Mines Physique 2 MP 2015

Thème de l'épreuve Nature de la gravitation
Principaux outils utilisés mécanique, électromagnétisme
Mots clefs pendule de torsion, couple, théorème du moment cinétique, force d'inertie d'entraînement, analogie gravitation/électromagnétisme, matière noire, théorie de Mond, antimatière, piège de Penning, équipotentielle, ligne de champ, particule chargée dans un champ électromagnétique, incertitudes

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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT--ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP) ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2015 SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE Filière MP (Durée de l'épreuve: 3 heures) L'usage de la calculatrice est autorisé Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE--EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE Il -- MP. L'énonce' de cette épreuve comporte 8 pages. -- Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura été amené à prendre. -- Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. NATURE DE LA GRAVITATION Un aspect fondamental de la gravitation est le principe d'équivalence. Introduit par GALILÉE au début du XVIIEUR siècle alors qu'il étudiait la chute des corps, il fut le point de départ du développement de la théorie de la gravitation. Un peu moins d'un siècle plus tard, NEWTON fut le premier à décrire l'interaction gravitationnelle par une formule. Il en déduisit la version la plus élémentaire du << principe d'équivalence faible >> : la trajectoire d'un corps tombant en chute libre ne dépend ni de sa structure, ni de sa composition. Si l'on sait aujourd'hui que la gravitation régit la dynamique des composantes de l'Univers (planètes, étoiles, galaxies, ..), l'observation récente de l'expansion de l'Univers a conduit a se poser des questions fondamentales sur les théories de la gravitation classique. L'introduction dans la théorie cosmologique de l'énergie noire, qui serait la contribution énergétique majoritaire de l'Univers, permet d'expliquer certaines observations mais sa nature et ses propriétés restent principalement théoriques. Certaines extensions de la théorie de la gravitation suggèrent même l'existence d'une répulsion gravitationnelle entre matière et antimatière, nommée antigravité. La première partie propose une description de l'expérience d'EÔTVÔS ayant permis, dès la fin du XIX6 siècle, de valider une version réduite du principe d'équivalence avec une grande précision pour l'époque. La seconde partie remet en cause le principe d'équivalence et propose une retouche des lois de NEWTON sur la gravitation universelle. La dernière partie s'intéresse au projet GBAR proposant de peser l'antimatière. Les parties 1, H et III sont indépendantes entre elles. On notera i le nombre complexe tel que i2 = --1. Les données numériques et un formulaire sont rassemblés en fin d'épreuve. Les vecteurs sont repérés par une flèche (17) ou par un chapeau s'ils sont unitaires (HÜæH : 1). I. -- L'expérience d'EÔTVÔS Ü 1 -- Qu'appelle--t--on << principe d'inertie >> en mécanique? Enoncer le principe fondamental de la mécanique dans un référentiel galiléen. La grandeur caractéristique du mobile étudié dans cette expression porte, ici et dans la suite, le nom de masse inerte in,-. Nature de la gravitation Ü 2 -- Expliciter la force de gravitation entre deux points matériels. On introduira le paramétrage nécessaire sur un schéma. La grandeur caractéristique du mobile intervenant dans cette expression porte le nom de masse grave ou masse pesante. Quantifier les déviations possibles au principe d'équivalence faible suppose que l'on puisse considérer les masses inertielle m,- et grave (ou pesante) m comme pouvant être différentes. Les premières mesures précises des écarts relatifs entre masses inertielle et grave, ont été obtenues par comparaison des périodes de deux pendules simples de masse et de composition différentes; cette méthode, d'abord décrite par GALILÉE, a été menée par NEWTON (1686) ou encore BESSEL (1826) et a conduit a des valeurs d'écarts relatifs compris entre 10_3 et 10--5. L'invention du pendule de torsion par EÔTVÔS autour de 1888, permit d'augmenter fortement la sensibilité. I.A. -- Mesure du