Mines Physique 2 MP 2018

Thème de l'épreuve Et pour un neutron de plus...
Principaux outils utilisés mécanique quantique, thermodynamique statistique
Mots clefs deutérium, raies d'émission, potentiel quantique, équation de Schrödinger, énergie de liaison

Corrigé

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A 2018 - PHYSIQUE II MP CONCOURS COMMUN MINES PONTS ECOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ETIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique (ex Telecom Bretagne), ENSAE PARISTECH . Concours Centrale-Supelec (Cycle international), Concours Mines-Telecom, Concours Commun TPE/EIVP. CONCOURS 2018 SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE (Duree de l'epreuve: 3 heures) L'usage de la calculatrice et de tout dispositif electronique est interdit. Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page de la copie : PHYSIQUE II - MP L'enonce de cette epreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amene a prendre. Physique II, annee 2018 -- filiere MP Et pour un neutron de plus. . . Dans l'ensemble du sujet, les vecteurs sont surmontes d'une fleche en general : ~v , ~r ; les vecteurs unitaires sont notes u, ex , . . . Pour les notations complexes, on ecrira 2 = -1 et on adoptera la notation a = a0 exp (-t) ou bien a = a0 e-t pour decrire une fonction du temps sinusoidale, a(t) = a0 cos(t). Un point sur une fonction designe sa derivee totale par rapport au temps : . = d dt Les positions dans l'espace seront reperees en coordonnees cartesiennes (x,y,z), rapportees a la base orthonormee (ex , ey , ez ), ou bien en coordonnees spheriques (r, , ), rapportees a la base orthonormee locale (er , e , e ). N designe l'ensemble des entiers naturels, N l'ensemble des entiers strictement positifs. Le sujet porte sur l'etude classique puis quantique du noyau et de l'atome de deuterium (egalement appele hydrogene lourd). Le deuterium (symbole D ou bien 2 H) est un des deux isotopes stables de l'hydrogene. Le noyau du deuterium 2 H, connu sous le nom de deuton, contient un proton et un neutron, tandis que le noyau de l'isotope le plus repandu de l'hydrogene ne contient qu'un proton, 1 H. L'abondance naturelle du deuterium dans les oceans de la Terre sous forme d'eau semi-lourde (HDO) ou lourde (D2 O) ) est d'environ un atome pour 6 420 atomes d'hydrogene. Ce probleme comporte trois parties completement independantes : I, II et III ; pour chacune de ces parties, certaines questions peuvent egalement etre abordees de maniere independante, a condition d'admettre eventuellement certains resultats affirmes par l'enonce. La partie I est une introduction sur les proportions de masse. La partie II decrit, en mecanique classique les proprietes generales de l'atome de deuterium, puis de son noyau, le deuton, et leur application a la decouverte du Deuterium par Urey en 1931. La partie III decrit, en mecanique quantique, certaines proprietes generales des interactions a forces centrales, avant de les appliquer a l'etude du noyau du deuton. Les notations, valeurs des constantes fondamentales et les autres donnees numeriques necessaires a la resolution du probleme sont regroupees dans un tableau a la fin de l'enonce. Les applications numeriques comporteront au mieux deux chiffres significatifs. I. -- Masses du deuton et du deuterium 1 -- Quelle est la proportion en masse du deuterium dans l'hydrogene oceanique ? 2 -- Quelle est la proportion en masse du deuton (le noyau) dans le deuterium (l'atome) ? 