Mines Physique 2 MP 2014

Thème de l'épreuve Lasers et distances
Principaux outils utilisés mécanique du point, optique géométrique, transferts thermiques
Mots clefs télémétrie, interaction laser-matière

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT--ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP) ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2014 SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE Filière MP (Durée de l'épreuve: 3 heures) L'usage de la calculatrice est autorisé Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE--EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE ]] -- MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages. -- Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura été amené à prendre. -- Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. LASERS ET DISTANCES Les vecteurs sont surmontés d'un chapeau s'ils sont unitaires (Q,) ou d'une flèche dans le cas général (17). Sauf contre--indication locale, on utilisera 3 chiffres significatifs pour les applications numériques. Les trois parties de ce problème sont totalement indépendantes. I. -- Un peu d'astrométrie I.A. -- Triangulation La triangulation est une méthode optique de la mesure de la distance entre les points A et C d'un triangle ABC quel-- conque basée sur la détermination de deux angles de ce tri-- angle et la connaissance de la longueur AB. C'est en utilisant cette méthode de proche en proche en mesurant des centaines de triangles entre Dunkerque et Barcelone de 1792 a 1799 que les astronomes Delambre et Méchain furent chargés de me-- surer la longueur du méridien terrestre. Le mètre fut alors défini comme la 40 millionième partie de cette distance. Ü 1 -- On considère le triangle de la figure 1. Montrer que la mesure des angles oz et fi et de la distante AB : a permet la détermination de AC . On donnera l'expression de AG en fonction de a, oz et fi comptés positivement. FIGURE 1 -- Triangulation Lasers et distances LB. -- Le génial Aristarque Au IlEUR siècle av. J .O., l'astronome grec Aristarque de Samos imagina une façon de comparer la distance de la terre a la lune TL et la distance de la terre au soleil TS. Lors d'une éclipse de lune, il se convainc que la lune possède un diamètre environ Terre trois fois plus petit que celui la terre. Plus ? tard, il mesure l'angle 91/2 correspondant au moment où la lune est placée de telle sorte qu'elle apparaît a demi--pleine vue FIGURE 2 _ terre, lune et 801611- depuis la terre (premier ou dernier quar-- tier). Les divers angles sont représentés sur la figure 2. Soleil Ü 2 -- Que vaut l'angle À1/2 correspondant a 91/2 ? On justifiera sa réponse. Après de nombreuses mesures, délicates pour l'époque, Aristarque indique que l'angle 91/2 est compris entre 870 et l'angle droit et il utilise la valeur 91/2 : 870 pour ses calculs. TS . Ü 3 -- Déterminer la valeur numérique du rapport -- qu'il en déduit. Que pensez--vous de cette valeur? La valeur réelle est--elle 10 fois ou 100 fois plus importante? Donner une ou plusieurs raisons de cet écart. Ü 4 -- Lors d'une éclipse de soleil, on peut observer que, depuis la terre, la lune et le soleil possèdent le même diamètre apparent. Évaluer la valeur minimale du rapport entre le rayon du soleil et celui de la terre qu'a obtenu Aristarque. Interprétez sa conclusion stupéfiante pour l'époque : << Pourquoi faire tourner la torche autour de la mouche ? >> En réalité, le diamètre du soleil est--il approximativement 100 fois ou 1000 fois plus grand que celui de la terre ? I.C. -- Détermination des distances soleil - planètes La période sidérale d'une planète, considérée comme ponctuelle, est le temps mis par celle-- ci pour faire un tour complet autour du soleil dans un référentiel héliocentrique. La période sidérale tt de la terre est de 365 jours. Toutefois la période sidérale tp d'une planète n'est pas directement mesurable sur la terre car elle est aussi en mouvement. En revanche, il est aisé de mesurer, depuis