Mines Physique 2 MP 2022

A2022 --- PHYSIQUE II MP

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2022
DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE IT - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 8 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énontcé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Physique IT, année 2022 -- filière MP

À propos des araignées

Les araignées ou Aranéides sont des prédateurs invertébrés arthropodes. À ce 
jour, plus de
47 000 espèces subdivisées en 117 familles sont repertoriées et 1700 d'entre 
elles vivent en
France. Les araignées produisent des fils de soie constitués d'un entrelacement 
de nombreuses
fibrilles élémentaires. Le diamètre de ces fils varient typiquement de 1 
jusqu'à 70 um. À diamètre
équivalent, ces fils sont plus résistants que l'acier et possèdent de 
nombreuses autres propriétés
qui les rendent intéressants pour l'industrie, pour la confection par exemple 
de nouveaux tex-
tiles, de gilets pare-balles ou encore de cordes d'instruments de musique. Dans 
la nature, l'usage
que les araignées en font est multiple et dépend des espèces considérées : fil 
de sécurité pendant
un saut pour fuir ou pour se déplacer (fil d'Ariane), tissage de toile pour 
pièger des proies,
moyen de s'élever dans les airs et de voyager au gré des courants aériens pour 
les araignées
montgolfières (fil de la Vierge), confection de catapultes pour la chasse, 
création de dômes pour
le stockage d'air sous l'eau douce pour les espèces subaquatiques ......

Nous proposons d'aborder quelques problèmes de physique relatifs aux araignées 
et plus par-
ticulièrement aux trois espèces représentées dans la figure ci-dessous (Fig. 
1). Les applications
numériques seront données avec un chiffre significatif. Les vecteurs sont 
indiqués par des flèches

(Y) sauf s'ils sont unitaires et sont alors surmontés d'un chapeau (|le,|] -- 
1). Les nombres
complexes sont soulignés à l'exception de 7 tel que 7° -- --1. Un formulaire 
est fourni en fin
d''énoncé.

Les 3 parties de ce problème sont indépendantes.

Xysticus

SS

cavatus

PR 0% jt mm  Hyptiote

FIGURE 1 -- Xysticus sp. est une araignée-crabe volante. Hyptiote cavatus est 
une araignée
catapulte, tisseuse de toiles triangulaires. Les araignées Nephila pilipes 
fabriquent des fils dont
les propriétés mécaniques rivalisent avec les meilleures fibres artificielles : 
ils peuvent être as-
semblés pour former des cordes de violon produisant un son au timbre 
exceptionnel. Source des
images : Wikipédia.

I Des araignées volantes

Certaines araignées volantes dont la taille est comprise entre 2 et 7 mm 
parviennent, en tirant
profit des forces électrostatiques, à décoller et à s'envoler. Elles arrivent 
ainsi à parcourir, au
gré des vents, des distances considérables (plusieurs centaines de kilomètres) 
comme l'a observé
pour la première fois, Charles Darwin, lors de son grand voyage à bord du 
Beagle de 1831 à 1836.
Dans cette partie du problème, nous nous intéressons à la physique permettant 
d'expliquer un
tel phénomène.

D -- 1. En utilisant une schématisation sphérique rudimentaire pour modéliser 
ces araignées,
estimer un ordre de grandeur m, pour leur masse.

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Physique IT, année 2022 -- filière MP

Par temps clair, le champ électrique, en tout point de la surface de la Terre 
est radial uniforme,
dirigé vers le centre de la Terre et sa valeur moyenne vaut Eo -- 120 V : m !. 
En première
approximation on assimile localement l'atmosphère terrestre à un condensateur 
plan dont les
deux armatures sont le sol terrestre et la couche de l'ionosphère située à 
l'altitude 29 = 60 km
de celui-ci.

Qi -- 2. Évaluer la valeur de la densité surfacique moyenne de charge au niveau 
du sol, notée o.
Des mesures ont permis de montrer qu'il existe une différence de 360 kV entre 
l'ionosphère
et le sol. Que pouvez vous conclure quant à la validité du modèle électrique 
atmosphérique
proposé ?

Les araignées volantes positionnent leurs corps de manière à prendre le vent, 
en éjectant vers
le ciel des fils de soie, qui grâce aux courants d'air et au champ électrique 
leur permettent de
s'élever. Darwin nota que ces araignées décollent en présence au niveau du sol 
de légers courants
d'air ascendants ayant des vitesses U de l'ordre de 0,1m-s" et que le nombre de 
fils fabriqués
par celles-ci peut atteindre quelques dizaines.

On peut montrer que les forces hydrodynamiques sont insuffisantes pour 
permettre à elles seules
de faire s'élever les araignées.

Darwin remarqua que les différents fils tissés par une même araignée s'écartent 
en éventail du
fait d'une répulsion électrostatique. Pour corroborer cette hypothèse, on 
modélise chaque fil de
soie comme un fil rigide isolant, de longueur ZL que l'on supposera 
inextensible dans un premier
temps, possédant en son extrémité libre, une charge q. Ces charges placées dans 
le champ
électrique terrestre interagissent entre elles. On suppose qu'il y a 2n fils et 
que les charges
correspondantes se répartissent régulièrement sur le cercle formant la base 
d'un cône d'angle a
en son sommet S (lequel correspond à l'extrémité commune des soies) avec la 
verticale (Fig. 2).

Vue de dessus

FIGURE 2 -- Représentation schématique d'une araignée prête à décoller.

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Physique IT, année 2022 -- filière MP

LU -- 3.

Montrer que le potentiel électrique créé sur une charge par les 2n -- 1 autres 
charges
s'exprime comme :

n--1 n--1
q 1 1 2
--= -- il = = =
rotann 0 OT LG tn 2 GE

On précisera la valeur de l'entier p. On pourra éventuellement considérer les 
points dia-
métralement opposés À, et Az,, avec 1 
où B est une grandeur physique que l'on exprimera en fonction de E, T, {et a.

Sachant que pour la corde fabriquée à partir des fils d'araignée Æ = 6,0 GPa et 
a = 350 um
et que pour une corde classique £ = 2,5 GPa et a -- 400 um, que pouvez-vous 
conclure
sur la nature du son produit à T° et L fixées ?

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Physique IT, année 2022 -- filière MP

Formulaire

Détail de la représentation graphique de la fonction logarithme népérien

tIn(x)

FIGURE 9 -- Graphe de la fonction In x pour x EUR [0,36; 0,421.

Opérateur gradient en coordonnées cylindriques :

- Of 10f4 Of.
grad(f) = cle, + cola + Cle.

Rayon terrestre Rx = 6400 km
sie eue . . --12 1 --9 -- 1
Permitivité électrique du vide Ep = 8,9 x 107 * 26 x 10 °F -m
T
Accélération de pesanteur terrestre g = 1l0m:s
Masse volumique de l'eau pe = 1,0 x 10° kg : m *

FIN DE L'ÉPREUVE

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