L--vvvllllv. .... L'...- ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ' ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2006 SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE ' Filière MP (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage de la calculette est autorisé Sujet mis à disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE--EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE 11 -MP L'énoncé de cette épreuve comporte 9 pages. 0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. 0 Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. . Notations : le vecteur unitaire de la coordonnée c est noté ëc ; la norme du vecteur V est notée | V | . Redécouvtons la planète Neptune ! Problème direct roblème inverse et roblèmes d'inte rétation , P P rP La découverte de Neptune fournit à l'histoire des sciences un exemple remarquable d'histoire et de méthode scientifiques. La trajectoire de la planète Uranus, observée par Herschel en 1781, ne suit pas les lois de.Newton même lorsque l'on tient compte, pour la calculer, de l'influence des six autres planètes du système solaire connues en ce temps--là (cette influence est nommée perturbation). Le Verrier et Adams postulent alors l'existence d'une huitième planète, que l'on nommera plus tard Neptune. Leurs prévisions, confrontées aux observations astronomiques, fournissent les paramètres orbitaux de Neptune. La planète sera observée, effectivement, en 1846. Le problème comprend trois parties, corrélées entre elles par le sens ;. les résultats essentiels sont souvent donnés. La première partie établit quelques résultats de la mécanique du point dans un champ gravitationnel, la deuxième partie étudie de manière perturbatz'ee (c'est--à-dire à l'ordre le plus bas par rapport à un petit paramètre) un aspect du problème à trois corps en interaction gravita- tionnelle ; la troisième partie étudie un probléme inverse, dans le sens Où l'on s'y propose de déter- miner les caractéristiques d'une planète (Neptune) à partir des anomalies de trajectoire qu'elle pro- duit sur une autre planète (Uranus). Dans tout le problème, exprimer signifie donner l'expression littérale et calculer signifie donner la valeur numérique. I -- Mise en place de l'étude , Observations et danne'er Compte tenu de l'influence gravitationnelle du Soleil et de celle des planètes connues avant l'observation de Neptune, la trajectoire d'Uranus peut être considérée avec une excellente approximation comme circulaire uniforme, de rayon RU et de période Tu =--2---fl--. La Qu grandeur çbU : QUt serait dans ce cas (à une constante près, définissant _ l'origine des temps) la longitude be'lz'aeentrigne de Neptune, c'est--à--dire l'angle entre une direction fixe 1755 1725 1750 1775 1555 1525 1555 dans le Plan de la OEaiectOife (Plan de ' l'écliptique) et la demi--droite joignant les centres respectifs du Soleil et d'Uranus. L'observation révèle un écart systématique, noté Afi, entre ce % calculé et la position réelle de la Mr (secondes d'arc) Fig. 7 Anomalie de longitude de la planète Uranm planète. La Fig. 1 montre les données de l'époque; l'écart résiduel semble être une fonction oscillante du temps, avec une période d'une centaine d'années ; il semble aussi qu'à cette variation se superpose une décroissance vaguement linéaire ; enfin, l'ordre de grandeur de l'écart résiduel est de l'ordre de quelques dizaines de secondes d'angle. Pour rendre compte de ces observations,on considère le système à trois corps suivant, supposé