Mines Physique 2 MP 2017

Thème de l'épreuve La capacité thermique des gaz
Principaux outils utilisés mécanique classique, mécanique quantique, thermodynamique
Mots clefs capacité thermique, oscillateur harmonique, équipartition de l'énergie, gaz parfait diatomique, équation de Schrödinger

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
              

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
           

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A2017 ­ PHYSIQUE II MP

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT Atlantique (ex Télécom Bretagne),
ENSAE PARISTECH.
Concours Centrale-Supelec (Cycle International),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.
CONCOURS 2017
DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE II - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Physique II, annee 2017 -- filiere MP

La capacite thermique des gaz
La capacite thermique des gaz est une grandeur thermodynamique assez facile a 
mesurer
experimentalement. Elle a joue un grand role dans la comprehension de la nature 
microscopique des gaz et de la matiere en general. Elle a egalement ete un 
point de questionnement
fondamental au moment de la construction de la physique quantique. Dans cette 
epreuve, on se
propose d'expliquer a l'aide de differents modeles theoriques les valeurs 
mesurees de la capacite
thermique de differents gaz parfaits diatomiques a differentes temperatures.
Hormis le nombre i tel que i2 = -1, les nombres complexes sont soulignes : z  
C. Les vecteurs
seront traditionnellement surmontes d'une fleche, par exemple !v pour une 
vitesse ; sauf s'ils
sont unitaires et seront alors surmontes d'un chapeau, par exemple u
! tel que #!
u# = 1.

I. -- De la molecule a l'oscillateur harmonique
On considere une molecule diatomique dont les deux atomes A et B sont lies par 
une liaison
covalente : l'energie potentielle d'interaction entre les deux atomes est 
attractive a longue
portee et repulsive a courte portee. L'etude est menee dans le referentiel du 
laboratoire suppose
galileen. On suppose la molecule isolee et on neglige l'interaction 
gravitationnelle entre les deux
atomes devant l'interaction conduisant a la liaison covalente.
1 -- Tracer l'allure du profil d'energie potentielle Ep de cette molecule en 
fonction de la
longueur  = AB de la liaison. On y fera figurer la longueur d'equilibre e de la 
liaison et
l'energie de liaison E .
2 -- Donner un ordre de grandeur de e en nm et de E en kJ·mol-1 .
3 -- Compte tenu de l'allure de la courbe de la question 1, et moyennant une 
hypothese a
preciser, justifier que l'on peut assimiler la liaison covalente a un ressort 
dont on exprimera la
constante de raideur k en fonction d'une derivee de Ep .
On suppose cette approximation valide dans toute la suite.
4 -- Exprimer l'energie cinetique de la molecule en fonction des vitesses !vA , 
!vB et des
masses mA , mB des atomes A et B dans le referentiel du laboratoire.
5 -- Calculer un ordre de grandeur de la vitesse caracteristique des molecules 
dans l'air
J · mol-1 · K -1 pour valeur de la
a 300 K et sous une pression de 1 atm. On prendra R = 25
3
-1
-3
constante des gaz parfait et Ma = 30 × 10 kg · mol pour la masse molaire de 
l'air.
6 -- Exprimer l'energie mecanique Em de la molecule dans le referentiel du 
laboratoire, en
fonction de E , , e , k, !vA et !vB .
-
--
7 -- On note G le barycentre de la molecule tel que mA GA + mB GB = !0 et !vG 
sa vitesse
dans le referentiel du laboratoire. On appelle referentiel barycentrique, le 
referentiel ayant les
memes vecteurs de base que le referentiel du laboratoire mais d'origine G. Ce 
referentiel est-il
galileen ? On justifiera sa reponse.
-
"
#
dAB
, etablir la relation Em - E = 21 m #!vG #2 + µ #!v #2 + kr2 dans
8 -- On note !v =
dt
laquelle on exprimera les constantes m et µ en fonction des masses mA , mB et 
la variable r en
fonction de  et e .

Page 1/4

Tournez la page S.V.P.

La capacite thermique des gaz

-
9 -- En ecrivant AB = (t) e!r avec e!r =

-
AB
- ,
#AB #

decomposer Em en la somme de trois

termes que l'on supposera independants dans ce probleme et qui representent 
respectivement
la translation Etra , la vibration Evib et la rotation Erot de la molecule. On 
explicitera chacun
de ces termes en fonction des grandeurs les plus adaptees.
FIN DE LA PARTIE I

II. -- Capacite thermique d'un gaz parfait diatomique
On s'interesse maintenant a un gaz parfait de N molecules diatomiques 
identiques. On cherche
a determiner l'expression de la capacite thermique de ce gaz en exploitant le 
modele developpe
dans la partie precedente.
10 -- Exprimer l'energie interne U de cet ensemble de particules en fonction de 
N et &Em ',
ou &Em ' est l'energie moyenne d'une molecule de cet ensemble de molecules.
11 -- Enoncer le theoreme d'equipartition de l'energie.
12 -- Montrer que dans le modele classique developpe dans la partie I la 
capacite thermique
molaire cV,m du gaz est une constante que l'on exprimera en fonction de R.
La figure 1 presente les releves experimentaux de la capacite thermique molaire 
du dichlore Cl2
gazeux et du dihydrogene H2 gazeux a diverses temperatures.