3 -- Comparer les proportions (en nombres de molecules) de l'eau lourde D2 O et de l'eau semi-lourde HDO dans les oceans. On precisera les hypotheses necessaires a cette comparaison. Le premier echantillon d'eau lourde a ete isole par le physicien Gilbert Lewis en 1933 puis une production industrielle par Figure 1 ­ Echantillon d'eau lourde fabrique par electrolyse a ete mise en pratique par Norsk Hydro, photographie c Alchemist-hp. l'entreprise norvegienne Norsk Hydro de 1934 a 1943. Page 1/6 Tournez la page S.V.P. Physique II, annee 2018 -- filiere MP 4 -- Citez des applications industrielles de l'eau lourde. II. -- Etude classique de l'atome de deuterium L'etude classique des proprietes de l'atome de deuterium (forme de son noyau, le deuton, et d'un unique electron) est elle-meme divisee en deux sous-parties independantes : l'etude des raies d'emission de l'atome de deuterium (II.A) et l'influence de l'effet Doppler sur leur mesure (II.B). II.A. -- Spectroscopie atomique et decouverte du deuterium Un atome d'hydrogene (ou de deuterium) est constitue d'un electron unique, de charge -e, de masse me , soumis a l'interaction coulombienne d'un noyau suppose fixe a l'origine O des coordonnees. Les valeurs En de l'energie de cet electron sont quantifiees et donnees par la relation me e 4 E0 et n N En = - 2 avec E0 = 2n (40 ~)2 L'etat fondamental est celui d'energie minimale, il correspond donc a n = 1 et sa valeur E0 = -13,6 eV. numerique est E1 = - 2 5 -- On appelle serie de Balmer l'ensemble des raies d'emission d'un atome d'hydrogene associees a une transition d'un niveau excite En (avec n > 2) vers le niveau n = 2. Exprimer les longueurs d'onde n associees a ces transitions en fonction de E0 , n, de la constante de Planck h et de la celerite de la lumiere dans le vide c. Calculer numeriquement les longueurs d'onde 3 et 4 ; quel est le domaine spectral associe ? On peut etablir, et on admettra, que la prise en compte des (faibles) mouvements du noyau atome mique amene a remplacer, dans toutes les equations ci-dessus, la masse me par me = 1 + me /M ou M est la masse du noyau : M = mp dans le cas de l'hydrogene ordinaire 1 H et M = mn + mp dans le cas de l'hydrogene lourd (ou deuterium) 2 H ou D. 6 -- Pour une des raies de la serie de Balmer, on note n (avec n > 2) la longueur d'onde emise par un atome d'hydrogene ordinaire, n la longueur d'onde emise par un atome - n me de deuterium et = n l'ecart relatif associe. Montrer que - ou est une entier n mp que l'on determinera ; calculer ; quelle consequence en deduisez-vous quant a l'identification spectroscopique du deuterium ? II.B. -- Role de la temperature de l'echantillon Compte-tenu de la faible proportion des atomes de deuterium dans un echantillon naturel, la detection des raies d'emission (a la longueur d'onde ) du deuterium, et donc l'identification de celui-ci, necessite que les raies d'emission majoritaires de l'hydrogene (a la longueur d'onde ) ne recouvrent pas les raies du deuterium. En d'autres termes, la largeur naturelle (ou l'ecart relatif a ete introduit des raies d'emission de l'hydrogene doit verifier ci-dessus, question 6). Pour cette etude, l'atome d'hydrogene, emetteur du rayonnement etudie, sera assimile a un point materiel de masse m mp ; il sera etudie dans le cadre de la mecanique classique (c'est-a-dire ni quantique, ni relativiste). Cette largeur naturelle des raies d'emission est essentiellement liee a l'agitation thermique de la source d'emission ; on va donc etablir le lien liant la pulsation effective d'emission par un atome d'hydrogene, et la pulsation apparente a laquelle l'onde sera observee, en fonction de la vitesse relative de cet atome et du recepteur. Page 2/6 Tournez la page S.V.P. Physique II, annee 2018 -- filiere MP Considerons deux referentiels (K) = (Oxyz) et (K ) = (O x y z ) en mouvement relatif, entierement caracterise par la vitesse V~e = ~vO /K de O relativement a (K) et par la vitesse angulaire ~ de rotation de (K ) relativement a (K). 