X Physique MP 2007

Thème de l'épreuve Quelques aspects de la fusion contrôlée par confinement magnétique
Principaux outils utilisés magnétostatique, électrostatique, mécanique du point, mouvement de particules chargées
Mots clefs fusion, confinement magnétique, tokamak, critère de Lawson

Corrigé

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP CONCOURS D'ADMISSION 2007 COMPOSITION DE PHYSIQUE (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve. *** Quelques aspects de la fusion contrôlée par confinement magnétique La réaction de fusion qui semble techniquement la plus réalisable correspond a la fusion de deux isotopes de l'hydrogène, le deutérium (D) et le tritium (T). Cette réaction s'écrit : ÎD +'Ï' T --> âHe + 77. avec l'énergie libérée Ef : +17, 6 MeV . Les produits de la réaction sont des particules alpha (noyaux d'hélium 4) et des neutrons. La fusion nécessite une température élevée : les atomes sont alors entiérement ionisés, et pour décrire l'état de la matière on parle d'état plasma. Ce plasma est enfermé dans une << boite >> spéciale, appelée tokamak, au moyen d'un champ magnétique. Après une brève étude cinématique de la réaction (partie l), on présente une modélisation de la distribution de pression dans le tokamak (partie 11). Dans la partie 111, une des techniques utilisées pour chauffer le plasma est analysée. Enfin, la partie IV étudie le problème du confinement des particules chargées par un champ magnétique. Les quatre parties sont indépendantes. Données numériques : masses du proton et du neutron mp : mn : 1, 67 >< 10_27 kg masse de l'électron mEUR : 9,1 >< 10_31 kg charge élémentaire e = 1, 6 >< 10_19 C constante de Boltzmann kB : 1, 38 >< 10_23 J - K_1 perméabilité magnétique du vide ...) : 47r >< 10_7 H - m--1 Formulaire : Composantes du gradient en coordonnées cylindriques (T, 9, z) : _ 3 1 3 Ô -- (av ?Æ' &) Courbe 3D : 5 abscisse curviligne, Î vecteur unitaire tangent, ñ vecteur unitaire normal principal, R rayon de courbure : dj _ ; . d_ï _ ds ' ds ml31 I. Cinématique de la réaction On suppose que toute l'énergie libérée par la réaction de fusion se transforme en énergie cinétique des particules créées, et on néglige les énergies cinétiques des particules incidentes. 1. Calculer en eV l'énergie cinétique du neutron et celle de la particule alpha. 2. Calculer leurs vitesses respectives. II. Pression et densité du plasma Dans cette partie, on suppose le plasma composé uniquement d'ions deutérium et d'électrons, confinés dans le tokamak par le champ magnétique B. Chacune des deux espèces est traitée comme un gaz. 1. On note ne la densité volumique d'électrons, pe leur masse volumique et 178 leur vitesse moyenne. De même, on note 7749 la densité volumique d'ions, pp leur masse volumique et 17 D leur vitesse moyenne. Ecrire la densité locale de courant électrique j en fonction des paramètres. 2. On considère que le plasma est localement électriquement neutre en tout point. On note P la pression totale a l'intérieur du plasma, & priori non uniforme. (a) Préciser les diverses densités volumiques de force agissant dans le plasma; en déduire l'équation satisfaite par le plasma en régime permanent. (b) Montrer que les lignes de courant et les lignes de champ magnétique sont isobares. 3. Le plasma circule a l'intérieur d'un cylindre d'axe z'z, de rayon &, pour lequel on choisit les coordonnées cylindriques (p, 90, z) adaptées (figure 1); un solénoïde crée un champ magnétique (0, O, BZ) uniforme dans le cylindre. Cet ensemble constitue un modèle simplifié du tokamak. F igurc ] (a) (b) (0) On suppose la densité de courant j : jzë'z uniforme. Déterminer le champ magnétique additionnel créé par ce courant. En déduire, avec ces hypothèses, le profil de pression P(p) a l'intérieur du cylindre, la pression devenant nulle a la paroi p = a. La valeur caractéristique du champ magnétique généré par le solénoïde est BZ : 4 T, et la composante additionnelle créée par j est de l'ordre de 10% de BZ en p = &. Calculer la pression sur l'axe du cylindre (p = O). 