Mines Physique 2 MP 2004

Thème de l'épreuve La dynamo terrestre
Principaux outils utilisés magnétostatique, champ magnétique, induction électromagnétique, analyse dimensionnelle
Mots clefs dynamo terrestre

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AERONAUTIQ'UE ET DE L'ESPACE DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière MP (Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé) Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, TPE--EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : Physique Il -- Filière MP L'énoncé de cette épreuve, partiCulière aux candidats de la filière MP, comporte 8 pages. ' Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. ° Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures. ' Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui semblera pertinent. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. Notations : un vecteur est noté en gras (exemple : A) ; le vecteur unitaire pour la coordonnée a est noté â. LA DYNAMO TERRESTRE L'hypothèse selon laquelle le champ magnétique terrestre n'aurait pas eu une polarité cons- tante au cours du temps a été formulée pour la première fois par le géophysicien français Bernard BRUNHES, au début du XX° siècle. Ce dernier s'appuyait sur des mesures d'aimantation de roches volcaniques. Des travaux ultérieurs ont établi que le champ géoma- gnétique subit, en plus des fluctuations quotidiennes et séculaires, de brusques renverse-- ments au cours desquels le Nord magnétique change d'hémi sphère. L'existence de périodes de stabilité, s'étendant sur plus de cent millions d'années et suivies de nombreux renverse- ments successifs, suggère un comportement chaotique] . Ce problème présente un modèle fruste de la dynam02 terrestre pouvant rendre compte des changements de polarité du champ géomagnétique terrestre. Indépendamment de cette modélisation, la première partie étudie quelques propriétés du champ géomagnétique. Données numériques et ordres de grandeur Le repère terrestre est associé aux coordonnées sphériques (r,9, (p) d'axe Oz orienté sud-nord. Le champ magnétique terrestre est modélisé par le champ d'un dipôle permanent de Fig, 1 _- Terre, noyau et moment moment M =--M î situé au centre O de la Terre, assimilée à 1 Comprenons ceci au sens faible : les oscillations de polarité du champ ne laissent percevoir aucune régularité. 2 « Machine produisant un courant électrique à partir d'un mouvement». une sphère de rayon RT (Fig. 1). Le noyau terrestre est assimilé à une sphère concentrique, conductrice, fluide et homogène, de rayon RN. La température du noyau est notée T, sa conductivité électrique 0' et sa capacité thermique massique c . L'intensité du champ B au pôle Nord terrestre est notée BO. Les données ci-dessous sont données avec une précision variable. Intensité du moment dipolaire MT == 7,9X1022 A.m"'°' Intensité de B au pôle Nord BO : 6x10"5 T. Conductivité thermique du noyau O' =5 ><106 Q"' .m". Capacité thermique du noyau C'; 2 >< 104 J .K '1 .kg "1 . Masse volumique du noyau : . u z 8 >< 103 kg.m"3 Rayon terrestre moyen RT : 6400 >< 103 m. Rayon du noyau RN == 5><105 m . Perméabilitè du vide #0 : 47t ><10'7 H.m"l . Unité usuelle d'énergie 1 eV : l,6><10"19 J . Masse de l'électron ' m,. 2 10°30 kg. Petit formulaire pour la partie 1 : champ dipolaire, valeur moyenne Composantes, en coordonnées sphériques, du champ B produit par un dipôle magnétique M = M î : _ ,, Mcos(9) _ B.-- _ _g, Msin(9) r--27r r3 _ 471: r3 ' La valeur moyenne d'une fonction périodique f de période P t (f) _ 1 J 10 +P es -- T : Petit formulaire pour les parties 2 et 3 : point critique . «. d x- ' On nomme point critique du système différentiel -ä-;'- =fi(x1 ,x2 ,. ..,x,-- ,) , '= l, 2,. . ., N un point de coordonnées (x...x2c ,. . .,ch) satisfaisant, pour tout i, f;(xlc,x20 ,. ..,ch ): O. f (t) d t (résultat indépendant de &, ). () 'Il est courant, pour une étude locale, de linéariser le système étudié, au voisinage d'un point donné sur une trajectoire. Le système obtenu s'écrit généralement, en posant fc,-- = % ( xl ) / x1\ à : L xl » x N x N