Mines Physique 2 MP 2006

L--vvvllllv. .... L'...-

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, '
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2006
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE '
Filière MP

(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage de la calculette est autorisé

Sujet mis à disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, 
TPE--EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

PHYSIQUE 11 -MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 9 pages.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le signale sur sa
copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il est amené à prendre.

0 Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des 
considérations numériques) qui vous
sembleront pertinents. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que 
des qualités de rédaction de la
copie.

. Notations : le vecteur unitaire de la coordonnée c est noté ëc ; la norme du 
vecteur V est notée | V | .

Redécouvtons la planète Neptune !

Problème direct roblème inverse et roblèmes d'inte rétation
, P P rP

La découverte de Neptune fournit à l'histoire des sciences un exemple 
remarquable d'histoire et de
méthode scientifiques. La trajectoire de la planète Uranus, observée par 
Herschel en 1781, ne suit
pas les lois de.Newton même lorsque l'on tient compte, pour la calculer, de 
l'influence des six
autres planètes du système solaire connues en ce temps--là (cette influence est 
nommée perturbation).
Le Verrier et Adams postulent alors l'existence d'une huitième planète, que 
l'on nommera plus tard

Neptune. Leurs prévisions, confrontées aux observations astronomiques, 
fournissent les paramètres
orbitaux de Neptune. La planète sera observée, effectivement, en 1846.

Le problème comprend trois parties, corrélées entre elles par le sens ;. les 
résultats essentiels sont
souvent donnés. La première partie établit quelques résultats de la mécanique 
du point dans un
champ gravitationnel, la deuxième partie étudie de manière perturbatz'ee 
(c'est--à-dire à l'ordre le plus
bas par rapport à un petit paramètre) un aspect du problème à trois corps en 
interaction gravita-
tionnelle ; la troisième partie étudie un probléme inverse, dans le sens Où 
l'on s'y propose de déter-
miner les caractéristiques d'une planète (Neptune) à partir des anomalies de 
trajectoire qu'elle pro-
duit sur une autre planète (Uranus).

Dans tout le problème, exprimer signifie donner l'expression littérale et 
calculer signifie
donner la valeur numérique.

I -- Mise en place de l'étude ,

Observations et danne'er
Compte tenu de l'influence gravitationnelle du Soleil et de celle des planètes 
connues avant
l'observation de Neptune, la trajectoire d'Uranus peut être considérée avec une 
excellente

approximation comme circulaire uniforme,

de rayon RU et de période Tu =--2---fl--. La

Qu
grandeur çbU : QUt serait dans ce cas (à une

constante près, définissant _ l'origine des
temps) la longitude be'lz'aeentrigne de Neptune,
c'est--à--dire l'angle entre une direction fixe
1755 1725 1750 1775 1555 1525 1555 dans le Plan de la OEaiectOife (Plan de
' l'écliptique) et la demi--droite joignant les
centres respectifs du Soleil et d'Uranus.
L'observation révèle un écart systématique, noté Afi, entre ce % calculé et la 
position réelle de la

Mr (secondes d'arc)

Fig. 7 Anomalie de longitude de la planète Uranm

planète. La Fig. 1 montre les données de l'époque; l'écart résiduel semble être 
une fonction
oscillante du temps, avec une période d'une centaine d'années ; il semble aussi 
qu'à cette variation
se superpose une décroissance vaguement linéaire ; enfin, l'ordre de grandeur 
de l'écart résiduel
est de l'ordre de quelques dizaines de secondes d'angle.

Pour rendre compte de ces observations,on considère le système à trois corps 
suivant, supposé
isolé : S (Soleil), U (Uranus) et N (Neptune) ; l'influence des autres planètes 
est englobée dans les
paramètres orbitaux de la trajectoire circulaire dont on vient de parler.

