Mines Physique 2 MP 2016

Thème de l'épreuve Détection des exoplanètes
Principaux outils utilisés mécanique, thermodynamique, électrocinétique
Mots clefs lois de Kepler, théorème de Gauss, référentiel non galiléen, effet Doppler, vitesse de libération, agitation thermique, pouvoir séparateur, bruit, réfrigérateur ditherme, évaporation, atténuation, loi de Friis, condensateur

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A 2016 - PHYSIQUE II MP CONCOURS COMMUN MINES PONTS Ecole des PONTS ParisTech, ISAE-SUPAERO, ENSTA ParisTech, TELECOM ParisTech, MINES ParisTech, MINES Saint-Etienne, MINES Nancy, TELECOM Bretagne, ENSAE ParisTech (Filiere MP). CONCOURS 2016 SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE (Duree de l'epreuve: 3 heures) L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est autorise. Sujet mis a la disposition des concours : Concours Commun TPE/EIVP, Concours Mines-Telecom, Concours Centrale-Supelec (Cycle international). Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page de la copie : PHYSIQUE II - MP L'enonce de cette epreuve comporte 8 pages de texte. Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amene a prendre. Physique II, annee 2016 -- filiere MP Detection des exoplanetes L'exploration de planetes lointaines a fourni a la litterature et au cinema de science-fiction des oeuvres parmi les plus celebres ; citons La planete des singes (Pierre Boulle, 1963), Avatar (James Cameron, 2009)... L'existence de ces planetes extra-solaires est longtemps restee incertaine jusqu'a une premiere decouverte en 1995 ; la millieme exoplanete a ete confirmee en octobre 2013 ; un an plus tard ce nombre a double. Ce probleme aborde le delicat enjeu de leur detection. Toutes les orbites envisagees dans ce probleme sont circulaires. Les donnees utiles pour les applications numeriques sont rassemblees en fin d'epreuve. I. -- Fascinantes exoplanetes I.A. -- Une loi fondamentale Dans un document concernant les methodes de detection des exoplanetes, on lit : le mouvement relatif de la planete autour de son etoile est gouverne par la 3 e loi de Kepler, ou si l'on prefere par la relation qui exprime l'equilibre entre l'attraction gravitationnelle et la force centrifuge . On considere une planete assimilee a un point materiel P de masse MP , tournant avec la periode TP a la distance rP de son etoile consideree comme le point fixe E de masse ME MP . Toute autre action sur P que l'attraction gravitationnelle de E est negligee. 1 -- Schematiser cette description et preciser les deux referentiels permettant de comprendre l'utilisation de la notion d' equilibre dans la citation ci-dessus. En deduire la 3e loi de Kepler reliant rP , ME , TP et la constante de la gravitation G . Cette relation est transposable chaque fois qu'un petit corps de masse m orbite autour d'un astre de masse tres superieure, toute autre action etant negligee et la duree mise en jeu permettant l'approximation galileenne. I.B. -- Principales caracteristiques de la planete On envisage un vaisseau d'exploration spatiale E de masse m, s'approchant d'une planete P d'apparence parfaitement spherique, de rayon RP , dont la periode siderale de rotation sur ellememe est tP = 19 h 30 min (les unites sont celles en vigueur sur Terre). Il commence par se mettre en orbite equatoriale basse, d'altitude h ; la periode de cette orbite dans le referentiel planetocentrique est de 2,00 h. Tout en sondant l'atmosphere et en observant la surface, les astronautes (sans prejuger de leur nationalite !) se livrent a quelques calculs. 2 -- Calculer la masse MP si RP = 5000 km, h = 100 km ; peut-on envisager pour cette planete une structure comparable a celle de la Terre : croute et manteaux rocheux entourant un noyau metallique de densite de l'ordre de 10 et de rayon correspondant a environ 50% du rayon terrestre ? Des arguments quantitatifs sont attendus. 3 -- Rappeler le theoreme de Gauss pour la gravitation dans le cas d'une distribution de masse a symetrie spherique. Sous cette hypothese, calculer la valeur numerique du champ gravitationnel a la surface de cette planete. 