Mines Physique 2 MP 2013

Thème de l'épreuve À propos des diodes
Principaux outils utilisés électrostatique, électronique
Mots clefs diode, tube à vide, récepteur radio, jonction PN

Corrigé

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ECOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINTJÊ)TIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP) ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2013 SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière MP (Durée de l'épreuve: 3 heures) L'usage de la calculatrice est autorisé Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPFrEIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE ]] * MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 8 pages. * Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura été amené à prendre. * Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. À PROPOS DES DIODES Les données numériques se trouvent en fin d'énoncé. Les vecteurs sont surmontés d'un chapeau s'ils sont unitaires (à), ou d'une flèche dans le cas général (Ü) Pour les applications numériques on fournira 3 chiffres significatifs. Aucune connaissance préalable sur les diodes n'est nécessaire pour traiter ce sujet. Le symbole électrique d'une diode est donné sur la figure 1. Idéalement, la diode est un composant électro-- nique ayant la propriété de ne laisser passer le courant que dans un sens. <> Si V g 0, l'intensité i est nulle et la diode est dite bloquée. <> Si la tension V tend à devenir positive, la diode se débloque et se comporte comme un fil (ce qui annule aussitôt V). L'intensité z' est alors positive et la diode est dite passante. , D ___...-- v FIGURE 1 * Schéma électrique d'une diode. I. -- Diode à vide Les diodes à vide ont été les premières diodes réalisées au début du XXe siècle. Elles commandent un flux d'électrons7 a l'origine du mot ( électronique >. A pmpos des diodes Une diode à vide est formée de deux électrodes planes parallèles, la cathode C et l'anode A, de surface S et séparées d'une distance d. La cathode est maintenue à un potentiel nul (VC : 0) mais elle est chauffée par un dispositif non représenté sur la figure 2. Par effet thermoélectronique, celle--ci libère des électrons ayant une vitesse faible (considérée comme nulle dans la suite). Ces électrons sont dirigés vers l'anode qui est portée au potentiel VA > 0. On admet que les lignes de courant ainsi créées sont perpendiculaires aux deux plaques. La zone située entre les électrodes contient donc des électrons qui ont été émis sans vitesse initiale par la cathode. FIGURE 2 * Diode à vide On néglige tout effet de bord et on ne s'intéresse qu'à l'espace inter--électrodes dans lequel on considère que la charge volumique @, le potentiel V, la vitesse des électrons v et l'intensité électrique ] traversant une surface parallèle aux électrodes ne sont des fonctions que de la seule variable 1 indiquant la distance à la cathode. L'ensemble est sous vide dans une ampoule de verre non représentée sur la figure 2. E' 1 -- Ecrire l'équation liant le potentiel V(æ) et la densité de charge g(z) dans l'espace inter--électrodes. D 2 -- Par des arguments numériques, montrer que le poids des électrons peut en général être négligé devant la force électrostatique. Dans la suite, le poids des électrons sera négligé dei/ont la force électrostatique. Les chocs entre électrons seront également négligés. D 3 -- Rappeler, en la justifiant, l'expression de l'énergie potentielle électrostatique d'une charge ponctuelle q située dans une zone de potentiel électrostatique V. D 4 -- Par un raisonnement énergétique, établir l'expression de la vitesse 17(1) des électrons dans la zone inter--électrodes. On donnera le résultat en fonction du potentiel V(æ) et des caractéristiques de l'électron. D 5 -- Déterminer l'expression de l'intensité électrique [(x) traversant une surface d'aire S située à une distance 1 < 11 de la cathode et parallèle à celle--ci. On exprimera le résultat en fonction de la densité de charge g(Æ), de la norme de la vitesse des