coefficient de torsion du pendule L'expérience d'EÔTVÔS utilise un pendule de torsion. Dans le dispositif simplifié, représenté sur la figure 1, deux sphères appelées S1 et S2, homogènes de nature différente et de même masse pesante m ont leurs centres d'inertie placés aux extrémités d'une barre rigide, de masse M et de longueur 2L, suspendue en son centre a un fil de quartz très fin, de constante de torsion C. On note m,,et m,, les masses inertielles respectives de S1 et de S2. La barre est libre de tourner autour de l'axe Oz en tordant plus ou moins le ruban de suspension. On suppose que la barre reste tout le temps de l'expérience dans le plan orthogonal à l'axe Oz. î ÀZ Le dispositif est placé de sorte qu'à l'équilibre, la barre soit normale au plan méridien a la latitude %-- _ Fil de torsion À. Sa position est alors repérée par réflexion d'un faisceau lumineux sur un miroir plan, fixé au milieu de la barre, à l'aide d'une lunette. ©1 On note % le référentiel du laboratoire centré sur 0 . Est/ et supposé galtle'en dans cette sous-partie où l'Ob-- Miroir Û\\ jectif est la détermination de la constante de tor-- mi1 '-_ "'...\..__ sion C du pendule. S1 / Ouest \. % On note JO le moment d'inertie de la barre par rap-- "_ \' Détecteur port à l'axe vertical (Oz) et J le moment d'iner-- Source À tie du système S : {barre + sphères} par rapport lumineuse a (Oz). On repère la position de la barre a l'ins-- FIG. 1 _ Dispositif d'EÔTVÔS tant t par l'angle de torsion 9(t). On fait tourner le système d'un angle @... puis on le lâche sans vitesse initiale. Le fil exerce alors sur la barre un couple de rappel dont le moment en 0 a pour intensité M0 = --C(9(t) -- Hg) , l'angle 90 repère la position de la barre en l'absence de torsion. Ü 3 -- Montrer que ce couple dérive d'une énergie potentielle que l'on déterminera. En déduire l'énergie potentielle Ep,S de S en fonction de C et 9 -- 90, on choisira Ep (Hg) : 0. Déterminer l'énergie cinétique Bas du solide S. En déduire l'expression de l'énergie mécanique de S en fonction de C , J, 9 90 et 9 = d--9. ' dt Ü 4 -- On fait l'hypothèse que la puissance totale des forces de frottement peut se mettre sous la forme Pf...t : --a92 où oz est une constante positive. Etablir l'équation différentielle vérifiée par 9(t). Ü 5 -- On observe des oscillations très faiblement amorties. Quelle est la condition satisfaite par les constantes J, C et or? Préciser la forme de la solution sans déterminer l'expression exacte des deux constantes d'intégration. Quelle est la valeur 900 de 9(t) lorsque t --> oo. Exprimer la pseudo-période T du mouvement en fonction de la période propre T0 et de la constante e = 2j'ÏÏ--C << 1. A quelle condition sur e, l'erreur relative introduite par l'approximation T : TO est--elle inférieure à 1% ? Cette condition sera supposée vérifiée par la suite. Page 2/8 Physique Il, année 2015 -- filière MP On note J1 les moments d'inertie, considérés égaux, de chacune des deux sphères par rapport à l'axe vertical passant par leurs centres respectifs. On admettra que si le principe d'équivalence faible s'applique alors J = J 0 --|-- 2.11 --|-- 2mL2. On mesure la période T des oscillations pour différentes valeurs de la longueur L avec des sphères de masse pesante m = O, 2kg. Les résultats sont consignés dans le tableau ci--dessous : .l 6 -- En utilisant les résultats précédents, écrire la relation entre T2, L2, J @, J1, m et C . À partir des résultats de mesure donner une estimation de la valeur de la constante de torsion C . Compte--tenu des ordres de grandeurs des différents termes intervenant dans l'expression de T montrer que l'on peut écrire m % ----. 