X Physique MP 2000

Thème de l'épreuve Étude d'un propulseur électromagnétique
Principaux outils utilisés magnétisme (induction, théorème d'Ampère), mécanique, raisonnements énergétiques

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP CONCOURS D'ADMISSION 2000 PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve. *** Propulseur électromagnêtique L'objet de ce problème est l'analyse d'un propulseur électromagnétique capable d'accélérer de petites masses de l'ordre du gramme et de les éjecter à des vitesses supersoniques de l'ordre de plusieurs kilomètres par seconde. Dans la première partie, on en étudie le principe et on évalue les ordres de grandeur des paramètres cruciaux. La poussée sur le projectile est en fait exercée par un plasma; ses propriétés et son action sont analysées dans la seconde partie. Enfin, la troisième et dernière partie est consacrée à une étude dynamique sur un modèle électromécanique du système. Les trois parties sont largement indépendantes. Dans tout le problème, on se placera dans l'approximation des régimes quasi--permanents (A.R.Q.P.) . Données numériques Résistivité du rail (cuivre) PCu = 1, 72 >< 10"8 Qm Longueur du rail X = 3 m Distance entre les deux rails w = 0,013 m Hauteur effective des rails h = O, 040 m Résistance du rail par unité de longueur R' : 850 "Q m--1 Intensité initiale IO = 300 kA Inductance du circuit de stockage L0 = 22 ,uH Résistance du circuit de stockage R0 = 160 ,uQ Résistance du plasma Rp ': 500 #9 Conductivité électrique moyenne du plasma ap : 11,0 >< 103 Sm"1 Masse du plasma Mp : 0,1 >< 10"3 kg Masse du projectile M0 = 2,9 >< 10_3 kg Masse molaire du cuivre Mcu = 63, 5 >< 10_3 kg Constante des gaz parfaits R = 8, 31 J K"1 mol"1 Perméabilité magnétique du vide (et du plasma) ...) = 47r >< 10"7 Hm"1 Constante d'Avogadro NA = 6,02 >< 1023 molä1 Première partie Principe et ordres de grandeur A -- Un circuit électrique rigide est caractérisé par sa résistance R et son inductance L. Soit [(t) l'intensité du courant qui le parcourt. 1. Exprimer le flux magnétique @ propre à travers le circuit. En déduire la force électromo-- trice d'autoinduction. 2. Lors de l'établissement du courant de 0 à I(t), le générateur doit fournir, en plus de l'éner-- gie << dissipée >> par effet J oule, une énergie supplémentaire E... appelée << énergie magnétique >>. Exprimer E... en fonction de L et de I(t). F igu7'e 1 B -- Le circuit possède maintenant une partie mobile constituée d'un barreau pouvant glisser sans frottement le long de deux rails parallèles de direction OOE (fig.1). On désignera par :r son déplacement et par a': sa vitesse. L'inductance du circuit dépend alors de :L', soit L(a:). 1. Lorsqu'un courant électrique parcourt le circuit, le barreau se met en mouvement. Expli- quer brièvement pourquoi. 2. Exprimer a l'instant t la puissance fournie par le générateur en sus de celle dissipée par effet Joule. 3. Une partie de cette puissance correspond à la variation de l'énergie magnétique dE.../dt où E... est donnée par l'expression trouvée en A-2; l'autre partie est la puissance mécanique P...éca donnée au barreau. Exprimer Pméca en fonction de I (t), dL/doe et d: . . . 1 dL 4. En déduire que la force qui s'exerce sur la barreau a pour express1on : F : 512d--. oe C -- On désire évaluer un ordre de grandeur de l'inductance par unité de longueur des rails L' = dL/dæ. Figure 2 1. On considère d'abord deux plans conducteurs infinis, parallèles au plan oeOy et espacés de w (fig.2). Ils portent chacun une densité surfacique de courant uniforme, jse_£ pour le plan z = w/2 et -- jsËË pour l'autre en z : --w/2. 3) Montrer par un argument de symétrie clairement explicité qu'en tout point le champ magnétique créé par cette distribution de courant est dirigé selon Oy . b) Montrer que ce champ est uniforme dans chaque région délimitée par les plaques, nul à l'extérieur, et donner alors son expression entre les plaques en fonction de js . 