électrons v(z) et de S. E' 6 -- L'intensité I dépend-elle de 17 On justifiera sa réponse. E' 7 -- En utilisant les résultats précédents, déterminer l'équation différentielle du second ordre vérifiée par le potentiel V dans la zone inter--électrodes. On fera apparaître le paramètre positif ] m a * S_Eg E D 8 -- Intégrer cette équation différentielle pour trouver l'expression de V(æ) On pourra dans un premier temps multiplier l'équation par % pour la ramener, après intégration, à une équation différentielle du premier ordre à variables séparables. On supposera que le potentiel et le champ électrique sont nuls en 1 : 0. E' 9 -- En déduire la relation entre l'intensité ] et le potentiel VA de l'anode. Cette relation est connue sous le nom de loi de Child--Langmuir à une dimension. E' 10 -- Cette relation est-elle valable quel que soit le signe de VA ? Expliquer physiquement ce qui se passe lorsque cette relation n'est pas valable. Que vaut 1 dans ce cas? D 11 -- Tracer l'allure de la caractéristique ] : f (V4) de la diode (pour VA variant sur un intervalle centré sur 0). Une diode a vide a pour caractéristiques d : 3,00 mm et S : 3,00 cm2. Indiquer l'ordonnée du point d'abscisse VA : 10,0 volts sur le graphe. Peut-on dire qu'un dispositif de ces dimensions a le comportement souhaité pour une diode? Page 2/8 Physique 11, année 2013 * filièm MP D 12 -- Dans cette partie, les interactions entre électrons ont-elles été : <> omises, alors qu'il faudrait les prendre en compte ? <> prises en compte, mais de manière partielle? <> prises en compte de manière exacte? Indiquer, en la justifiant, la réponse correcte. FIN DE LA PARTIE 1 Il. -- Diode à jonction PN Les diodes actuelles sont construites en matériaux semi-conducteurs. Le silicium pur est un semi-conducteur intrinsèque. Il s'y produit des ionisations thermiques (à température ambiante par exemple) : Si ? Si+ + eÎ Un ion Si* est appelé ( trou » positif. On dit que l'ionisation crée une paire électron-trou. Le silicium étant neutre, il y a autant de porteurs de charge N (électrons négatifs) que de porteurs de charge P (trous positifs). Lorsqu'un champ électrique est appliqué, les électrons et les trous se déplacent, assurant la conduction électrique. En réalité, un ion Si* ne se déplace pas car il fait partie du réseau cristallin. Cependant, il prend un électron a son atome de Si voisin, redevenant Si tandis que son voisin est devenu Si*. Ainsi, tout se passe comme si l'ion Si* avait migré. Du point de Vue de la conduction, les trous positifs se comportent donc comme des porteurs mobiles dont la charge est opposée de celle de l'électron. D 13 -- Comment évolue la conductivité d'un semi-conducteur lorsque la température aug-- mente? (Justifier). Ce comportement est--il le même que pour les métaux? Semi--conducteur extrinsèque dopé N par un donneur d'électrons Dans du silicium (de Valence 4), on peut introduire une faible proportion d'atomes de Valence 5 (un atome de phosphore pour 1010 atomes de silicium par exemple). L'agitation thermique ionise le phosphore selon P --> P+ + e*. Cela libère un électron (porteur N) qui peut conduire le courant. En revanche, l'ion P+ est fixe dans le réseau cristallin de silicium. Comme ses plus proches voisins sont des atomes de silicium et non de phosphore, l'ion PJr ne peut pas échanger d'électron avec un atome de phosphore voisin et ainsi donner l'illusion qu'il se déplace. Il ne constitue donc pas un trou positif mobile. Ainsi, l'ajout d'atomes de phosphore augmente le nombre de porteurs mobiles négatifs (N) sans changer le nombre de porteurs mobiles positifs (P). Les porteurs mobiles N sont donc majoritaires : le semi--conducteur est dit ( dopé N >, les atomes de phosphore étant qualifiés de donneurs d'électrons. Semi--conducteur extrinsèque dopé P par un accepteur d'électrons Dans du silicium (de Valence 4), on peut introduire une faible proportion d'atomes de Valence 3 (comme le bore par exemple). Un atome de bore capture un électron a un silicium Voisin, ce qui crée un ion B* et un ion