4

3.5

3

/

!",#
$
2.5
Cl2
2
H2

1.5

1 0
10

Température [K]
1

2

10

10

3

10

Figure 1 ­ Mesures de la capacite thermique molaire du dichlore (Cl2 ) et du 
dihydrogene (H2 )
gazeux en fonction de la temperature.
13 -- Commenter les deux courbes de la figure 1 au vu des predictions 
theoriques obtenues
precedemment.
FIN DE LA PARTIE II
Page 2/4

Physique II, annee 2017 -- filiere MP

III. -- L'oscillateur harmonique en physique quantique
On envisage dans cette partie un traitement quantique de l'oscillateur 
harmonique etudie dans
les parties precedentes. L'objectif est d'obtenir l'expression quantifiee des 
valeurs possibles de
l'energie de cet oscillateur harmonique dans cette theorie.
On note (x,t) la fonction d'onde du systeme decrivant l'oscillateur harmonique 
associe a
la molecule diatomique consideree. Ce systeme est un point materiel M dont la 
masse est le
parametre µ introduit a la question 8. Ce point evolue evolue le long d'un axe 
(O,!
ux ), la distance
x = OM represente l'elongation du ressort de raideur k modelisant la liaison 
chimique entre les
deux atomes a travers le potentiel V (x) = 12 kx2 . Il s'agit donc d'un 
probleme unidimensionnel.
Le systeme est de plus stationnaire, on peut donc separer la fonction d'onde en 
deux parties
iE
sous la forme (x,t) = f (x)e- ! t ou E represente les valeurs de l'energie 
accessibles a ce
systeme. Pour l'oscillateur harmonique, on montre que ces valeurs de E doivent 
etre positives.
La fonction (x,t) est une solution de norme unite de l'equation de Schrodinger
-

(x,t)
!2  2 (x,t)
+ V (x)(x,t) = i!
2
2µ x
t

14 -- Ecrire l'equation differentielle verifiee par la fonction f (x) en 
fonction des parametres
k, µ, ! et E.
$ %1/4
$
%1/2
µk
4µ E 2
On effectue le changement de variable  = x
.
et l'on pose  =
!2
!2 k
15 -- Quelles sont les dimensions de  et de  ?
16 -- Ecrire l'equation differentielle verifiee par la fonction f () en 
fonction du seul parametre .
1 2
17 -- Verifier que dans le regime   ±, on peut ecrire f ()  e± 2 
1

2

18 -- Justifier succinctement que seule la solution  * e- 2  est physiquement 
acceptable.
Des lors que nous connaissons le comportement asymptotique de la solution 
recherchee, nous
1 2
pouvons l'extraire de celle-ci en effectuant le changement de fonction f () = 
g()e- 2 
19 -- Determiner l'equation differentielle verifiee par la fonction  * g() ?
Pour resoudre cette equation, on effectue un developpement en serie entiere de 
la fonction g :
g() =

+
&

bp  p

p=0

20 -- Exprimer le coefficient bp+2 en fonction du coefficient bp , de l'entier 
p et de .
Si l'on conserve tous les termes de la serie, on montre que le comportement 
asymptotique de
la fonction  * g() l'emporte sur exp(-2 /2) en ± ce qui ne permet pas de 
construire
de solution physiquement acceptable. La seule possibilite est de tronquer la 
serie en imposant
l'existence d'un entier n tel que si p  n alors bp+2 = 0.
21 -- En deduire que les energies accessibles a un oscillateur harmonique en 
regime quantique sont de la forme
%
$
1
! avec n  N
En = n +
2
ou  est une grandeur que l'on exprimera en fonction de µ et k.
FIN DE LA PARTIE III
Page 3/4

Tournez la page S.V.P.

