Mines Physique 2 MP 2012

Thème de l'épreuve Physique dans l'atmosphère
Principaux outils utilisés ondes, thermodynamique, électrostatique
Mots clefs pression de vapeur saturante, absorption d'un rayonnement, LIDAR, diagramme de Carrier, formation d'un nuage, loi de Laplace, relation de Clapeyron, circuit RC

Corrigé

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ECOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP) ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2012 SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE Filiere MP (Duree de l'epreuve: 3 heures) L'usage de la calculatrice est autorise Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE­EIVP Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page de la copie : PHYSIQUE II -- MP. L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages. ­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il est invite a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura ete amene a prendre. ­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des considerations numeriques) qui vous sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. Le bareme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie. PHYSIQUE DANS L'ATMOSPHERE Ce probleme traite de divers aspects de physique atmospherique. Les quatre parties qui le constitue sont independantes et peuvent donc etre traitees separement. Les vecteurs sont surmontes d'un chapeau s'ils sont unitaires kubr k = 1, ou d'une fleche ~g dans le cas general. Un certain nombre de constantes numeriques sont donnees en fin d'enonce. Pour les applications numeriques on utilisera 3 chiffres significatifs. Aucun pre-requis sur l'air humide n'est necessaire pour traiter la partie I. I. -- Formation d'un brouillard La teneur de l'atmosphere en vapeur d'eau est caracterisee par l'humidite specifique notee qui est le rapport de la masse de vapeur d'eau a la masse d'air sec contenue dans un volume donne. Ce melange d'air sec et de vapeur d'eau constituant l'atmosphere est appele air humide, il sera suppose homogene dans tout ce probleme. L'air humide, l'air sec et la vapeur d'eau seront assimiles a des gaz parfaits. La pression totale P0 de l'atmosphere est donc la somme de la pression de la vapeur d'eau, notee Pv , et de celle de l'air sec, notee Ps . On notera par ailleurs Mv et Ms les masses molaires respectives de l'eau et de l'air sec. Les valeurs numeriques correspondantes sont rappelees en fin de probleme. On parle de brouillard lorsqu'une partie de la vapeur d'eau se condense en eau liquide. 1 -- Rappeler la definition de la pression de vapeur saturante que l'on notera Psat . Pourquoi cette grandeur depend elle de la temperature ? 2 -- Determiner, lorsque Pv = Psat , l'expression de l'humidite specifique sat en fonction des rM Psat Mv . En deduire que si rP 1 on peut ecrire sat et rP = . rapports rM = Ms P0 rP Physique dans l'atmosphere Un certain nombre de mesures effectuees a la pression atmospherique P0 = 1, 01 · 105 Pa ont permis de dresser le tableau suivant : Psat [Pa] 6, 12 · 102 T [ C] 0 8, 78 · 102 5 1, 22 · 103 10 1, 70 · 103 15 2, 31 · 103 20 3, 16 · 103 25 4, 23 · 103 30 3 -- Tracer la courbe sat (T ) issue des mesures. Quelle est la region du plan (T, ) qui correspond a un brouillard ? On melange adiabatiquement 2 masses d'air humide de temperature respectives T1 et T2 , contenant des masses d'air sec respectives ms1 et ms2 et d'humidite specifique 1 et 2 . Durant tout le melange, on suppose que la pression totale reste constante egale a P0 . On suppose enfin qu'il n'y a pas de condensation de la vapeur d'eau. On supposera que sur le domaine considere, la capacite thermique massique c p de l'air humide ne depend ni de la temperature ni de l'humidite specifique. Lorsque le processus de melange adiabatique reversible est termine le volume considere possede une humidite specifique et une temperature T . 4 -- Exprimer en fonction de 1 , 2 , ms1 et ms2 . 