Mines Physique 2 MP 2008

Thème de l'épreuve Ascension atmosphérique en montgolfière
Principaux outils utilisés thermodynamique, mécanique
Mots clefs équilibre polytropique de l'atmosphère, atmosphère isotherme, montgolfière, poussée d'Archimède

Corrigé

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ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT­ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2008 SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE Filiere MP (Duree de l'epreuve: 3 heures) L'usage de la calculatrice est autorise Sujet mis a disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE­EIVP, Cycle international Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page de la copie : PHYSIQUE II -- MP. L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages. ­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il est invite a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura ete amene a prendre. ­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des considerations numeriques) qui vous sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. La bareme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie. ASCENSION ATMOSPHERIQUE EN MONTGOLFIERE Les vecteurs sont notes en caracteres gras, et leur norme en italique : Le vecteur v a pour norme v. Les valeurs des constantes physiques utiles dans les applications numeriques sont donnees a la fin du texte. Le referentiel terrestre est suppose galileen. Le champ de pesanteur, d'intensite supposee uniforme g, est dirige suivant l'axe vertical ascendant Oz, et de sens oppose. Tous les mouvements etudies s'effectuent suivant cet axe vertical. Les gaz ont les proprietes du gaz parfait. La constante des gaz parfaits est notee R. La masse molaire moyenne de l'air est notee Me , sa pression P, sa temperature T et sa masse volumique µ . On designe par Po ,To et µo les valeurs de P, T et µ au niveau du sol (ou z = 0). La partie III est independante des deux premieres. I. -- Atmosphere en equilibre I.A. -- Atmosphere isotherme On s'interesse a l'equilibre de l'atmosphere, dont on adopte dans un premier temps un modele isotherme, de temperature uniforme To . On prendra To = 288 K. 1 -- Exprimer la masse volumique de l'air en fonction de P, R, To et Me . 2 -- Ecrire la condition d'equilibre statique de l'air. En deduire l'expression de la pression P (z) en fonction de Po , de la hauteur barometrique H = RTo / (Me g) et de l'altitude z. 3 -- En prenant pour l'air une composition molaire de 20% en O 2 et de 80% en N2 , calculer la valeur numerique de H. A quelle altitude ziso 50% la pression est elle egale a Po /2 ? ASCENSION ATMOSPHERIQUE EN MONTGOLFIERE I.B. -- Equilibre polytropique Le modele d'atmosphere isotherme precedent n'est pas realiste ; aussi, s'interesse-t-on a l'equilibre polytropique : l'experience montre que, jusqu'a une altitude d'environ 10 km, la temperature de l'air verifie une loi lineaire du type T = To (1 - z) ou = 1/zo est une constante positive. Cette approximation lineaire est en fait le developpement au premier ordre en z/zo d'une expression plus precise. La valeur experimentale zo 33 km justifie ce developpement dans les dix premiers kilometres de l'atmosphere. 