La capacite thermique des gaz

IV. -- Capacite thermique et quantification
Comme dans la partie II, on s'interesse a un ensemble de N molecules 
diatomiques identiques.
Ce gaz est a l'equilibre thermique a la temperature T . La probabilite (E) 
qu'une molecule de
ce gaz se trouve dans un etat d'energie En s'ecrit
(En ) = A exp(-En )
ou  est une fonction de kB et de T uniquement.
22 -- Par analyse dimensionnelle, exprimer  en fonction de kB et de T .
Contrairement a la partie II ou l'on avait utilise l'expression classique de 
l'energie, on utilise
maintenant l'expression de l'energie de l'oscillateur harmonique obtenue dans 
le modele quantique a la question 21. C'est Albert Einstein qui eut cette idee 
le premier en 1907 afin de
tenter de regler certains problemes de la physique classique dans le traitement 
du comportement des solides a basse temperature. L'idee est ici la meme, mais 
rend compte de la vibration
des molecules diatomiques.
23 -- Exprimer la constante A en fonction de !, , .
24 -- En deduire l'expression de l'energie moyenne &E' de l'ensemble de ces N 
particules
en fonction de !, ,  et N .
25 -- Montrer que la capacite thermique molaire a volume constant cV,m de ce 
gaz s'ecrit
cV,m

2
=R
sinh2 ()

1,0

1
avec  = !
2

On designe par Tv la temperature, dite de vibration, caracteristique des 
vibrations de la molecule
!
.
qui est telle que Tv =
kB

&(%)
0,8
0,6

26 -- Reecrire l'expression de cV,m en fonction de Tv et T .

0,4

La figure 2 represente l'allure de la fonction

0,2
0

0

(u) = u-2 /sinh2 (u-1 )

%
1
2
3
4
Figure 2 ­ Graphe de (u)

Molecule
Tv [K]

1

H2
6 220

2

H2
4 390

5

1

27 -- La table ci-dessous fournit la temperature de vibration de quelques 
molecules diatomiques. Quelle partie des mesures presentees sur
la figure 1 le modele est-il cense representer ? La
theorie est-elle en accord avec l'experience ?

H-2 H
5 380

Cl2
808

FIN DE LA PARTIE IV
FIN DE L'EPREUVE
Page 4/4

Br2
463

HCl
4 230

HBr
3 790

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 MP 2017 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Pierre Tognetti (professeur agrégé) ; il a été relu 
par
Valentin Raban (doctorant ENS Lyon) et Vincent Freulon (professeur en CPGE).

Ce sujet traite de la capacité thermique des gaz de molécules diatomiques. « Si
vous voulez étudier les propriétés d'un corps et que vous ne pouvez faire qu'une
seule mesure, mesurez sa capacité thermique », disait Einstein, ce qui témoigne 
de
l'importance de ce sujet en physique.
· La première partie s'intéresse au modèle classique d'une molécule diatomique.
L'énergie potentielle associée à la liaison covalente permet, par un 
développement limité, de se ramener au modèle d'un oscillateur harmonique. 
L'énergie
de cet oscillateur peut alors être décomposée en trois termes indépendants : une
énergie de translation, une énergie de rotation et une énergie de vibration, qui
vont toutes trois contribuer à la capacité thermique du gaz.
· Dans la deuxième partie le gaz est étudié du point de vue thermodynamique.
Les résultats expérimentaux de la capacité thermique de deux gaz diatomiques
(le dichlore et le dihydrogène) sont comparés à ceux du modèle théorique. Les
différences entre les prédictions du modèle classique et l'expérience justifient
alors un traitement quantique.
· La troisième partie permet de retrouver à partir de l'équation de Schrödinger
la quantification des niveaux d'énergie d'un oscillateur harmonique en régime
quantique.
· Dans la quatrième partie, le gaz de molécules diatomiques est modélisé par
un ensemble d'oscillateurs harmoniques indépendants de même fréquence. Ce
modèle permet de déterminer l'expression de la capacité thermique molaire à
volume constant du gaz en fonction de la température. Les prédictions de ce
modèle sont ensuite comparées aux courbes expérimentales de la partie 2.
Les deux premières parties, très proches du cours, permettent de revoir des 
notions importantes de mécanique classique et de thermodynamique. Les parties 3 
et 4
constituent quant à elles une bonne révision de mécanique quantique 
(quantification
de l'énergie, oscillateur harmonique) et nécessitent une certaine dextérité 
dans les
calculs. Les résultats principaux sont donnés dans l'énoncé, ce qui permet de 
ne pas
rester bloqué.

Indications
Partie I
3 Écrire le développement limité de l'énergie potentielle au voisinage de e .
5 Considérer l'air comme un gaz parfait.
7 Pour montrer qu'un référentiel est galiléen, il suffit de montrer qu'il est en
translation rectiligne uniforme par rapport à un autre référentiel galiléen.
-

9 Développer -
v = dAB/dt et substituer dans l'expression de l'énergie.
Partie II
10 Penser à l'indépendance des molécules de gaz dans le modèle du gaz parfait.
Partie III
18 Penser que |(x, t)|2 dx représente la probabilité de présence dans un 
intervalle
de longueur dx autour de x.
20 Introduire l'expression de g dans l'équation différentielle et renuméroter 
les
indices pour regrouper les termes sous une seule somme. Exploiter le fait que
la relation soit valable pour tout .
21 Tronquer la série revient à imposer que le facteur devant bp soit nul dans la
relation obtenue à la question précédente.
Partie IV
23 La somme des probabilités vaut 1.
24 Faire apparaître la somme des termes d'une suite géométrique.
25 Réécrire le terme sous la somme sous la forme d'une dérivée par rapport à 
et inverser somme et dérivée.

