X Physique MP 2002

Thème de l'épreuve Mesure de l'activité sismique d'une étoile par interférométrie
Principaux outils utilisés optique ondulatoire
Mots clefs sismologie stellaire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP CONCOURS D'ADMISSION 2002 PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve. *** Mesure de l'activité sismique d'une étoile par interférométrie Le dispositif étudié constitue un interférométre compact dédié à l'étude sismique de sources stellaires. Le principe proposé, un peu moins efiîcace qu'un spectromètre a réseau, conduit à un instrument bien moins encombrant et bien moins coûteuoe. Le principe de l'interférométre est analysé, ainsi que son installation au foyer d'un télescope et son fonctionnement dans des conditions d'observation réalistes. On suppose, dans tout le problème, les optiques idéales : lentilles parfaitement transparentes, miroirs totalement réfléchissants, lames semi-réfléchissantes divisant le faisceau incident en deus: faisceauæ d'intensités lumineuses égales. Un soin tout particulier devra être apporté aus: applications numériques. Grandeurs physiques Vitesse de la lumière : c = 3,00 >< 108 m s"1 Constante de Boltzmann : kB = 1, 38 >< 10"23 J K"1 Constante des gaz parfaits : R = 8, 31 J K_1 mol"1 Masse de l'atome d'hydrogène : mH = 1, 67 >< 10_27 kg Masse molaire de l'hydrogène atomique : M H = 1 g mol"1 I - Interférométrie Dans tout ce qui suivra on notera o le nombre d 'onde, & savoir l'inverse de la longueur d'onde À. On eæprz'mera ce nombre d'onde en m_1. 1. La figure 1 correspond au (2) montage de principe d'un interfé-- /ZZZZZZZZZZZZZZZ romètre de Michelson. Les miroirs sont réglés de telle façon que l'on observe des anneaux d'interférence circulaires sur l'écran E placé dans Source | _____________ (_! _______ le plan focal de la lentille L, de ,' . . / d1stance focale 1mage ]" . ,/ 'SRl l I l | I | | l &) Quel est le rôle de la lame semi--réfléchissante S R? Quel est celui de la lentille L ? Lé--I--è | | : 0 b) Montrer qu'avec ce mon-- : F ' E tage la moitié du flux incident est irrémédiablement perdue. F igure 1 2. La différence de marche, différence entre les deux chemins optiques pour un rayon entrant perpendiculairement au miroir (1), est notée D; pour un rayon entrant avec une inclinaison @, on rappelle que la différence de marche est alors donnée par 5 = D cos i. &) L'interféromètre est éclairé par une source étendue, supposée strictement monochroma-- tique de nombre d'onde 00. On suppose la tache centrale en F' brillante. Exprimer le rayon r1 du 1er anneau sombre, en fonction de (70, D et f' . Faire un schéma de ce que l'on observe sur l'écran. b) La source est l'image d'une étoile, telle celle fournie par un télescope. Cette image est étalée par la diffraction mais surtout par la turbulence atmosphérique, ce qui donne des rayons entrant dans l'interféromètre d'inclinaisons diverses mais faibles. Quelle est la figure d'interférence observée en fonction de D en présence d'un filtre interférentiel qui sélectionne une très étroite bande passante autour d'un nombre d'onde oo donné. 3. On éclaire l'interféromètre par une source monochromatique, de nombre d'onde (70. Un détecteur est placé au foyer F ' de la lentille L. Ce détecteur délivre un signal S(D), proportionnel à l'intensité lumineuse au point F ' . Oe signal sera appelé dans la suite interférogramme. Il dépend de la différence de marche D. &) Montrer que S(D) est donné par : S(D) : S0(1 + cos 27rooD). Que représente SO ? b) Quelle est la période de l'interférogramme ? 4. On illumine l'interféromètre par une source présentant un doublet de nombres d'onde 01 et 02 voisins. Chacune des raies est supposée monochromatique et leurs intensités sont égales. &) Déterminer l'expression de l'interférogramme S (D) correspondant. Mettre en évidence deux périodes caractéristiques dans S (D) b) Application numérique : Représenter l'allure de l'interférogramme pour le doublet du sodium : À1 = 589,0 nm et À2 = 589, 6 nm. II - Interférogramme d'une raie élargie 1. On suppose maintenant que le profil spectral de la source n'est plus monochromatique mais possède une largeur Aa. On désigne par" L," l'intensité spectrale : dans l'intervalle [a, a+da] l'intensité émise est la da. On admettra que les rayonnements correspondant a chaque intervalle de largeur da sont incohérents. On notera IO l'intensité lumineuse totale de la raie. 10 est donc donnée par la somme des intensités de chaque intervalle : 00 10 = / Ia dU". 