Si*. L'ion B* est fixe dans le réseau cristallin et ses plus proches voisins sont des atomes de silicium et non de bore. Il ne peut donc pas, par échange d'électron avec un atome de bore voisin, donner l'illusion qu'il se déplace. Ce n'est donc pas un porteur mobile de type négatif (N). En revanche, l'ion Si* constitue un trou positif (P) mobile car il est toujours entouré de nombreux atomes de Si dans le réseau de silicium cristallin. Ainsi, l'ajout d'atomes de bore augmente le nombre de porteurs mobiles P sans changer le nombre de Page 3/8 Tournez la page S.V.P. A pmpas des diodes porteurs mobiles N. Les porteurs mobiles P sont donc majoritaires : le semi--conducteur est dit ( dopé P >, les atomes de bore étant qualifiés d'accepteurs d'électrons. Les semi--conducteurs dopés sont globalement neutres car les charges des porteurs libres sont compensées par les charges fixes. On crée une jonction PN en accolant deux blocs de silicium dopés P et N respectivement (Voir figure 3). <> Le semi-conducteur P est dopé avec N A accepteurs d'électrons par unité de volume. <> Le semi-conducteur N est dopé avec N D donneurs d'électrons par unité de volume. zone de @ déplétion @ FIGURE 3 * Réalisation d'une jonction PN en :L' : 0. Lors de l'établissement de la jonction, les électrons du semi--conducteur N diffusent dans le semi--conducteur P car il y a un gradient de concentration en électrons. De même, les trous du semi--conducteur P diffusent dans le semi--conducteur N a cause du gradient de concentration en trous. La diffusion, non étudiée ici, se poursuit jusqu'à atteindre l'état d'équilibre (simplifié) suivant. <> La région [zA,O], initialement neutre, est complètement vidée des trous positifs apportés par ses atomes accepteurs. Elle devient chargée négativement avec la densité volumique de charge 91, supposée uniforme pour simplifier. (Cette charge est négative car elle résulte de la présence d'accepteurs ionisés, fixes dans le réseau cristallin). <> La région [0,1 D], initialement neutre, est complètement vidée des électrons apportés par ses atomes donneurs. Elle devient chargée positivement avec la densité volumique de charge 92, supposée uniforme pour simplifier. (Cette charge est positive car elle résulte de la présence des donneurs ionisés, fixes dans le réseau cristallin). <> En dehors de [OEA,ÆD], le matériau n'est pas modifié. La zone [OEA,ID] est appelée zone de déplétion ou zone de charge d'espace. En résumé : <> g(r):0pouræzD, ° 9(£) : 91 P..." 1 EUR lOEA70li <> 9(OE) : 92 pour 1 EUR [Mo]-- La largeur de la zone de déplétion est très faible devant les dimensions des blocs de semi-- conducteurs. On négligera donc tout effet de bord dans les directions orthogonales au vecteur unitaire E:. E' 14 -- Exprimer les densités volumiques de charge gl et 92 en fonction de N A, ND et la charge élémentaire &. D 15 -- Etablir, en la justifiant, une relation simple entre N A, N D, EA et (L')]. On admet que le champ électrique dans le matériau est nul en dehors de la zone de charge d'espace. Dans le silicium, les lois de l'électrostatique s'appliquent en remplaçant EQ par 5 : 5.35... où a, : 11,8 est la permittivité diélectrique relative du silicium. Page 4/8 Physique 11, année 2013 * filièm MP D 16 -- Déterminer le champ électrique Ë(z) en tout point de la zone de charge d'espace (:D E [OEA,zD]). En précisant les valeurs remarquables sur le graphe, tracer la composante non nulle du champ en fonction de :E (pour :L' variant sur un intervalle strictement plus grand que lHÆDl)- Conventionnellement, l'origine des potentiels sera prise en x : 0. D 17 -- En déduire l'expression du potentiel électrostatique V(z) dans tout le matériau. Tracer z >--> V(z) pour x variant sur un intervalle strictement plus grand que [134,19]. Préciser les valeurs remarquables sur le graphe. D 18 -- Exprimer la différence de potentiel Va : V(Iu) * V(OEA) entre deux points situés de part et d'autre de la jonction. On exprimera V0 en fonction de e, 5, N A, N D, EA et 1,3. D 19 -- Expérimentalement, on constate que