4. On suppose que chaque espèce chargée se comporte comme un gaz parfait monoatomique. (a) (b) On a obtenu par chauffage la température T telle que k3T : 10 keV sur l'axe du cylindre. Calculer T en Kelvin. Évaluer la densité volumique d'ions correspondante. La condition a satisfaire pour que l'énergie produite par les réactions de fusion soit supérieure a l'énergie consommée par le tokamak est le << critère de Lawson >> reliant la densité volumique nD d'ions, leur température T et leur durée de confinement T; numériquement TnD(ÎÇBT) > 1021 keV - m_3 - s. Avec les valeurs numériques précédentes, évaluer la durée minimale de confinement nécessaire pour que le critère de Lawson soit vérifié. III. Chauffage du plasma Pour réaliser la fusion, il faut une température très élevée. Nous allons étudier une des techniques de chauffage utilisées. 1. Dans un plasma, une onde longitudinale de pression (du type onde << sonore >>) est souvent accompagnée d'un champ électrique longitudinal, ce type d'onde, sans champ magné-- tique, est appelée << onde électrostatique >>. Soit une telle onde plane, donnée par son potentiel  : --0 cos(wpfi -- ÎEUROE). On notera CCI) la célérité de l'onde. Le choix des origines est tel que q0 > 0. (a) (b) (0) Dans le référentiel galiléen R du laboratoire, écrire l'équation du mouvement d'une particule chargée, de coordonnées (a:, y, z), en présence de cette onde. A l'aide d'un changement de référentiel adéquat, ramener cette équation a l'équa-- tion du mouvement dans un champ de forces indépendant du temps. En déduire une constante E du mouvement, correspondant a l'énergie dans le nouveau référentiel R'. Préciser dans R' les types de mouvement possibles et décrire les différentes formes du portrait de phase auxquelles elles correspondent. Préciser en particulier les équations des courbes qui séparent dans le plan de phase ces divers types de mouvement, on posera 5 : 20 / m. Montrer au moyen du portrait de phase que les particules dont les vitesses initiales selon a: dans R sont comprises dans l'intervalle ]c$ -- 5, c@ + 5[ peuvent être << piégées >> par le champ électrique. Montrer que pour une particule piégée, la valeur moyenne de la composante % de sa vitesse dans R, sur un temps suffisamment long, est égale a C@. 2. On considère a présent une population de particules chargées. A l'instant initial t = 0, leur répartition spatiale est uniforme, et leurs vitesses suivant l'axe a: sont distribuées selon une gaussienne : la probabilité pour que % soit dans l'intervalle [v...voe + dvoe] est p(voe)dvoe : A(T) EURXp(--MUî/2k3T)dvoe, où T désigne la température. (a) Tracer l'allure du graphe de la fonction p(voe). (b) On << allume >> a t = 0 l'onde électrostatique (1). On rappelle que la température est proportionnelle au carré de la vitesse quadratique moyenne. On suppose que 5/c® est petit devant un. En exploitant l'allure du graphe de p(voe) au voisinage de c@, expliquer qualitativement pourquoi le piégeage des particules par l'onde chauffe le plasma. (c) Pour quelle valeur de CCI) arrive--t--on a réchauffer le plus de particules ? IV. Confinement magnétique 1. On considère une particule de charge q évoluant dans un champ magnétique indépendant du temps. On note EUR... @, 52 les vecteurs unitaires d'un triédre trirectangle direct Oa:yz de référence. (a) Comment évolue l'énergie cinétique de la particule ? (b) On considère un champ magnétique uniforme B : Bë'Z avec B > 0. Déterminer le mouvement de la particule avec les conditions initiales F(O) = 0 et vitesse ü(0) = uîê'oe + uzê'z. Préciser la pulsation Q et le rayon TL de giration. (c) Les ions et les électrons ont une énergie d'agitation thermique de l'ordre de 10 keV. Donner l'ordre de grandeur de Q et de TL