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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, '
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2006
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE '
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage de la calculette est autorisé
Sujet mis à disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT,
TPE--EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page
de la copie :
PHYSIQUE 11 -MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 9 pages.
0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une
erreur d'énoncé, il le signale sur sa
copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives
qu'il est amené à prendre.
0 Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des
considérations numériques) qui vous
sembleront pertinents. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que
des qualités de rédaction de la
copie.
. Notations : le vecteur unitaire de la coordonnée c est noté ëc ; la norme du
vecteur V est notée | V | .
Redécouvtons la planète Neptune !
Problème direct roblème inverse et roblèmes d'inte rétation
, P P rP
La découverte de Neptune fournit à l'histoire des sciences un exemple
remarquable d'histoire et de
méthode scientifiques. La trajectoire de la planète Uranus, observée par
Herschel en 1781, ne suit
pas les lois de.Newton même lorsque l'on tient compte, pour la calculer, de
l'influence des six
autres planètes du système solaire connues en ce temps--là (cette influence est
nommée perturbation).
Le Verrier et Adams postulent alors l'existence d'une huitième planète, que
l'on nommera plus tard
Neptune. Leurs prévisions, confrontées aux observations astronomiques,
fournissent les paramètres
orbitaux de Neptune. La planète sera observée, effectivement, en 1846.
Le problème comprend trois parties, corrélées entre elles par le sens ;. les
résultats essentiels sont
souvent donnés. La première partie établit quelques résultats de la mécanique
du point dans un
champ gravitationnel, la deuxième partie étudie de manière perturbatz'ee
(c'est--à-dire à l'ordre le plus
bas par rapport à un petit paramètre) un aspect du problème à trois corps en
interaction gravita-
tionnelle ; la troisième partie étudie un probléme inverse, dans le sens Où
l'on s'y propose de déter-
miner les caractéristiques d'une planète (Neptune) à partir des anomalies de
trajectoire qu'elle pro-
duit sur une autre planète (Uranus).
Dans tout le problème, exprimer signifie donner l'expression littérale et
calculer signifie
donner la valeur numérique.
I -- Mise en place de l'étude ,
Observations et danne'er
Compte tenu de l'influence gravitationnelle du Soleil et de celle des planètes
connues avant
l'observation de Neptune, la trajectoire d'Uranus peut être considérée avec une
excellente
approximation comme circulaire uniforme,
de rayon RU et de période Tu =--2---fl--. La
Qu
grandeur çbU : QUt serait dans ce cas (à une
constante près, définissant _ l'origine des
temps) la longitude be'lz'aeentrigne de Neptune,
c'est--à--dire l'angle entre une direction fixe
1755 1725 1750 1775 1555 1525 1555 dans le Plan de la OEaiectOife (Plan de
' l'écliptique) et la demi--droite joignant les
centres respectifs du Soleil et d'Uranus.
L'observation révèle un écart systématique, noté Afi, entre ce % calculé et la
position réelle de la
Mr (secondes d'arc)
Fig. 7 Anomalie de longitude de la planète Uranm
planète. La Fig. 1 montre les données de l'époque; l'écart résiduel semble être
une fonction
oscillante du temps, avec une période d'une centaine d'années ; il semble aussi
qu'à cette variation
se superpose une décroissance vaguement linéaire ; enfin, l'ordre de grandeur
de l'écart résiduel
est de l'ordre de quelques dizaines de secondes d'angle.
Pour rendre compte de ces observations,on considère le système à trois corps
suivant, supposé
isolé : S (Soleil), U (Uranus) et N (Neptune) ; l'influence des autres planètes
est englobée dans les
paramètres orbitaux de la trajectoire circulaire dont on vient de parler.
. . , 0 . . . ,
On expr1mera les masses en masses solaires (MS 132><103 kg), les distances en
un1tes
astronomiques UA (l UA % 1,5 >< 1011 m, demi--grand axe de l'orbite terrestre)
et les temps
en années (æ3x107 S). La constante de gravitation est notée G. On utilisera les
valeurs
numériques suivantes :
Rayon de l'orbite d'Uranus RU = 19,19 UA ' Masse d'Uranus mu = 4,373 >< 10--5 M
S
Rayon de l'orbite de Neptune RN = 30,08 UA Masse de Neptune mN = 5,178 X 10--5
MS
1 -.-- 1 Particule dans un champ gravitationnel
D 1 -- On considère la trajectoire circulaire (rayon R, période ]) d'une
particule de masse nz dans
le champ de gravitation d'une particule de masse M ; l'ensemble des deux
particules est isolé.