7 -- Rappeler l'expression generale de la loi de composition des vitesses reliant les vitesses ~vM/K et ~vM/K d'un meme point mobile M relativement aux referentiels (K) et (K ). Le referentiel (K) = (Oxyz) est celui du laboratoire ; le referentiel (K ) = (Ex y z ) est attache a un point E mobile mais les vecteurs directeurs des axes des deux referentiels sont identiques, ex = ex , ey = ey et ez = ez . Enfin, la vitesse de E relativement a (K) est ~vE/K = V~ = Vx ex + Vy ey + Vz ez , elle est suppose constante. 8 -- Montrer, en application de la loi de composition, que les coordonnees (x,y,z) dans (K) et (x , y , z ) dans (K ) d'un meme evenement verifient les relations : x = x - Vx t + x0 y = y - Vy t + y0 z = z - Vz t + z0 ou x0 , y0 et z0 sont certaines constantes. Un recepteur de lumiere, fixe dans le referentiel (K), et situe a grande distance de l'emetteur E, recoit une onde electromagnetique emise, dans le vide, dans la direction ex . L'emetteur E est un atome d'hydrogene et la grandeur lumineuse associee a cette onde s'ecrit S(x ,t) = S0 exp [ (kx - t)] en notation complexe. 9 -- Quelle relation lie et k ? 10 -- Determiner l'expression de l'onde S, dans le referentiel (K) de sa mesure, en fonction de x et t. En deduire qu'elle est observee a une pulsation apparente app que l'on determinera en fonction de , c et de certaines composantes de V~ . Cette relation caracterise l'effet Doppler. L'emetteur E est un atome d'hydrogene au sein d'un echantillon thermostate a la temperature T ; en consequence, sa vitesse varie de maniere aleatoire (agitation thermique) avec la loi de distribution de Boltzmann : le nombre d'atomes dont la composante Vx prend une valeur ! 2 comprise entre v et v + dv est dN = K exp -v dv. 11 -- Exprimer en fonction de T et de certaines constantes physiques. On ne cherchera pas a calculer K. 12 -- Tracer la courbe representative (G) de f (v) = dN/dv en fonction de v. Dans le cas d'une courbe gaussienne comme celle tracee ci-dessous, on definit la largeur v de la courbe comme l'ecart v = v+ - v- , ou v+ et v- sont les deux valeurs de v correspondant a des points d'inflexion de la courbe. v v v- v+ 13 -- Exprimer la largeur v de la courbe (G), en fonction de T , de la constante de Boltzmann kB et de la masse mp de l'atome d'hydrogene ; commenter. 14 -- En deduire l'allure de la courbe de distribution des pulsations mesurees app et calculer sa largeur app , definie comme ci-dessus. app 6 5·10-6 . Calculer numeriquement 15 -- En pratique, on impose le critere de detection la temperature caracteristique a laquelle doit se derouler l'experience afin de pouvoir identifier spectroscopiquement le deuterium. Conclure. Page 3/6 Tournez la page S.V.P. Physique II, annee 2018 -- filiere MP III. -- Le deuton III.A. -- Potentiels radiaux en physique quantique L'etude d'un systeme de deux particules ponctuelles de masses m1 et m2 , si tuees en A1 et --- A2 et telles que A1 A2 = ~r est realisee en utilisant les coordonnees spheriques (r, , ) pour le vecteur ~r. Les particules sont en interaction, decrite par l'energie potentielle Ep (r) ; la probabilite d'observer une particule dans l'element de volume d entourant le point ~r est donnee par dp = |(~r, t)|2 d , ou la fonction d'onde (~r,t) est solution de l'equation de Schrodinger, ~2 ou est l'operateur de Laplace ou laplacien ; le coefficient µ - + Ep (r)(~r, t) = ~ 2µ t 1 1 1 + . qui remplace, dans cette equation, la masse d'une particule unique, est donne par = µ m1 m2 On rappelle aussi l'expression de l'operateur laplacien en coordonnees spheriques : 1 f 1 2f 1 2 f r + ang f avec ang f = sin + f = 2 r r r sin sin2 2 On cherche une solution de l'equation de Schrodinger sous la forme (~r,t) = R(r) Y (, )e-t . r 16 -- Indiquer et justifier brievement l'expression liant l'energie E d'un tel etat et la pulsation . 