0 Dans la suite, on prend 10 de la forme : I A [(,--(0) = A--Îÿ' s1 |o--ool \ % A L,(0) = si |a--00\ > --2--" a) Montrer alors que le signal détecté est donné par : S (D) = SO(1 +v cos 27T00D) et expri-- mer la fonction de visibilité des franges ?) en fonction de D et A0. Représenter schématiquement la fonction v(D). b) Quelle est la plus petite valeur DAG de D qui annule la fonction de visibilité ? 2. On illumine l'interféromètre avec une source stellaire via un filtre de bande passante [01,02] sélectionnant une raie en absorption (fi-- gure 2). Cette raie d'absorption (profil grisé sur] la figure 2) est suffisamment étroite pour être considérée comme monochromatique. On note IC l'intensité totale au travers du filtre (sans absorption) et la l'intensité totale absorbée. &) Montrer que, d'après la question pré- cédente, on peut négliger dans le signal interfé-- rométrique tout terme interférentiel associé au 01 00 02 (, spectre large délimité par le filtre si D est suffi- samment grand, en supposant valables les résul-- Figure 2 tats établis précédemment sur le profil de raie idéalisé. b) En déduire que l'interférogramme s'écrit : S(D) = SC(1 + Ccos 27r00D) où SC est proportionnel à IC. Exprimer le contraste de franges C en fonction de ]C et la. III -- Élargissement et décalage possibles des raies spectrales. Évaluation de la différence de marche optimale Une cause possible d'élargissement ou de dé-- calage (en nombre d'onde) d'une raie spectrale est associée au mouvement relatif de la source et --» de l'observateur (effet Doppler). Soit 1/0 la fré-- quence d'émission d'une source au repos. Dans tout ce qui suit, lorsque la source (S) se dé-- place à la vitesse relative Y par rapport à l'ob-- 9 servateur (0), on admettm que celui--ci reçoit un rayonnement de fréquence V donnée (pour (5) (O) V/C << 1) par : Figure 3 Vcos9 V--I/0=V0 C où 6 est la vitesse de la lumière, V : HYH et 9 l'angle entre la direction de propagation et V (figure 3). Nous examinons dans la suite diverses conséquences de cet effet Doppler sur l'inter-- férogramme. 1. À la surface d'une étoile, les atomes (majoritairement de l'hydrogène) sont supposés former un gaz parfait à l'équilibre thermodynamique de température T. a) Quelle est la vitesse quadratique moyenne VT d'un atome de cette étoile '? b) La dispersion des vitesses entraîne par conséquent un élargissement AaK de la raie symétrique autour de la valeur 00. Donner l'ordre de grandeur de AaK en fonction de (70, VT et e. c) Application numérique : Évaluer AaK pour T = 6000 K et 00 = 2 >< 106 m_1. 2. La rotation de l'étoile est aussi un paramètre dont il faut tenir compte. On note ib l'angle entre la direction de visée et l'axe de rotation stellaire. a) Pour quelle valeur de @ l'influence de la rotation sur la largeur de raie sera--t--elle nulle '? maximale ? Dans ce dernier cas, expliquer qualitativement pourquoi la rotation de l'étoile, phénomène parfaitement déterminé, conduit a un élargissement de la raie d'émission analogue à celui associé aux mouvements erratiques des atomes et analysé dans la question précédente. b) Toujours dans le cas d'une influence maximale de la rotation, évaluer la contribution de la rotation stellaire Aar0t a la largeur de raie en fonction de la vitesse équatoriale de rotation VI... de la surface de l'étoile. Pour quelle vitesse équatoriale de rotation ce dernier terme est-il comparable à AaK ? c) Application numérique : dans ce dernier cas, calculer V...t pour une étoile dont la tem- pérature de surface est T 3 = 6000 K. 3. On désire utiliser l'interféromètre comme sismomètre pour détecter les mouvements oscil- latoires de la surface stellaire. Une oscillation sismique est assimilée à une variation Av(t) de la vitesse apparente vers l'observateur de l'ensemble de la couche externe de l'étoile. On suppose cette variation sinusoïdale, d'amplitude AV, de pulsation au. Le spectre d'émission et d'absorp-- tion de l'étoile est celui de la question II.2. Cette utilisation ne requiert que l'enregistrement de l'interférogramme pour une valeur optimisée de la différence de marche notée DO. En l'absence de signal sismique, l'interférogramme est S (DO) de II.2.b). &) Montrer qu'à l'instant t, l'interférogramme peut être mis sous la forme : S(D0) = Sc[1 + Ccos(27moDo + 90)] où g0 est le déphasage de l'interférogramme donné par l'expression : Av(t) C QD : 27TO0D0 b) Montrer que cette relation implique, pour une détection optimale, le choix d'une diffé-- rence de marche DO la plus grande possible. Comparer cette nouvelle condition a celle trouvée à la question 11.1 et en déduire un ordre de grandeur de la différence de marche optimale pour une étoile de température T0, en supposant négligeables les effets de rotation. c) Montrer alors que le principe