5 -- Montrer que la variation d'enthalpie durant le melange est nulle. En deduire l'expression de la temperature T en fonction de T1 , T2 , ms1 et ms2 en remarquant que 1 1 et 2 1. 6 -- Le diagramme dans lequel on represente l'evolution de l'humidite specifique en fonction de la temperature T est appele diagramme de Carrier. Representer dans un diagramme de Carrier les points X1 , X2 et X associes au differents etats du systeme etudie dans les questions 4 et 5 avant et apres le melange. 7 -- Une brise souffle le soir de la terre vers la mer qui permet le melange adiabatique d'un air sature d'humidite a 10 C avec l'air sature d'humidite a 25 C qui surplombe la mer. Montrer qu'il y a formation d'un brouillard, on pourra proceder de facon geometrique. On considere a present qu'une partie du melange des deux masses d'air s'est condensee sous forme d'eau liquide. On note µ la masse de ce condensat liquide uniformement reparti dans l'air et la chaleur latente massique de vaporisation de l'eau supposee constante. Pour simplifier les calculs on supposera que ms1 = ms2 = ms . 8 -- Lorsque le processus de melange est acheve, determiner la relation existant entre la temperature finale du melange T f et son humidite specifique f T f faisant intervenir les parametres , c p , T = (T1 + T2 ) /2 et = (1 + 2 ) /2. 9 -- En interpolant lineairement sat (T ) sur l'intervalle concerne, determiner les valeurs de T f et de f T f a partir de la relation obtenue a la question 8. FIN DE LA PARTIE I II. -- Formation d'un nuage On considere qu'un nuage se forme dans une region de l'atmosphere lorsque la pression partielle de l'air present dans cette region devient superieure a la pression de vapeur saturante Psat . L'air est toujours assimile a un gaz parfait. II.A. -- Modele d'atmosphere isentropique On considere une region du sol assimilable a un plan. On note z0 l'altitude de reference pour laquelle la pression est P0 . L'atmosphere est une couche d'air situee dans l'espace z z0 . On supposera que l'acceleration de la pesanteur ~g est constante dans cette couche et que la temperature T de ce gaz est une fonction T (z) de l'altitude. L'hypothese isentropique consiste a supposer que le passage d'une couche a l'autre de l'atmosphere est equivalent a une transformation adiabatique et reversible. Page 2/7 Physique II, annee 2012 -- filiere MP 10 -- En faisant l'hypothese que l'atmosphere est en equilibre hydrostatique montrer que Zz dz P (z) = P0 exp z0 T (z ) ou l'on determinera la constante en fonction de g = k~gk, de la constante des gaz parfaits R et de la masse molaire de l'air notee M. 11 -- En utilisant la loi de Laplace des gaz parfaits PV = cste ou = C p,m /Cv,m est le rapport des capacites thermiques molaires a pression et a volume constant, exprimer le gradient adiabatique dT de temperature = en fonction du rapport Mg/C p,m . dz 12 -- En supposant que C p,m ne depend pas de z, determiner le profil de temperature T (z) d'une atmosphere isentropique et en deduire que P (z) = P0 T (z) T (z0 ) ou l'on determinera en fonction de . Quel est le signe de ? II.B. -- Possibilite de formation d'un nuage La relation de Clapeyron permet de relier la pression de vapeur saturante Psat , la temperature T , la chaleur latente massique de vaporisation de l'eau , et les volumes massiques ve et vv de l'eau et de la vapeur d'eau. Elle s'ecrit dPsat = T (vv - ve ) dT 13 -- En negligeant l'un des deux volumes massiques devant l'autre et en supposant que est independant de la temperature, montrer que Psat verifie l'equation differentielle dPsat Psat = 2 dT T ou l'on exprimera en fonction de , R, et Mv masse molaire de la vapeur d'eau toujours assimilee a un gaz parfait. En deduire l'expression de Psat (T ) en fonction de Psat (T0 ), T0 , T et . 