la terre, la période synodique r,, d'une planète définie comme la période de réapparition d'une conjonction, c'est--à--dire un alignement entre le soleil, la terre et cette planète. On supposera que le mouvement des planètes autour du soleil est circulaire uniforme et que tous ces cercles sont dans le même plan. Ü 5 -- Dans le cas d'une planète supérieure, c'est--à--dire plus éloignée du soleil que la terre, exprimer la période sidérale tp de la planète en fonction de sa période synodique r,, et de la période de la terre tt. On pourra s'aider d'un dessin en remarquant qu'entre deux conjonctions, la terre a fait autour du soleil, plus qu'un tour alors que la planète s'est déplacée d'un angle inférieur a 360°. Ü 6 -- En observant la planète mars depuis la terre, Copernic trouve pour cette planète une période synodique r... = 780 jours. Calculer la période sidérale t... de la planète mars. Ü 7 -- En notant rp le rayon de l'orbite de la planète autour du soleil, énoncer puis retrouver rapidement par le calcul, la troisième loi de Kepler reliant rp, tp, la masse du soleil MS et la constante de gravitation G . On précisera les hypothèses envisagées pour ce calcul. En prenant comme unité de temps la période sidérale tt de la terre et comme unité de distance la distance terre--soleil (l'unité astronomique notée UA), donner la relation simple existant entre rp et tp et calculer la distance de la planète mars au soleil. Page 2/7 Physique U, année 2014 -- filière MP I.D. -- Télémétrie laser-lune Les mesures modernes de la distance terre--lune sont effectuées en utilisant un laser vert de longueur d'onde A = 523 nm. Cinq rétroréflecteurs catadioptriques (assemblages de coins de cubes de surface collectrice totale 21 = 0, 3 m2) ont été placés en différents points de la lune par les missions humaines américaines Apollo 11, 14 et 15 ainsi que par les sondes robots soviétiques Lunokhod. Pendant une série de mesures, on envoie en direction de l'un de ces réflecteurs et a la fréquence de 10 Hz des impulsions laser possédant une énergie 5 = 300 rm] . La divergence du faisceau laser confère a celui--ci la forme d'un cône de demi--angle au sommet 00 = 4" . La réflexion sur les rétroréflecteurs est elle aussi divergente de demi--angle 01 = 12" . La réception est assurée par un détecteur situé au foyer du télescope servant a l'émission du laser, la surface collectrice équivalente du télescope est 20 = 1, 8 m2. Ü 8 -- Pourquoi utilise--t--on des rétroréflecteurs catadioptriques en coins de cubes ? On justi-- fiera sa réponse par un schéma bidimensionnel. Le rendement total pt pour une impulsion est le produit du rendement aller pa par le rendement retour p,... Chacun d'eux étant défini comme le rapport de la surface collectrice sur la surface éclairée. On néglige l'effet de l'atmosphère terrestre et toute lumière parasite. Ü 9 -- Déterminer l'expression de pt en fonction de 00, 01, 20, 21 et de la distance dg entre le point d'émission du laser et le rétroréflecteur visé. En prenant dg : 360 000 km, déterminer l'énergie maximale théoriquement reçue par le détecteur en retour de chaque impulsion. Illustrer ce résultat en termes de photons et proposer une méthode pour mesurer effectivement la distance dg. FIN DE LA PARTIE I II. -- Utilisation d'un proximètre laser II.A. -- Mesure de petites distances Le schéma de principe d'un proxi-- Surface diffusante mètre a laser est représenté sur la figure 3. La lentille L est conver-- gente de distance focale f et d'axe optique A. Les cellules photorécep-- trices de largeur ci sont situées dans , le plan focal image de la lentille. Le 90 segment 010 de longeur h est ap-- pelée base du système. L'angle 9 \'P , entre la base et l'axe optique A est 0160. / fixe, pour simplifier les calculs on ' O2 prendra ici 9 : 45°. On note gp .Baïïetoe Laser l'angle entre la base et la droite photoréceptnce 01P- Le point 02 correspond à1'in_ FIGURE 3 -- Schéma de principe du proximètre laser tersection entre l'axe