2. Les rails sont modélisés comme deux conducteurs plans et minces de hauteur h finie selon Oy, ils sont parcourus chacun par l'intensité [ . 3) Calculer la densité surfacique de courant js associée. En faisant l'approximation que les expressions obtenues en C-1 sont valables, déterminer le flux magnétique par unité de longueur selon 0516 entre les plaques en fonction de I , w et h. En déduire l'inductance par unité de longueur L' . b) Application numérique : calculer L' avec les données rassemblées au début du problème. D -- On désire qu'en partant avec une vitesse nulle, une masse de trois grammes atteigne une vitesse d'éjection de 6 km / s après un parcours de 3 m. En supposant la force F de la question B-4 constante et en prenant la valeur de L' obtenue en C-2.b), déterminer numériquement l'intensité ] nécessaire. Deuxième partie Accélération du projectile par un plasma En réalité, dans le propulseur électromagnétique, le projectile (un morceau de résine isolante) porte sur sa face arrière de minces feuilles de cuivre, qui fondent rapidement et se vaporisent lorsque elles sont traversées par un courant de très forte intensité; on est alors en présence d'un plasma (gaz ionisé conducteur, localement neutre). La température de ce plasma est suffisam-- ment élevée pour que tous les atomes de cuivre soient ionisés (Cu --> Cu+ + EUR"). Dans cette partie, on suppose qu'un régime permanent s'est établi, c'est a dire que la longueur [ selon 033 du plasma reste constante et que les accélérations de chacune de ses parties sont identiques à l'accélération a du projectile (voir figure 3). plasma _, projectile rails Figure 3 On note æp l'abscisse relative d'un point au sein du plasma (0 _<_ % 5 l) et l'on suppose que toutes les grandeurs ne dépendent localement que de asp. On note P(æp) et p(oep) la pression et la masse volumique au sein du plasma à l'abscisse mp. On admet enfin que tous les effets de bord sont négligeables, ce qui conduit a poser qu'au sein du plasma, le champ magnétique, le champ électrique et la densité volumique de courant sont respectivement de la forme ? = B (mp)"e'ÿ, E' = E(oep)e_z' et 7 = J(æp)"eÿ. A -- On considère une tranche de plasma, d'épaisseur doep, localisée à l'abscisse % . 1. Quelle est la force d'origine magnétique qui s'exerce sur cette tranche ? Comment est--elle orientée ? 2. Quelle est la résultante des forces de pression qui s'exercent sur la tranche ? 3. Ecrire en projection sur Or le théorème de la résultante cinétique pour la tranche. 4. La pression en mp = 0 est la pression atmosphérique Po . a) En déduire sous forme intégrale la pression à l'extrémité du plasma en fin,, = l. b) Montrer que, sans autre hypothèse, l (Mp + Mo)a = --S /0 Jdoep où Mp est la masse du plasma, M'O la masse du projectile et S = wh la section transverse du propulseur. B -- 1. Quelle est dans l'A.R.Q.P. la relation entre le champ magnétique et la densité volu-- mique de courant ? B (0)2 2H0 2. En déduire que la force résultante exercée sur le système plasma--projectile est S , en prenant le champ magnétique nul au niveau du projectile. 3. Montrer qu'on retrouve un résultat identique a celui de la question B-4 de la première partie, dans le cadre de la modélisation utilisée dans la section C de cette partie. C -- Application numérique : à partir des données rassemblées au début du problème, calculer [ et la masse volumique moyenne ? du plasma. En déduire le nombre moyen fi de particules par unité de volume. Estimer la température au voisinage du projectile en supposant que le gaz ionisé se comporte localement comme un gaz parfait. Troisième partie Modèle électromécanique du propulseur On a représenté figure 4a le schéma électrique du propulseur, avec ses deux rails parallèles. Lorsque