Mines Physique 2 MP 2011

Thème de l'épreuve À propos de conduction électrique
Principaux outils utilisés modèle de Drude, effet Hall, électromagnétisme
Mots clefs plasma, semiconducteur, loi d'Ohm, conductivité, onde d'Alfvén

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ECOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP) ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2011 SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE Filiere MP (Duree de l'epreuve: 3 heures) L'usage de la calculatrice est autorise Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE­EIVP Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page de la copie : PHYSIQUE II -- MP. L'enonce de cette epreuve comporte 5 pages. ­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il est invite a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura ete amene a prendre. ­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des considerations numeriques) qui vous sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. Le bareme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie. A PROPOS DE CONDUCTION ELECTRIQUE Ce probleme etudie deux situations de conduction electrique en presence, entre autres, de champs magnetiques : dans un solide semi-conducteur(partie I) et dans un fluide conducteur (partie II). Ces deux parties sont completement independantes ; dans chacune de ces deux parties, de nombreuses questions peuvent aussi etre abordees de maniere independante, sous reserve eventuellement d'admettre certains resultats fournis par l'enonce. Les vecteurs sont notes en caracteres gras : r, j. Les vecteurs ex , ez , etc. . . designent les vecteurs unitaires selon les axes Ox, Oz, etc. . . Un certain nombre de formules d'analyse vectorielle sont rappelees en fin d'enonce. I. -- Conduction dans un solide semi-conducteur Les mesures de conductivite et d'effet Hall jouent un role important dans l'etude theorique des milieux semi-conducteurs. Ces mesures sont en general menees sur des echantillons plans dont l'epaisseur constante est faible devant les autres longueurs intervenant dans le probleme. Le materiau considere est un conducteur de conductivite , comportant des porteurs de charge mobiles de charge q en densite particulaire (nombre de particules par unite de volume) n. On notera R = 1/nq la constante de Hall du materiau. L'ensemble de l'etude est menee en regime permanent. En l'absence de tout champ magnetique, la loi d'Ohm j = E caracterise le materiau etudie. I.A. -- Mesure directe de la conductivite Le courant electrique i est amene en un point A du materiau par un fil, perpendiculaire a la plaque, confondu avec l'axe (Az). Ce fil est relie au materiau par une electrode cylindrique de faible rayon. Ce courant electrique repart par un fil de meme nature et fixe de la meme maniere au point D ; l'ensemble est represente sur la figure 1. A propos de conduction electrique F IG . 1 ­ Mesure directe de resistance d'une plaque mince conductrice 1 -- On considere tout d'abord une situation simplifiee, a symetrie cylindrique, dans laquelle on supprime le contact de depart en D. Le courant arrivant en A se repartit donc dans l'ensemble du materiau avec la symetrie de revolution d'axe (Az) : la densite volumique de courant j en un point M s'y ecrit j(M) = j(r)er , ou r designe la distance de M a l'axe (Az) et er le vecteur unitaire radial de cet axe. Exprimer j(r) en fonction de r, et i. On considere deux points M1 et M2 de la plaque et on note r1 = AM1 et r2 = AM2 . Determiner la difference de potentiel V (M1 ) -V (M2 ) en fonction de i, , et du quotient r2 /r1 . 2 -- On remet en place le contact de depart du courant en D. En procedant par superposition de deux situations analogues a celle de la question 1, determiner la nouvelle expression de V (M1 ) - V (M2 ) en fonction de i, , , r1 , r2 , r1 = DM1 et r2 = DM2 . Que vaut cette difference de potentiel si M1 et M2 sont sur la mediatrice du segment AD ? Commenter ce resultat. 3 -- On note = AD et a le rayon des electrodes cylindriques de contact electrique en A et D ; ces electrodes sont formees d'un materiau metallique tres bon conducteur electrique et sont donc considerees comme equipotentielles, de potentiels respectifs VA et VD . Montrer que si /a 1 la resistance electrique de la plaque s'ecrit sous la forme R R0 ln (/a), ou l'on exprimera R0 en fonction de et . 