. . , 0 . . . ,
On expr1mera les masses en masses solaires (MS 132><103 kg), les distances en un1tes astronomiques UA (l UA % 1,5 >< 1011 m, demi--grand axe de l'orbite terrestre) et les temps en années (æ3x107 S). La constante de gravitation est notée G. On utilisera les valeurs numériques suivantes : Rayon de l'orbite d'Uranus RU = 19,19 UA ' Masse d'Uranus mu = 4,373 >< 10--5 M S Rayon de l'orbite de Neptune RN = 30,08 UA Masse de Neptune mN = 5,178 X 10--5 MS 1 -.-- 1 Particule dans un champ gravitationnel D 1 -- On considère la trajectoire circulaire (rayon R, période ]) d'une particule de masse nz dans le champ de gravitation d'une particule de masse M ; l'ensemble des deux particules est isolé. ' . . . .' T 2 Rappeler la tromrème 101 de Kepler ; exprimer le rapport C-- -- F en fonction de G et de M, vérifier que, dans le système d'unités convenu, C = 1. Ü 2 ---- Montrer que, dans le système d'unités convenu, la valeur numérique de G est G = 4752 . E] 3 ---- On modélise le mouvement de Neptune comme un mouvement circulaire uniforme centré autour du Soleil et situé dans le plan de l'écliptique. La période orbitale de Neptune 275 est T N , sa fréquence angulaire orbitale (ou pulsation) est notée .QN-- -- ---- .Calculer les périodes TN TU et T N d'Uranus et Neptune en années, et leurs fréquences angulaires Q, et .QN en années--'. Vérifier que l'ordre de grandeur de la fle'qnenee de battement .Q = .Q U-- [2 N est 0, 0367 Q U année_1 et que la valeur du rapport r = ---- est très proche d'un nombre entier. [2 N atatiam pour les queriiom mimntes Soit (S,êx,ëy) un repère orthonormé du plan de l'écliptique, avec le Soleil pour origine (Fig. 2) ; on note 52 la direction orthogonale au plan de l'écliptique formant un trièdre (S ,êX,êy,êz) orthonor- mal direct en translation par rapport au référentiel galiléen de Copernic. Le dernier alignement Soleil-- Uranus--Neptune (conjonction) a eu lieu en 1822 ; cette année sera prise comme l'origine des temps. En t=O, le Soleil, Uranus et Neptune sont alignés; le Fig. 2 Repère d'étude et notatiom .. , . . . , vecteur exdes1gne le vecteur unitaire portant a cette date le vecteur SU. On note dans (S,ex,ey,ez) la longitude héliocentrique d'Uranus $(t)=SX,SU et on note AçôN(t)la correction due a Neptune. On a donc çô(t) = [2Ut + AçI5N (t). Ü 4 -- Le référentiel lié au repère (S,êX,ëy,êz) est-il galiléen ? D 5 -- Une origine arbitraire étant fixée, on définit les positions respectives de S par le vecteur Î'S, de Uranus par FU et de Neptune par FN. Exprimer, dans un référentiel galiléen 78 , le principe fondamental de la dynamique successivement pour le Soleil, pour Uranus et pour Neptune. Ü6--On pose ,5N=FN--Î'S, fiU=ïU--îg,et GmN --:ÆÔ'----Ê)ÂIî-- ÎN3 =f.Montrerque IPN--[OUI lPNI _ D 7-- Dans le repère mobile (Se , ep, ej, ez), les coordonnées polaires d'Uranus sont n0tées [pU(t), çô(t)] et l'on a SU= Puep- Le mouvement non perturbé d'Uranus correspond à f = () (mN-- -- 0). Les grandeurs non perturbées seront dorénavant repérées par le symbole (0) en exposant. Les coordonnées polaires d'Uranus dans ce mouvement non perturbé sont donc notées [p(o)(t), ç5(0)(t)] , avec ç15(0)(t) = Qut . justifier quep p --.

Ü 11 --- Dans le repère mobile (S, ep, eç,, EZ), le mouvement non perturbé 
d'Uranus est décrit

(°) ---(0)

par le vecteur SU : pu êP : RU ëp . Exprimer, dans ce repère, les composantes 
de pN et de

"(O) "(O)

pN --pU en fonction de RU ,RN et [2 =!% --[2N.