87r2 L2 I.B. -- Résultats et précision de l'expérience Dans cette sous--partie le référentiel % du laboratoire centré sur 0 n'est plus supposé galiléen. et l'on prend en compte les éventuels effets de la rotation de la terre sur les masses inertes fm,--1 et fm,--2 @ priori différentes des deux sphères. On se place donc dans le référentiel %t attaché au centre de gravité G de la terre supposé galiléen. , _, A La terre est supposée en rotation uniforme a la vitesse @} (de norme cut) : wt u" autour de l'axe terrestre et le point 0 se trouve a la latitude À. Une vue l9> A\bA ® en coupe de la situation est représentée sur la figure 2. :ËË "À 0 uZ L'ensemble constitué du pendule et du système optique est solidaire ËË " d'une plateforme. Lors d'une première mesure dans la configuration de là / la figure 1, on relève une valeur 9001 pour l'équilibre du pendule. On fait 53 Méridien alors tourner la plateforme d'un angle 7r afin d'inverser les positions des É terreStre deux sphères, et l'on répète la mesure. On relève une valeur 9002 pour G R,, l'équilibre du pendule dans cette nouvelle configuration. _| 7 -- Déterminer les composantes des forces d'inertie d'entraînement FIG- 2 _ Vue en coupe subies par mil et fm,--2 dans la base (ûz,ûp, %) en fonction de À, L, cut, Rt, mil ou fm,--2. .I 8 -- En exploitant le théorème du moment cinétique à l'équilibre, déterminer l'écart angulaire AH = 9001 -- 9002 entre les deux expériences en fonction de À, C, L, cut, Rt, fm,--1 et fm,--2. .l 9 -- La lunette utilisée pour la mesure permet de détecter une déviation du faisceau lumineux de l'ordre de 1,0mm a 2,0m de distance. En utilisant l'expression de m trouvée à la question 6, déterminer la précision de la méthode en estimant le rapport 5... = .... On donne A = 45° et m L =6,0cm. J 10 -- La déviation observée est nulle. Que déduire de ce résultat ? FIN DE LA PARTIE I II. -- Corriger la gravitation universelle classique ? Leurs observations ne concordant pas avec les modèles classiques de la physique, les astronomes ont deux solutions : soit ils rajoutent arbitrairement au cosmos un ingrédient, une matière invisible qui permet de justifier les anomalies détectées, soit ils modifient les lois. Si dans leur très grande majorité, les physiciens ont, depuis 1930, privilégié la première voie, il apparaît aujourd'hui que l'imperceptibilité persistante de cette matière noire devient gênante. Après avoir mis en évidence certaines des observations qui ont conduit plusieurs astronomes a s'inter-- roger sur l'existence d'une matière noire invisible, nous aborderons quelques aspects de la théorie de la gravitation modifiée par M. MILGROM. Page 3/8 Tournez la page S.V.P. Nature de la gravitation II.A. -- Gravitation newtonienne, matière noire Depuis plus de 50 ans les astrophysiciens comparent la quantité de matière visible dans les galaxies spirales, comme notre Voie Lactée, a celle qui est nécessaire pour expliquer la vitesse de rotation des étoiles dans ces mêmes galaxies. Une galaxie est assimilable à une distribution spatiale @ de matière de masse volumique p créant un champ gravitationnel supposé statique P qui satisfait aux équations locales suivantes : divP : --47TG,0 et rdtP : (Î (1) La force de gravitation exercée par cette galaxie sur un point matériel M de masse m s'exprime alors selon la relation F : mP. Ü 11 -- Citer deux équations analogues aux équations (1) en électrostatique. Peut-on, de la même façon, proposer une analogie avec la magnétostatique? On définit le potentiel gravitationnel çb(M ) au point M, analogue du potentiel V(M ) en électrostatique. Démontrer avec soin que le potentiel gravitationnel çb(M ) satisfait à une équation de Poisson relative à la gravitation. On considère un système EUR? a répartition sphérique de masse centré sur un point 0 fixe : l'ensemble (0, EUR? ) permet de définir un référentiel galiléen. En un point M de ce système, la densité volumique de masse ,a : p(M ) et le potentiel gravitationnel çb : çb(M ) ne sont des fonctions que de la seule . _, % . , variable r : HrH : HOM ||. On suppose qu'un pomt M de masse m contenue dans EUR? n'evolue que sous l'action du champ de gravitation créé par EUR? . Pour des raisons physiques évidentes la fonction p(r) est décroissante et la fonction çb(r) croissante. Ü 12 -- Exprimer la force de gravitation Ë' subie par M en fonction de m, % et d'un vecteur unitaire que l'on précisera. Montrer que le mouvement de M s'effectue dans un plan. On considère les coordonnées polaires (r, 9) dans ce plan. Que représente la quantité r29 ? Ü 13 -- On appelle vitesse circulaire Üc(r) dans EUR? , la vitesse qu'aurait le point M s'il était en orbite circulaire de rayon r dans EUR? . Exprimer Üc(r) en fonction de r, % et %. Du point de vue dynamique, on peut a priori considérer que notre galaxie, la voie lactée de masse visible M9, est un système dont la masse est répartie de facon sphérique et constitué de trois composantes principales : un bulbe massif, un disque et un halo stellaire. Dans ce modèle, dit keplerien, le bulbe est assimilable à un point de masse Mb % Mg et chaque étoile de masse m du disque évolue dans le potentiel gravitationnel çb(r) : --GîÆb crée par le bulbe uniquement. Ü 14 -- Déterminer, dans ce modèle, l'expression de la vitesse circulaire dans la voie lactée en fonction de G, Mb, r et %. Pourquoi ce modèle est--il qualifié de keplerien? 