pour les ions puis pour les électrons avec B = 4 T. (d) Dans le plan oeOy, en assimilant le mouvement d'une charge a une spire7 montrer que le moment magnétique associé s'écrit [[ : --,uë'z avec ,u : quî/2Q où ul : HÜlH, ül étant la vitesse dans ce plan. 1 (e) Evaluer l'énergie cinétique transverse îmuî en fonction de [[ et B. 2. On considère maintenant un champ magnétique non uniforme B : B(a:, y, z)Ë, avec HËH : 1 et HBH : B de l'ordre du Tesla. On suppose que le champ varie très peu) en valeur relative, sur des distances de l'ordre de TL. Le mouvement d'une particule de charge q comprend alors un mouvement de giration << rapide >> orthogonal localement a B et un mouvement << lent >> de vitesse Ü . On admet que le mouvement lent est celui d'un système de vitesse Ü, portant une charge q et un moment magnétique [[ : --uË. (a) La force s'exerçant sur un dipôle magnétique [[ s'écrit 13 _ - aË * aË * 35 Pour [[ : --uË, montrer que cette force s'écrit également B : --,uYB . (b) On effectue l'hypothèse que Ü est parallèle a B, soit Ü : UHË. Donner l'équation différentielle que doit satisfaire Ü . (EUR) On désigne par K l'énergie cinétique associée au mouvement lent. dK dB M t -- -- = 0. on rer que dt + ,u dt . n df 6577 On rappelle que pour toute fonction f(r(t)) : Æ : Æ - f. Soit fÜÎL la vitesse du mouvement de giration. On admet que ,a est donné par la même expression qu'en 1.d. Effectuer un bilan global d'énergie cinétique et en déduire que ,a est une constante. L'hypothèse effectuée en 2.b est une excellente approximation. Cependant, l'équation du mouvement ne peut être satisfaite en général que si Ü comporte une composante Ül orthogonale a Ë . Compléter alors l'équation du mouvement obtenue en 2.b pour en tenir compte. En déduire, en supposant les variations temporelles de Ül négligeables, que Ül est donné par : Un2 UL 5Añ+LäAvüa (1) _ QR mQ où R est le rayon de courbure de la ligne de champ et 753 le vecteur normal unitaire. --» dU Indication : on calculera () /\ -- et on utilisera l'expression de Q obtenue en 1.b. dt 3. Pour confiner les particules chargées composant le plasma, une idée naturelle est de fermer les lignes de champ. Dans ce but on utilise un solénoïde torique. On utilisera les coordonnées cylindriques (7°, 9, z) de la figure 2. F figure 2 (a) Soit N le nombre total de spires; calculer le champ magnétique créé par le solénoïde lorsqu'il est parcouru par un courant continu d'intensité ] . (b) Expliciter les deux termes dans l'expression (1) donnant Ül en fonction de K H et K L, contributions de U H et ul a l'énergie cinétique en notant oz : qu0NI/27r; expliquer pourquoi un tel champ ne peut confiner les particules indéfiniment. (c) Ecrire les équations du mouvement d'une particule chargée de coordonnées (739,2) dans ce champ magnétique torique. (d) Montrer que l'équation correspondant a 59 conduit après intégration a une relation qui exprime la conservation d'une grandeur physique que l'on précisera. (e) Montrer qu'après une intégration de l'équation correspondant a é}, on peut se ramener dans une seconde étape a une intégrale première du mouvement ne portant que sur 7". A la conservation de quelle grandeur physique correspond--elle ? (f) Dans le cas particulier où les particules circulent a 7" constant, retrouve--t--on la direc-- tion de UL donnée en 2.f? 4. Un courant de densité je (sur la direction orthoradiale 59) est généré a l'intérieur du tore. On suppose que le << rapport d'aspect >> RC/a est grand devant 1, RC étant le rayon moyen du tore et a le rayon de sa section (figure 2). On assimile localement le tore a un cylindre, et on suppose pour une approche qualitative que je est uniforme. (a) Dans ces approximations, donner sans calculs la forme des lignes de champ a l'intérieur du solénoïde. (b) Dans cette configuration, le confinement des particules est--il amélioré? on demande un argument qualitatif.