En déduire les expressions des composantes de f: f=fP ep+fç,eç,, sous la forme

fP =8FP et f,, =8F},, avec

Fp =Mm_COSQÏ et
(l--2kcoth+k )
F = sm(Qt) +sin([2t).

"' _(1--2kcoth+k2)3/Z

Exprimer 8 et k en fonction de G,mN,RU et RN. .
Numériquement (voir Fig. 3) 8 % 2,26 >< lO"6 UA.(annéeÏ2 et k % 0,638. GMS pâ D 12 _ En comparant les ordres de grandeur respectifs de |Î| et de , vérifier la légitimité _ de l'approximation faite surf" à la question 10. {__-___|?! l'...--.?! l\'----Iil "___--gm ; "vu--' : "'n--r : 0 1 2 3 _ 4- Fig. 3. Force: réduites en fonction de la phase .Qt. Les « F » ront de l 'ordre de l 'nnite', ce qui montre que 8 calibre effectivement la force | f | C' 13 ----- On pose pue) = pf,°>(r> + u(t) et eo) = amo) +9}e@2

sent au système différentiel linéarisé suivant, noté [CZ--13] (C pour complet 
et 13 pour
numéro de la question) :

. Montrer que u et U obéis--

ü - ng0 - 305u = an

.. [013]
u + 252Uo = 513

II--2. Étude de la solution forcée

Ü 14 -- justifier les développements F p = Zan coant et Ft : an sin n.Qt . 
Pourquoi la
n=l

n=0

solution forcée du système [C--13] est--elle développable en série de Fourier ?

Ü15 -- On pose u(t) = SZun COS 110! et U(t) = 820" sin n[2t . justifier les 
parités respecti-

ves des fonctions u et v. Le calcul conduit à l'identification

ao u ___ (nQan ---2Q,bn) et u : --2nQ,[2an +(3QJ2 +n202)bn .

_ 3oâ, ' " nn(oÿ, -- n2Q2) " _ n292(_q} --n2.(22)

uo=

Retrouver l'expression de "o en procédant à un moyennage judicieux du système 
[CZ-13].
Les valeurs numériques de .QU et de .QN ont été calculées à la question 3. Pour 
quelle

valeur de n , notée r , y a--t--il quasi résonance, c'est-à--dire quasi nullité 
des dénominateurs ?
Dans la suite, on se limitera aux polynômes trigonométriques

u (t) : suo + au, cos (er) , V U (t) = au, sin (r[2t) .

D 16 -- Le calcul donne a2=l,50 et

-m---m'-

"EUR 2053 ._"--'..'- b2=--l, 18. Déduire de la question 15 que
É 250 l.l'--r'.-'- AçôN(t)=--y sin(2[2t); calculer }/ en seconde
% 0 Elm-"----_ d'arc. La Fig. 4 confronte le résultat de ce _
& ...250 u--ÉÜ--m . calcul et les données expérimentales. C'est
gs ...,500 .--_'l--l' évidemment très mauvais ; sans doute parce

I.."IIIIII
.-----.«------

1700 1720 1740 1760 1780 1800 1820 1840

qu'il n'a pas été tenu compte de la solution
homogène de [CZ--13]. Il faut donc revenir sur
la résolution de ce système et apprécier le rôle

Fig. 4. Confrontation der donnée5 expérimentales à de cette solution homogène ; 
c'est l'objet de
la solution obtenue à la question 76. Il convient la partie 11_3_

donc de revenir sur la re'xolution du .cyrtê7ne C--73.

II-3. Étude de la solution complète

Ü 17-- Le système homogène associé à [C-'13] peut se réécrire sous la forme du 
système [PI--17] :

ü--ZQUÙ--3Qâu=0
ü+ZQUù=OQÙ+ZQUu=ZQUA,

[H--17]

où A est une constante d'intégration. Établir que les solutions de ce système 
sont la somme

. ' . , . o o . . .
0 d'une solution, dite de frequence angulaire nulle {u( ', U( )} , faisant 
intervenir une cons--

tante d'intégration B

0 et d'une solution dite de fréquence angulaire QU , faisant intervenir deux 
autres constan--

tes d'intégration, a et fl .