Vo : 0,70V pour une jonction caractérisée par N A : 1,00 - 1021 nf3 et ND : 2,00 -- 1023 m*3. Exprimer et calculer numériquement la largeur 10 : xD * ZA de la zone de charge d'espace dans ce cas. FIN DE LA PARTIE II III. -- Jonction PN polarisée La jonction PN peut être polarisée par une différence de potentiel V imposée par un générateur extérieur. Dans ce cas, on admet que le modèle précédent reste valable mais : <> la différence de potentiel entre les régions N et P devient V0 * V; <> les Valeurs de EA et ID s'en trouvent modifiées. V FIGURE 4 * Jonction PN polarisée par une différence de potentiel extérieure V. Les détails de la zone de déplétion n'ont pas été représentés. E' 20 -- Par une étude complète (non effectuée ici), on peut montrer que la caractéristique théorique courant--tension de la jonction est donnée par i=n{m<;--z>--l avec les orientations de la figure 4, et où : <> e est la charge élémentaire; <> kg est la constante de Boltzmann; <> T est la température; <> I_? > 0 est appelé ( courant inverse de saturation >. Son amplitude, pour les calculs on prendra 1,00 - 10*5 A, est habituellement négligeable dans les montages électroniques. Pour une température donnée, représenter la caractéristique i(V) de la diode en précisant les éléments remarquables sur le graphe. Préciser la valeur de V correspondant à i : 1,00A à la température ambiante T : 293 K. Commenter ce résultat par rapport a ce qui a été vu pour la diode a vide. Que représente physiquement le facteur k5T ? Page 5/8 Tournez la page S.V.P. A pmpas des diodes D 21 -- Pour justifier la dissymétrie de la caractéristique i(V) de la diode, expliquer en quelques lignes les phénomènes ayant lieu dans la jonction PN : <> quand la diode est passante (cas où i > O) ; <> quand la diode est bloquée (cas où i : 0). Dans la suite, on impose une différence de potentiel extérieure V négative aux bornes de la diode. La diode, bloquée dans ce cas, est dite polarisée en inverse. On posera U : *V, avec U > 0. E' 22 -- On note S la surface de la jonction PN (aire de contact des deux semi--conducteurs dopés). Exprimer les quantités de charges QA et QD respectivement stockées dans les régions [1,49] et [0,15] en fonction de e, e, S, NA, Nu, Va et U. Donner les Valeurs numériques de QA et QD pour S : 1,00n1m2 et U : 4,00V. D 23 -- Lorsque U devient U + 6U, où 5U| << |U |, les quantités de charges QA et QD sont modifiées de 5QA et 6QD (car la largeur de la zone de déplétion l'est). Déterminer la capacité dynamique de jonction, définie par : cÉ£5QD C * ($U' Cette capacité dépend, entre autres, de la tension U . Donner sa valeur numérique pour U : 4,00 V. FIN DE LA PARTIE III IV. -- Récepteur radio On rappelle que la forme canonique du membre de gauche d'une équation linéaire d'ordre 2 à coefficients constants est : WD Q où me est la pulsation caractéristique et Q est le facteur de qualité. On notera j le nombre complexe tel que j2 : il. ä+ $+mäs:.... D 24 -- On considère le circuit électrique de la figure 5 constitué d'une bobine d'inductance L : 3,20 -- 10*8 H, d'une résistance H : 1,00 - 1055) et d'un condensateur de capacité C : 5,00 - 10*11 F. Le générateur de courant délivre l'intensité i(t) : i... cos(wt), d'amplitude i... > 0 et de pulsation w. On note V(t) : V... cos(wt + 40) la tension aux bornes du condensa-- teur, une fois le régime permanent sinusoïdal établi (avec V... > 0). Déterminer la fonction de transfert complexe fi de ce montage, définie par : ll< E: .5 où ! et i sont les grandeurs complexes associées à V et i. <> Donner les expressions littérales de la pulsation caractéristique nm et du facteur de qualité Q du montage en fonction de R, L et C. <> Donner les valeurs numériques de MD et Q. <> Exprimer la fonction de transfert en fonction de LJ, w.; et Q. Page 5/8 Physique 11, année 2013 * filièm MP L % R c:: V FIGURE 5 * Circuit électrique alimenté par un générateur d'intensité. D 25 -- Tracer le diagramme asymptotique de Bode ainsi que le vrai diagramme (gain en décibels et phase en fonction de u} en