' . . . .' T 2
Rappeler la tromrème 101 de Kepler ; exprimer le rapport C-- -- F en fonction
de G et de M,
vérifier que, dans le système d'unités convenu, C = 1.
Ü 2 ---- Montrer que, dans le système d'unités convenu, la valeur numérique de
G est G = 4752 .
E] 3 ---- On modélise le mouvement de Neptune comme un mouvement circulaire
uniforme
centré autour du Soleil et situé dans le plan de l'écliptique. La période
orbitale de Neptune
275
est T N , sa fréquence angulaire orbitale (ou pulsation) est notée .QN-- --
---- .Calculer les périodes
TN
TU et T N d'Uranus et Neptune en années, et leurs fréquences angulaires Q, et
.QN en
années--'. Vérifier que l'ordre de grandeur de la fle'qnenee de battement .Q =
.Q U-- [2 N est 0, 0367
Q U
année_1 et que la valeur du rapport r = ---- est très proche d'un nombre entier.
[2
N atatiam pour les queriiom mimntes
Soit (S,êx,ëy) un repère orthonormé du plan de
l'écliptique, avec le Soleil pour origine (Fig. 2) ; on
note 52 la direction orthogonale au plan de
l'écliptique formant un trièdre (S ,êX,êy,êz) orthonor-
mal direct en translation par rapport au référentiel
galiléen de Copernic. Le dernier alignement Soleil--
Uranus--Neptune (conjonction) a eu lieu en 1822 ;
cette année sera prise comme l'origine des temps. En
t=O, le Soleil, Uranus et Neptune sont alignés; le
Fig. 2 Repère d'étude et notatiom .. , . . . ,
vecteur exdes1gne le vecteur unitaire portant a cette
date le vecteur SU. On note dans (S,ex,ey,ez) la
longitude héliocentrique d'Uranus $(t)=SX,SU et on note AçôN(t)la correction
due a
Neptune. On a donc çô(t) = [2Ut + AçI5N (t).
Ü 4 -- Le référentiel lié au repère (S,êX,ëy,êz) est-il galiléen ?
D 5 -- Une origine arbitraire étant fixée, on définit les positions respectives
de S par le vecteur
Î'S, de Uranus par FU et de Neptune par FN. Exprimer, dans un référentiel
galiléen 78 , le
principe fondamental de la dynamique successivement pour le Soleil, pour Uranus
et pour
Neptune.
Ü6--On pose ,5N=FN--Î'S, fiU=ïU--îg,et GmN --:ÆÔ'----Ê)ÂIî-- ÎN3 =f.Montrerque
IPN--[OUI lPNI
_ D 7-- Dans le repère mobile (Se
, ep, ej, ez), les coordonnées polaires d'Uranus sont n0tées
[pU(t), çô(t)] et l'on a SU= Puep- Le mouvement non perturbé d'Uranus
correspond à
f = () (mN-- -- 0). Les grandeurs non perturbées seront dorénavant repérées par
le symbole
(0) en exposant. Les coordonnées polaires d'Uranus dans ce mouvement non
perturbé
sont donc notées [p(o)(t), ç5(0)(t)] , avec ç15(0)(t) = Qut . justifier quep
p --.
Ü 11 --- Dans le repère mobile (S, ep, eç,, EZ), le mouvement non perturbé
d'Uranus est décrit
(°) ---(0)
par le vecteur SU : pu êP : RU ëp . Exprimer, dans ce repère, les composantes
de pN et de
"(O) "(O)
pN --pU en fonction de RU ,RN et [2 =!% --[2N.
En déduire les expressions des composantes de f: f=fP ep+fç,eç,, sous la forme
fP =8FP et f,, =8F},, avec
Fp =Mm_COSQÏ et
(l--2kcoth+k )
F = sm(Qt) +sin([2t).
"' _(1--2kcoth+k2)3/Z
Exprimer 8 et k en fonction de G,mN,RU et RN. .