La solution homogène fait ainsi apparaître ainsi quatre constantes 
d'intégration, A, B, a et
,5 et l'on a :

{u, v} : {u(o) + um"), U(O) + U(QU)} , avec

"' =4A , u...")(t)=asin(QUt)+flcos(ûut)
u(°) (t) : --6A.Q_Ut + B um") (t) = ---2,6 sin([2Ut) + 205 cos (QUt).

II-4. Retour sur les lois de Képler

Ü 18-- Supposons que le mouvement d' Uranus dans le référentiel (Se ed, @) soit 
circu-

' ep,
laire de rayon a= RU +ARU, où ARU est un terme perturbatif constant ; la 
perturbation

dans ce cas est de classe I, selon la nomenclature introduite au paragraphe 
I--2. L'équation
différentielle liant !) à u est alors (cf. la première équation de [H-17]) 20 + 
3QU u = 0.

En s'appuyant Sur les considérations de la question 8, interpréter la solution 
de fréquence
angulaire nulle de [PI--17].

D 19 ---- On s'intéresse maintenant à une perturbation de classe Il ; le 
mouvement perturbé est

décrit par {u(QU), U(QU)} ; il obéit aux lois de Kepler. Montrer qu'il résulte 
de la troisième loi

de Kepler que la période du mouvement perturbé est égale à la période du 
mouvement non
perturbé, ce dernier étant circulaire uniforme ; on justifie ainsi que la 
fréquence angulaire de

la solution périodique soit QU.
II-5. Retour sur le moment cinétique
CI 20 _ Vérifier que la solution -{uIQU), u"'U'} vérifie l'équation 
différentielle suivante [L-20]

a") + 2!) vu") = 0 . [L-20]

Mettre cette observation en perspective du résultat de la question 9.

II-6. Considérations numériques

Ü 21 -- Expliquer pourquoi il est plus aisé de tester expérimentalement la 
solution U(t) que
la solution u(t).

D 22 ---- La solution générale du système [C-13] donne l'expression suivante 
pour AfiN (t)

AçôN (t) := --y sin 2.0! + --1---(--6AQ,t + B -- 2,6 sin Q,! + 205 cos Q,!)
U
= --y sin 201 + fl,Q,t + fl, + #, sin .Q,t + &, cos Q,t .

\_W_-_/ \---V--J
Perturbation due à Neptune Solution affine de l'équation homogène Solution 
périodique de l'équation homogène

Les quatre paramètres inconnus A, B, a et ,B
(ou ,Ûl, ,B2, & et ,B4) se déduisent des données

expérimentales. Plutôt que de considérer les
valeurs des fonctions cherchées et de leurs
dérivées à un instant donné, nous allons
adopter une méthode d'obtention globale des
paramètres, en considérant la mesure quadra--

tique d'erreur DM , définie sur M points par

Açù,,, {:} : eatcuâ et mesures

1700 1720 17--10 1760! 1780 1800 1820 1840

Fig. 5. Meilleur ajustem ent pour la correction de
longitude d 'Uran us -'

2
fil z --4,12", 5; à: ---23,6", ,Û3 % 867", 5: a; --4,12" et À, z 45,5", : 
M_Zl[Aficalculé (tk )_ A$mesuré (tk )] .

Pourquoi cet estimateur donne-t--il des
résultats préférables à ceux que donnerait
l'ajustement en un point ? Donner, sans
développer les calculs, le principe
d'obtention des paramètres inconnus.
Commenter le résultat du calcul, représenté
Fig. 5 (et qui, pour information, correspond

...ÛÛ ..."..."

I 500 l'"Nlllllllfllfllfllflfl

É

II! WMI"!IIIIHIIIIIIIIIIIIIUIII .
IIWI IIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIII II!!! III!!!--
! ___"

-IIII'IIIIII III
=-IIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIII III
-' IIIIIIII IIII IIIIIIIIIIII

:calcul sur une longue durée

à la valeur minimale DL : 17,2") ; en parti-

culier, comparer l'ordre de grandeur des
oscillations de Açôî" (t') à l'amplitudey.