300A k _1 vc(T) [ m's ] En réalité, la répartition des vitesses circulaires Bulbe . presente la meme allure dans toutes les galaxies sp1-- I. Sole1l rales comme la V01e Lactee. Les observations dans le 250 _ cas de la Voie Lactée sont reportées sur la figure 3. Ü 15 -- Que peut--on dire de l'évolution de UC : HUÊH en dehors du bulbe? Le modèle keplerien est--il va-- 220 4 lable? 200- .. . . . . En plus de la matiere mszble, on cons1dere une répartition de masse invisible (noire) selon la densité volumique de masse suivante : 7" [km] 0 1500 2' 4 6 810 12 1416> p(7«)=_0 râ + r2 FIG. 3 -- Vitesse circulaire dans la voie lactée Page 4/8 Physique Il, année 2015 -- filière MP Ü 16 -- En utilisant l'équation de Poisson relative a la gravitation (obtenue a la question 11) en symétrie sphérique, montrer que la prise en compte de cette matière noire permet de rendre compte de la courbe de vitesse observée. On fixera la valeur CO en unités de masse solaire (MQ) et de parsec (pc) pour une bonne adéquation avec la valeur de vitesse observée et on interprètera la constante ro. On rappelle que f" 5132 7" / 2--2da: : r -- ro arctan -- . 0 r0-+:r ro Ü 17 -- Estimer la masse minimale de ce halo de matière noire en considérant que ce dernier s'étend sur l'ensemble de la galaxie dont le rayon est de l'ordre de Rd = 30 kpc. Commenter ce résultat sachant que la masse visible de notre galaxie est de l'ordre de 1010M@. II.B. -- Gravitation modifiée Face a la situation décrite dans la section II.A, M. MILGROM propose, en 1983, de modifier les lois de Newton de la gravitation afin d'expliquer pourquoi, en périphérie des galaxies, les étoiles tournent plus vite que la loi classique ne le laisse supposer. Dans cette théorie phénoménologique, baptisée MOND (acronyme anglais de dynamique newtonienne modifiée), la gravitation se mettrait a décroître beaucoup moins rapidement que prévu par la théorie newtonienne dans le régime des faibles accélérations en deçà d'un certain seuil que l'on se propose d'évaluer. Dans cette théorie de la gravitation modifiée le potentiel de gravitation vérifie une équation de Poisson modifiée qui s'écrit div (u (u) gradgbm) : 47TGp (2) _, 2 où ,a est un champ scalaire de la variable réduite sans dimension u : al2 (gradgb...) caractérisant la 0 théorie et dont le comportement est le suivant MOEN{Ja $u<1 _ K sinon Ü 18 -- Quelle est la dimension du paramètre positif @@ ? Quelle valeur doit--on donner a la constante K si l'on souhaite que la théorie MOND soit équivalente a la gravitation newtoniene si u n'est pas négligeable devant 1. Ü 19 -- En combinant l'expression (2) avec l'équation de Poisson de la question 11 relative a la gravitation non modifiée et au potentiel newtonien gb, montrer qu'il existe un vecteur Ë tel que u(u) grédgbm : gradgb + rdtÎi. On fera par la suite l'hypothèse que rdtË est toujours négligeable devant le gradient du potentiel newtonien gb. Pour modéliser notre galaxie avec la théorie MOND il n'est plus nécessaire d'introduire de la matière noire, on prend donc simplement gb(r) : --%. Pour cette modélisation on suppose également que gb... : gb...