4 -- Montrer que l'on peut ecrire P (z) = Po (1 - z) et µ (z) = µo (1 - z) -1 ou l'on donnera l'expression de en fonction de H et de zo . pol 5 -- A quelle altitude z50% la pression est-elle egale a P0 /2 ? Comparer cette valeur a celle obtenue a la question 3. Ce resultat etait-il previsible ? Figure 1 Figure 2 6 -- Un bulletin meteorologique fournit les donnees representees graphiquement sur les Figures 1,2 et 3. La pression est donnee en 105 Pa, la temperature en K, la densite en kg.m-3 et l'altitude en km Un ajustement aux moindres carres de ces donnees permet d'obtenir les relations T = 288, 14 - 6, 94 z P = 1, 01 (T /288, 08)5,26 Figure 3 Ceci est-il compatible avec le modele polytropique ? Dans toute la suite du probleme, on utilisera des valeurs numeriques suivantes : To = 288 K, Po = 1013 hPa , = 5 et zo = 40 km, soit = 2, 5 × 10-5 m-1 . FIN DE LA PARTIE I II. -- Ascension de la montgolfiere Une mongolfiere standard reste a des altitudes raisonnables pour des questions evidentes de rarefaction en dioxygene. Le modele polytropique des basses altitudes est donc bien adapte pour decrire son environnement atmospherique, nous l'utiliserons desormais. Page 2/7 Physique II, annee 2008 -- filiere MP La pression, la masse volumique et la temperature de l'atmosphere a l'altitude z seront notees respectivement Pe , µ e et Te . La montgolfiere est constituee d'une enveloppe ouverte de volume interieur Vo = 2000 m3 et d'une nacelle (voir Fig. 4). La masse totale de l'enveloppe, de la nacelle et des passagers est notee m. On prendra m = 500 kg ; le volume propre de ces differents elements est negligeable. Le volume interieur a l'enveloppe est constant, mais la masse mi de l'air chaud emprisonne a l'interieur de cette enveloppe est variable. La masse de l'ensemble est donc m + mi . On suppose qu'a l'interieur de l'enveloppe, la temperature Ti et la pression Pi sont uniformes. L'ouverture inferieure de l'enveloppe permet de realiser en permanence l'equilibre de pression entre l'air froid exterieur et l'air chaud interieur. On suppose enfin que les gaz de combustion n'affectent pas la masse molaire Me . Figure 4 - La montgolfiere II.A. -- Equilibre de la montgolfiere 7 -- Exprimer la masse mi de l'air chaud dans l'enveloppe en fonction de Pe , Vo , Me , et RTi , puis en fonction de µe , Vo , Te , et Ti . 8 -- A l'equilibre mecanique, la poussee d'Archimede compense le poids de la montgolfiere et de l'air chaud qu'elle contient. Trouver la relation qui permet alors d'exprimer m en fonction de m i , Te et Ti . 9 -- On note zm l'altitude ou la poussee d'Archimede exercee par l'air compense le poids mg. Exprimer zm en fonction de , , m, µo et Vo . Calculer la valeur numerique de zm . 10 -- On note Td , la valeur minimale de la temperature Ti permettant le decollage de la montgolfiere. Etablir la relation, tres simple, liant m/ (µoVo ) a 1 - To /Td . Calculer la valeur numerique de Td . 11 -- Etablir la condition d'equilibre de la montgolfiere 1 1 1 1 Pe = 1 - - (1) Te Ti To Td ou 1 est une constante que l'on exprimera en fonction des donnees du probleme. En deduire la relation, notee [E1 ], donnant a l'equilibre Ti /Ti en fonction de Te /Te , Pe /Pe et de Ti /Te . 12 -- En utilisant les grandeurs reduites Z = z, Zm = zm et i = Ti /To , montrer que la condition d'equilibre de la question 8 s'ecrit (1 - Z) -1 = (1 - Z) m + µoVo i en utilisant a present l'expression de zm obtenue a la question 9, deduire l'expression de la fonction d i Z 7 i (Z) en fonction des parametres et Zm . On admet que le signe de i (0) = est le dZ Z=0 m - 1. Tracer rapidement l'allure de la courbe representative de i (Z) selon meme que celui de µoVo les valeurs de m/ (µoVo ). En considerant la phase de descente, expliquer pourquoi une montgolfiere satisfaisant la condition m < µoVo fait courir le risque d'un ecrasement au sol. Page 3/7 Tournez la page S.V.P. ASCENSION ATMOSPHERIQUE EN MONTGOLFIERE 13 -- Calculer la valeur numerique Vmax du volume de l'enveloppe permettant de satisfaire la condition i (0) > 0. Pour une valeur Tmax = 373 K de la temperature maximale