échelle logarithmique) en le justifiant brièvement et en faisant figurer tous les éléments remarquables sur le graphe. D 26 -- Définir et déterminer largeur de la bande passante (a mi--puissance) de ce circuit. Donner sa Valeur numérique. Tout récepteur radio contient un circuit oscillant servant a générer un signal sinusoïdal. Pour sélectionner la station radio voulue parmi toutes celles reçues par l'antenne, la fréquence de la sinusoïde générée par ce circuit interne doit être la même que celle de la fréquence porteuse de la station (cela sert également pour la démodulation du signal FM, non étudiée dans ce problème). On utilise le circuit de la figure 6. circuit varicap LË R c__ 5 ®U cte>0â FIGURE 6 * Oscillateur électrique de récepteur radio. Il s'agit du même circuit que sur la figure 5, auquel on a ajouté un circuit ( varicap >, en grisé sur le schéma. Ce circuit contient un générateur de tension continue positive et une diode a jonction PN comme celle étudiée dans les parties II et III. La résistance R' joue simplement le rôle de limiteur de courant, pour éviter que la diode ne soit parcourue par un courant de saturation inverse trop grand. La capacité C. est grande devant les autres capacités du circuit. E' 27 -- Justifier que, du point de vue du générateur de courant sinusoïdal haute fréquence i, le circuit de la figure 6 est équivalent au circuit de la figure 7, où C' est la capacité dynamique de jonction de la diode (qui a été exprimée a la question 23). Expliquer en particulier le rôle du condensateur C,u LË H C (" FIGURE 7 * Circuit électrique équivalent à l'oseillateur du récepteur radio. Page 7/8 Tournez la page S.V.P. A pmpas des diodes D 28 -- Le circuit est construit avec les valeurs suivantes : <> L :3,20-10*£H; <> C : 5,00 - 10*11 F. Dans quel intervalle de Valeurs faut-il faire varier la tension U pour que la fréquence propre fo du circuit soit dans la bande FM (entre 87,5MHZ et 108 MHZ)? D 29 -- Quel est le rôle de la résistance R dans le montage? Comment vaut--il mieux la choisir? FIN DE LA PARTIE IV Notations et valeurs numériques permittivité électrique du vide : ED : 8,85 - 10*12 F - Inf1 ; permittivité diélectrique relative du silicium : E, : 11,8, perméabilité magnétique du vide : pg : 47r - 104 H - nf1 ' <> <> ° 1 <> célérité de la lumière dans le vide : c : 3,00 - 10E rn - s*1 ; <> charge électrique d'un électron : q : fe : f1,60 - 1049 C; <> constante de Boltzmann : kB : 1,38 - 10*23 J - Ki1 ; <> masse d'un électron : m : 9,11 - 10*31kg; (> 2 intensité du champ de pesanteur terrestre g : 9,81 m - s* ; FIN DE L 'ÉPREUVE Page 8/8

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 Mines Physique 2 MP 2013 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Hadrien Vroylandt (ENS Cachan) ; il a été relu par Rémy Hervé (Professeur en CPGE) et Vincent Freulon (ENS Ulm). Ce sujet porte sur un dipôle électronique non linéaire, souvent évoqué en classe préparatoire mais peu étudié en détail : la diode. · La première partie du sujet s'intéresse aux propriétés de la « diode à vide », qui fut la première réalisation d'une diode. À partir d'hypothèses simples, on aboutit à la caractéristique courant-tension du dipôle. Cette partie se base sur l'électrostatique dans le vide et sur l'étude du mouvement des particules chargées en mécanique. · Les deuxième et troisième parties sont très liées, puisqu'elles portent sur la réalisation d'une diode avec une jonction de semi-conducteurs, puis sur l'effet d'une différence de potentiel appliquée aux bornes de la jonction. On exprime la tension de seuil de la diode à jonction puis on s'intéresse aux propriétés dynamiques d'une diode bloquée. En plus de l'électrostatique, des notions d'électronique microscopique et d'électrocinétique sont nécessaires. · Enfin, la dernière partie étudie l'utilisation du dispositif de la troisième partie dans un montage électronique, un récepteur radio. On explique les conditions d'utilisation de la diode dans ce montage, dans le cadre de l'électrocinétique des régimes sinusoïdaux forcés. Ce sujet demande avant tout une analyse physique des résultats ; la compréhension des phénomènes physiques était essentielle pour réussir. Il permet de s'entraîner intensivement à l'électrostatique et à l'électronique. Indications Partie I 2 Pour le champ électrique, on peut par exemple prendre 1 V/m. 5 Orienter la surface pour obtenir une intensité positive. 