isolé : S (Soleil), U (Uranus) et N (Neptune) ; l'influence des autres planètes est englobée dans les paramètres orbitaux de la trajectoire circulaire dont on vient de parler. . . , 0 . . . , On expr1mera les masses en masses solaires (MS 132><103 kg), les distances en un1tes astronomiques UA (l UA % 1,5 >< 1011 m, demi--grand axe de l'orbite terrestre) et les temps en années (æ3x107 S). La constante de gravitation est notée G. On utilisera les valeurs numériques suivantes : Rayon de l'orbite d'Uranus RU = 19,19 UA ' Masse d'Uranus mu = 4,373 >< 10--5 M S Rayon de l'orbite de Neptune RN = 30,08 UA Masse de Neptune mN = 5,178 X 10--5 MS 1 -.-- 1 Particule dans un champ gravitationnel D 1 -- On considère la trajectoire circulaire (rayon R, période ]) d'une particule de masse nz dans le champ de gravitation d'une particule de masse M ; l'ensemble des deux particules est isolé. ' . . . .' T 2 Rappeler la tromrème 101 de Kepler ; exprimer le rapport C-- -- F en fonction de G et de M, vérifier que, dans le système d'unités convenu, C = 1. Ü 2 ---- Montrer que, dans le système d'unités convenu, la valeur numérique de G est G = 4752 . E] 3 ---- On modélise le mouvement de Neptune comme un mouvement circulaire uniforme centré autour du Soleil et situé dans le plan de l'écliptique. La période orbitale de Neptune 275 est T N , sa fréquence angulaire orbitale (ou pulsation) est notée .QN-- -- ---- .Calculer les périodes TN TU et T N d'Uranus et Neptune en années, et leurs fréquences angulaires Q, et .QN en années--'. Vérifier que l'ordre de grandeur de la fle'qnenee de battement .Q = .Q U-- [2 N est 0, 0367 Q U année_1 et que la valeur du rapport r = ---- est très proche d'un nombre entier. [2 N atatiam pour les queriiom mimntes Soit (S,êx,ëy) un repère orthonormé du plan de l'écliptique, avec le Soleil pour origine (Fig. 2) ; on note 52 la direction orthogonale au plan de l'écliptique formant un trièdre (S ,êX,êy,êz) orthonor- mal direct en translation par rapport au référentiel galiléen de Copernic. Le dernier alignement Soleil-- Uranus--Neptune (conjonction) a eu lieu en 1822 ; cette année sera prise comme l'origine des temps. En t=O, le Soleil, Uranus et Neptune sont alignés; le Fig. 2 Repère d'étude et notatiom .. , . . . , vecteur exdes1gne le vecteur unitaire portant a cette date le vecteur SU. On note dans (S,ex,ey,ez) la longitude héliocentrique d'Uranus $(t)=SX,SU et on note AçôN(t)la correction due a Neptune. On a donc çô(t) = [2Ut + AçI5N (t). Ü 4 -- Le référentiel lié au repère (S,êX,ëy,êz) est-il galiléen ? D 5 -- Une origine arbitraire étant fixée, on définit les positions respectives de S par le vecteur Î'S, de Uranus par FU et de Neptune par FN. Exprimer, dans un référentiel galiléen 78 , le principe fondamental de la dynamique successivement pour le Soleil, pour Uranus et pour Neptune. Ü6--On pose ,5N=FN--Î'S, fiU=ïU--îg,et GmN --:ÆÔ'----Ê)ÂIî-- ÎN3 =f.Montrerque IPN--[OUI lPNI _ D 7-- Dans le repère mobile (Se , ep, ej, ez), les coordonnées polaires d'Uranus sont n0tées [pU(t), çô(t)] et l'on a SU= Puep- Le mouvement non perturbé d'Uranus correspond à f = () (mN-- -- 0). Les grandeurs non perturbées seront dorénavant repérées par le symbole (0) en exposant. Les coordonnées polaires d'Uranus dans ce mouvement non perturbé sont donc notées [p(o)(t), ç5(0)(t)] , avec ç15(0)(t) = Qut . justifier quep p --. Ü 11 --- Dans le repère mobile (S, ep, eç,, EZ), le mouvement non perturbé d'Uranus est décrit (°) ---(0) par le vecteur SU : pu êP : RU ëp . Exprimer, dans ce repère, les composantes de pN et de "(O) "(O) pN --pU en fonction de RU ,RN et [2 =!