acceptable pour une mongolfiere, calculer la valeur minimale Vmin du volume de l'enveloppe qui permet le decollage. Calculer les valeurs de zm associees a Vmin et Vmax . II.B. -- Ascension par apport thermique Pour faire monter la montgolfiere, l'aeronaute dispose d'un bruleur, qui permet d'apporter a l'air interieur une petite «quantite de chaleur» Q. La transformation subie par cet air est isobare et suffisamment rapide pour que la montgolfiere n'ait pas le temps de changer d'altitude pendant cet apport de chaleur. Dans ces conditions, le systeme peut etre considere comme ferme. Les capacites calorifiques molaires a pression et volume constants de l'air sont notees C p et Cv avec = C p /Cv . Elles ne dependent pas de la temperature. La montgolfiere est en equilibre a l'altitude z, ou l'air exterieur est a la pression Pe et a la temperature Te . (1) 14 -- Determiner la variation de temperature Ti associee a l'apport thermique, on l'exprimera (1) en fonction de ni = PeVo / (RTi ), C p et Q. En deduire Ti /Ti en fonction de , Q, Pe et Vo . (1) 15 -- Exprimer la variation de la masse d'air mi en fonction de Me , Q, C p et Ti . L'ascension de la montgolfiere s'effectue lentement, sans autre echange thermique. L'air qui ne quitte pas l'enveloppe lors de la variation d'altitude z subit une detente adiabatique reversible. 16 -- La pression exterieure est toujours regie par la loi polytropique etablie a la question 4. (2) Determiner la variation de temperature Ti de l'air interieur a l'enveloppe pendant cette ascension, (2) on l'exprimera en fonction de , , , Ti , z et z. On verifiera que Ti est negatif. 17 -- La temperature exterieure est toujours regie par la loi lineaire de la partie I.B. Exprimer en fonction de , , Te et Te . (2) Ti /Ti La variation de la temperature interne a l'enveloppe associee a l'apport thermique et a l'elevation de (1) (2) z est Ti = Ti + Ti . 18 -- Determiner la relation tres simple entre Pe /Pe et Te /Te puis, en utilisant la relation [E1 ] de la question 11, etablir la relation Ti Te Q - ( - 1) = 2 Te Te PeVo ou 2 est une constante que l'on exprimera en fonction de Page 4/7 Physique II, annee 2008 -- filiere MP 19 -- La Figure 5 represente le diagramme = 5, pour (i , Z) m = 500 kg et Vo = 2000 m3 . La situation initiale, avant apport thermique, est representee par le point noir. Placer sur ce diagramme, reproduit grossierement dans votre copie, les points representatifs des transformations conduisant aux (1) (2) variations Ti et Ti de la temperature de l'air dans l'enveloppe lors de la montee. Figure 5 - Diagramme (i , Z) II.C. -- Descente par apport d'air froid Pour faire descendre la montgolfiere, l'aeronaute dispose d'une trappe qui permet de laisser l'air chaud s'echapper. Une petite quantite d'air froid, de volume V et de temperature initiale Te , est admise dans l'enveloppe et remplace le volume correspondant d'air chaud. La montgolfiere n'a pas le temps de changer d'altitude pendant l'etablissement de l'equilibre thermique. Toutes ces transformations se font a la pression atmospherique exterieure Pe . Le melange d'air chaud (n moles a la temperature initiale Ti ) et d'air froid ( n moles) s'effectue sans variation d'energie interne. (3) 20 -- Montrer qu'a l'equilibre, la variation de temperature Ti de l'air interieur a l'enveloppe verifie, apres l'entree d'air froid, la relation (3) Ti Ti = f (Ti /Te ) V Vo ou f est une fonction simple dont on precisera l'expression. 21 -- La descente de la montgolfiere s'effectue lentement, sans echange de chaleur supplementaire. (2) L'expression de Ti /Ti etablie a la question 17 est toujours valable. La variation de temperature (3) (2) interne pendant la descente est maintenant Ti = Ti + Ti . En procedant comme a la question 18, relier Ti /Ti a Te /Te , pour en deduire Te /Te en fonction de V /Vo , Ti , Te , et . 