Numériquement (voir Fig. 3) 8 % 2,26 >< lO"6 UA.(annéeÏ2 et k % 0,638.
GMS
pâ
D 12 _ En comparant les ordres de grandeur respectifs de |Î| et de , vérifier
la légitimité
_ de l'approximation faite surf" à la question 10.
{__-___|?!
l'...--.?!
l\'----Iil
"___--gm
; "vu--' : "'n--r
:
0 1 2 3 _ 4-
Fig. 3. Force: réduites en fonction de la phase .Qt. Les « F » ront de
l 'ordre de l 'nnite', ce qui montre que 8 calibre effectivement la force | f |
C' 13 ----- On pose pue) = pf,°>(r> + u(t) et eo) = amo) +9}e@2
sent au système différentiel linéarisé suivant, noté [CZ--13] (C pour complet
et 13 pour
numéro de la question) :
. Montrer que u et U obéis--
ü - ng0 - 305u = an
.. [013]
u + 252Uo = 513
II--2. Étude de la solution forcée
Ü 14 -- justifier les développements F p = Zan coant et Ft : an sin n.Qt .
Pourquoi la
n=l
n=0
solution forcée du système [C--13] est--elle développable en série de Fourier ?
Ü15 -- On pose u(t) = SZun COS 110! et U(t) = 820" sin n[2t . justifier les
parités respecti-
ves des fonctions u et v. Le calcul conduit à l'identification
ao u ___ (nQan ---2Q,bn) et u : --2nQ,[2an +(3QJ2 +n202)bn .
_ 3oâ, ' " nn(oÿ, -- n2Q2) " _ n292(_q} --n2.(22)
uo=
Retrouver l'expression de "o en procédant à un moyennage judicieux du système
[CZ-13].
Les valeurs numériques de .QU et de .QN ont été calculées à la question 3. Pour
quelle
valeur de n , notée r , y a--t--il quasi résonance, c'est-à--dire quasi nullité
des dénominateurs ?
Dans la suite, on se limitera aux polynômes trigonométriques
u (t) : suo + au, cos (er) , V U (t) = au, sin (r[2t) .
D 16 -- Le calcul donne a2=l,50 et
-m---m'-
"EUR 2053 ._"--'..'- b2=--l, 18. Déduire de la question 15 que
É 250 l.l'--r'.-'- AçôN(t)=--y sin(2[2t); calculer }/ en seconde
% 0 Elm-"----_ d'arc. La Fig. 4 confronte le résultat de ce _
& ...250 u--ÉÜ--m . calcul et les données expérimentales. C'est
gs ...,500 .--_'l--l' évidemment très mauvais ; sans doute parce
I.."IIIIII
.-----.«------
1700 1720 1740 1760 1780 1800 1820 1840
qu'il n'a pas été tenu compte de la solution
homogène de [CZ--13]. Il faut donc revenir sur
la résolution de ce système et apprécier le rôle
Fig. 4. Confrontation der donnée5 expérimentales à de cette solution homogène ;
c'est l'objet de
la solution obtenue à la question 76. Il convient la partie 11_3_
donc de revenir sur la re'xolution du .cyrtê7ne C--73.
II-3. Étude de la solution complète
Ü 17-- Le système homogène associé à [C-'13] peut se réécrire sous la forme du
système [PI--17] :
ü--ZQUÙ--3Qâu=0
ü+ZQUù=OQÙ+ZQUu=ZQUA,
[H--17]
où A est une constante d'intégration. Établir que les solutions de ce système
sont la somme
. ' . , . o o . . .
0 d'une solution, dite de frequence angulaire nulle {u( ', U( )} , faisant
intervenir une cons--
tante d'intégration B
0 et d'une solution dite de fréquence angulaire QU , faisant intervenir deux
autres constan--
tes d'intégration, a et fl .
La solution homogène fait ainsi apparaître ainsi quatre constantes
d'intégration, A, B, a et
,5 et l'on a :
{u, v} : {u(o) + um"), U(O) + U(QU)} , avec
"' =4A , u...")(t)=asin(QUt)+flcos(ûut)
u(°) (t) : --6A.Q_Ut + B um") (t) = ---2,6 sin([2Ut) + 205 cos (QUt).
