : d = 0 [1 + 2V (t)/c]. Un détecteur est placé en sortie de l'interféromètre au niveau de la séparatrice S2 . III.4.1 On suppose que la surface réfléchissante est mise brutalement en mouvement à l'instant t = 0 sous l'effet par exemple d'un phénomène de choc comme évoqué dans la partie II. Sa vitesse s'écrit donc V (t) = 0 pour t < 0 et V (t) = V0 pour t > 0. Après un laps de temps dû à la propagation, la lumière de fréquence modifiée arrive sur le détecteur. Montrer que, dans ce cas, l'intensité lumineuse sur la séparatrice, en négligeant la modification de l'interfrange au voisinage du centre y = 0, est donnée par l'expression : IS2 (y, V0 ) = 2E02 [1 + cos(0 + (V0 ) + 2y/i)] Montrer que : (V0 ) = 4 V0 /0 . III.4.2 Tracer l'allure de l'évolution au cours du temps de l'interférogramme dans le plan de sortie de la séparatrice S2 . En déduire le principe de la mesure de la vitesse. On notera le décalage de franges : F = (V0 )/2. 7 III.5. Exploitation d'un interférogramme expérimental L'image ci-dessous (figure 4) est un interférogramme typique enregistré au cours d'une expérience sur le laser LULI 2000 de l'École Polytechnique. On se propose d'en déduire la vitesse de la cible accélérée par ce laser de puissance. Figure 4. Interférogramme VISAR III.5.1 Déterminer la valeur de l'interfrange. III.5.2 La mise en vitesse intervient à l'instant marqué par la flèche (figure 4). On suppose F < 1. Estimer le saut de franges correspondant. La formule F = (V0 )/2 se réécrit V0 = SV F . Exprimer le coefficient SV , appelé sensibilité du VISAR en fonction de 0 et . III.5.3 On donne pour un étalon en silice les caractéristiques suivantes : e = 3, 07 mm et n = 1, 4607. La différence de chemin optique est donnée par = 2e(n - 1/n). Calculer puis SV pour 0 = 532 nm. En déduire une estimation de la vitesse de l'interface. III.6. Limitation Montrer que la vitesse n'est déterminée que modulo une certaine quantité que l'on précisera. Justifier de l'emploi éventuel de deux dispositifs VISAR fonctionnant à des longueurs d'onde différentes et avec des sensibilités très différentes. 8

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 X Physique MP 2009 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Jimmy Mullaert (École Polytechnique) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Cette épreuve porte sur les ondes de choc dans la matière et en particulier dans les plasmas. Elle est organisée en trois parties indépendantes, portant sur des thèmes très différents. · La première, très proche du cours, caractérise la propagation d'une onde électromagnétique dans un plasma. Il faut réussir à la traiter correctement et rapidement pour faire la différence sur la suite du problème. · La deuxième partie aborde les aspects thermodynamiques de la propagation d'une onde de choc. Cette étude, qui s'appuie sur les systèmes ouverts, est à la marge du programme de la filière MP. Bien que certains résultats intermédiaires soient donnés, on ne peut avancer qu'en ayant réussi les premières questions. · Enfin, la troisième partie envisage une méthode optique de détermination de la vitesse de propagation d'une onde de choc. Elle comprend des questions assez classiques portant sur la notion d'interférence pour des ondes planes et sur le décalage des franges. L'évaluation porte donc sur différents domaines du cours de physique, ce qui est une bonne chose. Signalons que l'épreuve comporte de nombreuses applications numériques, qui sont généralement valorisées dans les barèmes et ne doivent surtout pas être négligées. L'ensemble forme un problème de longueur et de difficulté très raisonnables pour un concours de ce niveau. Indications Première partie I.5 Seule la partie réelle du « vecteur d'onde » k() traduit la propagation. I.9 La distance rL donne l'ordre de grandeur de la zone d'influence électrostatique de l'électron. I.10 Justifier, puis utiliser la relation huem i = hPem i Sc Deuxième partie II.1.1 On a choisi la longueur AB = D t pour qu'elle corresponde à la distance parcourue par l'onde de choc pendant t. À l'instant t, la masse m initialement entre A et B