14 -- En etudiant la croissance comparee des fonctions Psat (T ) et P (T ) pour une atmosphere isentropique, demontrer qu'il existe toujours une temperature en deca de laquelle on assiste a la formation de nuages. FIN DE LA PARTIE II III. -- De l'electricite dans l'air La terre est supposee spherique de rayon RT . Au voisinage de sa surface on mesure un champ electrique ~E. Par beau temps, ce champ est homogene et uniforme dirige selon la normale descendante a la surface de la terre ~E = -Er ubr comme represente ci-contre. Il est relativement stable et l'ordre de grandeur de ses variations temporelles est la journee. Pour les applications numeriques au niveau du sol on prendra Er = F IGURE 1 ­ Structure geometrique 130 V.m-1 . On suppose que la terre est un bon conducteur et du champ electrique terrestre on note la densite superficielle de charges a sa surface. Page 3/7 Tournez la page S.V.P. Physique dans l'atmosphere 15 -- Donner la relation entre , Er et 0 . En deduire la valeur numerique de . 16 -- A partir du resultat de la question precedente, determiner la valeur numerique de la charge totale QT de la Terre. En supposant que la lune possede la meme charge, calculer le rapport des modules des forces electrostatiques et gravitationnelles entre ces deux corps. Qu'en concluez-vous ? La haute atmosphere est alimentee en charges en permanence par divers processus que nous n'etudierons pas ici. L'air constituant l'atmosphere etant conducteur, il peut exister un courant electrique dirige de la haute atmosphere vers la terre. On note ~j la densite volumique de ce courant et la conductivite electrique de l'air. 17 -- Determiner l'expression de ~j en faisant l'hypothese que l'intensite du champ ~E est uniforme dans toute l'atmosphere. En deduire l'intensite du courant electrique circulant dans l'atmosphere sous cette hypothese. On peut associer le courant etudie a la question 17 a une difference de potentiel U0 que l'on peut mesurer experimentalement et dont la valeur numerique moyenne est U0 = 400 kV. Pour tenter d'expliquer les differents phenomenes electriques dont l'atmosphere est le siege, un premier modele consiste a faire l'hypothese que la surface de la terre et la haute atmosphere forment les armatures d'un condensateur spherique, que nous appellerons le condensateur terrestre. On note C la capacite de ce condensateur et on pourra eventuellement utiliser R f sa resistance de fuite due au fait que l'air conduit le courant avec la conductivite . Pour fixer les idees on supposera que la haute atmosphere et la surface de la terre sont uniformement separees d'une distance h = 100 km. 18 -- Montrer que cette valeur de U0 est incompatible avec l'hypothese d'un champ uniforme sur toute l'epaisseur de l'atmosphere. 19 -- Determiner l'expression de la difference de potentiel aux bornes du condensateur terrestre en fonction de QT et C ainsi que celle du courant circulant dans l'atmosphere en fonction de , QT et 0 . En deduire l'expression de la constante de temps associee au condensateur terrestre en fonction de et 0 . Calculer sa valeur numerique et commenter le resultat obtenu. FIN DE LA PARTIE III IV. -- Mesures dans l'atmosphere Le principe de la technique de mesure par Lidar (Light Detection and Ranging) mise en oeuvre au laboratoire de Purple Crow (Purple Crow Lidar - PCL) dans la province de l'Ontario au Canada est d'utiliser un laser de longueur d'onde = 532, 0 nm qui emet des impulsions de profil temporel rectangulaire de duree = 7 ns et d'energie E = 0, 600 J, avec une frequence f = 20 Hz. Ce laser, situe au sol en un point O, pointe vers le haut suivant la direction verticale que l'on notera Ox. Une fraction de la lumiere est retrodiffusee par l'atmosphere puis recueillie au sol par un telescope situe en un point O a proximite immediate du laser : la distance au sol entre le laser et le telescope est notee D = OO . La mesure de l'intensite recueillie sur un recepteur au foyer du telescope doit permettre d'acceder a certains parametres atmospheriques, notamment la concentration de certains aerosols contenus dans l'atmosphere. Le faisceau du laser occupe uniformement un cone de sommet O et d'angle au sommet = 0, 4 · 10-3 rad. Le telescope est constitue d'un miroir de diametre d = 2, 65 m et de surface AT (0). Un filtre de bande passante 1, 0 nm, assure que la mesure du recepteur est effectivement