22 -- En utilisant le meme point de depart, placer sur le diagramme de la Figure 5, reproduit grossierement dans votre copie, les points representatifs des transformations conduisant aux variations (3) (2) Ti et Ti de la temperature de l'air dans l'enveloppe lors de la descente. FIN DE LA PARTIE II Page 5/7 Tournez la page S.V.P. ASCENSION ATMOSPHERIQUE EN MONTGOLFIERE III. -- Forme de l'enveloppe de la montgolfiere La nacelle de la montgolfiere est maintenue par N filins qui enserrent l'enveloppe et forment des meridiens regulierement espaces de l'angle 2 /N. L'enveloppe possede la symetrie de revolution autour de l'axe vertical. On nomme z la cote des points situes audessus de l'ouverture inferieure de l'enveloppe et r le rayon de cette enveloppe a la cote z. Les axes portant z et r ont pour vecteurs unitaires ez et er . On considere aussi les vecteurs unitaires t(z) et n(z) tangent et normal au filin au point de cote z. La condition d'equilibre d'un element de surface de l'enveloppe determine sa forme, c'est-a-dire la relation r (z). Cette condiditon relie la tension des filins F a la force de force de pression K. On neglige l'action du champ de pesanteur sur l'enveloppe et les filins. On suppose que les pressions de l'air a l'interieur, Pi (z), et a l'exterieur, Pe (z), de l'enveloppe sont des fonctions lineaires de z, telles que Pi (0) = Pe (0). Les masses volumiques interne µi et externe µe sont quant a elles supposees uniformes. La figure 6 indique les forces agissant sur un element de filin Figure 6 - Representation des forces s'exercant de longueur d = AB . L'element de sursur une longueur elementaire d = AB du filin face associe, entre 2 meridiens, est dS = 2 r d/N avec d2 = dr2 + dz2 . 23 -- Justifiez et commentez l'hypothese de linearite des pressions. Exprimer, en fonction de g, µi , µe et de la cote z, la difference des pressions P (z) qui gonfle l'enveloppe. 24 -- Ecrire la condition d'equilibre de l'element de filin de longueur d sous la forme d'une d [F(z)t(z)] dK relation [E2 ] entre et n(z). En deduire que le module F de la force F de tension des dz dz filins est constant sur toute leur longueur. 25 -- Exprimer les composantes de la force de pression dK appliquee a un element de surface de l'enveloppe compris entre deux filins consecutifs et les paralleles de cotes z et z + dz. Quelle relation existe-t-il entre dK et dK . 26 -- En ecrivant la relation [E2 ] de la question 24 dans la base (ez , er ), etablir une relation entre d dK F, et . dz dz dr 27 -- En considerant la relation entre et l'angle , montrer que l'equation differentielle verifiee dz par les points de l'enveloppe peut se mettre sous la forme " 2 #3/2 d2r dr = -Arz 1 + 2 dz dz ou A est une constante, dont on donnera l'expression et dont on precisera la dimension. Page 6/7 Physique II, annee 2008 -- filiere MP 28 -- En effectuant le changement de variable z Ak x et le changement de fonction r Ak y, montrer que l'on peut trouver une valeur pour le reel k qui permet d'obtenir une equation differentielle [E3 ] independante des caracteristiques de la montgolfiere consideree dans le cadre des hypotheses de ce probleme. 29 -- La Figure 7 indique l'allure de plusieurs solutions de l'equation [E3 ]. Ces solutions sont telles que y(0) = 0.1 et possedent des valeurs de y (0) distinctes. La Figure 8 est la representation graphique de 2 solutions : y+ telle que y+ (0) = 0, 1 et y+ (0) = 1, 12 ; y- telle que y- (0) = -0, 1 et y- (0) = -1, 12. Commentez ces diverses figures. Figure 7 Figure 8 FIN DE LA PARTIE III Valeurs numeriques utiles Constante des gaz parfaits : R = 8, 31 J.K-1 .mol-1 , Acceleration de la gravite a la surface de la Terre : g = 9, 81 m.s-1 Masse atomique de l'oxygene : MO = 16 × 10-3 kg.mol-1 Masse atomique de l'azote : MN = 14 × 10-3 kg.mol-1 FIN DE L'EPREUVE Page 7/7