% --[2N. En déduire les expressions des composantes de f: f=fP ep+fç,eç,, sous la forme fP =8FP et f,, =8F},, avec Fp =Mm_COSQÏ et (l--2kcoth+k ) F = sm(Qt) +sin([2t). "' _(1--2kcoth+k2)3/Z Exprimer 8 et k en fonction de G,mN,RU et RN. . Numériquement (voir Fig. 3) 8 % 2,26 >< lO"6 UA.(annéeÏ2 et k % 0,638. GMS pâ D 12 _ En comparant les ordres de grandeur respectifs de |Î| et de , vérifier la légitimité _ de l'approximation faite surf" à la question 10. {__-___|?! l'...--.?! l\'----Iil "___--gm ; "vu--' : "'n--r : 0 1 2 3 _ 4- Fig. 3. Force: réduites en fonction de la phase .Qt. Les « F » ront de l 'ordre de l 'nnite', ce qui montre que 8 calibre effectivement la force | f | C' 13 ----- On pose pue) = pf,°>(r> + u(t) et eo) = amo) +9}e@2 sent au système différentiel linéarisé suivant, noté [CZ--13] (C pour complet et 13 pour numéro de la question) : . Montrer que u et U obéis-- ü - ng0 - 305u = an .. [013] u + 252Uo = 513 II--2. Étude de la solution forcée Ü 14 -- justifier les développements F p = Zan coant et Ft : an sin n.Qt . Pourquoi la n=l n=0 solution forcée du système [C--13] est--elle développable en série de Fourier ? Ü15 -- On pose u(t) = SZun COS 110! et U(t) = 820" sin n[2t . justifier les parités respecti- ves des fonctions u et v. Le calcul conduit à l'identification ao u ___ (nQan ---2Q,bn) et u : --2nQ,[2an +(3QJ2 +n202)bn . _ 3oâ, ' " nn(oÿ, -- n2Q2) " _ n292(_q} --n2.(22) uo= Retrouver l'expression de "o en procédant à un moyennage judicieux du système [CZ-13]. Les valeurs numériques de .QU et de .QN ont été calculées à la question 3. Pour quelle valeur de n , notée r , y a--t--il quasi résonance, c'est-à--dire quasi nullité des dénominateurs ? Dans la suite, on se limitera aux polynômes trigonométriques u (t) : suo + au, cos (er) , V U (t) = au, sin (r[2t) . D 16 -- Le calcul donne a2=l,50 et -m---m'- "EUR 2053 ._"--'..'- b2=--l, 18. Déduire de la question 15 que É 250 l.l'--r'.-'- AçôN(t)=--y sin(2[2t); calculer }/ en seconde % 0 Elm-"----_ d'arc. La Fig. 4 confronte le résultat de ce _ & ...250 u--ÉÜ--m . calcul et les données expérimentales. C'est gs ...,500 .--_'l--l' évidemment très mauvais ; sans doute parce I.."IIIIII .-----.«------ 1700 1720 1740 1760 1780 1800 1820 1840 qu'il n'a pas été tenu compte de la solution homogène de [CZ--13]. Il faut donc revenir sur la résolution de ce système et apprécier le rôle Fig. 4. Confrontation der donnée5 expérimentales à de cette solution homogène ; c'est l'objet de la solution obtenue à la question 76. Il convient la partie 11_3_ donc de revenir sur la re'xolution du .cyrtê7ne C--73. II-3. Étude de la solution complète Ü 17-- Le système homogène associé à [C-'13] peut se réécrire sous la forme du système [PI--17] : ü--ZQUÙ--3Qâu=0 ü+ZQUù=OQÙ+ZQUu=ZQUA, [H--17] où A est une constante d'intégration. Établir que les solutions de ce système sont la somme . ' . , . o o . . . 0 d'une solution, dite de frequence angulaire nulle {u( ', U( )} , faisant intervenir une cons-- tante d'intégration B 0 et d'une solution dite de fréquence angulaire QU , faisant intervenir deux autres constan-- tes d'intégration, a et fl . La solution homogène fait ainsi apparaître ainsi quatre constantes d'intégration, A, B, a et ,5 et l'on a : {u, v} : {u(o) + um"), U(O) + U(QU)} , avec "' =4A , u...")