faite au voisinage de . x 20 -- Expliquer pourquoi ce Lidar sera sensible aux concentrations en gaz et en aerosols de petite taille presents dans l'atmosphere. Donner une estimation de la taille maximale des aerosols concernes. Page 4/7 Physique II, annee 2012 -- filiere MP Dans la suite nous supposerons qu'il n'y a qu'une seule sorte de particule diffusante en jeu, caracterisee par sa densite volumique N(x) et par sa section efficace ( ). Cette derniere, exprimee en m2 , peut etre consideree comme une surface transverse fictive que presente la particule soumise a un rayonnement. Ainsi, une particule de section efficace ( ), exposee a une onde de puissance surfacique Ps de longueur d'onde , absorbe une puissance P = ( ) Ps . On admettra que si l'on emet, depuis l'altitude x = 0, un faisceau d'intensite I0 et si on appelle (x, ) = N(x) ( ) le coefficient d'extinction atmospherique a l'altitude x pour une longueur d'onde alors l'intensite recue a l'altitude x s'ecrit Zx I(x, ) = I0 exp - x , dx 0 21 -- On appelle T0 (x, ) le coefficient de transmission atmospherique en intensite entre le point O et un point M(x) d'altitude x situe sur le trajet du faisceau laser et T1 (x, ) le meme coefficient mais sur le trajet aller-retour. Determiner la relation entre les fonctions T0 et puis celle entre T1 et T0 . 22 -- Soit A (x) la surface de la section droite d'atmosphere illuminee par le faisceau a l'altitude x. Exprimer A (x) en fonction de et de x. En deduire la puissance par unite de surface Ps (x) recue par l'atmosphere pendant la duree d'une impulsion du laser a l'altitude x, en fonction de E , , , x et T0 (x, ). 23 -- En choisissant une origine des dates au debut d'une impulsion laser, determiner l'epaisseur de la zone de l'atmosphere pouvant renvoyer un signal capte par le telescope a la date t. On exprimera en fonction de et de la celerite de la lumiere c. Calculer la valeur numerique de et commenter la valeur obtenue compte tenu des distances explorees de l'atmosphere (de l'ordre de plusieurs dizaines de kilometres). En deduire que l'on pourra dans la suite definir une relation simple entre la date t de reception d'un signal et l'altitude x de la diffusion. Dans la suite, les fonctions dependant de l'instant de reception seront considerees comme des fonctions dependant de x, altitude active de l'atmosphere. 24 -- On considere un point M(x) situe sur l'axe du telescope et illumine par le laser et l'on suppose qu'une particule situee en ce point se comporte comme une source isotrope. Exprimer la puissance Prec recue par le telescope en fonction de la puissance totale Pdif diffusee par cette particule et des parametres utiles du probleme. En fait la particule diffusante se comporte comme un dipole oscillant qui possede des directions privilegiees. On peut globalement montrer que dans la situation d'etude, la puissance recue par le telescope est amplifiee d'un facteur 3/2. On suppose que la surface d'ouverture AT (0) du telescope (de diametre d) est centree en O et orthogonale a l'axe O x. Ce dernier, parallele a Ox, est donc l'axe optique du telescope. La zone de visibilite du telescope est un cone de sommet O , d'axe O x et d'angle au sommet T . 25 -- Expliquer qualitativement pourquoi T = /d, ou est une constante liee a la geometrie du telescope, voisine de l'unite et que l'on ne demande pas d'expliciter. Calculer T avec = 1, on conservera ces valeurs dans la suite du probleme. Comment evoluerait T si l'on prenait en compte la taille du detecteur place au foyer du telescope ? On note h0 l'altitude minimale telle qu'une particule situee dans la zone de visibilite du telescope puisse diffuser le faisceau laser et h1 l'altitude telle que toutes les particules de la zone de visibilite du telescope situee plus haut que h1 puissent diffuser le faisceau laser. 