4 -- Rappeler succinctement l'origine de la difference entre champ gravitationnel et acceleration de la pesanteur a la surface d'un astre. Calculer les valeurs de l'acceleration de la pesanteur aux poles et a l'equateur de la planete ; cet ecart serait-il mesurable avec un dispositif d'etude utilise au lycee : enregistrement video d'une chute libre puis traitement informatique ? Quels autres dispositifs pourrait-on proposer ? Page 2/8 Tournez la page S.V.P. Physique II, annee 2016 -- filiere MP 5 -- Un corps quittant radialement la surface de la planete (ou son voisinage immediat) avec une vitesse suffisante peut s'eloigner indefiniment de l'astre : la vitesse minimale qui le permet, en negligeant toute autre action sur le corps que l'attraction gravitationnelle de la planete, est appelee vitesse de liberation. En utilisant un raisonnement base sur l'energie, determiner l'expression de la vitesse de liberation de la planete P , en fonction de G , MP , et RP . Faire l'application numerique. La figure 1 donne la densite de probabilite du module de la vitesse dans certains gaz parfaits differenties par leurs masses molaires et en equilibre thermodynamique a 290 K . L'abscisse du maximum est la vitesse la plus probable vpp , elle represente environ 80% de la vitesse p 2 quadratique moyenne definie par v = hv i. P(v)£10 4 25 20 6 -- Les gaz de l'atmosphere de la planete P etant assimiles a des gaz parfaits en equilibre thermique a une temperature T0 proche de 290 K, utiliser les courbes fournies pour discuter l'eventualite que cette planete retienne une atmosphere contenant plus ou moins les memes especes que celle de la Terre. 44 g.mol -1 32 g.mol -1 15 18 g.mol -1 Les molecules de l'atmosphere etant soumises a l'agitation thermique, leur energie cinetique 4 g.mol se decompose selon trois degres de liberte in5 dependants : hv 2 i = hvx2 i + vy2 + hvz2 i. v [km.s-1] 7 -- Determiner l'expression theorique de 0 0 1 2 3 la vitesse quadratique moyenne des molecules Figure 1 ­ Distribution des vitesses dans un gaz de masse molaire M a la temperature T . Faire le calcul pour le dioxygene eventuellement present, a T = 290 K et verifier la coherence avec les informations fournies sur la figure 1. 10 -1 I.C. -- Detection d'une exoplanete depuis la Terre Les voyages interstellaires etant aujourd'hui hors de notre portee, il faut se contenter de ce qu'on peut apprendre depuis la Terre et les telescopes spatiaux. A partir d'observations effectuees a l'Observatoire de Haute-Provence (OHP), les astronomes Michel Mayor et Didier Queloz, de l'observatoire de Geneve, ont pour la premiere fois formellement identifie en 1995 une planete extra-solaire ; elle orbite autour de l'etoile 51­Pegase, a 42 annees-lumiere de la Terre. Depuis, les possibilites techniques ont permis de multiplier les decouvertes, et aussi d'acquerir de plus en plus d'informations sur ces astres. On s'interesse particulierement a leur temperature et a la composition de leur atmosphere. Le telescope de l'OHP qui a permis la decouverte offre un diametre d'objectif d = 193 cm . Il est situe dans un site d'observation de grande qualite. En supposant qu'il ne soit limite que par la diffraction, on pourrait en obtenir un pouvoir separateur angulaire de l'ordre de 1,2 (rad), d designant la longueur d'onde observee. On rappelle que le pouvoir separateur mesure le plus petit angle separant les rayons venant de deux points-sources que l'on parvient a voir comme distincts l'un de l'autre. 8 -- Dans l'ideal, une observation depuis le voisinage de 51­Pegase avec le telescope de l'OHP permettrait-elle de separer Jupiter du Soleil ? En dehors de la limite du pouvoir separateur, quel(s) autre(s) obstacle(s) s'oppose(nt) a l'observation visuelle directe d'une exoplanete ? Page 3/8 Tournez la page S.V.P. Physique II, annee 2016 -- filiere MP Les exoplanetes sont en fait detectees indirectement, par exemple par les variations de luminosite induites lorsqu'elles passent devant ou derriere l'etoile (methode du transit), ou par les petits mouvements que leur attraction imprime a l'etoile autour de laquelle elles orbitent. Nous