l'interrupteur C est fermé, une dynamo engendre un fort courant à travers le circuit (Lg, RO). Lorsqu'on atteint, à l'instant t = O, le courant désiré 10, on ouvre C . Le projectile, situé sans vitesse initiale en m = 0 à l'extrémité du rail, est alors accéléré; on notera respectivement oe(t),â:(t) et oe'(t) position, vitesse et accélération du projectile, et [(t) l'intensité a travers le circuit à l'instant t. Le circuit électrique équivalent dans cette phase est représenté en figure 4b, où l'on a fait figurer la résistance Rp du plasma qui << pousse >> le projectile ainsi que la résistance R' et l'inductance L' des rails définies toutes deux par unité de longueur. On prendra dans cette partie L' = O, 4 uH m". Figure 4 b A -- On suppose dans ce qui suit que seule la force d'origine électromagnétique trouvée dans la question B-4 de la première partie s'exerce sur le projectile. La) Pourquoi parle-t--on d'impédance de << stockage » pour LO ? b) Pourquoi alors n'avoir pas choisi une capacité à la place de l'inductance? c) Quel est le rôle de la diode de la figure 4a'? On supposera par la suite que la diode présente une caractéristique idéale. 2.3) Exprimer la f.é.m du circuit déformable. Ecrire l'équation électrique (5 ) du circuit. b) Ecrire l'équation (M) du mouvement du projectile. On note Mp et MO respectivement les masses du plasma et du projectile, et on pose M = JM,, + M0. c) Quelles sont les conditions initiales pour les deux équations précédentes? Existe--t--il alors une solution stationnaire à ces équations ? B -- On se place dans le cas simple où L0 est << très grande >>. 1. Justifier physiquement que [(t) : IO dans ce cas. 1 L']2 2. O = -- 0 n pose ao 2 M . Donner oe'(t) puis oe(t) en fonction de t et de (10. 3. Application numérique : Calculer, avec les données du problème, la durée d'accélération T0 et la vitesse d'éjection dc(m) du projectile pour un rail de longueur X = 3 m. C -- Dans cette question, on s'intéresse au rendement énergétique du propulseur électroma-- gnétique. On revient au cas général où l'intensité [(t) varie au cours du temps. 1. Quelle est l'énergie AE(t) délivrée depuis t = 0 par l'inductance de stockage au reste du circuit et au projectile? 2. Montrer par ailleurs que les équations (EUR) et (M) permettent sans approximation d'ob-- tenir : AE(t) = %Mäc2(t) + %L'ay(t)l2(t) + /0' dt'[Ro + R,, + R'oe(t')jr2(t') , équation dont on interprétera chacun des termes. 3. En se plaçant dans le cadre de l'approximation utilisée en B--1 et B-2, comparer les deux premiers termes de AE(t). Exprimer le troisième terme en fonction de t. 4. Application numérique. 3) Calculer chacun des trois termes pour t = 70 en utilisant les valeurs obtenues en B-3. b) Quelle doit être alors, d'après C-1, l'intensité I(Tg). Commenter le résultat. 0) Calculer le rendement électromécanique, c'est a dire le rapport entre l'énergie cinétique du projectile à la date 70 et l'énergie initiale Eg. D « On se propose de retrouver par une autre méthode la valeur approchée de AE(t) obtenue à la question C-3, en calculant la diminution de I (t) au moyen des équations (EUR ) et (M). I 1. On définit y(t) = ln ----0--. Récrire, en fonction de y(t) et en introduisant (LO, l'équation Ï(t) électrique (8 ) et l'équation du mouvement (M). 2. Comparer numériquement L0 et XL'. 3. On suppose y(t) << 1. Cette condition suggère de résoudre l'équation électrique (5) en prenant pour jc(t) et oe(t) les expressions obtenues à intensité [(t) : IO constante à la question B de cette troisième partie. Montrer, en tenant compte de la comparaison précédente, que y(t) vérifie alors l'équation suivante : R L' R't2 Qififl + a0_t + a0__ 't = . "... L0 L0 L02 En déduire y(t) 4. Toujours dans l'hypothèse où y(t) << 1, montrer que AE(Ü = LoÏË y(t) et vérifier qu'on retrouve la même expression qu'à la question C-3.