4 -- Application numerique : l'epaisseur de la plaque de semi-conducteur est = 1, 0 mm. On realise le dispositif de la figure 1 avec = 2 cm et a = 0, 5 mm. La conductivite du materiau (silicium dope) est = 2, 2 × 104 S·m-1 . Calculer R, commenter la valeur numerique ; la mesure de R est-elle facile ? Pour limiter les erreurs dans les mesures de tension on utilise la geometrie de van der Pauw qui elimine l'influence du diametre des electrodes. Sur la figure 2, les electrodes A et D sont utilisees pour l'arrivee et le depart du courant, et les electrodes P et Q pour la mesure de difference de potentiel u = V (P) -V (Q). On definit enF IG . 2 ­ Geometrie de van der Pauw : les fin la resistance parallele R// = u/i. points A, P, Q et D forment dans cet ordre 5 -- Determiner R// en fonction de et . un carre. Page 2/5 Physique II, annee 2011 -- filiere MP I.B. -- Effet Hall La plaque infinie de la figure 1 est maintenant soumise au champ magnetostatique uniforme B = Bez , perpendiculaire a la plaque. Celle-ci etant tres mince, le vecteur j reste contenu dans le plan forme par la plaque, on a donc jz = j · ez = 0 et les deux autres composantes de j qui ne dependent que de r et . On peut ainsi ecrire j = jr (r, )er + j (r, )e . Dans le cadre du modele de Drude, on considere que les porteurs mobiles de charge q, de masse m et de vitesse v associes au courant j sont soumis a une force de frottement visqueux de la forme F = - f v. Certains aspects de cette force seront developpes dans la partie II. 6 -- En l'absence de tout champ magnetique, ecrire l'equation du mouvement d'un porteur de charge associe au courant j. Montrer alors qu'en regime permanent, il existe une relation lineaire entre j et E. Comment s'appelle le coefficient de proportionnalite ? 7 -- En presence du champ magnetique B que devient l'equation du mouvement ? Par analogie avec la question precedente determiner, en regime permanent, la relation entre j, E et B mettant en jeu la conductivite et la constante de Hall R. On cherche a montrer que la presence du champ magnetique B ne modifie pas, compte tenu des conditions aux limites, l'allure des lignes de courant et en particulier que la plaque reste localement neutre, c'est-a-dire que la densite volumique de charge est partout nulle. 8 -- Determiner en regime permanent la valeur de div j. 9 -- Determiner, toujours en regime permanent, l'expression de rot(j B). 10 -- En utilisant les resultats des questions 7, 8 et 9 ainsi que deux equations de Maxwell montrer qu'en regime permanent la plaque reste en tout point localement neutre. On considere maintenant la geometrie de la figure 3, on mesure la difference de potentiel u = V (P) -V (Q) et on definit dans cette geometrie la resistance R = u/i. 11 -- Exprimer la difference de potentiel u = V (P) - V (Q) en fonction de E, puis de Ey = E · ey . En deduire l'exF IG . 3 ­ Geometrie de van der Pauw : pression de la resistance R en fonction de R, B et . les points A, P, D et Q forment dans 12 -- A quoi peut servir dans la pratique une telle mesure cet ordre un carre. de resistance ? FIN DE LA PARTIE I II. -- Conduction dans un plasma a basse frequence Le plasma etudie ici est un fluide forme de deux types de particules : des electrons, de masse me et de charge qe = -e, en densite particulaire (nombre de particules par unite de volume) uniforme n0 et des ions, de masse m p et de charge q p = +e, en meme densite n0 . L'ensemble est soumis au champ electromagnetique E, B en regime variable ; on notera, dans le referentiel d'etude, ve et v p les vitesses des electrons et des ions en un point donne du plasma. La densite volumique de courant resultant des mouvements des particules est notee j. Le plasma etant partout localement neutre, on aura div j = 0. II.A. -- Courant electrique dans le plasma 13 -- Dans quelles conditions peut-on faire l'approximation rot B = µ0 j ? Quel est le nom de cette approximation ? On conservera cette approximation dans toute la suite. Page 3/5 Tournez la page S.V.P. A propos de conduction electrique II.B. -- Vitesses, courant et forces 14 -- Proposer un minorant (numerique) du rapport m p /me . 