allons nous interesser a cette methode, dite de la vitesse radiale. On utilise pour cela l'effet Doppler affectant les ondes electromagnetiques : si l'emetteur E est anime d'une vitesse radiale d'intensite vr par rapport a l'observateur O, et si la frequence emise est f , la frequence recue en O est f + f . Ce decalage f est positif si l'emetteur et l'observateur se rapprochent l'un de l'autre (vr < 0) et negatif dans le cas contraire (vr > 0). | Si |vr | c, hypothese supposee valide ici, on montre alors que |f = |vcr | . f On considere que l'emetteur est une etoile E accompagnee d'une planete P et que toutes les deux tournent autour de leur barycentre G avec la meme periode T . La Terre est en O dans le plan de l'orbite. Le systeme observe s'eloigne globalement de la Terre a la vitesse radiale ~vG . L'ensemble est represente sur la figure 2, vu de dessus. Dans la realite OG GP GE, de sorte que les mouvements de E sont tres difficiles a observer directement. On reconnait la vitesse radiale ~vG de G par rapport a Oxyz, et on designe par ~v la vitesse de E par rapport a Gxyz (les directions fixes xyz ne sont pas precisees). On supposera de plus que vG = k~vG k > v = k~v k. 9 -- Exprimer l'intensite vr de la vitesse radiale de E par rapport a O, en fonction de vG , v et , puis l'amplitude de la variation du decalage en frequence par effet Doppler f = 21 (|f |max - |f |min ). v~ O E µ G ~vG P Figure 2 ­ Etoile-Planete 10 -- Expliquer comment le suivi temporel du decalage en frequence de la lumiere emise par une telle etoile permet de connaitre la periode T . Pourquoi cette methode a-t-elle permis la decouverte initiale de planetes proches de leur etoile ? Determiner l'expression du rayon GE de l'orbite de l'etoile autour de G, en fonction de f , f , c et T . Nos connaissances sur la structure et le fonctionnement des etoiles permettent de deduire leur masse de leur luminosite. La masse ME est par consequent raisonnablement connue. 11 -- En tenant compte du fait que ME MP , determiner des expressions approchees de MP et P E en fonction de G , T , ME et GE. 12 -- Pour avoir une idee de la precision requise dans les mesures, reprenons l'exemple du couple Soleil-Jupiter, cette planete etant la plus massive de notre systeme. Calculer la valeur de f /f qu'un astronome extraterrestre devrait etre capable de mesurer pour mettre en oeuvre la methode etudiee. Cette approche d'un probleme experimental nous a montre l'extreme difficulte de certaines mesures, pour lesquelles le signal utile, ici la variation de la frequence, est d'une part tres faible et d'autre part facilement masque par les incertitudes induites par les fluctuations diverses du signal emis, par les perturbations qu'il subit lors de sa propagation, par des signaux parasites qui s'y ajoutent, par sa transformation en signal electrique, par la transmission ensuite de ce signal electrique dans une chaine de traitement... Dans les prochaines parties, nous allons nous interesser a quelques aspects lies a ces questions FIN DE LA PARTIE I Page 4/8 Tournez la page S.V.P. Physique II, annee 2016 -- filiere MP II. -- Detection d'un signal faible II.A. -- Extraction d'un signal faible du bruit par effet de moyenne Un detecteur enregistre un spectre en le decomposant sur plusieurs canaux numerotes de 1 a N . Chacun de ces canaux represente une bande de frequence tres etroite. Lors d'une sequence d'acquisition, le detecteur enregistre une serie de valeurs xk = sk + bk pour k variant de 1 a N . L'eventuel signal sk est celui dont la detection est souhaitee. Le signal bk est un parasite appele bruit ; differents phenomenes physiques sont a l'origine du bruit, a commencer par l'agitation thermique des porteurs de charges. Le bruit considere, bk , prend une valeur aleatoire de moyenne b independante de k. La dispersion autour cette moyenne est supposee gaussienne d'ecart-type ; c'est-a-dire que pour un grand nombre n d'acquisitions independantes dont les resultats sont ajoutes canal par canal, la valeur moyenne du signal sommesera nb et l'ordre de grandeur de la dispersion de chaque cote de cette valeur moyenne sera n . 