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 X Physique MP 2007 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Julien Dumont (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE). Cette épreuve porte sur le confinement magnétique d'un plasma tel qu'il est mis en oeuvre dans les réacteurs de fusion de type tokamak. Le problème forme un ensemble cohérent et logique où après la réaction de fusion elle-même, les trois aspects du critère de Lawson (densité, température, durée de confinement) sont analysés. · Dans la première partie, on caractérise rapidement la réaction de fusion de l'hydrogène. C'est une partie assez simple si l'on pense à utiliser les relations de conservation. · La deuxième partie étudie l'équilibre mécanique du plasma soumis aux forces magnétique et de pression. Ayant calculé la densité particulaire au coeur du réacteur, on peut en déduire la durée minimale de confinement. · Une troisième partie s'intéresse au réchauffement du plasma par effet Landau. Il s'agit d'expliquer comment une onde électrostatique peut augmenter l'agitation thermique d'un plasma. · La quatrième partie envisage enfin le confinement magnétique proprement dit. Pour cela, on analyse préalablement le mouvement cyclotronique d'une particule chargée dans un champ magnétique uniforme, puis l'on dégage le problème de la dérive lente dans un champ faiblement non uniforme. Les concepts physiques mis en jeu dans ce problème sont relatifs à l'électrostatique, à la magnétostatique, à la mécanique du point, à quelques points de la thermodynamique et appartiennent presqu'exclusivement au programme de première année. Les calculs des quatre parties sont indépendants. Il s'agit dans l'ensemble d'un problème long et difficile mais bien adapté au niveau du concours. Quelques questions sont proches du cours (calculs de champ magnétique, mouvements d'une particule chargée, portrait de phase) et se doivent d'être très soignées. D'autres, moins abordables et parfois sans calculs, permettent de faire la différence. Indications Première partie I.1 Traduire conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement. Le noyau d'hélium 42 He comporte 2 protons et 2 neutrons. Deuxième partie - -- II.2.a L'expression volumique de la force de pression est dFp = - grad P dV. II.3.b Utiliser la question II.2.a en prenant en compte le champ total. II.4.a Que dire des densités volumiques nD et ne ? III.1.a III.1.b III.1.c III.1.d III.2.b III.2.c Troisième partie -- - Noter qu'on a E = - grad . L'onde électrique se propage à la vitesse c - ex dans R avec c = 1 /k. Tracer E en fonction de x , identifier les positions d'équilibres stables et le maximum d'énergie potentielle. Distinguer la nature de la trajectoire en fonction de la position de E par rapport à ce maximum. Justifier que l'énergie cinétique initiale d'une particule piégée dans R est au plus 2q0 . Écrire vx = c + vx et Z 1 t vx (u) du hvx i = t 0 Distinguer les particules des intervalles ]c - , c [ et ]c , c + [. Ces particules sont-elles accélérées ou ralenties lors du piégeage ? Quelles particules participent le plus à la définition statistique de T ? Quatrième partie - IV.1.b Projeter le principe fondamental de la dynamique dans la base (- ex , - ey , ez ) et découpler les équations selon x et y. IV.1.c La masse des ions est de l'ordre de mn . IV.1.d Considérer que l'intensité du courant est i = q/T où T est la période du mouvement de giration. - IV.2.b Écrire le principe fondamental de la dynamique avec la vitesse - u + U et - simplifier en considérant, notamment, que u vérifie la même équation du mouvement qu'à la question IV.1.d. - - ds IV.2.f Utiliser le formulaire avec b = t et = U|| pour montrer dt - U||2 - dU - - b b n dt R IV.3.b Que valent R et - n ici ? Remplacer , µ et B par leurs expressions. - IV.3.d Montrer qu'il s'agit de la composante selon - ez du moment cinétique L O . - - IV.3.e Montrer qu'il s'agit de