où L est une certaine matrice. Lorsque toutes les valeurs propres de L ont une partie réelle négative, le point considéré est dit stable. Lorsqu'il existe une valeur propre dont la partie réelle est positive, le point est dit instable. Lorsque toutes les parties réelles des valeurs pro- pres sont nulles, une étude plus fine est nécessaire pour conclure sur la stabilité locale. I -- Le champ magnétique terrestre Cl 1 -- Retrouver la valeur de M, à partir de celle de Bo. Cl 2 -- Admettant que ce moment magnétique soit produit par des courants volumiques de densité j, avec M = j(RN )4 , estimer la valeur de j. Comparer cette valeur aux densités de courant usuelles dans les circuits ordinaires (TP, électroménager...). - , , . , - . 4 . -- , , Cl 3 --- Vér1fier l'homogenerte de la relation M z ](RN) . Justifier que, en coordonnees sphe-- riques, la direction dominante du vecteur densité de courant j est (Î) . Cl 4 ---- Calculer PJ, puissance volumique dissipée par effet Joule dans le noyau terrestre. D 5 -- Supposons que l'énergie nécessaire à l'entretien du champ magnétique terrestre pro- vienne du noyau. La température du noyau diminuerait alors de AT pendant la durée At. Exprimer AT sous la forme AT= kP, At, où k est une constante que l'on explicitera. Calcu- ler AT pour une durée At de un siècle. Cl 6 -- Calculer numériquement l'intensité du champ B en un point A du plan équatorial situé à la distance rA : 6RT du point 0. 717 . . , . , -- Cl 7 -- Notant ). =3--6 la latitude du po1nt d'observation, etablrr l'equat10n et tracer la représentation graphique de la ligne de champ C A passant par A sous la forme r = f ( rA ,À) . Cl 8---- Établir l'expression de la norme de B sur CA en fonction de À et de Bo. Tracer l'allure de la courbe " B(À )" . Cette représentation rend--elle compte de "")." B(À) " ? À---->3 D 9 -- Une particule chargée de masse m, de vitesse v et d'énergie constante E A se déplace dans le plan équatorial, au voisinage de C A, dans une région de l'espace suffisamment petite pour que l'on puisse y supposer le champ B uniforme et constant. En adoptant a priori les lois de la mécanique newtonienne, établir la relation entre m, "v" et EA. Commenter l'application numérique pour un électron dont l'énergie serait E A = 1 MeV. Il -- Dynamo homopolaire II--l Régime périodique Un disque conducteur de rayon a, d'axe vertical A, de moment d'inertie Jpar rapport à cet axe est soumis à un couple de moment constant I' =]" z, où 2 est le vecteur unitaire de la verticale ascendante. Il peut tourner sans frottements autour de A. Une spire circulaire de même axe est reliée d'une part à l'axe, supposé parfaitement conducteur (la spire est donc connectée au centre du disque), d'autre part à un point de sa périphérie. L'ensemble forme un circuit électrique de résistance R et d'inductance propre L. Le coefficient d'inductance mutuelle entre la spire et le disque est noté M. Le courant i dans le circuit et la vitesse de rotation &) du disque ont des orientations définies par la Fig. 2 -- Dynamo homopolaire Figure '2. Le mouvement du disque modélise les mouvements de matière dans le noyau terrestre, le couple modélise l'apport énergétique qui entretient ce mouvement. On admettra que le'champ magnétique, dont l'amplitude est pr0portionnelle au courant i, est modélisé par ce courant. Supposons que le disque soit mis en rotation dans un champ magnétique axial. La force électromotrice induite fait circuler un courant dans la spire, ce qui génère un champ magné- tique axial B ,-- se superposant au champ excitateur. Le dispositif est ainsi une dynamo auto- excitée ; même si le champ initial disparaît, la dynamo continue de fonctionner grâce à B ,-. Cl 10 -- Exprimer, en fonction de l'inductance mutuelle M et de i, le moment des actions de Laplace qui, s'ajoutant au couple [' , déterminent la rotation du disque ; on justifiera, ou à défaut on admettra, que le champ produit par le courant soit de la forme B:( r)î- ; il sera commode ici d'utiliser le système de coordonnées cylindriques. Représenter le circuit élec- trique équivalent au dispositif et