1200 N = 111 - n = 100 b = 10 - ¾ = 5 N = 111 - n = 1 25 b = 10 - ¾ = 5 1100 20 15 1000 10 900 5 0 0 20 40 60 80 100 800 0 20 40 60 80 100 Figure 3 ­ Acquisition d'un bruit (sk = 0 pour tout k) sur N = 111 canaux avec b = 10 et = 5. La figure de gauche represente 1 acquisition, celle de droite la somme canal par canal de 100 acquisitions independantes. 13 -- Representer l'allure du graphe que l'on pourrait obtenir apres 2500 acquisitions, l'axe des ordonnees etant clairement gradue dans sa partie utile. On considere maintenant qu'en plus du bruit gaussien d'amplitude b = 10 et d'ecart-type = 5 present constamment sur chaque canal, un signal utile non nul, constant et d'amplitude 1 est present uniquement sur les canaux 34 et 67 a chaque acquisition. 14 -- Le signal utile est-il detectable par une seule acquisition ? Representer l'allure de la somme canal par canal de 2500 acquisitions. Le signal est-il devenu detectable ? 15 -- Dans le cadre d'un bruit de dispersion et d'amplitude b, estimer le nombre n d'acquisitions permettant de faire apparaitre un signal constant d'amplitude sp dans le canal p. L'expression obtenue montre qu'une reduction du bruit permet de diminuer de facon importante les durees d'integration necessaires. Dans le cas du bruit thermique, dont l'amplitude est proportionnel a la temperature absolue, il importe donc de refroidir fortement le systeme. Page 5/8 Tournez la page S.V.P. Physique II, annee 2016 -- filiere MP II.B. -- Refroidissement d'un capteur a bord d'un satellite Dans le vide interplanetaire, un satellite d'observation astrophysique recoit le rayonnement solaire et se refroidit egalement par rayonnement. Son electronique de commande doit travailler autour de 300 K, tandis que des capteurs doivent etre refroidis a quelques Kelvins voire une fraction de Kelvin. La configuration du satellite, la mise en place d'isolants ou de radiateurs, son positionnement par rapport au rayonnement, permettent de controler grossierement la temperature de ses differentes parties, ce qui limite l'utilisation energivore de systemes de chauffage ou de refroidissement. L'etude et les calculs que nous allons mener sont bases sur les informations disponibles pour le satellite Planck, qui de 2009 a debut 2012 a cartographie les infimes fluctuations du rayonnement de fond cosmologique, dans le domaine des micro-ondes. Des systemes d'ecrans et de radiateurs passifs permettent d'abaisser la temperature, du cote des instruments, a une temperature T de l'ordre de 50 K ; il convient alors de refroidir les capteurs a une temperature beaucoup plus basse pour augmenter leur sensibilite. Envisageons tout d'abord des systemes frigorifique de type refrigerateur ditherme fonctionnant de maniere cyclique entre deux temperatures Tc et Tf < Tc grace a un travail recu W . 16 -- Definir le fonctionnement d'un refrigerateur ditherme a l'aide d'un cycle modelise. Analyser ce cycle a partir des principes de la thermodynamique. En deduire l'expression de l'efficacite maximale theorique d'un tel refrigerateur. A bord du satellite Planck, un premier refrigerateur, d'une puissance frigorifique de 1 W, travaille entre 50 K et 20 K, puis un deuxieme, d'une puissance frigorifique de 15 mW, abaisse la temperature de certains equipements a 4 K. 17 -- Calculer la puissance electrique minimale consommee par chacun de ces appareils. 18 -- Dans une note descriptive sur le satellite Planck on peut lire Les puissances cryogeniques peuvent sembler faibles au premier abord. L'objectif de ces refrigerateurs est en fait ambitieux : le refrigerateur qui equipe notre cuisine doit evacuer seulement 7% environ de l'energie thermique de son contenu. Ici l'etage a 20 K doit evacuer 60% de l'energie thermique initiale, et 80% de cette energie pour l'etage a 4 K . Verifier par le calcul les valeurs annoncees. Un autre moyen pour maintenir la temperature d'un instrument a quelques Kelvins est d'utiliser un cryostat a circulation d'helium liquide, en circuit ouvert : l'helium se vaporise progressivement et s'echappe dans l'espace. Pour abaisser encore la temperature, on utilise