instrumental conduit à mesurer un déphasage go d'ampli-- AV tude de l'ordre de --. VT 4. Au décalage Doppler sismique du spectre stellaire, enregistré sur une nuit entière, se superposent diverses contributions. Estimer succinctement l'influence du mouvement de rota-- tion de la Terre pour une observation menée dans un observatoire situé a la latitude À. L'am-- plitude et la pulsation de l'oscillation sismique sont typiquement de l'ordre de 10 cm 8"1 et 10"2 rad s--1. IV - Amélioration du montage interférométrique 1. Un montage plus efficace que le montage \ de principe de type Michelson est proposé sur la \ figure 4. Il reçoit un faisceau de lumière parallèle SOUTCEUR monochromatique. Il permet de récupérer le flux total incident en utilisant deux détecteurs placés aux deux sorties possibles des faisceaux (1) qui interférent. &) On suppose que le premier détecteur délivre un interférogramme : 50 S1 : --(1+Ccosrb) . 2 52 Figure 4 En admettant que les pertes d'énergie lumineuse dans l'appareil sont négligeables, déduire la forme de l'interférogramme 82 délivré par le second détecteur. b) Montrer comment une combinaison de S1 et de S2 permet d'avoir directement accès au terme de modulation interférométrique C' cos @. c) Montrer que la recombinaison géométrique des faisceaux sur la deuxième lame semi-- réfléchissante suppose la symétrie du montage, et donc une observation à. différence de marche nulle. Cela est--il intéressant pour l'observation sismique stellaire discutée plus haut ? 2. On interpose, contre l'un des miroirs, une lame de verre à faces parallèles, d'épaisseur uniforme e et d'indice n (figure 5). a) Montrer que, pour une incidence j cor-- """"" respondant à. un rayon réfracté repéré par l'angle 7°, la lame introduit une différence de marche qui s'exprime par : ..., mw...fi _ maman mnan D = 26 (n-- l) _ Figure 5 cosr 77. b) Application numérique : On cherche à imposer une différence de marche de 0,8 cm. Calculer l'épaisseur @ de la lame pour un verre d'indice n = 1, 55 et un angle d'incidence j de 45°. c) Par un schéma, montrer que ce montage optique permet alors la recombinaison exacte des faisceaux sur la Ze lame réfléchissante, tout en assurant une différence de marche non nulle. V - Effet de la turbulence atmosphérique 1. L'interféromètre reçoit le flux d'une étoile, objet à l'infini, collecté par un télescope. On sup-- pose le système optique du collecteur équivalent au montage de la figure 6. Ce montage est dit afocal : le foyer image de L1 est confondu avec le foyer objet de L2. La lentille L1 représente le miroir primaire du télescope, de diamètre @. La lentille L2 alimente l'interféromètre : le flux issu de L2 est divisé par la première lame semi-- réfiéchissante de la figure 4. F igure 6 &) Justifier l'intérêt de ce montage afocal pour alimenter l'interféromètre. b) Exprimer le grandissement angulaire G en fonction des distances focales images f{ et fé des lentilles L1 et L2. c) Déterminer la taille () du faisceau en sortie du collecteur, en fonction de G et du diamètre a du collecteur. En déduire le diamètre minimal des pièces optiques de l'interféromètre. Le calculer pour a = 3, 30 m et G = 165. 2. La tache image de l'étoile n'est en fait ni limitée par la seule diffraction du collecteur, ni stable. La turbulence de l'atmosphère terrestre dévie et étale le faisceau stellaire incident. On s'intéresse principalement à la déviation atmosphérique du faisceau incident, notée io, et l'on suppose la source toujours ponctuelle. &) Déterminer l'angle i sous lequel l'interféromètre voit les rayons d'une source stellaire, en fonction de io et du grossissement G (grandissement angulaire) du télescope collecteur de lumière. b) Estimer la différence de marche D(i), en fonction de la différence de marche sous incidence nulle D0 et de l'angle i. c) Exprimer la condition sur l'inclinaison maximale admissible dans l'instrument, pour que les fluctuations en différence de marche restent inférieures à une fraction oz de longueur d'onde. (1) Application numérique : On fixe oz au plus égal à 5% ; pour des conditions de turbulence moyenne io : 1" ; on donne DO : 0,8 cm et 00 = 2 >< 106 m_1. Estimer le grossissement G maximal. 3.a) Montrer que la turbulence conduit a une mesure de vitesse parasite 5v telle que : 57) 1 -- = --752 . c b) Application numérique : Calculer 51} pour io : 1" , et un grossissement G égal à 165. L'instrument est conçu pour la mesure de vitesses sismiques dont l'amplitude est de l'ordre de 10 cm s"1. Est-il nécessaire de prévoir, pour alimenter l'interféromètre, un dispositif corrigeant les fluctuations dues à la turbulence atmosphérique ?