expliciter ses composants. CI 11 -- En appliquant, d'une part les lois de la dynamique, d'autre part celles de l'électrocinétique, établir le système [a] ci--dessous, de deux équations différentielles non linéaires du premier ordre, couplées: da1 1 .I-----=I"--------"Mz2 . dt 275 di 1 [a] R +L--=----Moe [ dt 275 1 D 12-- Déterminer le point critique de coordonnées positives de [a]. On notera ces dernières, respectivement, i et co.. Quel est le résultat de la substitution i ---> ---i ? D 13 -- Effectuer et commenter un bilan instantané de puissance. Rappeler quelle peut être, dans le cas de la Terre, l'origine physiqUedu couple mécanique. Cl 14 ---- Le système [a] peut-il admettre une solution vérifiant Fw(t)= Ri2(t) '? Cl 15 -- Supposonsà présent que le système [a] admette des solutions périodiques, de période \ notée P. Montrer dans ce cas que (.--2)=zflÎÇ-, (m)=27c% et (Z):--_-- ira) D 16 -- Les variables réduites I , Q et u et le paramètre a sont définis par 1 _ ? RJ R2] i= 27r£-- I, w=2n£--Q, t= 271:--a et a=27r . M M F M F LM Vérifier que I , Q, u et a sont sans dimension ; établir le système [A] satisfait par les nou-- velles variables, [ et .Q, en fonction du temps réduit u. Quels en sont les points critiques, 10)? de coordonnées notées respectivement + I-. et Q '? Vérifier la relation a- -- Î . 1 D 17 -- Établir le système différentiel relatifà Z( u) =Q(u)--l et [( u). Notant [(Q) = 10 et Q(O)= Q... établir la relation suivante [R] entre Q et I , indépendante de u : (Q--1)27--°(%--1)+)--(ln(â)-- (1 -13)(. [R] Dans les figures ci--après, a =l, (Iol-- -- 0,3 et [20 = 0. La figure de gauche montre [R], I est en ' abscisse, [2 en ordonnée ,la figure de droite représente, en traits pointillés, I(u ) pOur 10 =0,3 et, en traits pleins, Q(u ) pour |Iol : 0,3. Commenter ces résultats. ---...--=.--- IK"fl"I . fl--'I--N ' {|_-"__|! _ lI--II--IÆ l'--ll--l IL"Jl"AI ' --2-----=--_Û--bn==u_2- 2 5 "E'--__... -m-mm- _ -Il-nm- . I'm--mum _ Ulm--Inu: ran-mumu: --n-mm --°' 5 '0--2_4_...__--1' II-2 Étude dynamique au voisinage d'un point critique. Cl 18-- Dans le système [A] établi' a la question 16, on pose, au voisinage d'un point critique, [(a ): l+X(u ) et à nouveau Q(u ): 1+Z(u ),avech( u)<oo en déduire, pour l'allure des cycles Q(Il) ou Q(12) , lorsque u ---> oo (cf. question 17) ? III--3 Allure de quelques solutions Le recours aux simulations numériques est rendu nécessaire par la nature des conclusions sur la stabilité. D 27 -- Les figures ci-dessous montrent le résultat de l'intégration du système [T] pour un certain jeu de paramètres. On observe successivement Il(u), Q(u) et Q: f(ll,lz) ; dans cette dernière figure, x, y et 2 représentent respectivement 11, 12 et Q(I 1, 12). Les courbes Iz(u) et S(u)= Il(u)+ 12(u) ont la même allure que celle de Il(u). Commenter ces résul-- tats. Peut-on en déduire quelques--uns des paramètres du modèle ? "'--"'" I'M..." l |] mumu--um flllWlllllWlü WllllllflMl WIllllllllfllllll1llll lWlülll'lllllIlllllllllllllllfl _ IMMIÏ llll'n WMI" WN...IIIMIII _ --I--l- 0 20 40 60 80 100 III-4 Retour sur les variables réduites , . . 1 FM . . . Nous avons défi... plus haut le temps rédu1t u =------2 ---- t, ce qui permet d'introduire un temps caractéristique du système, Tl =27t-Iî/I-n il y a d'autres temps caractéristiques. Par exemple, la première équation du système [a], question 1 1, permet d'introduire le temps , J L _ 12 = F et la seconde équation le temps 13 =;. On remarque aussr que, L et M possé-- dant la même dimension, toute grandeur caractéristique peut être multipliée par le facteur . . L " sans drmensron (';/7 , où a est réel. On se propose de déterminer d'autres grandeurs caractéristiques du système par analyse dimensionnelle élémentaire. La notation [y] désignera désormais la dimension de la grandeur y. Les dimensions utilisées seront notées de la manière suivante : ' m = masse ! = longueur t = temps i = intensité du courant Cl 28 -- Exprimer [L] (inductance), [R] (résistance), [J] moment d'inertie) et [F ] (moment d'un couple) en fonction de m, [, t et i. _ \_ ar Cl 29 -- Rechercher les temps caractéristiques sous la forme T= (};) L'B R7Jô F8 : OC;-- restant indéterminé, on exprimera B, y et 6 en fonction de EUR. Pour quelle valeur de 8 retrouve--t-on le choix de la partie II ? Proposer un autre choix. Cl 30 -- Procéder de même pourtrouver les divers courants caractéristiques et les diverses . < . . L "" , _ v L "9 pulsations caractéristiques, sous la forme [ =(-Â4--) B R'J"F et @: (};) _ LbRCJdFe. Les résultats feront agréablement apparaître le paramètre a introduit à la question 16. FIN DE L'ÉPREUVE