meme la dilution de 3 He dans 4 He ; le principe est le meme (evaporation en circuit ouvert) et cela permet de travailler autour de 0,1 K. 19 -- Rappeler l'allure generale de la courbe d'equilibre entre liquide et gaz, en coordonnees (T,P ). Pourquoi l'helium circulant dans un serpentin en contact avec un instrument se vaporiset-il ? Comment peut-on obtenir une temperature controlee d'un melange liquide-gaz ? Quel appareillage supplementaire serait-il necessaire de prevoir si l'helium liquide circulait en circuit ferme ? FIN DE LA PARTIE II Page 6/8 Tournez la page S.V.P. Physique II, annee 2016 -- filiere MP III. -- Transmission d'un signal bruite Precisons tout d'abord quelques notations : · Si P est une puissance, on notera P db = 10 log10 P sa valeur en decibels ; · Si P designe la puissance d'un signal et PB la puissance du bruit B, on notera R db le P rapport signal sur bruit exprime en decibels, soit R db = 10 log10 ; PB · Lorsqu'un signal traverse un equipement, on note respectivement PE et PS les puissances PS . d'entree et de sortie, et le gain defini par = PE III.A. -- Attenuation de R par un cable de transmission On considere la propagation d'un signal dans une ligne assimilee a un axe (O,b ux ) ; la puissance de ce signal a l'abscisse x est notee P (x). 20 -- Construire un modele usuel dans lequel la puissance absorbee par la ligne de transmission dans un element de longueur dx est localement proportionnelle au produit P (x)dx. En deduire qu'apres une longueur entre l'entree E et la sortie S de la ligne, on a PSdb = PEdb - , ou le facteur d'attenuation s'exprime en fonction des caracteristiques d'absorption et de . On introduit dans ce modele un bruit d'origine thermique de puissance moyenne PB , present sur toute la ligne. 21 -- Etablir dans ce cas la relation entre , REdb et RSdb . A quelle condition le signal de sortie sera-t-il utilisable ? Que devra-t-on faire pour transmettre des signaux a grande distance avec des lignes de caracteristiques imposees ? III.B. -- Transmission du bruit par une chaine d'equipements On s'interesse maintenant a un signal traite par une suite d'appareils en cascade : amplificateurs, filtres, etc. Afin de prendre en compte l'action de ces instruments sur le bruit, par analogie avec le phenomene d'attenuation, on definit le facteur de bruit F d'un instrument par la relation F = REdb - RSdb . On supposera que F est positif. 22 -- Montrer que pour un instrument donne, de facteur de bruit F et de gain , recevant en entree un signal bruite par BE , on a PBS = f PBE . On verifiera que f > 1 et on exprimera f en fonction de F . Les instruments sont maintenant en serie (ou cascade). L'instrument k est caracterise par un couple (k ,fk ). La puissance du bruit entrant dans chaque instrument est supposee independante de ces instruments, elle sera note PBE . La chaine est supposee lineaire, c'est-a-dire qu'en notant PSk la puissance en sortie de l'instrument k on aura PSk = k (PSk-1 - PBE ) + PBSk pour tout entier k 2. La chaine est dite auto-alimentee, cela signifie que PS1 = PBS1 . On peut donc schematiser la chaine de traitement par la figure 4. BE BE (° 1 ; f1 ) Instrument 1 BE (° 2 ; f2 ) Instrument 2 ... (° k ; fk ) ... Instrument k Figure 4 ­ Modelisation d'une chaine de traitement bruitee Page 7/8 Tournez la page S.V.P. Physique II, annee 2016 -- filiere MP 23 -- Determiner l'expression de PS2 . On pose 12 = 1 2 , determiner l'expression de f12 qui permettrait de caracteriser l'ensemble des deux premiers instruments par un couple (12 ,f12 ) dans une chaine auto-alimentee equivalente. 24 -- On pose 13 = 3 12 , apres avoir determine f13 , demontrer la loi de Friis donnant le facteur de bruit f1n d'un instrument equivalent a l'association en cascade de n instruments. Quel est l'instrument qui va determiner la qualite de la chaine dans une association en cascade de n amplificateurs ? FIN DE LA PARTIE III IV. -- Exemple de bruit thermique elementaire Considerons un condensateur ideal de capacite C, charge sous une tension constante U , en equilibre thermique a la temperature T avec un circuit electrique. L'agitation thermique provoque des echanges aleatoires de charges entre le condensateur et le circuit, de sorte que la tension instantanee u(t) aux bornes du condensateur peut s'ecrire u(t) = U + b(t), ou la tension de bruit thermique b(t) est de moyenne nulle. 