Mines Physique 2 MP 2019

Thème de l'épreuve L'indice et le froid
Principaux outils utilisés thermodynamique, optique ondulatoire, mécanique, électromagnétisme, physique statistique
Mots clefs loi de Gladstone-Dale, Michelson, électron élastiquement lié, diagramme de Bode, désaimantation adiabatique, loi de Boltzmann, loi de Curie

Corrigé

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Mines Physique 2 MP 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Guillaume Maimbourg (professeur en CPGE) ; il a été
relu par Tom Morel (professeur en CPGE) et Émilie Frémont (professeur en CPGE).

Le sujet est constitué de deux parties totalement indépendantes et équilibrées.
· La première partie s'intéresse à la loi de Gladstone-Dale qui relie les 
variations
de l'indice optique de l'air aux variations de la pression et de la température.
Dans un premier temps, l'objectif est de mettre en place une méthode 
expérimentale de détection de la variation de l'indice optique en fonction de la
pression. Cette variation étant faible, elle est détectée par interférométrie de
Michelson. Ensuite, il s'agit d'établir un modèle physique permettant de rendre
compte du phénomène. On établit la loi d'Ohm locale en régime harmonique
à l'aide du modèle de l'électron élastiquement lié, puis l'équation de 
propagation du champ électrique dans un milieu conducteur. Cette dernière fait 
apparaître une permittivité relative, qui est elle-même reliée à l'indice 
optique. Ainsi,
les variations d'indice optique en fonction de la pression et de la température
peuvent être reliées aux grandeurs physiques microscopiques du gaz.
· La seconde partie propose l'étude d'un système permettant d'obtenir de très
basses températures dans des environnements extrêmes tels que l'espace.
Pour ce faire, un système thermodynamique magnétisable est utilisé. Des dipôles 
magnétiques sont orientés par un champ magnétique extérieur. Le système
est alors isolé thermiquement et le champ magnétique extérieur est diminué.
Les dipôles vont alors perdre leur orientation et diminuer, par suite, la 
température du système isolé. C'est le processus de refroidissement par 
désaimantation
adiabatique. Il faut ensuite à déterminer la distribution statistique en 
orientation des dipôles magnétiques afin d'en déduire l'aimantation. Enfin, les 
dernières questions proposent une étude thermodynamique permettant d'évaluer
la température finale du système à la fin du processus de désaimantation.
Le sujet n'est ni long ni difficile, et il est énoncé clairement. Même si les 
processus
mis en lumière ne sont pas au programme de prépa, la méthode de résolution 
proposée reste proche du cours. Dans chaque partie, les questions forment un 
ensemble
relativement cohérent si bien qu'il est difficile de ne pas y répondre 
linéairement.
Il constitue un bon sujet de révision à la portée de nombreux candidats. La 
seconde
partie fait la part belle à la physique statistique, qui prend, année après 
année, une
place plus importante dans les sujets de concours, en particulier en MP où son 
aspect
calculatoire semble apprécié des jurys.

Indications
Partie I
3 La photodiode est au centre de la figure d'interférences. Le rayon lumineux 
d'intérêt est donc en incidence normale sur la cuve, si bien que la longueur du 
parcours
dans la cuve est 2L.
5 Pour prouver la négligeabilité de l'effet du champ magnétique, utiliser une 
équation de Maxwell permettant de lier la norme des champs électrique et 
magnétique.
6 Ne pas oublier que deux électrons par molécule sont optiquement actifs.
7 Déterminer la nature du filtre en étudiant les régimes hautes et basses 
fréquences.
9 On peut associer à l'équation différentielle obtenue une célérité v dans le 
milieu
telle que 1/v 2 = µ0 0 r .
10 L'équation des gaz parfaits permet de relier n à la pression et la 
température.
12 L'intensité s'écrit I = -e/ .
Partie II
14 Utiliser la normalisation de la probabilité Pk pour k  [[ -m ; m ]].
15 On rappelle que

hXi =

X

Xk Pk

k

16 L'ordre 1 ne permettant pas de conclure, le développement des tangentes 
hyperboliques doit être poussé à l'ordre 3.
18 On sera attentif au fait que les grandeurs sont volumiques.
19 Utiliser l'équation de Schwarz rappelée en fin d'énoncé.