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 Mines Physique 2 MP 2004 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Kevin Lewis (ENS Cachan) et Vincent Fourmond (ENS Ulm). Cette épreuve porte sur la modélisation de la géodynamo à l'origine du champ magnétique de la Terre. L'objectif est double : montrer qu'il est possible d'envisager l'existence d'un champ magnétique auto-entretenu au sein du noyau de la Terre et rendre compte des retournements chaotiques du champ magnétique terrestre observés expérimentalement. Le problème forme un ensemble progressif, cohérent et de longueur raisonnable : · la première partie permet de caractériser le champ magnétique terrestre ; · dans la deuxième, on montre comment une configuration particulière, appelée dynamo homopolaire, permet l'existence d'un champ magnétique autoentretenu ; · une troisième partie envisage alors le couplage de deux dynamos afin de rendre compte des retournements du champ magnétique ; · la fin de la troisième partie porte sur des raisonnements dimensionnels totalement indépendants des autres résultats. Les concepts physiques mis en jeu dans ce problème sont peu nombreux. Ce sont des résultats relatifs à la magnétostatique et à l'induction électromagnétique. La fin de l'énoncé fait cependant exception. Les calculs dimensionnels demandés sont laborieux, peu intéressants mais relativement simples. Une lecture préalable de l'énoncé permet de les repérer et de gagner quelques points aisément accessibles. Cet énoncé comporte par ailleurs quatre erreurs, sans gravité mais pouvant déstabiliser un candidat manquant d'assurance. On peut enfin regretter que, dans tout le sujet, l'accent soit bien plus souvent mis sur les développements calculatoires que sur l'analyse physique. Cette épreuve s'inscrit néanmoins dans l'esprit de la filière MP et les calculs imposés doivent pouvoir être surmontés. Indications Première partie 2 Utiliser la formule i = jS pour déterminer l'ordre de grandeur usuel de j. 3 L'unité de MT est fausse. On peut s'aider des formules M = iS et i = jS. - 4 La puissance volumique dissipée par effet Joule est - · E. 5 Écrire U = -PJ t. - - - 7 Utiliser d B = 0 le long d'une ligne de champ et en déduire une équation différentielle intégrable par variables séparées. 8 Interpréter la divergence à l'origine par la conservation du flux magnétique. 9 La mécanique newtonienne n'est valable qu'aux vitesses très inférieures à celle de la lumière. Deuxième partie 10 Exprimer le moment de Laplace exercé sur une ligne de courant L traversée par i entre l'origine et le point de branchement. Montrer qu'il est indépendant de la géométrie de L et en déduire le moment total. Identifier alors avec le flux = Mi sur l'étendue du disque du champ magnétique créé par la spire. Utiliser PL + Pe = 0 pour calculer e. 13 Multiplier l'équation mécanique par , l'équation électrique par i, sommer et faire apparaître la dérivée temporelle de l'énergie totale. 15 Le paramètre T dans la définition de la valeur moyenne doit être remplacé par la période P. On a pour une fonction f de période P le résultat Z t0 +P df dt = 0 dt t0 17 Une méthode peut être de remplacer par Z dans [A] et dans [R], puis de dériver [R] par rapport à u afin de trouver comment aboutir au résultat à partir de [A]. 19 Dériver par rapport à u l'une des équations de [L] afin de découpler les équations. Utiliser le critère de stabilité donné par l'énoncé. 20 Remplacer I = exp(y/2) dans le système [A] et éliminer . Multiplier par y la relation vérifiée par y et intégrer. 