26 -- En s'aidant d'une figure en coupe des cones respectifs associes au laser et au telescope, determiner l'expression de h0 et de h1 en fonction de D, T et . Determiner la valeur maximale Dmax que l'on peut affecter a D pour etre sur de pouvoir sonder la totalite de la zone visible de l'atmosphere au dela de l'altitude hmin = 10 km. On supposera par la suite que les deux instruments sont places de sorte que les altitudes etudiees soient superieures a hmin . Page 5/7 Tournez la page S.V.P. Physique dans l'atmosphere 27 -- Montrer qu'a l'issue de chaque impulsion, la puissance P (x, ) recue par le telescope peut s'ecrire E AT, 3N(x) ( ) T1 (x, ) P (x, ) = 4 x2 2 ou AT, est une fonction de AT (0), T et que l'on explicitera. Cette relation est appelee equation du Lidar . 28 -- La puissance etant tres faible, le detecteur est un integrateur qui donne comme reponse l'energie E (x) captee pendant une duree d petite par rapport a la duree de l'aller retour du signal mais grande devant la duree de l'impulsion. Montrer que la consequence de cette methode de detection est de definir une resolution spatiale d liee au detecteur. Calculer d pour une duree d'integration d = 160 ns. Des mesures independantes ont permis de recueillir, pour un certain type d'aerosol, la densite volumique en deux points, bas et haut, de l'atmosphere. Les resultats sont presentes dans le tableau ci-dessous x [km] 20 80 N (x) [m-3 ] 1, 70 · 1024 4, 10 · 1018 Pour toute la suite du probleme on considerera que le facteur d'attenuation atmospherique est independant de x et de et on prendra T1 (x, ) = 58% ; La section efficace de diffusion de l'aerosol considere est ( ) = 5, 15 · 10-31 m2 et la duree d'integration est d = 160 ns. Enfin, on considerera que AT (0) = d 2 /4. 29 -- Calculer les energies recues par le recepteur Eh et Eb pour les deux points haut et bas mesures. Sachant que l'energie d'un photon de frequence s'ecrit E p = h , a combien de photon(s) cela correspond-il ? Que pensez vous de ces valeurs ? 30 -- On repete cette integration a la frequence de 20 Hz dans les memes conditions durant 364 minutes, combien de photons aura-t-on alors recueilli dans chaque cas sur le detecteur ? Le comptage de n photons est une operation statistique comportant une incertitude statistique, ou bruit statistique, egal a n. En deduire l'incertitude relative sur la mesure du nombre de photons dans les deux cas. 31 -- Le laser permet d'emettre plusieurs longueurs d'ondes. Montrer, a une altitude x donnee, ce que peut apporter la possibilite d'avoir plusieurs valeurs de puissance instantanee P (x, i ) correspondant a plusieurs longueurs d'onde i . FIN DE LA PARTIE IV Page 6/7 Physique II, annee 2012 -- filiere MP Donnees numeriques ­ Masse molaire de la vapeur d'eau : Mv = 18, 0 g.mol-1 ­ Masse molaire de l'air sec : Ms = 29, 0 g.mol-1 ­ Chaleur latente massique de vaporisation de l'eau : = 2, 50 · 106 J.kg-1 ­ Capacite thermique massique de l'air humide : c p = 1, 90 · 103 J.kg-1 .K-1 ­ Conductivite electrique moyenne de l'air : = 3, 00 · 10-15 S.m-1 ­ Permittivite electrique du vide : 0 = 1 36 · 10-9 F.m-1 ­ Rayon terrestre : RT = 6, 36 · 106 m ­ Masse de la terre : mT = 5, 97 · 1024 kg ­ Masse de la lune : mL = 7, 35 · 1022 kg ­ Constante de la gravitation de Newton : G = 6, 67 · 10-11 m3 .kg-1 .s-2 ­ Constante de Planck : h = 6, 63 · 10-34 m2 .kg.s-1 ­ Celerite de la lumiere dans les milieux consideres : c = 3, 00 · 108 m.s-1 FIN DE L'EPREUVE Page 7/7

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 Mines Physique 2 MP 2012 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jérôme Lambert (Enseignant-chercheur à l'université) ; il a été relu par Olivier Frantz (Professeur agrégé en école d'ingénieur) et Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE). Ce sujet est consacré à l'étude de différents phénomènes liés à la physique de l'atmosphère. On s'intéresse successivement à l'humidité de l'atmosphère, à l'évolution de la température et de la pression en fonction de l'altitude, aux phénomènes électrostatiques qui s'y produisent, puis à la concentration en particules atmosphériques sondée à l'aide d'un laser de forte puissance. Ce problème se divise en quatre parties de longueurs et de