6 Utiliser la conservation de la charge en régime stationnaire. 7 Partir des relations des questions 1 et 4. 9 Par continuité du potentiel, V(x = d) = VA . 12 Les grandeurs utilisées dans cette partie sont des grandeurs mésoscopiques. Partie II 13 Qu'arrive-t-il au nombre de trous et d'électrons quand la température augmente ? 15 Penser à la conservation de la charge. 16 Utiliser l'équation de Maxwell-Gauss. 19 Partir des résultats des questions 15 et 18. Partie III 21 S'appuyer sur les éléments fournis par l'énoncé pour justifier que les migrations de charge entre les deux régions dopées sont possibles si les électrons arrivent par la région dopée N (V > 0) et impossibles s'ils arrivent par la région dopé P (V < 0). 22 Utiliser les résultat des questions 14, 15 et 18. Partie III 27 Quel impact aurait la tension U sur le montage en l'absence de la capacité Ci ? Comment la capacité y remédie-t-elle ? 28 Utiliser les résultats des questions 23 et 24. À propos des diodes I. Diode à vide 1 L'équation de Poisson liant le potentiel et la densité de charges est =0 V + 0 le potentiel V n'étant supposé dépendre que de x, toutes les dérivées selon y et z sont nulles, d'où d2 V + =0 dx2 0 2 Calculons, d'une part le poids d'un électron et d'autre part la force électrostatique pour un faible champ électrique : · Le calcul du poids donne |Fpoids | = |mg| = 8,94 · 10-30 N ; · Pour le calcul de la force électrostatique, prenons le champ électrique créé par une différence de potentiel U de 1,00 V sur une distance d de 1,00 m ; on obtient |Félec | = |eE| = |eU/d| = 1,60 · 10-19 N. La force électrostatique créée par ce champ faible étant supérieure de plusieurs ordres de grandeur au poids, celui-ci est négligeable devant la force électrostatique. 3 La force électrostatique a pour expression - - F élec = q E -- = -q grad V -- - F élec = - grad qV et donc, par définition d'une force conservative, -- - F élec = - grad Epot D'où, Epot = qV + Cte Dans la suite, on choisit de prendre la constante égale à zéro. 4 En l'absence de forces dissipatives le théorème de l'énergie mécanique s'écrit Etot (x) = Etot (0) m 2 v (x) - eV(x) 2 Comme, en x = 0, la vitesse des électrons et le potentiel électrostatique sont nuls : m 2 v (x) - eV(x) = 0 2 avec Par conséquent, Etot (x) = - v (x) = r 2e V(x) - ex m 5 La densité de courant s'exprime par - (x) = (x)- v (x). L'intensité électrique I(x) traversant une surface d'aire S située à une distance x de la cathode et parallèle à celle-ci est alors ZZ - - I(x) = (x) · d S S = ZZ S I(x) = - - (x)- v (x) · d S ZZ (x)v(x) dS S car < 0 et v(x) est la norme de la vitesse. Par suite, I(x) = -(x) v(x) S Le signe est ici affaire de convention puisqu'il dépend du choix d'orientation - du vecteur d S . Il y a donc ambiguïté puisque l'énoncé ne précise pas explicitement le signe que l'on doit obtenir. On a choisi une intensité positive pour être cohérent avec la question 7, plus précisément pour garantir la positivité de la constante a qui y est définie. 6 On a, en tout point de l'espace inter-électrodes, l'équation de conservation suivante qui découle de la conservation de la charge j =- t x La charge volumique ne dépendant pas du temps par hypothèse, il vient j =0 x Le débit de charge est donc constant en tout point de l'espace inter-électrodes, d'où L'intensité I ne dépend pas de x. 7 En remplaçant la densité de charges et la vitesse des électrons par les expressions obtenues aux questions 1 et 4, on obtient r d2 V 2e V I = S0 dx2 m d'où d2 V a = dx2 V On peut remarquer que si un choix différent avait été fait pour le signe de l'intensité, la constante a serait négative et non positive comme dans l'énoncé.