ZOOÛ 3600 4000 5000 6000

Fzg. 6 -- Battemente dam la correction de longitude. La partie

en gras, encadrée en paz'ntz'l/és, eormpand aux données [:| 23 __ Les 
fréquences angulaires 2 _Q et

aeeem'blg: entre le: année; 7690 et 7840 (gf Fig. 5). @] dans l'expression de 
Açfi (I') sont quasi-
N

ment commensurables ; elles font donc apparaître le phénomène de battement 
(Fig. 6), de

fréquence angulaire [% : [%, -- 2[2 .

Calculer la période7j, associée à [%. Est--il possible, pour une durée 
d'observation T très

inférieure à 72 , de séparer les composantes oscillatoires de fréquence 
angulaire 2[2 et [% ?

III -- Esquisse du problème inverse

jusqu'ici, nous avons supposé l'existence de la planète perturbatrice (Neptune) 
et nous avons
étudié la manière dont sa présence affecte la trajectoire d'Uranus. Dans la 
réalité, il en est allé tout

autrement. L'affirmation de l'existence de Neptune est un tour de force de 
physique théorique.
Pour en avoir une idée, nous considérons le modèle simplifié suivant :

Si l'on ne tenait pas compte de la perturbation apportée par la planète 
Neptune, on trouverait que
la trajectoire non perturbée d'Uranus autour du Soleil serait circulaire 
(orbite képlérienne de

grand axe a : RU d'excentricité e = 0 ; fréquence angulaire [%, çb(t) = $(o) 
(t) : Q,t). Cette
trajectoire calculée tient compte des solutions du système homogène (PI-17) ; 
elle n'est évidem-
ment pas observable.

La trajectoire observée J'EURîîîblEUR képlérienne, de grand axe a et 
d'excentricité EUR << 1 ; son équation polaire est p--M z a[1--ecos(ofi)]. _ 1 + EUR COS (à) au piËmier ordre en e Elle vérifie p2 % : R3,QU . Loepartier III--7 et III--2 ci--aprês sont traitabler ind@endamment l'une de l 'autre. III--1. Premier traquenard de l'ajustement : masquage de l'effet prépondérant D 24 --- Établir que, au premier ordre en EUR , o(:) : çb(" (r) = !),t + 2e sin(.q,t) . , Avant la découverte de Neptune, il s'agissait seulement d'ajuster EUR aux données expérimentales. Ü 25 ---- Il résulte de Ce modèle (et du calcul de la question 22) que la seule correction à considérer est, dans le cadre de ce modèle, celle qui est due à Neptune : AçôN (t) : o (t) -- [%t z ---y sin 2[2t % --7 sin [%,t. Perturbation due à Neptune Justifier maintenant l'affirmation suivante : 1 La trajectoire perturbée rememble a une orbite keÿble'rienne, avec l 'excentricite' (incorrecte!) e = ----7 2 (z --2 >< 10"') . La vraie correction ( ;! z 900") crt relativement importante ; il ce trouve que, longue l'on conridêre une orbite Æcîble'fienne incorrecte, la correction résiduelle ect plutôt faible (cf. question 16). L'influence de N eptune peut donc être marquée par une valeur incorrecte de l'excentricite' d'Uranur. Ü 26 -- Avec quelle précision faut--il mesurer l'excentricité d'Uranus pour être sûr que ses anoma- lies de trajectoire soient liées à la présence d'un corps étranger ? D 27 -- On suppose que les paramètres orbitaux de Neptune ---- planète dont on affirme \ l'existence ---- sont inconnus. On se propose de déterminer ces derniers a partir des données expérimentales. Il faut d'abord déterminer les quatre ,5 de la question 22. Quels sont les autres paramètres à introduire ? interviennent-ils linéairement dans l'expression de l'anomalie de longi- tude ? III-2. Deuxième traquenard de l'ajustement : ambiguïté E.] 28 -- Supposons résolus tous les problèmes ; la solution perturbative, limitée à l'harmonique 2, a été optimisée (question 22) ; toutes les valeurs numériques sont connues : v (i) . . R = ----y s1n 2[2t + ,81Q]t + ,62 + ,63 sm Q,t + & cos Q,t. U Perturbation due à Neptune Solution affine de l'équation homogène Solution périodique de l'équation homogène AQ'NÜ) : Flacons Neptune sur son orbite. Déplaçons--la maintenant de 180°, c'est-à-dire plaçons là diamé- tralement opposée par rapport à sa position initiale. Cela change--t--il quelque chose à la solution ? Voyez--vous une méthode pour résoudre cette ambiguïté ? FIN DU PROBLÈME FIN DE L'ÉPREUVE -OEturnè_ _ Terre Source : httpz//www.cnes.fr/html/_l 07_519_.php