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 Mines Physique 2 MP 2008 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Arnaud Riegert (ENS Ulm) ; il a été relu par Alban Sauret (ENS Lyon) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE). Ce sujet propose d'aborder quelques aspects du fonctionnement d'une montgolfière, notamment son ascension dans l'atmosphère. Il utilise essentiellement des notions de thermodynamique de première année et de mécanique. · La première partie est l'occasion d'étudier l'équilibre de l'atmosphère terrestre. On y recherche les lois d'évolution de la pression dans le cas de l'atmosphère isotherme, puis dans le modèle plus réaliste d'un équilibre polytropique. · On s'intéresse dans la deuxième partie à l'ascension de la montgolfière dans l'atmosphère. Plus précisément, on cherche à déterminer la manière de contrôler la température du gaz contenu dans l'enveloppe pour que la poussée d'Archimède s'équilibre avec le poids, ainsi que les conditions qui assurent la stabilité de l'ascension et de la descente. · Dans la troisième partie, indépendante des deux premières, on détermine la forme de l'enveloppe de la montgolfière, qui est soumise à des forces de pression différentes à l'extérieur et à l'intérieur. L'énoncé contient beaucoup de questions demandant des calculs simples, qu'il faut néanmoins effectuer avec précaution. Ce point est particulièrement important dans la dernière partie. Le sujet propose également des questions qualitatives, qui permettent de bien comprendre le problème physique étudié. Ce sujet, relativement simple, peut être utilisé pour réviser la thermodynamique de première année. Il montre par ailleurs la méthode du découpage en portions élémentaires pour déterminer la forme d'un fil à l'équilibre sous l'action de plusieurs forces, méthode que l'on retrouve notamment pour établir l'équation de la chaînette ou celle des cordes vibrantes. - Indications Partie I 2 La loi fondamentale de l'hydrostatique associée au résultat de la première question permet d'aboutir à une équation différentielle simple sur P(z). 4 Réécrire l'équation différentielle obtenue à la question 2 avec la nouvelle expression de la température et l'intégrer en séparant les variables P et z. 5 Se demander pourquoi il est naturel de trouver une pression plus faible quand la température diminue. Partie II 8 Le fluide déplacé est l'air extérieur et on néglige le volume de la nacelle. 10 Écrire l'équilibre de la montgolfière à l'altitude z = 0, juste au-dessus du sol. 11 Il s'agit ici de recombiner les équations obtenues aux questions précédentes : il peut être utile de les récapituler au brouillon pour voir quelles sont les manipulations à effectuer. 12 Pour justifier le risque d'écrasement, étudier la stabilité de l'équilibre : comment cet équilibre est-il modifié lorsque la montgolfière effectue une « petite » descente sans que la température intérieure ne soit modifiée ? 13 Réfléchir sur les notations Vmin et Vmax . 14 On est à pression constante : effectuer un bilan d'enthalpie. 15 Jouer avec la différentielle de la loi des gaz parfaits. 16 Partir de la différentielle de la loi de Laplace en T et P. 18 Remarquer que Pe /P0 = (1 - z) = (Te /T0 ) . 19 Regarder graphiquement les conditions en Z et en i lors des deux transformations. 