17 -- Montrer que R(r) et Y (, ) verifient les deux equations ~2 C ~2 d2 R R(r) = ER(r) et ang Y = -CY (, ) + Ep (r) + - 2µ dr2 2µr2 ou C est une certaine constante. On rappelle les resultats de la mecanique classique pour l'etude du mouvement d'une particule de masse µ en mouvement dans un champ de forces centrales decrit par l'energie potentielle Ep (r) : -- le mouvement est plan et peut, dans ce plan, etre decrit en coordonnees polaires r, ; -- le moment cinetique est constant, directement perpendiculaire au plan du mouvement avec pour moment cinetique = µr2 ; 1 -- le mouvement est entierement decrit par la conservation de l'energie E = µr2 + Ueff (r), 2 1 2 . ou l'energie potentielle effective a pour expression Ueff (r) = Ep (r) + 2 µr2 18 -- Precisez, dans l'equation verifiee par R(r) etablie ci-dessus, les expressions analogues 1 de l'energie cinetique radiale µr2 , de l'energie potentielle effective et du moment cinetique . 2 19 -- Quelle serait la valeur de la constante C pour une fonction d'onde purement radiale ? On ne fera pas necessairement cette hypothese dans les questions qui suivent. 20 -- On procede a une nouvelle separation des variables en posant Y (, ) = ()(). etablir les equations differentielles verifiees par () et (). 21 -- Justifier le plus precisement possible le fait, qu'a une constante multiplicative pres, que l'on peut imposer () = em ou m Z. Page 4/6 Tournez la page S.V.P. Physique II, annee 2018 -- filiere MP 22 -- On peut montrer, et on admettra, que les solutions de l'equation differentielle verifiee par () sont des polynomes de degre (avec > |m|) de la variable x = cos : () = a x + . . . + a1 x + a0 En ne considerant que le terme de plus haut degre, exprimer C en fonction de seulement. Quel est le moment cinetique pour une fonction d'onde caracterisee par ? III.B. -- Energie de liaison du deuton Le deuton est le noyau de l'atome de deuterium 21 H, forme d'un neutron et d'un proton. Il s'agit d'un des tres rares noyaux stables comportant un nombre impair a la fois de neutrons et de protons (avec 6 Li, 10 B, 14 N et 180 Ta) ; en effet, de tels noyaux impairs­impairs sont en general peu ou pas stables. L'energie de liaison du deuton est faible (2,23 MeV seulement) et il n'a qu'un etat fondamental, de moment cinetique nul (nombre quantique orbital = 0) et pas d'etat excite stable. On considere les etats lies stationnaires d'une particule de masse µ dans le puits de potentiel defini par : Ep = -V0 pour 0 6 r 6 a et Ep = 0 pour r > a avec V0 > 0. On ecrit la fonction d'onde independante du temps d'un etat lie (-V0 < E < 0), R(r) a symetrie de revolution (radiale), (r) = ou R(r) est solution de l'equation radiale r - ~2 d2 R + Ep (r) R(r) = E R(r) 2µ dr2 Dont les solutions sont de la forme R(r) = A sin(kr) pour r 6 a, et R(r) = Be-Kr pour r > a. 23 -- Justifier ces formes et exprimer k et K en fonction de E et V0 . 24 -- Expliciter les conditions de raccordement en r = a. 25 -- On pose X = ka et Y = Ka. Ecrire deux relations distinctes liant X et Y en fonction 2µV0 a2 de 2 = , independamment des valeurs des constantes A et B (qu'on ne cherchera pas ~2 a expliciter). 26 -- Representer graphiquement, sur un systeme d'axes (X, Y ), les deux relations etablies a la question precedente. 27 -- Montrer qu'il n'existe d'etat lie que si V0 est superieur a une certaine valeur Vmin que l'on determinera en fonction de ~, µ et a. 28 -- Quelle est la valeur maximale Vmax de V0 pour qu'il n'existe qu'un seul etat lie ? On utilise ce modele pour decrire l'interaction nucleaire entre un neutron et un proton, formant le deuton (noyau de l'atome de deuterium). Le rayon du deuton est a = 2,0 · 10-15 m ; la masse mn mp µ est la masse reduite du deuton, µ = . L'experience montre qu'il n'existe qu'un seul mn + mp etat lie, d'energie Ed < 0. 