(r) et l'on admettra que la vitesse circulaire est toujours donnée par la relation obtenue a la question 13 généralisée a gb.... Ü 20 -- Montrer que dans le régime u << 1, la vitesse circulaire prévue par la théorie MOND pour notre galaxie est donnée par la relation % : (GMbao)1/n où l'on déterminera l'entier n. Ü 21 -- Estimer la valeur numérique de @@ afin que la théorie MOND permette de rendre compte de la vitesse circulaire observée dans notre galaxie. Commenter ce résultat en évaluant un ordre de grandeur de l'accélération subie par le Soleil dans la voie lactée (voir Fig. 3). Même si MOND possède de nombreux avantages sur la gravitation de NEWTON a l'échelle galactique, la théorie relativiste associée, TEVES proposée en 2004 par J . BEKENSTEIN, pose de graves problèmes FIN DE LA PARTIE II Page 5/8 Tournez la page S.V.P. Nature de la gravitation III. -- Expérience GEAR -- Peser l'antimatière ? Plusieurs tentatives de tests directs du principe d'équivalence pour l'antimatière ont été menées sans succès. Des mesures de chute libre avec de l'antimatière chargée ont été envisagées, mais l'appareillage visant à réduire les effets parasites du champ électromagnétique par blindage n'a pu atteindre un niveau suffisant. La mesure de chute libre d'antimatière ne peut donc se faire qu'avec de l'antimatière neutre. Il est cependant très difficile de produire efficacement des antineutrons lents ou encore de mener des expériences de chute libre avec un positronium PS (état lié neutre composé d'un électron e_ et de son antiparticule, le positon e+). L'idée est donc venue d'utiliser l'atome d'antihydrogène Ê, association d'un positon e+ avec un antiproton }î. L'expérience GBAR (acronyme de Gravitationnel Behaviour of Antihydrogen at Rest) a pour objectif la mesure de l'accélération (notée ÿ) d'un atome d'antihydrogène Ê en chute libre dans le champ gravi-- tationnel de la Terre. Pour étudier sa chute avec un appareillage de taille raisonnable, l'antihydrogène Ê doit être produit a très basse vitesse. Cette expérience représente un vrai défi! On produit tout d'abord des positons rapides à partir d'un faisceau pulsé d'électrons de plusieurs MeV dirigé sur une cible de Tungstène. Les positons sont ensuites ralentis et stockés dans un piège dit de PENNING--MALMBERG sous forme de plasma non neutre. Une fois la quantité stockée suffisante, les positons sont injectés dans un convertisseur pour y subir les transformations décrites par les équations ci--dessous : p + P, --> Ê + e_ (3) Ê+P,-->Ê++e_ (4) Les ions Ê+ sont composés d'un antiproton }? et de deux positons e+. Le fait qu'ils soient chargés permet de les stocker dans un piège de PAUL en vue de leur refroidissement jusqu'à une température de quelques dizaines de ,aK. Une fois refroidis, ils sont injectés dans une enceinte à vide dans laquelle un laser peut assurer le photo-- détachement du positon excédentaire, produisant ainsi des atomes d'antihydrogène. Ultra--froids, ces derniers tombent alors dans le champ de pesanteur terrestre sur une hauteur de l'ordre de quelques dizaines de centimètres. Autour de cette enceinte, des TPC (chambres a projection temporelle) et des scintillateurs assurent une détection efficace des particules issues de l'annihilation de l'antihydrogène Ê a la fin de sa chute, quelle qu'en soit la direction. Si l'antimatière ne gravite pas exactement comme la matière (sens, durée de chute, etc.), l'expérience devrait pouvoir le détecter! Nous nous proposons dans cette partie d'étudier de facon simplifiée les techniques de stockage des particules chargées, développées dans le projet GBAR et d'étudier la calibration de la mesure. III.A. -- Piéger une particule L'objectif est de piéger une particule chargée en vue de la refroidir et la garder ainsi stockée le plus longtemps possible. L'idée la plus simple consiste a piéger cette particule dans un puits de potentiel. Le dispositif de piégeage est représenté sur la figure 4, il compte trois électrodes présentant une symétrie de révolution autour d'un axe (Oz). La première, notée 50, est en forme d'anneau de rayon interne m et d'équation 5132 + y2 -- 2752 = 7%, elle est portée à un potentiel VO positif. Les deux autres, notées 81 et 52, sont en forme de coupelles et correspondent aux deux nappes de l'hyperboloïde d'équation 5132 + y2 -- 2752 : --2zä, elles sont reliées à la masse. La . distance minimale entre les deux coupelles est telle que 2750 : \/Îr0. FIG. 4 -- Vue en coupe du piège On note V(:c, y, 75) le potentiel régnant dans le piège initialement vide de charge. Oe potentiel est donc tel que V (O, O, zo) : 0 d'une part et d'autre part si 562 + y2 = 7% alors V (a:, y, 0) = V0. On admet qu'une particule de charge q placée dans le piège est soumise à une force conservative de la 52 forme Ë' : a (a: @, + y %) + bz @ où a et b sont deux paramètres réels. Page 6/8 Physique Il, année 2015 -- filière MP Ü 22 -- En écrivant l'équation aux dérivées partielles vérifiée par le potentiel V(a:, y, z) obtenir une relation entre a et (9. Montrer que le potentiel s'écrit sous la forme V(a:, y, z) = 04 + fi(a:2 + y2 -- 2752), puis, exprimer 04 en fonction de V0 et 6 en fonction de m et V0. Ü 23 -- Tracer les équipotentielles dans les plans 55075 et oeOy, en déduire les lignes de champ orientées dans ces mêmes plans. Ü 24 -- En écrivant le principe fondamental de la dynamique montrer que le point 0 (O, O, O) est un équilibre. Montrer que cet équilibre est globalement instable quel que soit le signe de la charge placée dans ce potentiel. III.B. -- La trappe de PENNING Afin d'éliminer l'instabilité démontrée a la question 24, une première solution est d'ajouter un champ magnétique uniforme Ëg : B0ÜZ avec BO : 1,0 T autour du dispositif électrostatique. Le piège devient ainsi << une trappe de PENNING >>, le mérite de sa mise en oeuvre concrète est du a H. G. DEHMELT qui reçut le prix NOBEL de physique en 1989 pour cette réalisation, l'idée originale, de F. M. PENNING, datant de 1936. Ü 25 -- La particule piégée dans la trappe de PENNING est un antiproton }? de masse mp et de charge q = --e. Etablir les équations différentielles vérifiées par les fonctions ?: (t) et C (t) = a: (t) + iy (15). On introduira les constantes w = @ et w : Log. Montrer u'il existe un cham Bmin tel ue c mp 0 mp7'0 q p 7 q l'ajout d'un champ BD 2 Bmin conduit au confinement de l'antiproton. Calculer la valeur de Bmin pour un piège tel que V0 = 5, UV et m = 5, 7mm. Ü 26 -- Calculer la valeur numérique de wo et wc pour la trappe de PENNING considérée. En déduire que le mouvement confiné de l'antiproton dans cette trappe est la composition d'un mouvement rapide et de deux mouvements plus lents. On donnera une estimation simple des pulsations de ces trois mouvements en fonction de ado et wc. Dans l'expérience GBAR, la trappe de PENNING permet de confiner les antiprotons, dont l'énergie cinétique d'entrée est estimée a 5 MeV. Pour les applications suivantes il est nécessaire de les refroidir jusqu'à une énergie de l'ordre de 150 eV. On se pose donc la question de savoir si le mouvement oscillant des antiprotons dans la trappe permet ce refroidissement. On admet que le mouvement oscillant de l'antiproton est la source d'un rayonnement qui va contribuer a diminuer son énergie mécanique. La source principale de ce rayonnement est assurée par l'accélération selon l'axe Oz. La puissance moyenne T. = ,,,, T, Ü 27 -- Déterminer l'ordre de grandeur de la température absolue des antiprotons a l'entrée de la trappe. Montrer que le rayonnement qu'il émet conduit a une décroissance exponentielle de l'énergie mécanique de l'antiproton caractérisée par une constante de temps '7' que l'on exprimera en fonction de mp, ,u0, e, c et wo. En déduire la nécessité de recourir a une méthode de refroidissement complémentaire. Cette méthode non étudiée ici est une thermalisation par chocs élastiques sur un nuage d'électrons confinés dans la trappe. III.C. -- Principe de la mesure La mesure du temps de chute tc est donnée par la différence de temps entre la détection de l'annihilation de l'antiatome Ê et celui du tir du laser de photo--détachement. On note @@ la composante de la vitesse initiale suivant la direction de la force gravitationnelle exercée par la Terre (matière) sur l'antihydr0gène (antimatière). La masse de Ë sera prise égale a celle de Î9, c'est--à--dire mp. Ü 28 -- Le processus de refroidissement incorporé dans la trappe de PENNING permet de porter le gaz d'ions Ë+ piégés a la température T = 10 ,uK. En supposant ce gaz parfait et en négligeant les impulsions apportées par le photon lors de l'impact et par le positon émis, prévoir la vitesse initiale moyenne % d'un antihydr0gène produit par photo--détachement et estimer son écart--type ov. On exprimera av en fonction de kg, mp et T puis on calculera sa valeur numérique. Page 7/8 Tournez la page S.V.P. Nature de la gravitation Ü 29 -- En admettant l'égalité des masses inerte et grave compte--tenu des résultats obtenus en partie I, exprimer l'intensité de pesanteur ÿ supposée uniforme ressentie par un antihydrogène quittant le piège avec une vitesse verticale de module U0. On exprimera le résultat en