25 -- Determiner l'expression de l'energie electrique moyenne hEC i stockee dans le condensateur, en fonction de C, U et b2 = hb2 i. 26 -- On admet que le bruit thermique genere dans le circuit au niveau du condensateur est associe a un degre de liberte energetique quadratique. Determiner l'expression de b en fonction de T , C et kB . Commenter le sens de variation de b avec C. Commenter la valeur numerique obtenue pour C = 47 nF a temperature ambiante. FIN DE LA PARTIE IV Donnees numeriques : · Celerite de la lumiere dans le vide : c = 3,00 · 108 m · s-1 ; · Constante de Boltzmann : kB = 1,38 · 10-23 J · K-1 ; · Nombre d'Avogadro : NA = 6,02 · 1023 mol-1 ; · Constante de la gravitation : G = 6,67 · 10-11 m3 · kg-1 · s-2 ; · Pour le Soleil : -- masse : MS = 1,99 · 1030 kg . · Pour la Terre : -- masse : MT = 5,97 · 1024 kg ; -- rayon moyen : RT = 6,37 · 103 km ; -- periode de revolution : TT = 365,24 jours terrestres ; -- vitesse de liberation a sa surface : 11,2 km · s-1 . · Pour Jupiter : -- masse : MJ = 1,90 · 1027 kg ; -- periode de revolution : TJ = 4335 jours terrestres ; -- demi-grand axe de l'orbite : aJ = 778 · 106 km. FIN DE L'EPREUVE Page 8/8

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 Mines Physique 2 MP 2016 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Tom Morel (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Valentin Raban (ENS Lyon) et Louis Salkin (Professeur en CPGE). Ce sujet, composé de quatre parties indépendantes de longueurs inégales, porte sur les exoplanètes et leur détection. · La première partie s'intéresse aux propriétés d'une exoplanète et au moyen de détection par la méthode de la vitesse radiale. On commence par étudier le champ gravitationnel de la planète et on introduit la vitesse de libération pour déterminer les caractéristiques de son atmosphère. Puis on établit les différentes relations qui permettent d'obtenir des informations telles que la masse et le rayon de l'orbite de l'exoplanète. Reposant sur de nombreuses notions vues en première année, cette partie permet notamment de réviser des calculs de mécanique céleste. · L'étude de la diminution d'un bruit est réalisée dans la deuxième partie. On analyse d'abord une méthode d'extraction d'un signal faible noyé dans un bruit en augmentant le nombre d'acquisitions du signal total. On termine par quelques questions sur un dispositif de refroidissement des composants électroniques. · La troisième partie est consacrée à l'atténuation d'un signal dans un câble de transmission soumis à un bruit thermique. En partant d'un modèle unidimensionnel simple d'atténuation, on détermine les conséquences d'une mise en cascade d'équipements soumis au même bruit thermique. Cette partie repose essentiellement sur des bilans de puissance. · Enfin, le problème s'intéresse au bruit thermique dans un condensateur. Cette épreuve est de longueur raisonnable et alterne questions de cours et raisonnements plus difficiles. Peu de résultats intermédiaires sont donnés ; toutefois, le sujet comporte suffisamment de passages indépendants pour qu'il soit toujours possible de progresser. Hormis deux ou trois questions de mécanique de seconde année portant sur les référentiels non galiléens et le théorème de Gauss appliqué au champ de gravitation, l'ensemble du sujet peut être traité dès la première année. Il peut servir de révision en mécanique céleste. Indications Partie I 4 L'accélération de la pesanteur contient l'accélération d'entraînement, qui s'écrit -- - 2 a ie = - HM avec la vitesse angulaire et H le projeté du point M sur l'axe de rotation. 5 Utiliser la conservation de l'énergie mécanique avec Em () = 0. 6 Les particules restent dans l'atmosphère si leur vitesse d'agitation thermique est plus petite que la vitesse de libération. 8 Comparer numériquement le pouvoir séparateur du télescope et l'angle qui sépare Jupiter et le Soleil à une distance de 42 années-lumière. 