(t)=asin(QUt)+flcos(ûut) u(°) (t) : --6A.Q_Ut + B um") (t) = ---2,6 sin([2Ut) + 205 cos (QUt). II-4. Retour sur les lois de Képler Ü 18-- Supposons que le mouvement d' Uranus dans le référentiel (Se ed, @) soit circu- ' ep, laire de rayon a= RU +ARU, où ARU est un terme perturbatif constant ; la perturbation dans ce cas est de classe I, selon la nomenclature introduite au paragraphe I--2. L'équation différentielle liant !) à u est alors (cf. la première équation de [H-17]) 20 + 3QU u = 0. En s'appuyant Sur les considérations de la question 8, interpréter la solution de fréquence angulaire nulle de [PI--17]. D 19 ---- On s'intéresse maintenant à une perturbation de classe Il ; le mouvement perturbé est décrit par {u(QU), U(QU)} ; il obéit aux lois de Kepler. Montrer qu'il résulte de la troisième loi de Kepler que la période du mouvement perturbé est égale à la période du mouvement non perturbé, ce dernier étant circulaire uniforme ; on justifie ainsi que la fréquence angulaire de la solution périodique soit QU. II-5. Retour sur le moment cinétique CI 20 _ Vérifier que la solution -{uIQU), u"'U'} vérifie l'équation différentielle suivante [L-20] a") + 2!) vu") = 0 . [L-20] Mettre cette observation en perspective du résultat de la question 9. II-6. Considérations numériques Ü 21 -- Expliquer pourquoi il est plus aisé de tester expérimentalement la solution U(t) que la solution u(t). D 22 ---- La solution générale du système [C-13] donne l'expression suivante pour AfiN (t) AçôN (t) := --y sin 2.0! + --1---(--6AQ,t + B -- 2,6 sin Q,! + 205 cos Q,!) U = --y sin 201 + fl,Q,t + fl, + #, sin .Q,t + &, cos Q,t . \_W_-_/ \---V--J Perturbation due à Neptune Solution affine de l'équation homogène Solution périodique de l'équation homogène Les quatre paramètres inconnus A, B, a et ,B (ou ,Ûl, ,B2, & et ,B4) se déduisent des données expérimentales. Plutôt que de considérer les valeurs des fonctions cherchées et de leurs dérivées à un instant donné, nous allons adopter une méthode d'obtention globale des paramètres, en considérant la mesure quadra-- tique d'erreur DM , définie sur M points par Açù,,, {:} : eatcuâ et mesures 1700 1720 17--10 1760! 1780 1800 1820 1840 Fig. 5. Meilleur ajustem ent pour la correction de longitude d 'Uran us -' 2 fil z --4,12", 5; à: ---23,6", ,Û3 % 867", 5: a; --4,12" et À, z 45,5", : M_Zl[Aficalculé (tk )_ A$mesuré (tk )] . Pourquoi cet estimateur donne-t--il des résultats préférables à ceux que donnerait l'ajustement en un point ? Donner, sans développer les calculs, le principe d'obtention des paramètres inconnus. Commenter le résultat du calcul, représenté Fig. 5 (et qui, pour information, correspond ...ÛÛ ..."..." I 500 l'"Nlllllllfllfllfllflfl É II! WMI"!IIIIHIIIIIIIIIIIIIUIII . IIWI IIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIII II!!! III!!!-- ! ___" -IIII'IIIIII III =-IIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIII III -' IIIIIIII IIII IIIIIIIIIIII :calcul sur une longue durée à la valeur minimale DL : 17,2") ; en parti- culier, comparer l'ordre de grandeur des oscillations de Açôî" (t') à l'amplitudey. ZOOÛ 3600 4000 5000 6000 Fzg. 6 -- Battemente dam la correction de longitude. La partie en gras, encadrée en paz'ntz'l/és, eormpand aux données [:| 23 __ Les fréquences angulaires 2 _Q et aeeem'blg: entre le: année; 7690 et 7840 (gf Fig. 5). @] dans l'expression de Açfi (I') sont quasi- N ment commensurables ; elles font donc apparaître le phénomène de battement (Fig. 6), de fréquence angulaire [% : [%, -- 2[2 . Calculer la période7j, associée à [%. Est--il possible, pour une durée d'observation T très inférieure à 72 , de séparer les composantes oscillatoires de fréquence angulaire 2[2 et [% ? III -- Esquisse du problème inverse jusqu'ici, nous avons supposé l'existence de la planète perturbatrice (Neptune) et nous avons étudié la manière dont sa présence affecte la trajectoire d'Uranus. Dans la réalité, il en est allé tout autrement. L'affirmation de l'existence de Neptune est un tour de force de physique théorique. Pour en avoir une idée, nous considérons le modèle simplifié suivant : Si l'on ne tenait pas compte de la perturbation apportée par la planète Neptune, on trouverait que la trajectoire non perturbée d'Uranus autour du Soleil serait circulaire (orbite képlérienne de grand axe a : RU d'excentricité e = 0 ; fréquence angulaire [%, çb(t) = $(o) (t) : Q,t). Cette trajectoire calculée tient compte des solutions du système homogène (PI-17) ; elle n'est évidem- ment pas observable. La trajectoire observée J'EURîîîblEUR képlérienne, de grand axe a et d'excentricité EUR << 1 ; son équation polaire est p--M z a[1--ecos(ofi)]. _ 1 + EUR COS (à) au piËmier ordre en e Elle vérifie p2 % : R3,QU . Loepartier III--7 et III--2 ci--aprês sont traitabler ind@endamment l'une de l 'autre. III--1. Premier traquenard de l'ajustement : masquage de l'effet prépondérant D 24 --- Établir que, au premier ordre en EUR , o(:) : çb(" (r) = !),t + 2e sin(.q,t) . , Avant la découverte de Neptune, il s'agissait seulement d'ajuster EUR aux données expérimentales. Ü 25 ---- Il résulte de Ce modèle (et du calcul de la question 22) que la seule correction à considérer est, dans le cadre de ce modèle, celle qui est due à Neptune : AçôN (t) : o (t) -- [%t z ---y sin 2[2t % --7 sin [%,t. Perturbation due à Neptune Justifier maintenant l'affirmation suivante : 1 La trajectoire perturbée rememble a une orbite keÿble'rienne, avec l 'excentricite' (incorrecte!) e = ----7 2 (z --2 >< 10"') . La vraie correction ( ;! z 900") crt relativement importante ; il ce trouve que, longue l'on conridêre une orbite Æcîble'fienne incorrecte, la correction résiduelle ect plutôt faible (cf. question 16). L'influence de N eptune peut donc être marquée par une valeur incorrecte de l'excentricite' d'Uranur. Ü 26 -- Avec quelle précision faut--il mesurer l'excentricité d'Uranus pour être sûr que ses anoma- lies de trajectoire soient liées à la présence d'un corps étranger ? D 27 -- On suppose que les paramètres orbitaux de Neptune ---- planète dont on affirme \ l'existence ---- sont inconnus. On se propose de déterminer ces derniers a partir des données expérimentales. Il faut d'abord déterminer les quatre ,5 de la question 22. Quels sont les autres paramètres à introduire ? interviennent-ils linéairement dans l'expression de l'anomalie de longi- tude ? III-2. Deuxième traquenard de l'ajustement : ambiguïté E.] 28 -- Supposons résolus tous les problèmes ; la solution perturbative, limitée à l'harmonique 2, a été optimisée (question 22) ; toutes les valeurs numériques sont connues : v (i) . . R = ----y s1n 2[2t + ,81Q]t + ,62 + ,63 sm Q,t + & cos Q,t. U Perturbation due à Neptune Solution affine de l'équation homogène Solution périodique de l'équation homogène AQ'NÜ) : Flacons Neptune sur son orbite. Déplaçons--la maintenant de 180°, c'est-à-dire plaçons là diamé- tralement opposée par rapport à sa position initiale. Cela change--t--il quelque chose à la solution ? Voyez--vous une méthode pour résoudre cette ambiguïté ? FIN DU PROBLÈME FIN DE L'ÉPREUVE -OEturnè_ _ Terre Source : httpz//www.cnes.fr/html/_l 07_519_.php