fonction de la hauteur de chute h, du temps de chute tc et de @@ en espérant que l'antihydrogène va antigraviter! Ü 30 -- Un antiatome << tombe >> sans vitesse initiale sur une paroi située a 10, 0 cm où l'on détecte son annihilation 0, 143 s après son photo--détachement. Déterminer la valeur de ÿ correspondant a cette mesure. Ü 31 -- On détecte un grand nombre N d'antihydrogène s'annihilant sur la paroi. On note 0}, l'incertitude sur la position initiale d'un antiatome et au l'incertitude sur sa vitesse initiale dans la direction de chute déterminées précédemment. Les incertitudes sur le temps de chute libre et sur la position de détection sont négligées. En considérant que les positions et les vitesses initiales sont indépendantes et distribuées selon des lois gaussiennes, estimer l'incertitude 5ÿ sur la mesure de ÿ en fonction de tc, N, ah, kB, T et mp. Ü 32 -- On donne T = 10 MEUR et U;, = 100 mn. À partir de quelle valeur de N l'erreur relative sur la mesure de ÿ est--elle inférieure à 1% ? Tester la gravité pour l'antimatière est un véritable enjeu pour la physique fondamentale. Outre la remise en cause du principe d'équivalence et des symétries fondamentales dans l'Univers, cette expérience de pesée de l'antihydrogène, prévue pour 2016, devrait permettre de répondre a la question de l'existence ou non de l'antigravité, pouvant expliquer l'absence d'antimatière visible dans l'Univers. FIN DE LA PARTIE III FIN DE L'ÉPREUVE Formulaire et données numériques relatives à l'ensemble de l'épreuve . Constante de gravitation universelle : G = 6, 7.10-11 m3 --kg_1 -s--2 . Constante de Boltzmann : kB : 1,4-10_23J--K_1 . Vitesse de la lumière : c = 3,0 -- 108 m - s-- 0 Nombre d'Avogadro : NA : 6,0 - 1023 mol--1 . Charge élémentaire : e = 1, 6 -- 10_19 O 0 Opérateurs scalaires et vectoriels : <> rdt(grädf) : 0 <> div(rdtÂ) : () <> div(grädf) : Af . Laplacien scalaire 1 0 Masse d'un proton : m,, = 1, 7 -- 10_27 kg , , _ <> en coordonnees cartes1ennes : 7 , : = _ --31 82 82 82 0 Masse d un electron . me 9,1 10 kg Af : â_æ,£ + Û_y£ + ('a-- . Permeab1l1te magnet1que du v1de : <> en coordonnées sphériques , u0=47r--10_7H-m_1 A _ 1 & 2âf . , . f -- 725 (7° @) . Un1tes de d1stance : 1 8 _ 8 f 1 UA : 1,5 -- 1011 m ;1pc : 3,1 . 1016m +--ras...eæ (Sln9æ) 82 0 Masse du Soleil : MQ : 2, 0 -- 1030 kg +--,.2 S,1n2 9 fi . Masse de la Terre : Mt : 6,0 - 1024 kg . Rayon de la Terre : Rt : 6, 4 - 103 km Page 8/8

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 Mines Physique 2 MP 2015 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Tom Morel (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Vincent Freulon (Professeur en CPGE) et Jimmy Roussel (Professeur en CPGE). Ce problème est consacré à l'astrophysique, plus précisément à la gravitation. · La première partie présente l'expérience d'Eötvös, qui fut l'une des premières à tenter de mesurer une différence entre la masse grave et la masse inerte. Le dispositif utilise un pendule de torsion avec frottements mécaniques dont on cherche à mesurer les positions d'équilibre en prenant en compte le caractère non galiléen du référentiel terrestre. · La deuxième partie cherche à améliorer le modèle de gravitation de Newton pour rendre compte de certaines observations dans les galaxies spirales : l'étude des vitesses des étoiles de la Voie lactée conduit à une contradiction entre théorie et observations, qui est levée en introduisant la matière noire. Cependant, face à l'absence de mesures permettant d'en vérifier l'existence, un second modèle de gravitation, basé sur une théorie phénoménologique ne faisant pas intervenir la matière noire, est introduit. Cette partie repose entièrement sur l'analogie électrostatique/gravitation. · L'effet de la gravitation sur l'antimatière est au coeur de la troisième partie, qui présente un projet d'expérience. On commence par étudier une technique de piégeage de particules chargées reposant sur l'utilisation conjointe d'un champ électrostatique et d'un champ magnétostatique. Ces particules sont utilisées pour produire de l'antimatière. Les particules d'antimatière créées sont abandonnées dans le champ gravitationnel. Une étude statistique des durées de chute devrait permettre de mesurer l'intensité du champ ressenti par l'antimatière. Le sujet est très bien construit et représentatif des épreuves du concours MinesPonts. À travers des exemples tirés de la physique moderne, il donne l'occasion de faire le point sur la mécanique, notamment le programme de première année. Indications Partie I 6 Tracer la droite T2 = f (L2 ) et obtenir par régression linéaire le coefficient directeur qui est lié à C. 7 Utiliser l'expression de la force d'inertie d'entraînement pour une rotation uniforme autour d'un axe fixe -- - f i = m t 2 HM avec H le projeté du point M sur l'axe de rotation. 