20 Faire le bilan d'énergie interne pour les deux sous-systèmes comme en calorimétrie. Partie III 23 Le point de départ est la loi fondamentale de l'hydrostatique. 24 Faire un bilan des forces sur la portion de filin et remarquer la présence de quantités différentielles qu'il faudra assimiler à des dérivées au premier ordre. 26 Se rappeler du cours de cinématique sur les coordonnées polaires et procéder par - analogie pour calculer d t /dz. 27 Remarquer que dr/dz = tan et d2 = dr2 + dz 2 . 28 Un choix judicieux de k permet de faire disparaître A de l'équation ! I. Atmosphère en équilibre I.A Atmosphère isotherme 1 Si on considère une quantité n de gaz dans un volume V, de masse volumique µ et de masse molaire Me , sa masse vaut m = n Me et sa masse volumique est donc µ = n Me /V. La loi des gaz parfaits P V = n R T s'écrit également µ= P Me R T0 2 On utilise ici l'équation fondamentale de l'hydrostatique -- - µ- g - grad P = 0 qui se projette sur l'axe Oz en Me g dP = -µ g = - P dz R T0 On reconnaît ici la hauteur barométrique H. L'équation différentielle dP P =- dz H s'intègre avec la condition initiale P(0) = P0 en P(z) = P0 e -z/H 3 La masse molaire moyenne de l'air vaut Me = 0,2 × 2 MO + 0,8 × 2 MN = 28,8 · 10-3 kg.mol-1 La valeur numérique de H est donc H = 8,47 km iso L'altitude z50% à laquelle la pression vaut la moitié de la pression au sol est définie iso par P(z50% ) = P0 /2, soit z iso 1 exp - 50% = H 2 c'est-à-dire iso z50% = H ln 2 = 5,87 km L'ordre de grandeur de la hauteur barométrique est celui de l'altitude des plus hautes montagnes, ce qui explique que les grimpeurs manquent d'oxygène à l'approche des sommets. Le rapport du jury souligne que « ne pas faire les applications numériques est une politique désastreuse ». Outre le fait que « le barème qui leur est attribué est loin d'être négligeable », elles permettent souvent de se faire une idée des capacités du candidat déterminante pour la suite de la correction. En effet « les candidats qui ont répondu : H = 8,5.103 J.N-1 , réponse au demeurant formellement exacte, n'ont très certainement pas vraiment saisi que H est la hauteur caractéristique de l'évolution de la pression ». De plus, elles permettent souvent de détecter (ou au moins soupçonner) des erreurs dans les formules littérales (cas d'un z 50% iso négatif) ou dans les conversions d'unités -5 (le jury parle d'un z 50% m qu'il eût au moins fallu commenter iso = 8,1.10 pour dire que cela se saurait si la pression était divisée par deux chaque fois que l'altitude augmente de 0,1 mm !) I.B Équilibre polytropique 4 Avec la nouvelle expression de la température, l'équation différentielle de la question 2 devient P dP =- dz H (1 - z) dP dz =- P H (1 - z) Séparons les variables et intégrons entre z = 0 et z : P(z) 1 = ln(1 - z) P0 H On obtient alors bien une expression de la forme ln P(z) = P0 (1 - z) avec = 1 z0 = H H La masse volumique µ s'écrit comme précédemment µ= On obtient ainsi P0 (1 - z) Me P Me = RT R T0 (1 - z) µ(z) = µ0 (1 - z)-1 pol 5 L'altitude z50% à laquelle la pression vaut la moitié de la pression au sol est définie pol par P(z50% ) = P0 /2, soit ! pol z50% 1 1- = z0 2 Ainsi, pol z50% = z0 (1 - 2-1/ ) = 5,38 km Cette distance est inférieure à celle trouvée dans le cas de l'atmosphère isotherme : on s'attend en effet à une baisse de la pression avec la température, et la température diminuant avec l'altitude, il semble logique que la baisse de pression soit également plus rapide. 6 L'ajustement aux moindres carrés fournit une variation linéaire de la température avec une distance caractéristique 288,14 = 41,5 km z0 = 6,94 1 soit = = 2,4.10-2 km-1 = 2,4.10-5 m-1 z0