15 -- Quelle est la signification physique de la grandeur V definie par (m p +me )V = m p v p +me ve ? Exprimer les vitesses v p et ve en fonction de V, de la densite volumique de courant j et de n0 et e ; simplifier ces expressions compte tenu du fait que m p me . On conservera cette approximation dans toute la suite. On considere un element de volume d du plasma dans lequel se trouve dN = n0 d ions et autant d'electrons ; on cherche a exprimer les forces dF p et dFe respectivement exercees sur ces ions et ces electrons, en negligeant toute force de pression. Les particules ne sont donc soumises qu'aux forces electromagnetiques et aux effets des collisions. Compte-tenu du rapport de masse l'effet des collisions est modelise uniquement par une force fv exercee par unite de volume par les ions sur les electrons. 16 -- Exprimer dFe en fonction de d , n0 , e, E, B, j, V et fv . 17 -- Exprimer dF p en fonction des memes grandeurs. En deduire l'expression de dF = dF p +dFe , force totale subie par l'element de volume d du plasma. Quel est le nom de cette force ? II.C. -- Modele collisionnel pour le plasma Pour decrire la force exercee par les ions sur les electrons, on considere une interaction de deux particules de masses m p et me qui, a l'instant initial, se dirigent l'une vers l'autre avec les vitesses v p = v p ex et ve = -ve ex (v p > 0 et ve > 0) ; le systeme est considere comme isole et on neglige l'energie potentielle d'interaction dans l'etat initial, les deux particules etant supposees tres eloignees l'une de l'autre (cf. fig. 4). Au cours de l'interaction de ces particules, que l'on n'etudiera pas en detail, les vitesses restent toutes colineaires a l'axe (Ox). Au bout d'une duree suffisante, l'interaction est terminee ; les vitesses restent des lors constamment egales a vp = -w p ex et ve = we ex , avec w p > 0 et we > 0 si les deux particules repartent, apres l'interaction, en sens inverse de leur mouvement initial. mp vp ve me x F IG . 4 ­ Interaction de deux particules formant un systeme isole 18 -- En appliquant deux lois de la mecanique au systeme des deux particules, deduire deux equations reliant w p , we , v p , ve , m p et me . En deduire la relation v p + ve = w p + we . 19 -- En utilisant les diverses expressions obtenues, montrer que me (ve - ve ) = - µ (ve - v p ), ou µ = me m p /(me + m p ) est la masse reduite du systeme a deux corps forme par les ions et les electrons. Le facteur numerique que l'on determinera dans cette expression est lie au modele geometrique tres simple adopte ici : vitesses des particules colineaires pendant toute l'interaction. Dans un modele plus complet, on obtiendrai un autre facteur de l'ordre de /2. 20 -- On revient maintenant au modele des deux fluides d'electrons et d'ions ; on rappelle que fv designe la force exercee par unite de volume par les ions sur les electrons du fait des collisions. On note la duree moyenne d'une collision. Justifier, qualitativement, l'expression fv = - n0 me (ve - v p ) 21 -- Pour les mouvements a suffisamment basse frequence, on peut negliger l'acceleration des electrons dans le plasma. Deduire des questions 16 et 20 la forme generalisee de la loi d'Ohm dans un tel plasma, 1 j = E+VB- jB n0 e ou on exprimera en fonction de n0 , e, et me . Page 4/5 Physique II, annee 2011 -- filiere MP II.D. -- Ondes magnetohydrodynamiques dans un plasma Le couplage entre le mouvement des particules chargees dans un fluide et le champ electromagnetique regnant dans ce dernier peut, dans certaines conditions, aboutir a la propagation d'ondes dites magnetohydrodynamiques. De telles ondes ont ete etudiees pour la premiere fois par le physicien suedois Hannes Alfven en 1942, elles sont fondamentales pour l'etude des plasmas astrophysiques tels que ceux qui entourent les etoiles. Pour cette decouverte et les decouvertes consequentes, Alfven obtint le prix Nobel en 1970. Le plasma etudie ici sera considere comme tres bon conducteur (n0 donc ) de sorte qu'on peut y ecrire (cf. question 21) E = -V B. Dans ce contexte, l'equation simplifiee de la dynamique dans une unite de volume du plasma s'ecrit m V = jB t avec m = n0 m p On etudie un mode particulier d'oscillations du plasma dans lequel B = B0 ez + b(z,t), ou B0 est un champ statique intense et b(z,t) une onde de faible amplitude, kbk B0 , qu'on decrira en notation complexe comme une onde plane progressive et monochromatique, b = b0 exp [i ( t - kz)] ou i2 = -1 et > 0 22 -- Montrer que b0 · ez = 0. Exprimer, en notation complexe, la densite volumique de courant j en fonction de b, k et de la permeabilite du vide µ0 . 