L'indice et le froid
I. Vérification de la loi de Gladstone-Dale
1 On suppose que l'air considéré est dans des conditions de température et de
pression telles qu'il peut être assimilé à un gaz parfait. L'équation d'état 
des gaz
parfaits s'écrit usuellement
(avec  la quantité de matière)

pV = RT
d'où

=

M
pM
=
V
RT

D'après la loi de Gladstone et Dale, n - 1 est proportionnel à la masse 
volumique .
Ainsi, M et R étant constants,
n-1
Ainsi,

p
T

(n - 1) - (n0 - 1) 

d'où

n - n0 

p - p0
T

p - p0
T

À température constante, n - n0 est donc proportionnel à la pression.
2 Un interféromètre de Michelson est représenté symboliquement sur la figure 
cidessous. On peut y voir les deux miroirs M1 et M2 , la lame séparatrice SP, 
la source,
l'écran et les lentilles convergentes L1 et L2 . On se place en configuration 
lame d'air
afin d'observer des anneaux à l'écran. Dans cette configuration, il convient 
que la
lentille L1 fasse l'image de la source sur les miroirs. Ainsi, la lumière en
incidence sur les miroirs contient une large gamme d'angle d'incidence 
permettant
de visualiser un grand nombre d'anneaux. Dans cette configuration, les 
interférences
sont localisées à l'infini. Par conséquent, afin de les visualiser sur un 
écran, il convient
de placer l'écran dans le plan focal image de la lentille L2 . La lentille L2 
va donc
avoir pour rôle de projeter une image à l'infini à une distance finie égale
à sa distance focale.
M2
M2 
L1

SP

source

e
L2
f
ecran

M1

Afin de modéliser plus facilement la situation, utilisons la représentation dite
repliée de l'interféromètre.
B
e

M1

C

M2 

A
D

Dans la figure ci-dessus, on fait l'image de M2 par la séparatrice pour obtenir 
le
miroir M2  . Pour un interféromètre de Michelson en lame d'air, les miroirs M1 
et M2 
sont parallèles et séparés d'une faible distance e. En chaque point P de 
l'écran, ce
sont les deux rayons issus d'un même rayon primaire qui vont converger. Par 
ailleurs,
la lentille de projection L2 ne modifie pas la différence de marche car il n'y 
a pas de
différence de marche introduite entre deux fronts d'onde. Ainsi, les chemins 
optiques
(CP) et (DP) sont identiques, si bien que la différence de marche  s'écrit en 
fonction
de l'angle d'incidence  de la lumière sur les miroirs. On a

Or

Ainsi,

 = n0 (AB + BC - AD)

e
 AB = BC =
cos 

AD = AC sin  = 2e tan  sin 
 = 2e n0

1
sin2 
-
cos 
cos 

= 2e n0 cos 

Notons k l'angle des rayons à l'origine de l'anneau brillant de numéro k et rk
le rayon du k-ième anneau brillant, les anneaux étant comptés à partir du 
centre de
la figure d'interférences. La lentille L2 projette un rayon d'angle k sur un 
cercle de
rayon rk à l'écran, si bien qu'on a, à partir de la figure ci-dessous,
rk = f  tan k  f  k
k 1

L2

ecran
rk
k

axe optique

k

f
Par ailleurs, au centre de la figure d'interférence k = 0, on peut écrire
 = 0 = 2e n0
En supposant l'anneau central brillant, le k-ième anneau brillant respecte la 
condition
d'interférence constructive telle que
k = 0 - k