29 -- En deduire que, dans ce modele, Vmin < V0 < Vmax et calculer Vmin et Vmax en MeV. Page 5/6 Tournez la page S.V.P. Physique II, annee 2018 -- filiere MP 30 -- Que vaut l'energie de liaison si V0 = Vmin ? 31 -- L'energie de liaison du deuton est Ed = -2,23 MeV. Comparer a Vmin ; en deduire que V0 est proche de Vmin . 32 -- En explicitant les relations etablies 2 ci-dessus entre X et Y pour V0 proche de Vmin , ~2 2a p montrer que V0 = -2µEd . + 2µa2 2 ~ 33 -- Calculer V0 (en MeV) et comparer a Ed . FIN DE L'EPREUVE Le tableau ci-apres recapitule les valeurs de certaines grandeurs physiques ou constantes fondamentales. Celerite de la lumiere dans le vide Charge elementaire Constante de Boltzmann Constante de Planck Constante de Dirac Masse de l'electron Masse du proton Masse du neutron Permittivite dielectrique du vide c = 3,0 · 108 m · s-1 e = 1,6 · 10-19 C kB = 1,4 · 10-23 J · K-1 h = 6,6 · 10-34 J · Hz-1 ~ = h/2 = 1,0 · 10-34 J · s me = 9,1 · 10-31 kg mp = 1,673 · 10-27 kg me mn = 1,675 · 10-27 kg mp 0 = 8,9 · 10-12 F · m-1 Temperature d'ebullition de l'azote (sous 1 bar) N2 = 77,4 K Teb Temperature d'ebullition de l'hydrogene (sous 1 bar) H2 = 20,3 K Teb Page 6/6

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 Mines Physique 2 MP 2018 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Amélie Gay (ENS Lyon) ; il a été relu par Pierre Monteiller (ENS Ulm) et Tom Morel (professeur en CPGE). Ce problème s'intéresse à l'atome de deutérium, isotope stable de l'hydrogène, ainsi qu'à son noyau. Les trois parties sont indépendantes. · La première partie porte sur la répartition du deutérium dans les océans terrestres. Il s'agit d'exploiter la proportion en nombre d'atomes de deutérium océanique ainsi que la composition de l'eau lourde et de l'eau semi-lourde par des raisonnements physiques. · La deuxième partie propose, dans un premier temps, d'étudier les raies d'émission des atomes de deutérium et d'hydrogène à partir des énergies de l'électron. Dans un second temps, on étudie l'élargissement par l'agitation thermique des raies d'émission de l'hydrogène. Ceci permet de déterminer les conditions de séparation des raies d'émission des atomes de deutérium et d'hydrogène par spectroscopie. Cette partie exploite les changements de référentiel en mécanique classique et la thermodynamique statistique. · La dernière partie s'intéresse à l'étude quantique des interactions à force centrale entre deux particules. Les résultats sont ensuite appliqués au cas du noyau de deutérium. Quasiment toutes les notions de la physique quantique au programme sont nécessaires pour traiter cette partie. Ce sujet est de difficulté croissante. Il commence par de petits raisonnements physiques pour ensuite laisser place à des calculs de mécanique quantique qui occupent la moitié du sujet. Il permet aussi de s'entraîner à faire des calculs sans l'aide de la calculatrice puisqu'elle était interdite pendant l'épreuve. Indications 3 Calculer les probabilités qu'un atome d'oxygène soit lié à un atome d'hydrogène ou à un atome de deutérium. 5 Utiliser la relation de Planck-Einstein. 6 Ne pas confondre n (avec me ) avec n (avec me ) de la question 5. 8 Remarquer que les deux référentiels sont en translation. 9 Il s'agit d'une onde électromagnétique dans le vide. 10 La distribution de Boltzmann fait intervenir le rapport de l'énergie du système sur l'énergie thermique. 13 Un point d'inflexion est déterminé par une dérivée seconde nulle. 