est encore immobile ; sa pression est P0 et sa masse volumique 0 . À l'instant t + t, cette masse a été entièrement traversée par l'onde de choc. Sa vitesse, sa pression et sa masse volumique sont alors respectivement v1 , P1 et 1 . II.1.2 Écrire les expressions de la quantité de mouvement - p de la masse m aux instants t et t + t, puis relier leur différence aux forces de pression à l'aide du théorème de la résultante dynamique. II.1.4 Écrire les expressions de l'énergie totale E+Ec de la masse m aux instants t et t + t, puis relier leur différence au travail des forces de pression à l'aide du premier principe. II.2.4 = 5/3 pour un gaz parfait monoatomique. II.3.1 = 7/5 pour l'air considéré comme un gaz parfait diatomique et R = NA kB . II.3.4 Commenter le signe de s. II.4.2 Utiliser la relation établie à la question II.1.1 II.4.3 Reprendre le calcul de hPem i effectué à la question I.10. Troisième partie III.1.3 Quand on tourne M2 d'un angle , les rayons qu'il réfléchit sont déviés de 2 dans le même sens. III.3 Le déphasage de l'onde 2, dû à la présence de l'étalon, est 2/ avec = c . Exprimer l'ordonnée y de la frange d'ordre p. III.4.1 Le calcul du déphasage de l'onde 2, lié au changement de pulsation, demande de considérer la différence des durées de propagation. Justifier qu'au voisinage de y = 0, on peut identifier à . e et F = F e + p avec p entier. III.6 Comparer les décalages pour lesquels F = F Compression de la matière par onde de choc I. Interaction onde électromagnétique - plasma I.1 La neutralité électrique du plasma se traduit par la nullité de la charge volumique , elle-même fonction de la densité volumique et de la charge des différents porteurs. Il vient ainsi = ni × p e + ne × (-e) = 0 d'où ni p = ne I.2 En négligeant la force magnétique de Lorentz et toute interaction entre porteurs de charge, la relation fondamentale de la dynamique, appliquée aux ions et aux électrons, donne les équations du mouvement - - vi = peE mi t - m v e = -e- E e t D'après ces équations, les porteurs de charge sont accélérés dans la direction - e du x champ électrique. Avec des vitesses initiales nulles, le déplacement des ions comme des électrons se fait alors exclusivement selon - ex , dans la direction du champ électrique. On rappelle pour la suite les équivalents complexes des opérateurs de dérivation pour une onde plane progressive harmonique en convention e i t - - i et -i k t En accord avec l'énoncé, aucune distinction de notation ne sera faite entre une grandeur réelle et sa notation complexe. I.3 En régime sinusoïdal forcé, la notation complexe permet de déduire des équations du mouvement des ions et des électrons ( - mi × i - vi = p e E - me × i - v e = -e E pe - v i = -i mi e - ve = i me soit - E - E Le vecteur densité de courant électrique - s'exprime en fonction de la densité volumique, de la charge et de la vitesse des différents porteurs selon - = ni × p e × - v i + ne × (-e) × - ve - - = n e × (v - v ) e d'où i - = -i ne e e 2 1 1 + me mi - E Les ions étant en pratique beaucoup plus massifs que les électrons, on a mi me . L'expression précédente se simplifie alors en 2 - -i ne e - E me Ainsi, seuls les électrons contribuent au courant dans le plasma. I.4 Les équations de Maxwell pour un plasma - div E = 0 - B - - rot E = - t - div B = 0 - E - - rot B = µ0 - + 0 t On en déduit avec la notation complexe - - -i k · E = - - -i k E = - - -i k · B = - - -i k B = électriquement neutre sont (Maxwell-Gauss) (Maxwell-Faraday) (Maxwell-flux) (Maxwell-Ampère) et l'égalité 0 µ0 = 1/c2 0 - -i B 0 1 c2 - - + iE 0 L'équation de Maxwell-Faraday donne donc - - - k E B = que l'on injecte dans l'équation de Maxwell-Ampère. En remplaçant par l'expression de - obtenue à la question précédente, il vient - - - i- i ne e 2 - k ( k E) = 2 - + E c 0 me - i p2 = 2 - + E c - - Avec k · E = 0 selon l'équation de Maxwell-Gauss, on peut développer le double produit vectoriel en - - - - - - - - - - k ( k E ) = k ( k · E ) - E ( k · k ) = -k 2 E pour trouver i i k2 - E = 2 c - - p2 + E qui donne la relation de dispersion après simplifications : k2 = 2 - p2 c2