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 X Physique 1 MP 2002 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jean-Julien Fleck (ENS Ulm et Institute for Astronomy, Hawaii) ; il a été relu par Benoît Lobry (professeur en CPGE) et David Chapot (ENS Lyon). Ce sujet est constitué de cinq parties largement indépendantes et portant toutes sur le phénomène d'interférences ainsi que ses applications en astronomie. Le problème dans son ensemble s'attache à étudier un outil de l'astronomie moderne dont le principe repose sur l'interférométrie afin de tenter de mesurer les phénomènes d'oscillations sismiques à la surface des étoiles. · La première partie rappelle le principe de l'interféromètre de Michelson et établit des résultats utiles pour la suite. · Dans la seconde partie, on étudie l'interférogramme de sources à spectre large. · Dans la troisième partie, on considère l'élargissement des raies par effet Doppler que l'on utilise pour la mesure de l'activité sismique d'une étoile. · Dans la quatrième partie, on essaie d'améliorer le dispositif interférométrique en récupérant notamment la totalité de l'influx lumineux incident. · Enfin, la cinquième et dernière partie traite des effets de la turbulence atmosphérique et conclut à la nécessité d'un dispositif correcteur qui pourra peutêtre faire l'objet d'un prochain problème. . . Ce sujet permet une révision complète des notions d'interférométrie et d'une partie du fonctionnement d'un interféromètre de Michelson. Il est bien construit et peut permettre aux candidats de briller par leur culture en astronomie. . . Indications Partie I I.2.a Supposer que la source est située dans le plan focal de la première lentille et envoie donc des faisceaux parallèles d'inclinaison variable dans l'interféromètre. I.3.a L'intensité que l'on perçoit d'une onde lumineuse est égale à la moyenne temporelle du carré de son amplitude. L'amplitude totale du faisceau lumineux à la sortie est égale à la somme des amplitudes des ondes passées par les deux voies de l'interféromètre. I.4.a Des faisceaux de nombres d'onde différents n'interfèrent pas. Leurs interférogrammes s'ajouttent. Partie II II.1.a Considérer le signal produit par chaque nombre d'onde et sommer (intégrer) sur l'ensemble comme à la question I.4.a. II.2.b L'absorption atomique est proportionnelle à l'intensité incidente. Partie III III.1.a L'hydrogène atomique est un gaz parfait monomoléculaire. Son énergie interne vaut donc U= 3 N kB T 2 III.2.a Les étoiles sont-elles résolues en général ? En d'autres termes, peut-on différencier un rayon en provenance d'une extrémité de l'étoile d'un rayon issu de l'autre extrémité ? Conséquences ? III.4 Remarquer que les pulsations associées à la rotation de la Terre et à l'activité sismique de l'étoile diffèrent entre elle d'un facteur supérieur à 100. Partie IV IV.1.a Écrire la conservation de l'énergie lumineuse dans l'interféromètre. IV.2.a Faire un dessin précis et écrire que le chemin optique parcouru lors d'un trajet dans un milieu d'indice uniforme est égal au produit de la distance parcourue et de l'indice de ce milieu. Partie V V.2.b Considérer le cas de l'interféromètre initial. V.3.a Faire le lien avec la partie III : = D cos i Mesure de l'activité sismique d'une étoile par interférométrie I. Interférométrie I.1.a La lame semi-réfléchissante SR sépare le faisceau incident en deux faisceaux allant respectivement frapper les miroirs (1) et (2). Les faisceaux réfléchis sont alors recombinés par cette même lame et envoyés vers l'écran. La première lentille du dispositif sert à simuler une source à l'infini. Les faisceaux entrant dans l'interféromètre sont donc parallèles. L'énoncé n'est pas très précis sur ce point, la première lentille n'ayant même pas de nom. Ce n'est qu'après la lecture de la partie V que l'on sait exactement quel type de rayon entre dans l'interféromètre. En l'occurrence, le montage afocal transfome les faisceaux parallèles en provenance de l'étoile en d'autres faisceaux parallèles, justifiant