la composante selon - ez de m- u + q A où A est le potentiel magnétique. IV.3.f Utiliser l'équation selon - er . IV.4.b Le mouvement des particules le long des lignes de champ se fait alternativement au-dessus et au-dessous de la génératrice du solénoïde torique. Quelques aspects de la fusion contrôlée par confinement magnétique I. Cinématique de la réaction I.1 Les énergies cinétiques Kn du neutron et K de la particule alpha proviennent de l'énergie Ef libérée lors de la fusion. Par conséquent Ef = Kn + K () Comme on a négligé leurs énergies cinétiques, les particules incidentes sont supposées quasi immobiles et la conservation de la quantité de mouvement s'écrit - 0 =m - v + m - v n n Les vitesses des particules créées sont opposées et leurs normes vérifient mn v n = m v 1 En termes d'énergie cinétique K = mv 2 , cela conduit à 2 mn K n = m K On obtient alors facilement, à partir des relations de conservation () et () m Kn = m + m Ef = 14,1 MeV n mn K = Ef = 3,52 MeV mn + m () avec m = 2mp + 2mn 4mn pour la particule , noyau d'hélium 42 He, qui comporte deux protons et deux neutrons. I.2 Avec 1 eV = 1,60.10-19 J, on déduit des valeurs numériques précédentes r 2Kn v = = 5,19.107 m.s-1 n mn r v = 2K = 1,30.107 m.s-1 m La particule la plus lègère est bien la plus rapide. Les vitesses évaluées sont cependant proches de la célérité c de la lumière. Pour une étude plus fine dans le formalisme de la relativité restreinte, il conviendrait d'écrire la quantité de mouvement et l'énergie cinétique sous la forme (- p = m- v 1 où = p 2 1 - v 2 /c2 K = ( - 1)mc Avec v 2 c2 , des développements limités aux ordres les plus bas non nuls conduisent aux expressions utilisées en mécanique newtonienne 1 - p = m- v et K = mv 2 2 Par ailleurs, l'énergie libérée Ef provient d'une variation de la masse, donc de l'énergie de masse mc2 , des particules réactives. En suivant le bilan réactionnel de fusion, on obtient Ef = (mn + m - mD - mT ) c2 et la relation () traduit la conservation de l'énergie totale E = mc2 + K. II. Pression et densité de plasma - = P n q - II.1 Le vecteur densité de courant électrique s'écrit i i vi . Cela donne i - - = e nD - v D - ne v e où la charge de l'ion deutérium est nécessairement +e puisque l'atome de deutérium 21 D est un isotope de l'hydrogène et ne possède qu'un électron. II.2.a Comme le plasma est localement neutre, la force électrique n'intervient pas. Les actions mises en jeu sont la force magnétique, dite de Laplace, et la force de pression. Pour un élément de volume dV, elles s'écrivent - - -- - dF = - dV B et dF = - grad P dV m p L'équilibre des forces en régime permanent donne -- - grad P = - B L'expression volumique générale de la force de pression peut se déduire de sa restriction unidimensionnelle vue en première année sur un élément de volume dV = S dz d'atmosphère -- - dP dFp = - S dz - ez = - grad P dV dz ou bien de la formule du gradient pour un volume V quelconque ZZ ZZZ -- - - Fp = - P d S sortant = - grad P dV S V II.2.b Une ligne de courant et une ligne de champ magnétique sont respectivement - tangentes en tout point aux vecteurs - et B . On les caractérise par - - - - - - d = 0 et B d = 0 Le résultat de la question précédente et les propriétés du produit mixte permettent par ailleurs d'écrire -- - - - - - grad P · d = - - d · B = B d · - Dans les deux cas, on aboutit à -- - dP = grad P · d = 0 qui caractérise le fait que Les lignes de courant et les lignes de champ magnétique sont des isobares. II.3.a Le plan (M, - e , - ez ) est un plan de symétrie vis à-vis de la densité de courant - = jz - ez , par conséquent le champ additionnel (le champ magnétique est un vecteur axial) lui est perpendiculaire. La densité de courant - est invariante par rotation d'angle et par translation selon z donc le champ additionnel ne dépend que de . Au total, le champ magnétique additionnel s'écrit nécessairement - B = B () - e a a x I - O z - e - e y