II-4. Retour sur les lois de Képler
Ü 18-- Supposons que le mouvement d' Uranus dans le référentiel (Se ed, @) soit
circu-
' ep,
laire de rayon a= RU +ARU, où ARU est un terme perturbatif constant ; la
perturbation
dans ce cas est de classe I, selon la nomenclature introduite au paragraphe
I--2. L'équation
différentielle liant !) à u est alors (cf. la première équation de [H-17]) 20 +
3QU u = 0.
En s'appuyant Sur les considérations de la question 8, interpréter la solution
de fréquence
angulaire nulle de [PI--17].
D 19 ---- On s'intéresse maintenant à une perturbation de classe Il ; le
mouvement perturbé est
décrit par {u(QU), U(QU)} ; il obéit aux lois de Kepler. Montrer qu'il résulte
de la troisième loi
de Kepler que la période du mouvement perturbé est égale à la période du
mouvement non
perturbé, ce dernier étant circulaire uniforme ; on justifie ainsi que la
fréquence angulaire de
la solution périodique soit QU.
II-5. Retour sur le moment cinétique
CI 20 _ Vérifier que la solution -{uIQU), u"'U'} vérifie l'équation
différentielle suivante [L-20]
a") + 2!) vu") = 0 . [L-20]
Mettre cette observation en perspective du résultat de la question 9.
II-6. Considérations numériques
Ü 21 -- Expliquer pourquoi il est plus aisé de tester expérimentalement la
solution U(t) que
la solution u(t).
D 22 ---- La solution générale du système [C-13] donne l'expression suivante
pour AfiN (t)
AçôN (t) := --y sin 2.0! + --1---(--6AQ,t + B -- 2,6 sin Q,! + 205 cos Q,!)
U
= --y sin 201 + fl,Q,t + fl, + #, sin .Q,t + &, cos Q,t .
\_W_-_/ \---V--J
Perturbation due à Neptune Solution affine de l'équation homogène Solution
périodique de l'équation homogène
Les quatre paramètres inconnus A, B, a et ,B
(ou ,Ûl, ,B2, & et ,B4) se déduisent des données
expérimentales. Plutôt que de considérer les
valeurs des fonctions cherchées et de leurs
dérivées à un instant donné, nous allons
adopter une méthode d'obtention globale des
paramètres, en considérant la mesure quadra--
tique d'erreur DM , définie sur M points par
Açù,,, {:} : eatcuâ et mesures
1700 1720 17--10 1760! 1780 1800 1820 1840
Fig. 5. Meilleur ajustem ent pour la correction de
longitude d 'Uran us -'
2
fil z --4,12", 5; à: ---23,6", ,Û3 % 867", 5: a; --4,12" et À, z 45,5", :
M_Zl[Aficalculé (tk )_ A$mesuré (tk )] .
Pourquoi cet estimateur donne-t--il des
résultats préférables à ceux que donnerait
l'ajustement en un point ? Donner, sans
développer les calculs, le principe
d'obtention des paramètres inconnus.
Commenter le résultat du calcul, représenté
Fig. 5 (et qui, pour information, correspond
...ÛÛ ..."..."
I 500 l'"Nlllllllfllfllfllflfl
É
II! WMI"!IIIIHIIIIIIIIIIIIIUIII .
IIWI IIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIII II!!! III!!!--
! ___"
-IIII'IIIIII III
=-IIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIII III
-' IIIIIIII IIII IIIIIIIIIIII
:calcul sur une longue durée
à la valeur minimale DL : 17,2") ; en parti-
culier, comparer l'ordre de grandeur des
oscillations de Açôî" (t') à l'amplitudey.
ZOOÛ 3600 4000 5000 6000
Fzg. 6 -- Battemente dam la correction de longitude. La partie
en gras, encadrée en paz'ntz'l/és, eormpand aux données [:| 23 __ Les
fréquences angulaires 2 _Q et
aeeem'blg: entre le: année; 7690 et 7840 (gf Fig. 5). @] dans l'expression de
Açfi (I') sont quasi-
N
ment commensurables ; elles font donc apparaître le phénomène de battement
(Fig. 6), de
fréquence angulaire [% : [%, -- 2[2 .