ainsi le placement de la source dans le plan focal de la première lentille afin de simuler une distance infinie. L'extension de la source, quant à elle permet de modéliser l'influence des turbulences atmosphériques comme on le voit dans les questions suivantes. La lentille L focalise les faisceaux parallèles émergeant de l'interféromètre sur son plan focal image, à savoir l'écran, permettant ainsi l'observation des interférences à distance finie, chaque faisceau interférant en un unique point de l'écran. I.1.b La lame SR ne peut pas être semi-réfléchissante en sens unique. Ainsi, la moitié de l'énergie du faisceau réfléchi par le miroir (1) traverse SR en direction de la source. De même, la moitié du faisceau renvoyé par le miroir (2) se réfléchit sur la lame et est renvoyé vers la source. Il y a perte irrémédiable de la moitié du flux incident. La perte de signal est un problème majeur en astronomie. Lors de l'observation d'objets particulièrement peu brillants (typiquement de magnitude 19), même à l'aide du télescope Keck I (situé au sommet du Mauna Kea à Hawai'i (orthographe locale) et dont le miroir principal fait 10 mètres de diamètre), on ne peut se permettre de perdre le moindre photon ! La magnitude est une échelle logarithmique où une augmentation de cinq unités correspond à une puissance incidente 100 fois plus faible. Pour information, le Soleil est de magnitude -30 et Sirius, étoile la plus brillante du ciel, -1, 3. Ainsi, une étoile de magnitude 19 envoie un signal d'à peine 10-17 W.m-2 . Le capteur CCD doit donc être capable de mesurer un signal de moins de 10-15 W, ce qui correspond à moins de 200 photons par seconde. En comparaison, le Soleil nous envoie quelques 1022 photons par seconde et Sirius nous en envoie plus de 1010 . En cas d'absence d'autre étoile dans le champ de vue qui puisse permettre un suivi différentiel automatisé, il est donc nécessaire de corriger « manuellement » le déplacement de la cible afin que le spectromètre haute résolution HIRES puisse accumuler le plus d'informations possible pendant le temps d'exposition. La perte de la moitié du signal est donc une catastrophe à éviter ! I.2.a On suppose la source contenue dans le plan focal objet de la première lentille du dispositif interférométrique. Chaque point de la source produit donc après passage dans la lentille un faisceau parallèle d'inclinaison i. Cette configuration est nécessaire pour modéliser la réception d'informations d'une étoile, bien évidemment située à l'infini. Le point central, produit par les rayons entrant perpendiculairement au miroir (1) dans l'interféromètre, est supposé brillant : il y a interférences constructives. La différence de marche D introduite par le système optique est donc un multiple entier de la longueur d'onde. On a D = n 0 avec n Z Un faisceau entrant avec un angle d'incidence i dans le système n'interfère qu'à l'endroit où ses deux faisceaux images se recombinent : on parle de lieu de localisation des interférences. En l'occurrence, les faisceaux images sortant de l'interféromètre de Michelson sont parallèles et interfèrent donc à l'infini. La lentille permet l'observation de ces interférences sur l'écran, à une distance r du point central. On a donc la relation r tan i = f Pour un angle i petit, ce qui est toujours le cas puisqu'on se place implicitement dans les conditions de Gauss, i f0 r é ran r = f i L'interférence induite par l'appareil est destructive si la différence de marche, donnée par = D cos i, entre les deux faisceaux émergents est un multiple demi-entier de la longueur d'onde. Puisque l'on cherche le premier cercle sombre, on doit avoir 1 = n- 0 2 0 2 Avec le développement limité du cosinus pour les petits angles d'où D cos i = D - cos i = 1 - il vient d'où i2 = i2 2 0 1 = D 0 D f r1 = 0 D Sur l'écran apparaît une succession d'anneaux sombres et brillants à mesure que l'angle d'incidence des faisceaux augmente. Attention cependant, l'espacement entre deux anneaux consécutifs n'est pas constant. . . r1