optique de la lentille A et la surface de la barrette photoréceptrice. La diffusion en P est suposée isotrope. Ü 10 -- Quelles sont les hypothèses pour que d'une part la lentille travaille dans les conditions de Gauss et d'autre part que l'image P' de P soit localisée sur la barrette photoréceptrice ? Ü 11 -- Déterminer l'expression de H en fonction de h, f et y : OgP' . Calculer sa valeur numérique si h = 1, 00m, f = 2, 50 cm et y = 1, 00 mm. Page 3/7 Tournez la page S.V.P. Lasers et distances Ü 12 -- La largeur d d'une cellule de la barrette photoréceptrice induit une résolution angu-- laire && qui entraine une imprécision 5H sur la mesure de H. Dans le cas y : O, estimer && en fonction de f et d puis 5H en fonction de d, f , H et h. En déduire qu'à d et f fixés, lorsque h varie, l'erreur relative minimale est obtenue si h = H ; calculer sa valeur numérique dans ce cas pour f = 2, 50 cm et d = 10,0 ,um. A la sortie du laser, on note dÀ : 27° le diamètre du faisceau de longueur d'onde À. Ü 13 -- Pourquoi le faisceau laser diverge--t--il d'un angle dd ? Donner un ordre de grandeur de cet angle de divergence en fonction de A et 7°. Ü 14 -- Déterminer un ordre de grandeur d' du diamètre de la tache qui en résulte sur la cellule. On exprimera d' en fonction de À, f et 7°. Justifier la valeur numérique de f si A = 630 nm et 7° : 1 mm. II.B. -- Mesure de grandes distances Surface dîffusaflte Pour déterminer de plus grandes distances, on utilise un dispositif du même type que dans la partie II.A : le laser éclaire la sur-- face en se réfléchissant sur un miroir plan que l'on fait osciller autour d'un axe di-- - ------------------------------------------------------------------ O rigé selon le vecteur k et passant par O. L'ensemble est représenté sur la figure 4, on prendra (ÂÎOËÙ : 45°. Le détecteur est une cellule photoréceptrice située dans le plan focal de la lentille L de distance >t focale f. Cette cellule est de très petite dimension devant f. On note finalement FIGURE 4 -- Mesure de distance a miroir pivotant H : 01P la distance a mesurer. On fera l'hypothèse que H >> f et que la distance 001 = h est connue. Les oscillations du miroir permettent a l'angle @, dit de balayage, de varier comme une fonction affine par morceaux de période 219 représentée sur la figure 4. Le détecteur est désactivé pendant les intervalles de temps [(2m + 1) p, (2777 + 2) p] pour tout entier m E N . La diffusion est toujours isotrope et identique en chaque point P de la surface. Le temps de vol des photons est négligeable devant la période 219. Détecteur MW) 0 p 279 379 479 Ü 15 -- Déterminer la relation entre @ et l'angle oz de la normale au miroir avec la base. Ü 16 -- Montrer que la mesure de H se ramène a une mesure de temps. Ü 17 -- Représenter l'allure de la variation de l'intensité lumineuse reçue par le photodétec-- teur en fonction du temps sur une période. Ü 18 -- Cette intensité est en fait récupérée sous la forme d'un signal électrique. Expliquer pourquoi l'opération qui consiste a dériver ce signal par rapport au temps permet d'améliorer la précision de la mesure de H. Proposer un montage électronique utilisant un amplificateur opérationnel, une résistance R et un condensateur de capacité C' qui permet effectivement d'effectuer cette dérivée. On justifiera ce montage par le calcul. FIN DE LA PARTIE II Page 4/7 Physique U, année 2014 -- filière MP III. -- Diffusion thermique. Interaction Laser-Matière Un rayonnement laser arrivant sur la surface @ / - - \ - / % d'un mater1au donne heu a d1fferents effets : A thermiques, électromécaniques, etc. Pour sim-- 27° Faisceau plifier on supposera que la totalité de l'énergie laser du faisceau laser est absorbée par le matériau. Ceci se traduit par une élévation de la tempé-- rature, et donc par un accroissement des vibra-- tions de la structure moléculaire ou cristalline du matériau. Cette transformation se fait a la surface de la zone d'interaction dans une épais-- seur caractéristique