Calculer la période7j, associée à [%. Est--il possible, pour une durée
d'observation T très
inférieure à 72 , de séparer les composantes oscillatoires de fréquence
angulaire 2[2 et [% ?
III -- Esquisse du problème inverse
jusqu'ici, nous avons supposé l'existence de la planète perturbatrice (Neptune)
et nous avons
étudié la manière dont sa présence affecte la trajectoire d'Uranus. Dans la
réalité, il en est allé tout
autrement. L'affirmation de l'existence de Neptune est un tour de force de
physique théorique.
Pour en avoir une idée, nous considérons le modèle simplifié suivant :
Si l'on ne tenait pas compte de la perturbation apportée par la planète
Neptune, on trouverait que
la trajectoire non perturbée d'Uranus autour du Soleil serait circulaire
(orbite képlérienne de
grand axe a : RU d'excentricité e = 0 ; fréquence angulaire [%, çb(t) = $(o)
(t) : Q,t). Cette
trajectoire calculée tient compte des solutions du système homogène (PI-17) ;
elle n'est évidem-
ment pas observable.
La trajectoire observée J'EURîîîblEUR képlérienne, de grand axe a et
d'excentricité EUR << 1 ; son équation
polaire est
p--M z a[1--ecos(ofi)].
_ 1 + EUR COS (à) au piËmier
ordre en e
Elle vérifie p2 % : R3,QU .
Loepartier III--7 et III--2 ci--aprês sont traitabler ind@endamment l'une de l
'autre.
III--1. Premier traquenard de l'ajustement : masquage de l'effet prépondérant
D 24 --- Établir que, au premier ordre en EUR ,
o(:) : çb(" (r) = !),t + 2e sin(.q,t) . ,
Avant la découverte de Neptune, il s'agissait seulement d'ajuster EUR aux
données expérimentales.
Ü 25 ---- Il résulte de Ce modèle (et du calcul de la question 22) que la seule
correction à considérer
est, dans le cadre de ce modèle, celle qui est due à Neptune :
AçôN (t) : o (t) -- [%t z ---y sin 2[2t % --7 sin [%,t.
Perturbation due à Neptune
Justifier maintenant l'affirmation suivante :
1
La trajectoire perturbée rememble a une orbite keÿble'rienne, avec l
'excentricite' (incorrecte!) e = ----7
2
(z --2 >< 10"') . La vraie correction ( ;! z 900") crt relativement importante
; il ce trouve que, longue l'on
conridêre une orbite Æcîble'fienne incorrecte, la correction résiduelle ect
plutôt faible (cf. question 16).
L'influence de N eptune peut donc être marquée par une valeur incorrecte de
l'excentricite' d'Uranur.
Ü 26 -- Avec quelle précision faut--il mesurer l'excentricité d'Uranus pour
être sûr que ses anoma-
lies de trajectoire soient liées à la présence d'un corps étranger ?
D 27 -- On suppose que les paramètres orbitaux de Neptune ---- planète dont on
affirme
\
l'existence ---- sont inconnus. On se propose de déterminer ces derniers a
partir des données
expérimentales. Il faut d'abord déterminer les quatre ,5 de la question 22.
Quels sont les autres
paramètres à introduire ? interviennent-ils linéairement dans l'expression de
l'anomalie de longi-
tude ?
III-2. Deuxième traquenard de l'ajustement : ambiguïté
E.] 28 -- Supposons résolus tous les problèmes ; la solution perturbative,
limitée à l'harmonique 2,
a été optimisée (question 22) ; toutes les valeurs numériques sont connues :
v (i) . .
R = ----y s1n 2[2t + ,81Q]t + ,62 + ,63 sm Q,t + & cos Q,t.
U Perturbation due à Neptune Solution affine de l'équation homogène Solution
périodique de l'équation homogène
AQ'NÜ) :
Flacons Neptune sur son orbite. Déplaçons--la maintenant de 180°, c'est-à-dire
plaçons là diamé-
tralement opposée par rapport à sa position initiale. Cela change--t--il
quelque chose à la solution ?
Voyez--vous une méthode pour résoudre cette ambiguïté ?
FIN DU PROBLÈME
FIN DE L'ÉPREUVE
-OEturnè_ _
Terre
Source : httpz//www.cnes.fr/html/_l 07_519_.php