23 -- En se limitant aux termes du premier ordre en b0 , montrer que la vitesse d'ensemble V du B0 k plasma est aussi une onde plane, V = V0 exp [i ( t - kz)] ou V0 = - b0 . µ0 n0 m p 24 -- En ecrivant l'equation de Maxwell-Faraday montrer que les ondes etudiees se propagent sans dispersion a la celerite cA (vitesse d'Alfven) que l'on exprimera en fonction de B0 , µ0 et de la masse volumique m du plasma. Verifier l'homogeneite de la relation donnant cA . 25 -- Le plasma etudie est du mercure liquide (m = 1, 4 × 104 kg · m-3 ) dans un champ magnetique B0 = 0, 5 T. On rappelle que µ0 = 4 × 10-7 H · m-1 ; calculer cA ; commenter. FIN DE LA PARTIE II Petit formulaire d'analyse vectorielle (u v) w = (u · w)v - (v · w)u rot(u v) = u div(v) - (u · grad)v - v div(u) + (v · grad)u div(u v) = v · rot(u) - u · rot(v) En coordonnees cylindriques dans la base locale (er , e , ez ), pour un champ scalaire f et pour un vecteur u = ur er + u e + uz ez on indique les relations suivantes : f f u uz 1f 1 grad( f ) = e + er + ez div(u) = (rur ) + + r r z r r z 1 ur uz ur 1 uz u er + e + ez - (ru ) - - rot(u) = r z z r r r u · grad = ur u + uz + r r z FIN DE L'EPREUVE Page 5/5

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 Mines Physique 2 MP 2011 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Pierre Lacas (Professeur agrégé) ; il a été relu par Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Le sujet traite de différents aspects de la conduction électrique en régime stationnaire et lentement variable, en particulier en présence d'un champ magnétique appliqué. Il se compose de deux parties indépendantes. · La première étudie une plaque semi-conductrice parcourue par un courant en régime stationnaire. D'abord, on s'intéresse à la mesure directe de la conductivité du matériau pour aboutir à la méthode « quatre points ». De nombreuses questions guident la démarche, mais aucun résultat intermédiaire n'est fourni. Ensuite, on aborde le phénomène de l'effet Hall, c'est-à-dire l'étude de la plaque semi-conductrice en présence d'un champ magnétique statique et uniforme, dans le contexte du modèle de Drude. Cette partie du sujet, plus calculatoire, se termine par la détermination de l'expression de la résistance de Hall, aux multiples applications dans le domaine des capteurs. · La seconde partie aborde la conduction dans un plasma soumis à un champ électromagnétique lentement variable. Les quatre sections qui la composent sont indépendantes. La première place l'étude dans le cadre de l'approximation des régimes quasi-stationnaires. La deuxième concerne une étude dynamique préliminaire sur une « particule » de plasma. La troisième aborde le modèle du plasma collisionnel. Aucune connaissance sur la théorie des chocs n'est nécessaire ; on utilise les lois de conservation pour un système à deux corps. Enfin, le sujet se termine par l'étude d'un type d'ondes pouvant se propager dans le plasma : les ondes magnétohydrodynamiques d'Alfvén. Elle est menée dans le cas simplifié du conducteur parfait et on cherche des solutions monochromatiques planes pour l'onde de vitesse dans le plasma. Elle aboutit à l'expression de la célérité de ces ondes, ou vitesse d'Alfvén. Si l'énoncé cite des conséquences astrophysiques, l'application numérique finale concerne le cas du mercure liquide, qui constitue une situation de laboratoire. Dans l'ensemble, la longueur du sujet est raisonnable. Si l'on excepte quelques questions qui concernent les équations de Maxwell, ainsi que la sous-partie II.D, tout le reste du sujet, c'est-à-dire plus de la moitié de l'épreuve, peut être traité en utilisant le programme de première année. Indications Partie I 1 Utiliser la conservation de la charge en tenant compte de la géométrie cylindrique. -- - Ensuite, utiliser E = - grad V. - 2 La médiatrice de AD constitue un axe d'antisymétrie pour - , donc pour E . 