© Éditions H&K

Mines Physique 2 MP 2006 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Emmanuel Bourgeois (ENS Lyon) ; il a été relu par
Stanislas Antczak (Professeur agrégé) et Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE).

Ce sujet propose de revisiter la découverte de la planète Neptune, par Adams
et Le Verrier en 1846, par une étude perturbative du problème à trois corps en
mécanique céleste. Il se compose de trois parties assez fortement liées entre 
elles :
· La première partie permet de mettre en place le problème, tout d'abord en
rappelant quelques résultats du système de deux points matériels en interaction 
gravitationnelle, puis en introduisant perturbativement un troisième corps.
Une bonne compréhension de cette partie est indispensable pour pouvoir aborder 
sereinement les suivantes.
· Dans la deuxième, on montre comment les observations expérimentales de 
l'orbite d'Uranus sont compatibles avec l'existence de la planète Neptune. 
C'est la
partie la plus longue, avec en particulier les questions 11 et 13 qui demandent,
à elles seules, pas mal de calculs.
· Dans la dernière partie, on regarde dans quelle mesure l'hypothèse d'un 
troisième corps est nécessaire. Cette partie est délicate et nécessite d'avoir 
bien
compris les hypothèses effectuées précédemment.
Ce sujet peut être traité quasiment dans son intégralité avec les connaissances
de mécanique acquises en MPSI, et peut donc être abordé relativement tôt dans
l'année de MP. Les résultats intermédiaires fournis par l'énoncé permettent de 
ne
pas rester bloqué. Outre son intérêt historique certain, il permet de tester la 
bonne
compréhension de la mécanique du point. De plus, sa difficulté croissante en 
fait un
bon problème de concours.

© Éditions H&K

Indications
Partie I
1 La planète Terre vérifie aussi la troisième loi de Kepler. Prendre M = MS .
7 Comparer l'amplitude du mouvement du Soleil à celle des autres planètes dans 
le
référentiel d'étude.
8 Appliquer la troisième loi de Kepler à l'orbite perturbée, en se limitant au 
premier
ordre pour la perturbation.
Partie II

-
10 Quelle est l'amplitude relative de la force f par rapport à l'action du 
Soleil sur
Uranus ?

-
12 Montrer que l'écart  f dû à la perturbation du mouvement des planètes Uranus

-
-

et Neptune est négligeable devant f et devant FS .
13 Utiliser l'expression de l'accélération en coordonnées polaires, puis 
linéariser au
premier ordre en u(t)/RU et (t)/(RU U ).
14 Quelles sont les parités des fonctions F et F ?
15 Calculer la moyenne temporelle de F directement puis en intégrant la première
équation du système [C-13].
18 Vérifier que la solution de pulsation nulle est une orbite perturbée de 
classe I.
19 Utiliser les résultats de la question 9.
21 Où et comment les points expérimentaux sont-ils mesurés ?
Partie III
24 Intégrer la loi des aires par séparation des variables.
25 Mettre en regard cette question, ainsi que la suivante, avec la figure 4 de 
l'énoncé.
27 Quels sont les paramètres orbitaux de Neptune ?