9 La déviation du faisceau lumineux correspond au double de l'angle . Partie II -- - 11 Par analogie avec l'électrostatique, = - grad . 12 Appliquer le principe fondamental de la dynamique en coordonnées polaires pour une trajectoire circulaire. -- 18 Le vecteur grad est homogène à une accélération d'après le principe fondamental de la dynamique. 19 Si la divergence d'un vecteur est nulle, ce dernier peut alors s'exprimer en fonction du rotationnel d'un autre vecteur. Partie III -- - 22 Appliquer la divergence à la force F = -q grad V et utiliser l'équation de Poisson dans le vide. 23 Les équipotentielles sont définies par dV = 0 et les lignes de champs sont orthogonales aux équipotentielles. 25 Les expressions, pour lesquelles le discriminant de l'équation caractéristique est soit positif, soit nul, sont divergentes en l'infini. 26 Faire un développement limité des pulsations à l'ordre le plus bas en 0 / c . 27 En moyenne, on a z 2 = 2 z 2 avec la pulsation du mouvement selon (Oz). 28 Pour un gaz parfait homogène et isotrope, v kB T mp 29 Avec un niveau de confiance à 95%, les incertitudes s'écrivent h = 2 h et v = 2 v Nature de la gravitation I. L'expérience d'Eötvös 1 Le principe d'inertie s'énonce de la façon suivante : Il existe des référentiels privilégiés, appelés référentiels galiléens, dans lesquels tout corps isolé est animé d'un mouvement rectiligne uniforme. Dans un référentiel galiléen, le principe fondamental de la dynamique stipule que pour un point matériel M de masse inerte mi et de vitesse - v soumis à des forces -- extérieures Fext : d(mi - v ) -- = Fext dt Étymologiquement, il faut éviter d'appeler ces principes les première et deuxième lois de Newton. En effet, un principe ne se démontre pas théoriquement mais n'est pas contredit par l'expérience. En mathématiques, un principe est équivalent à un postulat. Alors qu'une loi est par essence démontrable. - u cr 2 La force de gravitation Fg qu'exerce M1 de masse m1 sur - F g M2 de masse m2 est donnée par M2 r - G m1 m2 Fg = - u cr r2 M1 3 Calculons le travail du couple : W = M0 dt = M0 d W = -C ( - 0 ) d Il existe donc une énergie potentielle Ep telle que W = -dEp d'où Ep () = C ( - 0 )2 2 Par définition, l'énergie cinétique est Ec,S = Par conséquent Em = Ec,S + Ep = 1 2 J 2 1 2 C J + ( - 0 )2 2 2 4 Le théorème de l'énergie mécanique s'écrit dEm = Pfrot = - 2 dt Avec l'expression de la question précédente, on arrive après simplification à gauche et à droite par à J + + C ( - 0 ) = 0 5 Les oscillations faiblement amorties imposent d'être en régime pseudo-périodique. Le discriminant de l'équation caractéristique doit être strictement négatif, c'est-à-dire 2 - 4 C J < 0 Les solutions de cette équation sont donc 2 - + -i 4JC- r+ = - 2J On en déduit l'expression de (t) : -t 4 J C - 2 4 J C - 2 A cos t + B sin t (t) = 0 + exp 2J 2J 2J La valeur en l'infini de (t) donne = 0 La pseudo-période T, qui est la période des fonctions cosinus et sinus, s'écrit 2J T = 2 × 4 J C - 2 Mettons 4J C en facteur sous la racine et introduisons , r J 1 T = 2 × C 1 - 2 La période propre T0 est définie pour = 0 d'où T0 T= 1 - 2 Comme 1, développons à l'ordre le plus bas non nul en : 2 T T0 1 + 2 T - T0 2 T0 2 L'erreur relative s'écrit Pour avoir T/T0 inférieur à 1%, il vient < 0,14. 6 D'après la question précédente, prenons T T0 . Avec l'expression de J donnée dans l'énoncé, on obtient T2 = 4 2 (J0 + 2J1 + 2mL2 ) C Réécrivons la relation précédente sous la forme 8 2 m 2 4 2 (J0 + 2J1 ) L + C C ce qui fait apparaître une droite sous la forme a = 5,3 · 107 s2 .m-2 2 2 T = aL + b avec b = 715 s2 T2 = Le coefficient directeur a permet alors d'avoir la valeur numérique de C, c'est-à-dire C = 3,0 · 10-7 J.rad-1