difficultés inégales : · La première partie est consacrée à l'étude de l'apparition d'un brouillard du fait du mélange adiabatique de deux masses d'air saturées en vapeur mais à des températures différentes. · Dans une deuxième partie, on discute les conséquences de l'hypothèse de l'« atmosphère isentropique », qui consiste à considérer que les caractéristiques d'une masse d'air à une altitude z donnée sont les mêmes que si celle-ci avait été transférée de manière isentropique depuis l'altitude de référence 0 jusqu'à l'altitude z. Les conséquences de cette hypothèse pour la formation des nuages sont ensuite (trop) brièvement étudiées. · La troisième partie est consacrée à l'étude de la Terre vue comme un condensateur sphérique. On met en évidence la lente décharge de ce condensateur à l'aide de modèles simples issus du cours d'électrostatique. · Dans une quatrième partie, on modélise un dispositif de type Lidar dédié à la caractérisation de la concentration en particules dans l'atmosphère et de leur répartition en fonction de l'altitude. Ce problème mérite d'être traité dans l'optique de la préparation aux concours car il aborde un grand nombre de sujets différents. Les deux premières parties sont proches du programme de MPSI mais d'un abord difficile du fait d'une rédaction parfois un peu rapide. La troisième partie, consacrée à l'électrostatique, est en revanche très abordable et beaucoup plus courte que les autres. La quatrième partie, plus difficile, est intéressante car elle décompose de manière très didactique le fonctionnement d'un dispositif réel, le Lidar, et permet de ce fait d'en discuter différents aspects. Elle nécessite peu de prérequis. Indications 1 Invoquer la loi de Van't Hoff. 2 Une coquille s'est glissée dans l'énoncé : il faut lire sat rP rM . 3 La région du plan (T, ) qui correspond à l'apparition d'un brouillard est celle où la vapeur est « sursaturée ». 4 En l'absence de condensation, la masse totale de vapeur est la somme des masses de vapeur 1 et 2. 5 Le système constitué des deux masses est soumis à une pression constante durant le mélange. 7 Que peut-on dire de la convexité de la courbe sat = f (T) ? 8 Que devient l'énergie libérée par le processus de condensation ? On pourra faire l'approximation que la masse totale est égale à 2 ms . 9 À l'aide du tableau fourni à la question 3, situer le point (T, ) dans le plan afin de bien choisir l'intervalle de linéarisation. 11 L'hypothèse isentropique est assez subtile : pour calculer l'évolution de la pression en fonction de l'altitude, on fait comme si on transférait un même système gazeux d'une altitude à une autre de manière adiabatique. On pourra faire appel à la relation de Mayer, qui est supposée connue. 12 Il n'est pas nécessaire de passer par les altitudes pour obtenir la relation entre P(z) et T(z), car cette dernière ressemble diablement à la relation de Laplace. 14 Dans le cadre de l'hypothèse isentropique, on suppose que l'humidité spécifique ne varie pas en fonction de l'altitude, puisque l'approximation revient à transférer une même masse d'air à différentes hauteurs. 15 À proximité immédiate de la Terre, on peut négliger la rotondité de celle-ci. 17 Entre la haute atmosphère et la Terre, il n'y a pas d'accumulation de charge. Le courant peut donc être calculé pour tout rayon, en particulier pour r = RT . 19 Le temps obtenu semble assez peu compatible avec la persistance des charges. Quel processus de recharge peut-on envisager ? 23 Le temps de trajet inclut l'aller et le retour. Ceci a une influence sur . 24 On peut s'intéresser à l'angle solide sous lequel le télescope est « vu » par la particule située en M(x). 25 L'ouverture du télescope est de taille finie et entraîne donc la diffraction de la lumière incidente. 26 Le cône de visibilité du télescope est beaucoup plus étroit que le cône d'émission du Lidar. 27 On peut introduire la section AT (x) du cône de visibilité du télescope et l'exprimer en fonction de A (x), de et de T . 