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I. Mise en place de l'étude
1 Considérons une particule de masse m soumise uniquement à l'attraction 
gravitationnelle d'un corps de masse M  m. Sa trajectoire est elliptique de 
demi-grand
axe a et de période T. Elle satisfait à la troisième loi de Kepler :
T2
= C = Cte
a3
Déterminons la constante C dans le cas particulier d'une orbite circulaire. 
Appliquons
le principe fondamental de la dynamique à la particule de masse m dans le 
référentiel
barycentrique, dont l'origine est, du fait de l'écart entre les deux masses, le 
centre de
masse de la particule de masse M. Ce référentiel est galiléen, le système 
composé par
les deux corps étant isolé.
mM -

er
R2
Le mouvement de la particule de masse m étant circulaire autour du corps de
masse M, l'accélération est centripète. Par projection sur l'axe radial,

m-
a = -G

m 2 R =

GmM
R2

avec

=

2
T

T2
4 2
=
= Cte
R3
GM

d'où

Historiquement les trois lois de Kepler ont été émises pour les planètes du
système solaire. Rappelons l'énoncé des deux premières lois.
· La trajectoire des planètes est une ellipse, dont le Soleil est un des
foyers. On rappelle que le mouvement circulaire est un cas particulier
de mouvement elliptique (d'excentricité égale à un, le demi-grand axe
s'identifiant alors au rayon de la trajectoire).
· Le rayon vecteur planète-Soleil balaie des aires égales pendant des durées 
égales (loi des aires, qui est une conséquence de la conservation du
moment cinétique de la planète).
Leur application ne se restreint cependant pas à cet unique cas, l'étude 
précédente étant menée pour deux masses quelconques. Si la condition m  M
n'est pas vérifiée, l'origine du référentiel barycentrique n'est pas confondue
avec le centre de masse du corps de masse M.
On s'intéresse au mouvement des planètes autour du Soleil. Le mouvement de
la Terre vérifie la troisième loi de Kepler. Or, par définition de l'année et 
de l'unité
astronomique,
TTerre = 1 année
On en déduit que

et

aTerre = 1 UA

T2
= 1 année2 .UA-3
a3

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2 Dans le cas du mouvement de la Terre autour du Soleil, la constante C s'écrit,
avec MS masse du Soleil,
C=

4 2
G MS

Dans le système d'unité choisi, C = 1 et MS = 1. Il en résulte
G = 4 2
3 Dans le système d'unité proposé,
T2
=1
soit
R3
ce qui, appliqué à Neptune et Uranus, donne
TU = 84, 06 années

et

T = R3/2

TN = 165, 0 années

On en déduit les pulsations angulaires orbitales associées aux deux planètes :

2

 U =
= 74, 74 . 10-3 années-1

TU

  = 2 = 38, 08 . 10-3 années-1

N
TN
La pulsation de battement s'écrit  = U - N
 = 2

1
1
-
TU
TN

= 36, 67 . 10-3 années-1

ce qui est cohérent avec la valeur proposée dans l'énoncé. On peut dès lors 
calculer
la valeur du rapport r.
r=

U
= 2, 039  2

On vérifie que r est très proche d'un nombre entier.
La définition de  donnée par l'énoncé est celle d'une pulsation et non d'une
fréquence.
4 Rappelons que le référentiel de Copernic a pour origine le centre de masse du
système solaire et pour directions trois étoiles fixes ; il est supposé 
galiléen. Le réfé-
 -

rentiel héliocentrique R lié au repère (S, -
e
X , eY , eZ ) (ou référentiel de Kepler) a pour
origine le centre du Soleil, et pour directions les mêmes étoiles que celles 
définissant
le référentiel de Copernic. Le référentiel héliocentrique est donc en 
translation par
rapport au référentiel de Kepler.
Le mouvement de translation du centre de Soleil autour du centre de masse du
système solaire est approximativement elliptique ; le référentiel 
héliocentrique n'est
donc pas galiléen. Cependant, ce mouvement étant de très faible amplitude, on 
peut
confondre le centre du Soleil et le centre de masse du système solaire. Dans le 
cadre
de cette approximation, le référentiel héliocentrique R est donc galiléen.