8 Appliquer l'équation locale de conservation de la charge. 9 Utiliser le formulaire d'analyse vectorielle et au résultat de la question 8. Le champ magnétique est uniforme. - 10 Pour montrer que = 0, prouver que div E = 0. 11 Exprimer - sur l'axe (y y) en utilisant le principe de superposition (voir I.A). En utilisant le résultat de la question 7, en déduire la composante Ey du champ électrique sur cet axe. Partie II 14 Un ion a une masse au moins égale à celle d'un proton. 15 Exprimer la vitesse du centre de masse du système {ion + électron}. 17 La force exercée par les électrons sur les ions peut être obtenue grâce au principe des actions réciproques. 18 Mettre en équation les lois de conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement pour le système isolé des deux particules, avant et après le choc. 20 Exprimer la force moyenne en évaluant la variation de quantité de mouvement sur un choc de durée très brève. 22 Penser aux équations de Maxwell-flux et de Maxwell-Ampère. 23 Utiliser l'équation du mouvement simplifiée. - - - - - 24 Le plasma est un très bon conducteur : E = - V B . Pour le calcul de rot E , - il ne faut garder que le terme du premier ordre en b0 . La célérité cA s'obtient grâce à la relation de dispersion = f (k). À propos de conduction électrique I. Conduction dans un solide semi-conducteur I.A Mesure directe de la conductivité 1 Considérons le volume V formé par un cylindre d'axe (Az) et de rayon r représenté ci-contre. En régime permanent, d'après la loi de conservation de la charge, le courant électrique est identique à l'entrée et à la sortie de V, d'où ZZ - - i= · dS i r V A· S - - dS S - - · d S = j(r) r dz d Or, ZZ Et donc - - · d S = Z Z 0 2 r j(r) dz d = 2 r j(r) 0 S Finalement, j(r) = i 2 r La dépendance en 1/r de la densité de courant dans le matériau ne traduit pas une atténuation, mais le fait que la surface que les charges traversent est proportionnelle à la distance r. Pour obtenir la différence de potentiel entre deux points de la plaque, déterminons le champ électrique au moyen de la loi d'Ohm - - i - E = = er 2 r -- - Or, par définition du potentiel, E = - grad V ; il s'ensuit dV i =- dr 2 r En intégrant entre r1 et r2 , on en déduit i r2 V(M1 ) - V(M2 ) = ln 2 r1 2 Dans un premier temps, adaptons le résultat précédent dans la situation où, cette fois, il n'y a que le contact en D. Pour cela, il faut : · remplacer les distances r1 et r2 par r1 et r2 ; · substituer -i à i, car cette fois le courant i est sortant. Il vient alors [V(M1 ) - V(M2 )]D seul i =- ln 2 r2 r1 Avec les deux contacts, la différence de potentiel s'obtient en utilisant le théorème de superposition. En additionnant ce résultat et celui de la question précédente, il vient i r2 r2 ln - ln V(M1 ) - V(M2 ) = 2 r1 r1 Sur la médiatrice de [AD], r1 = r1 et r2 = r2 , si bien que V(M1 ) - V(M2 ) = 0 Cela signifie que l'intersection du plan médiateur de [AD] et de la plaque semiconductrice constitue une surface équipotentielle. Ce résultat était prévisible, car il s'agit d'un plan d'antisymétrie pour la distribution de courant. On en déduit que - , - et donc E (d'après la loi d'Ohm) -- vecteurs polaires -- sont normaux à ce plan en - tout point de sa surface. Or, toute surface en tout point de laquelle E est normal constitue une équipotentielle. - En effet, envisageons un déplacement élémentaire d à partir d'un point M en restant sur la surface considérée. Pour tout point M, - - dV = - E (M) · d = 0 Elle constitue donc bien une équipotentielle. En outre, signalons que le théorème de superposition s'applique ici, car les lois de l'électromagnétisme sont traduites par des équations linéaires. 3 Soit M1 -- respectivement M2 -- l'intersection de [AD] et de la surface de l'électrode située en A -- respectivement en D. Les électrodes étant des équipotentielles, on a V(M1 ) = VA et Comme r1 = a, r2 = - a, la question 2 a A· a · M1 = - a et VA - VD = = = VA - VD · ·D V(M2 ) = VD r1 M2 r2 = a, on obtient successivement, d'après i -a a ln - ln 2 a -a i -a ln a i ln -1 a i ln a si 1 a Dans cette approximation, l'expression de la résistance électrique de la plaque (définie par R = UAD /i) est ainsi 1 R R0 ln avec R0 = a