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 X Physique 1 MP 2000 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Yannick Alméras (ENS Ulm) ; il a été relu par Péter Horvai (ENS Ulm) et Jean-David Picon (École Polytechnique). Le sujet porte sur l'étude d'un propulseur utilisant les forces magnétiques pour accélérer rapidement des projectiles vers de grandes vitesses. Tout d'abord, dans la première partie du problème, on étudie le principe sousjacent de la propulsion électromagnétique par auto-induction. Ensuite, dans la seconde partie, on tient compte du plasma qui se forme au niveau du projectile à cause de la forte intensité du courant utilisé. Enfin, dans la troisième partie, on étudie la dynamique de la propulsion à partir d'un modèle électromécanique simple. Ce problème, d'une difficulté raisonnable et peu calculatoire, permet de tester ses connaissances sur le phénomène d'auto-induction. Il utilise des notions des cours de magnétisme et de mécanique. Indications Première partie I.B.1 Penser à la force de Laplace. dp en prenant garde à la déformabilité du I.B.2 Appliquer la relation P = I dt circuit. I.C.1.b Il faut commencer par étudier les propriétés d'invariance de la distribution du courant puis, utiliser à profit le théorème d'Ampère. I.D Utiliser le théorème de l'énergie cinétique. Deuxième partie II.A.1 Exprimer la force de Laplace qui agit sur la tranche et en vérifier le sens. II.A.4.a Intégrer la relation obtenue à la question II.A.3. II.A.4.b Appliquer le théorème de la résultante cinétique au projectile seul. II.B.1 Penser à la quatrième équation de Maxwell. II.B.2 Utiliser le résultat obtenu à la question II.A.4.b. II.C Les applications numériques font intervenir notamment Rp , p , Mp et MCu . La pression P(l) se calcule à l'aide du résultat de la question II.B.2 ou de la question I.B.4. Attention, il ne faut pas oublier les électrons ! Troisième partie III.A.2.a Ne pas oublier que l'inductance L est variable. III.A.2.c Il y a trois conditions initiales. III.B.1 Il est possible d'évaluer un temps caractéristique de décroissance de l'intensité dans le circuit. III.B.3 Il faut discuter ici l'approximation I(t) I0 . III.C.2 Intégrer et combiner les équations (E) et (M) respectivement multipliées par I et x au préalable. Première partie Principe et ordres de grandeur I.A.1 Le flux magnétique (t) propre à travers un circuit d'inductance L, et parcouru par une intensité I(t), est donné par la relation (t) = L I(t) La loi de Faraday permet alors d'exprimer la force électromotrice d'auto-induction e(t) = - d(t) dLI(t) =- dt dt Or, le circuit électrique est rigide. Par conséquent, l'inductance est constante dans le temps et on obtient finalement dI(t) dt e(t) = - L I.A.2 L'inductance du circuit électrique s'oppose à l'établissement du courant I(t) (loi de Lenz) et le générateur (de tension E) doit fournir, en plus de l'énergie dissipée par effet Joule, une énergie supplémentaire Em (t). On calcule son expression en partant de l'égalité E = RI+ L dI dt En multipliant cette égalité par l'intensité I et en intégrant par rapport au temps entre 0 et t, on trouve Z t Z t Z t dI(t ) E I(t ) dt = R I2 (t ) dt + L I(t ) dt dt 0 0 0 d'où Z |0 t E I(t ) dt {z } énergie fournie par le générateur soit = Z |0 t 2 R I (t ) dt + {z } énergie dissipée par effet Joule Em (t) = Z I(t) L I dI | 0 {z } énergie magnétique 1 L I(t)2 2 I.B.1 Lorsqu'un courant électrique I parcourt le circuit, celui-ci engendre un champ - - magnétique B et le barreau est alors soumis à une force de Laplace F qui le met en mouvement. Pour un sens du courant donné, le champ magnétique est orienté par la - règle du tire-bouchon (ou par la règle de la main droite) et on voit que la force F est toujours orientée dans le sens des x croissants (cf figure suivante). I ! B ! F x 0 On peut aussi raisonner, de façon plus empirique, à partir de la loi de Lenz. Cette loi permet de dire qu'une force électromotrice négative apparaît contre l'établissement du courant I. Cela signifie, d'après la loi de Faraday, que - le flux du champ magnétique B induit doit augmenter. La seule manière d'augmenter ce flux est alors d'augmenter la surface couverte par le circuit. Par conséquent, le barreau se met bien en mouvement dans le sens des x croissants. I.B.2 La puissance fournie à l'instant t par le générateur en sus de celle dissipée par effet Joule est, en notant p le flux propre, dp dt L'expression du flux propre reste la même qu'à la question I.A.1. Cependant, le circuit n'étant plus rigide à cause du mouvement possible du barreau, son inductance n'est plus constante et la puissance P s'exprime sous la forme P =I P = LI dI dL + I2 dt dt I.B.3 La puissance P calculée précédemment correspond, d'une part, à la variation de l'énergie magnétique Em et, d'autre part, à la puissance P méca de la force de Laplace qui provoque le déplacement du barreau sur les rails, ce qui s'écrit formellement dEm + P méca dt En utilisant les expressions de l'énergie magnétique Em et de la puissance P vues aux questions I.A.2 et I.B.2, on en déduit que P= dEm dt dI dL 1 dLI2 = LI + I2 - dt dt 2 dt P méca = P - 1 2 dL I 2 dt En décomposant la dérivation temporelle, on obtient finalement P méca =