moyenne 5 appelée profondeur de pénétration moyenne de la lumière. Cette zone d'interaction devient une source de chaleur intense qui échauffe la matière par conduction thermique. Lorsque 5 est faible devant le diamètre 27° du faisceau laser, on peut utiliser un modèle unidimensionnel de conduction de la chaleur. On néglige tout écoulement de chaleur en dehors de la direction 033 de propagation. Pendant le début de l'échauffement, le matériau est soumis a un flux thermique constant. Lorsque celui--ci se met a fondre, il apparaît une interface liquide--solide, dont la température est supposée constante et égale a la température de fusion T f du matériau. Cette interface se propage alors dans le matériau. On notera L f la chaleur latente de fusion du matériau. On considère que la partie fondue du matériau transmet intégralement la lumière du laser. III.A. -- Équation de diffusion Le matériau de masse volumique p, de chaleur massique c, de conductivité thermique À occupe le demi espace défini par a: > 0. Il est initialement en équilibre a la température T 0. La conduction de la chaleur se fait suivant l'axe 033. On note ÎQ(a:, t) : jQ(a:, t) @... le vecteur densité de flux thermique et T (a:, t) la température du milieu que constitue le matériau. On néglige toute perte de chaleur dans la région a: < 0. Zone de fusion FIGURE 5 -- Interaction laser--matière Ü 19 -- Établir l'équation aux dérivées partielles vérifiée a la fois par T (a:, t) et par jQ(a:, t). A On introduira le paramètre ,u = --. On vérifiera que cette équation admet une famille de pc solutions de la forme : _2 be" /<:3: avec u : \/,ut Les quantités 90 et b sont des constantes d'intégration et /<: un rapport de deux nombres entiers positifs que l'on déterminera. 9(QÎ,É) : 90 + ä| III.B. -- Flux thermique constant On suppose que la surface du matériau (située en a: = 0) reçoit a partir de l'instant t = 0 une densité de flux constant jQO dirigée selon EUR,, Ü 20 -- Montrer que la solution proposée a la question 19 ne convient pas dans ce cas. On admet que la solution correspondant a cette situation s'écrit pour la température sous la forme 2 ZB É --u 2 u 2 T(a:,t) = A1 + 1Y\/'M_F(u) avec F(u) : efi -- uerfc(u) et erfc(u) : 1 -- Ë/0 e_t dt Ü 21 -- Déterminer l'expression de jQ(a:, t) en fonction de 31 et erfc(u). Page 5/7 Tournez la page S.V.P. Lasers et distances Ü 22 -- Étudier toutes les conditions aux limites du problème en a: et en 15. On commentera toutes ces conditions aux limites et on admettra que si u --> +oo alors --u2 EUR l erfc(u) ... u_1 -- äu_3 + o(u_3) 7T En déduire les expressions de A1 et 31 en fonction de T 0 et ÎQO. III.C. -- Température constante On suppose a présent que la surface située en a: = 0 est maintenue a la température constante T1. On montre que la solution correspondante s'écrit T (a:, t) : A2 + BZ erfc(u) où la fonction erfc(u) est la même que celle définie dans la partie précédente, A2 et Bg étant deux températures constantes. Ü 23 -- Étudier toutes les conditions aux limites en a: et t de T (a:, 15). On déterminera no-- tamment les expressions de A2 et 32 en fonction de T1 et T @. Ü 24 -- Déterminer l'expression de jQ(a:, t) ; ce résultat vous parait--il plausible ? III.D. -- Modélisation d'une opération de perçage On perce une plaque d'aluminium; les valeurs numériques correspondant a cette opération sont les suivantes : A = 210 W.m_1.K_1, pc : 2,40 - 106J.m_3.K_1, p = 2,70 - 103 kg.m_3, Lf : 3,88 - 105 J .kg_1, la température initiale de la surface considérée est T 0 = 30°C et la température de fusion de l'aluminium est T f = 660 °C. La surface est chauffée dans un premier temps jusqu'à la température de fusion puis l'avancée du perçage se fait alors par liquéfaction progressive de la matière. On admettra que le front liquide--solide se propage sans déformation avec une vitesse constante 17 et que l'aluminium se comporte comme un corps noir. La densité de flux thermique ÎQO du faisceau laser de section 0 = 0, 20 cm2 et de