I. De la molécule à l'oscillateur harmonique
1 L'allure de l'énergie potentielle de
la molécule diatomique AB en fonction
de la distance internucléaire  est tracée ci-contre. À l'équilibre dEp /d = 0,
e correspond donc à la longueur de
la liaison au minimum d'énergie potentielle. L'énergie de liaison est l'énergie 
à fournir à la molécule pour éloigner les deux atomes à l'infini, soit
E = Ep (+) - Ep (e ) = -Ep (e ), en
fixant une valeur nulle de l'énergie potentielle d'interaction des deux atomes
infiniment éloignés.

Ep ()

e
0

-E

À longue portée, l'énergie potentielle est négative, ce qui traduit une 
interaction attractive d'origine électrostatique. À courte portée, l'énergie 
potentielle
diverge et la répulsion est d'origine purement quantique, le principe de Pauli
interdisant à deux électrons d'être dans le même état quantique.
2 Les ordres de grandeur typiques sont
et

e  0,1 nm

E  100 kJ.mol-1

3 Effectuons un développement de l'énergie potentielle autour de e à l'ordre 2
Ep ()  Ep (e ) +

dEp
1 d2 Ep
(e ) ( - e ) +
(e ) ( - e )2
d
2 d2

Or e est la longueur d'équilibre qui correspond à un minimum d'énergie 
potentielle :
dEp
(e ) = 0
d
D'où

Ep () = -E +

et

1
k ( - e )2
2

Ep (e ) = -E
avec

k=

d2 Ep
(e )
d2

On reconnaît l'expression de l'énergie potentielle d'un ressort de longueur à 
vide e
et de constante de raideur k = d2 Ep /d2 (e ).
Compte tenu de la convexité de la courbe on notera que k = d2 Ep /d2 (e ) est
une grandeur positive. De plus, le développement limité étant réalisé autour
de la longueur d'équilibre, ce modèle ne rend compte que des mouvements
de faible élongation de la liaison.
4 L'énergie cinétique Ec de la molécule AB dans le référentiel du laboratoire 
est la
somme de l'énergie cinétique de l'atome A et de l'atome B :
Ec =

1
1
mA vA 2 + mB vB 2
2
2

5 Notons U l'énergie interne de N molécules de gaz dans l'air, V la vitesse 
quadratique moyenne des molécules de gaz et m la masse d'une molécule. En 
supposant que
l'air est un gaz parfait, on a
N Ec = U
N
3
m V2 = n R T
2
2
r
3RT
= 5 · 102 m.s-1
V=
Ma

soit
c'est-à-dire

puisque

Nm
= Ma
n

Cette vitesse est très importante, pour comparaison un avion de ligne vole à
une vitesse de croisière de l'ordre de 300 m.s-1 .
6 Par définition,
ainsi

Em = Ec + Ep
Em =

1
1
1
mA v 2A + mB v 2B - E + k ( - e )2
2
2
2

7 Appliquons le principe fondamental de la dynamique à la molécule AB dans le
référentiel du laboratoire supposé galiléen, la molécule étant isolée.
P -- -

d-
v
d-
v
A
B
mA
+ mB
= Fext = 0
dt
dt

De plus, en introduisant un point O fixe dans le référentiel du laboratoire 
dans la
relation définissant le barycentre G de la molécule
--
-
--
- -

mA GO + mA OA + mB GO + mB OB = 0
que l'on dérive par rapport au temps

soit
Ainsi

-

-

-
 -
-mA -
v
G + mA vA - mB vG + mB vB = 0
m -
v + m -
v = (m + m ) -
v
A A

B B

A

B

G

-
d-
v
d-
v
d-
v
G
A
B
(mA + mB )
= mA
+ mB
= 0
dt
dt
dt

-
d-
v
G
= 0
dt

c'est-à-dire

On en déduit que le référentiel barycentrique est en translation rectiligne 
uniforme
par rapport au référentiel du laboratoire supposé galiléen.
Le référentiel barycentrique de la molécule est donc galiléen.
8 Utilisons la relation de l'énergie mécanique de la molécule obtenue à la 
question 6
1
1
1
mA vA 2 + mB vB 2 + k ( - e )2
2
2
2
De plus, en utilisant le théorème de Chasles dans la relation du barycentre
Em + E =

--
-
--
-
- -

mA GO + mA OA + mB GO + mB OA + mB AB = 0