9 D'après le schéma fourni, - v ·- v = -v v sin G G 11 Écrire la relation du barycentre avec les points E, P et G. Partie II 13 Après n acquisitions, le rapport de l'écart-type sur la moyenne est proportionnel à 1/ n. 14 Comparer l'amplitude du signal utile et l'écart-type du bruit. 15 Le signal peut être considéré comme visible si le rapport de l'amplitude du signal utile sur l'écart-type du bruit est au minimum égal à 2. 17 Calculer numériquement les efficacités et utiliser PF = e PW où PF est la puissance frigorifique et PW la puissance électrique. Partie III 20 Introduire le coefficient d'atténuation linéique et faire un bilan d'énergie sur une tranche comprise entre x et x + dx. 23 Comparer l'expression de PS2 trouvée avec l'expression de la puissance du bruit de sortie du système 1-2, PBS12 = 12 f12 PBE Partie IV 25 Utiliser la relation de la puissance électrique P = u(t) i(t) et la formule du condensateur q(t) = C u(t). Détection des exoplanètes I. Fascinantes exoplanètes 1 Le système est représenté ci-dessous. On distingue le référentiel lié au point E et celui lié au point P. Comme E est supposé fixe dans le référentiel de l'Univers, le référentiel lié à E est plus galiléen que celui lié au point P. Le référentiel lié à P est un référentiel non galiléen. Il faut donc prendre en compte la force d'inertie d'entraînement dans le référentiel lié à P. Dans le référentiel lié à E, le point P est en mouvement circulaire uniforme de rayon rP autour du point E. L'accélération se met sous la forme suivante : - e - er rP P v2 - er a =- - rP E Appliquons le principe fondamental de la dynamique au point P dans le référentiel lié à E supposé galiléen, MP - a =- G MP ME - er rP 2 - Projetons cette relation sur er , -MP d'où v2 G MP ME =- rP rP 2 r G ME v= rP Comme le mouvement de P est circulaire uniforme, v = 2 rP /TP . Ainsi 2 G ME 2 rP = TP rP TP 2 4 2 = 3 rP G ME donc 2 Le vaisseau se trouve à l'altitude h donc rP = RP + h. Appliquons la troisième loi de Kepler au vaisseau qui gravite autour du point P, tE 2 (RP + h) 3 = 4 2 G MP avec tE la période du vaisseau autour de ce point. Dans ce cas, MP = 4 2 (RP + h)3 = 1,51 · 1024 kg G tE 2 Imaginons une structure comparable à celle de la Terre : un manteau de masse volumique mant homogène et un noyau de masse volumique n = 104 kg.m-3 de rayon RP /2. La masse totale MP s'écrit 3 3 4 RP 4 4 RP 3 MP = n × + mant RP - 3 2 3 3 2 Il vient mant = 3MP - n × 4 (RP /2)3 = 1,9 · 103 kg.m-3 4 RP 3 - (RP /2)3 Cette valeur est tout à fait pertinente pour un manteau rocheux. La structure de la planète est probablement comparable à celle de la Terre. 3 L'énoncé du théorème de Gauss appliqué au champ de gravitation est le suivant : Soit S une surface fermée s'appuyant sur un volume V. Le flux sortant du champ gravitationnel à travers S s'écrit ZZ - - G · d S = -4G Mint S où Mint est la masse intérieure à la surface S. - Tous les plans contenant le centre de la sphère et le vecteur er sont des plans de symétrie de la distribution de masse. Par conséquent, - G = G(M) - er La distribution de masse est invariante par rotation selon et , d'où - G = G(r) - er Appliquons le théorème de Gauss sur une surface sphérique S de rayon RP . Comme Mint = MP , il vient 4 RP 2 G(RP ) = -4G MP c'est-à-dire d'où - G MP - G =- er RP 2 - G MP k Gk = = 4,03 m.s-2 RP 2 4 La pesanteur est définie dans le référentiel non galiléen de la planète. Dans la définition de l'accélération de la pesanteur, il faut prendre en compte l'accélération d'entraînement - a ie . Introduisons le projeté H d'un point M à la surface de la planète sur l'axe de rotation de la planète. La force d'inertie d'entraînement appliquée à ce point s'écrit - -- 2 f ie = -m - a ie = m HM - ez H avec la vitesse angulaire de la planète autour de son axe de rotation. Le poids m- g est la somme de la force de gravitation et de la force d'inertie d'entraînement. Divisons par m de part P et d'autre, - - g = G -- aie -- - -- Or HM = 0 sur les pôles et HM = RT - ex à l'équateur. Donc - g pôles = k G k = 4,03 m.s-2 - M RP - ex