puissance PE : 1,00 kW est supposée constante. Ü 25 -- En utilisant les résultats de la partie lll.B, déterminer l'expression du temps tf au bout duquel la surface du matériau atteint la température de fusion T f. Calculer sa valeur numérique. À partir de l'instant tf, on suppose que le front liquide--solide se propage dans le matériau a la vitesse 17 = 17EUR... où 17 est une constante positive dans le référentiel du laboratoire. On parle de front de fusion. On se place dorénavant dans le référentiel lié a ce front, dans lequel l'abscisse du point 0 devient 33 : --1flî. Ü 26 -- En écrivant la conservation de l'énergie pendant la durée dt et sur une tranche que . --.» ÔT l'on précisera, établir une relation donnant 17 en fonction de ]QO, p, À, L f et 8_ . &: oe=0 Ü 27 -- La distribution de température dans le repère lié au front de fusion est supposée stationnaire. Montrer que la distribution de la température a droite du front de fusion vérifie l'équation différentielle : dT d2T da: _ da:2 où l'on exprimera v en fonction de ,u et 1}. Ü 28 -- Déterminer l'expression de T(a:) en fonction de TO, Tf, 17 et ,a. Page 6/7 Physique H, année 2014 -- filière MP Ü 29 -- En déduire l'expression de v en fonction de PE, 0, p, Lf, c, T f et T 0- Calculer la valeur numérique de ?} pour le perçage considéré. FIN DE LA PARTIE III FIN DE L'ÉPREUVE Page 7/7

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 Mines Physique 2 MP 2014 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jimmy Roussel (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Nicolas Bruot (ENS Cachan) et Vincent Freulon (Professeur en CPGE). Ce sujet est consacré à trois applications des lasers, pour la mesure de distances, la détection de proximité et le perçage en usine. Hormis la question 18, il est conforme au programme en vigueur à la rentrée scolaire 2014. · La première partie porte sur la détermination des distances astronomiques. Elle suit une progression historique en commençant par les travaux d'Aristarque de Samos. Ensuite, on s'intéresse à la détermination du rayon orbital des planètes du système solaire à l'aide de la troisième loi de Kepler. Elle se termine par une application rendue possible grâce à l'invention du laser : la télémétrie laser. Cette partie ne présente pas de difficultés particulières. · Dans la deuxième partie, on aborde le principe du capteur de proximité, dit proximètre. Deux versions laser sont étudiées, l'une permettant la mesure de petites distances, l'autre des grandes. On fait appel ici essentiellement à des connaissances élémentaires d'optique. · Enfin, la dernière partie est consacrée à l'usinage laser. Après quelques aspects théoriques sur la diffusion thermique, la modélisation d'une opération de perçage laser permet d'estimer la vitesse du processus. Hormis quelques passages calculatoires, cette partie constitue un bon entraînement aux bilans thermiques. Cette épreuve présente l'intérêt de couvrir de nombreux aspects du programme de première et seconde année : géométrie, mécanique, optique, électronique, thermodynamique, transferts thermiques sont abordés. Réussir cette épreuve exige avant tout une bonne autonomie car peu de résultats intermédiaires sont fournis. Indications Partie I 1 On pourra utiliser la formule des sinus dans un triangle : BC AC AB = = sin sin sin 2 Lorsqu'un observateur voit la Lune à demi-pleine, la ligne de visée se confond avec la séparation jour/nuit de la Lune. 3 Utiliser la formule de la question 1. 8 Montrer à l'aide des lois de Snell-Descartes que tout rayon incident repart dans une direction opposée. 9 L'énergie transportée par un photon vaut h avec h = 6,626.10-34 J.s. Partie II 11 Raisonner dans les triangles O1 O2 P et O1 OP. 12 Différentier la formule qui relie H et puis en déduire H. 13 Analyser l'influence de la diffraction sur la résolution du dispositif. 16 Considérer le détecteur ponctuel et chercher pour quelle valeur de un signal est observé. 