28 La grandeur d est suffisamment petite par rapport aux altitudes caractéristiques pour supposer que P(x, ) est constant sur un intervalle de cette largeur. 29 Peut-on observer une fraction de photon ? Combien de mesures doit-on réaliser en moyenne pour détecter un photon ? 31 Si on connaît l'évolution de (), quel paramètre de l'équation du Lidar peut être déterminé ? Physique dans l'atmosphère I. Formation d'un brouillard 1 Dans un système à l'équilibre thermodynamique, la pression de vapeur saturante Psat est la pression partielle d'un corps présent sous les phases liquide et gazeuse. L'équilibre liquide vapeur est caractérisé par la constante Psat K(T) = 0 P La vaporisation est endothermique, donc, d'après la loi de Van't Hoff, il y a déplacement de la réaction dans le sens de la vaporisation lorsque la température augmente. Ceci implique, d'après l'expression de K(T), que Psat augmente avec T. Ce résultat a une interprétation microscopique simple : au sein de la phase liquide, la cohésion des molécules est assurée par le potentiel attractif entre ces molécules. L'augmentation de la température, donc de l'agitation thermique, favorise la libération de molécules dans la phase gazeuse, et donc l'augmentation de la pression partielle, qui est aussi la pression de vapeur saturante puisque le même corps est présent sous les deux phases. 2 Appelons nv et ns les quantités de matière de vapeur et d'air sec dans un volume donné. On a alors mv nv Mv nv = = = rM ms ns Ms ns Les deux gaz du mélange sont parfaits, donc les quantités de matière de vapeur et d'air sec s'écrivent respectivement Pv V Ps V nv = et ns = RT RT On en déduit une nouvelle expression de l'humidité spécifique : mv Pv = = rM ms Ps Or Pv + Ps = P0 , donc Pv Pv /P0 = rM = rM P0 - Pv 1 - Pv /P0 À l'apparition de gouttes d'eau, la pression de vapeur est égale à Psat et = sat . En tenant compte du fait que rP = Psat /P0 , il vient rP sat = rM 1 - rP soit, si rP 1, sat rM rP L'énoncé de la question 2 contient une coquille ennuyeuse : il faut lire sat rM rP à la fin de la question ! 3 Les valeurs de Psat (T) données par l'énoncé conduisent, d'après le résultat de la question précédente, à la courbe ci-dessous, où l'on a pris rM = 0,621 : sat 2,6.10-2 Zone d'existence d'un brouillard 0,4.10-2 0 5 10 15 20 25 30 T en C La courbe correspond au rapport des masses de vapeur d'eau et d'air sec à l'apparition de la première goutte d'eau liquide. Si l'on rajoute de l'eau sous forme de vapeur, celle-ci va se condenser en maintenant sa pression partielle à la pression de vapeur saturante. Il se forme alors un brouillard. La masse d'eau ayant augmenté, ceci correspond à la partie du plan (T, ) située au-dessus de la courbe. Cette partie correspond au domaine d'existence d'un brouillard. La définition de donnée par l'énoncé peut induire en erreur : dans un volume donné, l'augmentation de la masse d'eau nécessaire à l'apparition d'un brouillard ne se traduit pas par une variation de la masse de vapeur, celle-ci restant constante, déterminée par la pression de vapeur saturante et le volume disponible. Il faut soit comprendre « masse d'eau » plutôt que masse de vapeur dans la définition de , soit considérer que la zone de brouillard correspond à une zone sursaturée en vapeur. Cette dernière se condense donc spontanément dans la zone de brouillard. 4 En l'absence de condensation, la masse de vapeur d'eau du mélange est la somme des masses de vapeur d'eau contenues dans les deux masses d'air humide : mv = mv1 + mv2 De même, ms = ms1 + ms2 Or, d'après la définition de , on a, là aussi du fait de l'absence d'eau liquide : mv1 = 1 ms1 si bien que : mv2 = 2 ms2 = et mv = ms 1 ms1 + 2 ms2 ms1 + ms2 5 Le mélange du système constitué des deux masses d'air 1 et 2 se fait à pression extérieure constante égale à P0 . La variation d'enthalpie d'un système lors d'une transformation isobare est Hmel = Q où Q est la chaleur échangée avec l'extérieur. D'après l'énoncé, le mélange se fait de manière adiabatique (Q = 0), si bien que La variation d'enthalpie lors du mélange est nulle.