21 Justifier que l'évolution se fait entre deux valeurs y m et yM . Exprimer du en fonction de y et dy puis intégrer sur une demi-période. Faire un développement de Taylor à l'ordre 2 de exp y pour simplifier U(y), y m et yM . Faire apparaître la dérivée de Arcsin . Troisième partie 23 Relier le moment de Laplace subi par le disque 1 et le flux 21 sur l'étendue du disque 1 du champ magnétique créé par la spire 2 avec 21 = Mi2 . Utiliser PL1 + Pe1 = 0. Le couplage par induction de Neumann est implicitement négligé. 26 Avec 0 = 0, multiplier les deux premières équations de [T] par I1 et I2 , soustraire et faire apparaître une équation différentielle vérifiée par I12 - I22 . 28 Rechercher des formules simples mettant en jeu les grandeurs L, R, J et . 29 Identifier les exposants des dimensions m, , t et i. I. Le champ magnétique terrestre - au pôle Nord, où (r, ) = (R , 0) 1 Le champ magnétique créé par M T = -MT - u z T - - et ur = uz , s'écrit - µ0 MT - u B =- r 2RT3 Il vient donc soit B0 = MT = µ0 MT 2RT3 2B0 RT3 7, 9.1022 A.m2 µ0 - - - Le moment magnétique d'une spire est M = i S , où S est le vecteur surface de la spire et i l'intensité du courant électrique parcourant la spire. Il s'exprime en A.m2 et l'unité que donne l'énoncé à MT est donc erronée. 2 On trouve : j= MT 1, 3 A.m-2 RN4 Pour un courant électrique d'intensité i circulant uniformément dans un câble de section S, on a i = jS. Avec les ordres de grandeur usuels i 1 A et S 1 mm2 , il vient j 106 A.m-2 . La densité de courant électrique à l'origine du champ magnétique terrestre est donc relativement faible. L'unité de j peut être retrouvée à l'aide de la formule littérale i = jS. 3 Avec M en A.m2 et j en A.m-2 , la relation est bien homogène. Par analogie avec une spire, la création d'un mo nécessite la prément magnétique terrestre selon - u z sence de courants circulant dans le plan perpendicu. En coordonnées sphériques, la direction laire à - u z dominante de ces courants est donc - u . - u z - = j - u O i - M T = -MT - u z - - 4 La puissance volumique dissipée par effet Joule est - · E . Avec - = E , supposé uniforme sur l'étendue du noyau, il vient : ZZZ - j2 4 - PJ = · E d soit PJ = × RN3 3 noyau En remplaçant j par l'expression de la question 2, on obtient PJ = 4MT2 1, 7.1011 W 3RN5 Le tableau de données numériques donne une appellation erronée à la grandeur . Comme l'affirme le paragraphe qui précède les données, représente la conductivité électrique et non la conductivité thermique. 5 La puissance PJ représente la puissance nécessaire à l'entretien des courants électriques à l'origine du champ magnétique. On suppose que cette puissance est prise sur l'énergie interne liée à l'agitation thermique du noyau. Sur une durée t, pendant laquelle la température varie de -T et l'énergie dissipée par effet Joule est WJ = PJ t, on a donc soit U = -WJ -mc T = -PJ t Cette égalité suppose implicitement que l'énergie interne nécessaire à l'entretien des courants n'est pas regagnée ensuite sous forme d'agitation thermique due à l'effet Joule. On doit donc considérer que l'énergie WJ est entièrement perdue par transfert thermique à la périphérie du noyau. En réalité, la Terre contient des matériaux radioactifs et l'apport d'énergie interne dû aux réactions nucléaires compense partiellement ces pertes thermiques. En exprimant la masse m du noyau en fonction de µ et RN , il vient facilement où T = kPJ t Application numérique : k= 3 4µcRN3 T 6, 3.10-6 K - en A, où (r, ) = (6R , /2) et 6 Le champ magnétique créé par M T = -MT - u z T - - u = -uz , s'écrit : - B (A) = donc B(A) = µ0 MT - u z 4(6RT )3 B0 = 1, 4.10-7 T 432 - 7 Si d est un déplacement élémentaire le long d'une ligne de champ C, alors - - - d B = 0 - puisque C est tangente à B en tout point. Ainsi, en coordonnées sphériques : µ cos 0 2r3 dr 0 µ0 sin = 0 rd 4r3 r sin d 0 0 et - Les projections selon - u u r conduisent soit à sin = 0 qui correspond à la droite (Oz), soit à d = 0 qui permet d'affirmer que toute autre courbe de champ est inscrite sur un plan méridien à constant. Enfin, en projetant selon - u , on trouve dr 2 cos d = r sin d'où ln r = 2 ln sin + Cte