18 Question hors-programme car sa résolution nécessite de connaître le modèle de l'amplificateur opérationnel idéal. Partie III 19 Effectuer un bilan d'énergie entre les instants t et t + dt sur une tranche située entre x et x + dx. Z x 22 Se souvenir que si F(x) = f (t) dt, alors F (x) = f (x). a 25 Utiliser la distribution de température trouvée à la question 22. 27 Montrer tout d'abord que le champ de température s'écrit T(x, t) = f (x - vt). dT . 28 Poser y = dx I. Un peu d'astrométrie 1 On note , et les angles d'un triangle formé par trois points A, B et C. Alors, BC AC AB = = sin sin sin C Appliqué au problème de triangulation, sachant que AB = a, on obtient a AC = sin sin A B Par ailleurs, dans un espace euclidien, la somme des angles d'un triangle est un angle plat de sorte que = - - . Comme sin( - x) = sin x, il vient AC = sin a sin( + ) 2 La Lune, éclairée par le Soleil, présente une face sombre hémisphérique (la nuit lunaire) du fait : 1. de l'éloignement du Soleil (les rayons incidents sont quasi parallèles) ; 2. de la forme sphérique de la Lune. Lune · · Terre Soleil Lorsqu'un observateur voit la Lune à demi-pleine, alors la ligne de visée se confond avec la séparation jour/nuit lunaire comme l'indique la figure. Cette séparation étant perpendiculaire à la direction (SL), on a nécessairement 1/2 = 2 3 Utilisons la formule de la question 1 dans laquelle A représente la Terre, B, la Lune et C, le Soleil. TS = sin 1/2 TL sin(1/2 + 1/2 ) Puisque 1/2 = /2 et sin(x + /2) = cos x, on trouve TS 1 = = 19,1 TL cos 1/2 Aristarque se trompe d'au moins un ordre de grandeur. En effet, la distance TerreSoleil est de l'ordre de 150 millions de km et celle qui sépare la Lune de la Terre de l'ordre de 4.105 km, de sorte que le rapport TS/TL vaut environ 400. La raison qui explique cet écart important est la grande sensibilité du résultat visà-vis de la précision de la mesure de 1/2 . En effet, Aristarque trouve une valeur comprise entre 87 et 90 . Or, si l'on prend 90 pour 1/2 , on trouve un rapport TS/TL infini. Finalement, Aristarque ne parvient qu'à donner une borne inférieure au rapport TS/TL et trouve TS/TL > 19,1. 4 Le diamètre apparent d'un astre A est l'angle sous lequel un observateur voit celui-ci de la Terre : Astre Terre · T · A 2R La Terre et l'astre A ayant des diamètres petits devant la distance qui les sépare, on peut considérer l'observateur au centre de la Terre et le diamètre apparent suffisamment petit, de sorte que 2R TA où R est le rayon de l'astre et TA la distance entre l'astre et la Terre. Lors d'une éclipse de Soleil, le disque solaire est tout juste masqué par la Lune, ce qui implique des diamètres apparents identiques pour ces deux astres. Ainsi, il vient R Rs = TL TS où R est le rayon lunaire et Rs celui du Soleil. Par ailleurs, Aristarque trouve que le rayon lunaire est trois fois plus petit que celui de la Terre de sorte que R = ce qui implique finalement, Rt 3 Rt Rs = 3 TL TS Rs TS = > 6,37 Rt 3 TL À l'époque d'Aristarque, l'hypothèse admise est celle d'un monde géocentrique : tous les astres décrivent des cercles autour de la Terre, le Soleil compris. Or, Aristarque arrive à la conclusion que le Soleil est plus gros que la Terre et il lui semble peu « naturel » de faire tourner une torche (le Soleil) autour d'une mouche (la Terre). Sa remarque constitue donc une première critique du géocentrisme, ceci bien avant le modèle héliocentrique de Nicolas Copernic et sa première confirmation expérimentale en 1727 par James Bradley ! En réalité, Aristarque sous-estime le rapport TS/TL. Le rayon terrestre est de l'ordre de 6,4.103 km puisque le méridien mesure 4.104 km. Si l'on se souvient que le diamètre apparent du Soleil est de l'ordre du demi-degré, on peut estimer le rayon solaire à l'aide de la formule du diamètre apparent. On trouve environ 7.105 km pour le rayon solaire, de sorte que le rapport recherché est de l'ordre de Rs 100 Rt Ainsi, en réalité, le diamètre du Soleil est environ 100 fois plus grand que celui de la Terre.