14 Le nombre d'atomes dont la composante Vx prend une valeur entre Vx et Vx +dVx est égal au nombre de pulsations comprises entre app et app + dapp . 17 Faire une séparation des variables pour avoir d'un côté une fonction de r et de l'autre une fonction de et . Les deux fonctions sont égales si elles sont constantes. 20 Même idée qu'à la question 17. 22 Faire le changement de variable x = cos dans l'équation vérifiée par . 24 Exprimer la continuité de et de sa dérivée. 25 La première relation est issue des conditions de la question 24 et la seconde doit faire apparaître par combinaison de k et K. 30 Trouver la valeur de Y associée à V0 = Vmin . 32 Faire un développement limité en /2 de la relation obtenue à la question 25 à partir des conditions de continuité. 33 Ne pas oublier la conversion des eV en J. Et pour un neutron de plus... 1 Plaçons-nous dans un volume d'eau représentatif de l'abondance naturelle de deutérium dans les océans et notons mH et mD respectivement les masses d'hydrogène et de deutérium. La proportion de deutérium dans l'hydrogène océanique PD s'écrit mD PD = mD + mH mn + mp + me = mn + mp + me + 6 420 (mp + me ) En utilisant les approximations proposées par l'énoncé, mp mn et me mp , PD 2 1 = 6 422 3 211 Pour l'application numérique, utilisons le fait que 100/32 3,1. D'où PD 100 · 10-2-2 0,03 % 32 2 La proportion en masse du deuton dans le deutérium Pd est, où md désigne la masse du deuton, md mn + mp Pd = = mD mn + mp + me Avec me mp , mn , Pd 1 Le noyau contient quasiment toute la masse du deutérium comme pour l'hydrogène. 3 La proportion en molécules d'eau semi-lourde HDO dans les océans, PHDO , est la probabilité de trouver HDO dans l'océan. On suppose que cette probabilité est seulement déterminée par la probabilité de trouver un atome d'hydrogène PH ou un atome de deutérium PD dans le milieu, c'est-à-dire qu'on néglige tous les phénomènes d'interaction entre les atomes et les molécules. Donc, PHDO = PH × PD Soit PHDO = 6 420 1 1 × 6 421 6 421 6421 Or on sait, d'après la question 1, que 100/64 1,6. Ainsi, PHDO 100 · 10-2-2 0,02 % 64 Appliquons le même raisonnement pour la proportion en molécules d'eau lourde D2 O dans les océans : D'où P D2 O = P D 2 2 1 P D2 O = 6 421 Or, d'après la question 3, (100/64)2 1,62 2,6. D'où 2 100 P D2 O · 102×(-2-2) 3 · 10-8 64 4 Comme applications industrielles, on peut citer : · la fission nucléaire où l'eau lourde est utilisée comme agent de régulation des neutrons produits par la réaction ; · la RMN du proton où elle est utilisée dans les solvants pour ne pas perturber la mesure. 5 D'après la relation de Planck-Einstein, En = hc n Avec pour n > 2, En = En - E2 E0 1 1 =- - 2 n2 4 Ainsi, n = 2 hc E0 1 1 - 4 n2 -1 Calculons le préfacteur 2 hc 2 × 6,6 × 3,0 = · 10-34+8+19 1 · 10-7 m E0 2 × 13,6 × 1,6 L'application numérique donne alors 3 = 36 · 10-7 = 7 · 10-7 m 5 et 4 = 16 · 10-7 = 5 · 10-7 m 3 Ces deux longueurs d'onde appartiennent au domaine du visible. La quantité 1 eV correspond à l'énergie électrostatique (Eél = qV) gagnée lorsqu'une unité de charge électrique e est déplacée entre deux points dont le potentiel électrostatique diffère d'un volt. -1 2 2hc (4 0 ) 1 1 6 D'après la question précédente, il vient, en notant = - , e4 4 n2 n = 1 + me /mp me et n = 1 + me / (mp + mn ) me L'écart relatif entre les deux longueurs d'onde s'écrit donc -1 me me me = - 1+ mp + mn mp mp Or me mp et mn mp , - me mp avec = 2 Numériquement, avec 9,1/1,7 = 5,3, on a - 9,1 · 10-31+27 -3 · 10-4 2 × 1,7 L'écart relatif entre les deux longueurs d'onde est extrêmement faible ce qui indique qu'il est impossible de faire la différence entre le deutérium et l'hydrogène avec un spectromètre UV/visible de travaux pratiques. 7 La loi de composition des vitesses s'écrit