Mines Physique 2 MP 2003

Thème de l'épreuve Bilans d'énergie dans un condensateur
Principaux outils utilisés électrocinétique, dipôle rayonnant, électromagnétisme
Mots clefs circuit RC, condensateur, bilan d'énergie électromagnétique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURS DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière MP (Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé) Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, EN STIM, INT, TPE-EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : Physique II -- Filière MP L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, comporte 5 pages. - Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. 0 Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera pertinent, même lors- que l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. ' Électrostatique et rayonnement Présentation Cette épreuve concerne le problème de « l'énergie manquante », qui surgit lorsque l'on consi- dère la décharge soudaine de deux condensateurs dans un circuit non inductif et de résistance nulle. Attribuer de force une résistance aux fils (et donc changer le modèle) permet de retrouver cette éner-- gie mais, sur le plan des phénomènes, ne résout pas grand--chose. On aborde dans ce problème une étude plus précise de la situation : les lois de Kirchhoff sont mises en question et l'on fait intervenir le phénomène, usuellement (et légitimement) négligé, du rayonnement. La première partie présente de façon simple le phénomène de l'énergie manquante. La deuxième, proche du cours, décrit le rayonnement d'une boucle de courant. La troisième partie traite du rayonnement dans un circuit idéal à deux condensateurs. La quatrième partie traite numériquement un circuit réel simple. La cinquième partie est consacrée à une étude qualitative assez fine de la hié- rarchie des diverses constantes de temps dans un circuit RLC série. Les parties I et II peuvent se trai- ter en toute indépendance. 1. Circuit de deux condensateurs, régime quasi stationnaire Cl 1 ---- Le circuit ouvert de la figure 1 (page suivante) comprend deux condensateurs de capa-- cités respectives G et @. Le premier condensateur porte la charge a.... Le second n'est pas chargé. Quelle est l'expression de l'énergie électrique fïÇ emmagasinée dans ce circuit '? Cl 2 -- On ferme l'interrupteur. Quelle est la tension U f d'équilibre des condensateurs ? Cl 3 --Quelle est l'énergie FVf emmagasinée mainte- R q1o nant dans le circuit ? Expri- mer in--W; en fonction de C1 C2 Cia @ et EUR10- i(t) D 4 -- Une interprétation de ,;5_ cette perte d'énergie est que . _ , _ la résistance du circuit n'est Fig. ] : deux condensateurs F lg. 2 : F zg. ] + une reszstance pas nulle. C' est ce que mon- tre la figure 2. La tension (fj, et l'énergie PÏÇ sont-elles changées, du fait de l'introduction de la résistance R ? Cl 5 ---- Quelle est l'équation différentielle vérifiée par la charge q 1(l') pendant la décharge du condensateur @ ? En déduire l'expression du courant i(t) circulant dans le circuit, puis celle de l'énergie Q dissipée dans la résistance. Cette énergie dépend--elle de R ? D 6 ---- Quelle est la constante de temps du circuit '? L'approximation des régimes quasi-sta- tionnaires est-elle valide pour le circuit de la Fig. 1 ? II Rayonnement d'une boucle de courant Le milieu étant le vide, une spire de centre O, de rayon a, placée dans le plan (xOy) d'un repère galiléen Rg(O, x, y, z), est parcourue par le courant i(t). Les coordonnées sphériques du point courant P sont (r, 6, (p) où r=OP, 9 désigne la colatitude et (pla longitude. Un point M de la spire est repéré par sa longitude (... (Fig. 3); on note u'(M) le vecteur unitaire - tangent a la sp1re en ce pomt, et {M, : ---, ou c c est la célérité du rayonnement dans le vide. L'élément de spire d s : (ad (p M) u'(M) Flg' 3 " sp1re de rayon a; (0x' v) = (p contribue au potentiel vecteur au point P par l'élément dA(t,P)=-Ëêï--'--(--tA_4----ît_5ÂÆ2 ds, . où ,uo désigne la perméabilité du vide. Il faut un temps caractéristique T, satisfaisant les inégalités à<< 57." << r, pour que le cou-- rant i(t) passe d'une certaine valeur l'O à la valeur nulle. E] 7 -- Montrer que, à chaque instant, on peut considérer le courant Comme identique en tout point de la spire. D 8 -- Montrer sans calcul que le potentiel vecteur A(t, P ) est porté par le vecteur unitaire % (représenté Fig. 3). En déduire que la composante AÇP s'écrit : 2"i(t-- t....) A=L'g. (p 475 0 MP acos((p--tpM)d(pM. a I" Cl 9 ---- Vérifier que, au deuxième ordre près en --, et en posant u= t-- --, on a r c a . . . a di (lt) . MP= r, 1----sm(9)cos(tp--çüü , l(t--ÎMP)=Z(H)+-- d sm(9)cos((p--(pM) et r c u __ ."0 2di(u) - A(p--4 lirca du sm(6) Cl 10 -- En déduire la composante dominante du champ d'induction magnétique B en un point P situé à une distance r >> CT de l'origine. En coordonnées sphériques, le rotationnel d'un vecteur V : V,u, + Ve u@ + V,, "ça s'exprime par : l<>l ... avi .. ... w 69 ô(p r2s1n0 dr ôça rsin6 ôr avec u9Auw=ur, u(pAur=u9 et urAuÛ=u(p. D 11 -- Déterminer le champ électrique E avec la même approximation. Comparer la struc- ture de l'onde au voisinage du point P avec celle d'une onde plane. Cl 12 -- En déduire l'expression du vecteur de Poynting. Montrer, en précisant la valeur de K, que la puissance rayonnée à travers la sphère de centre O passant par P est : d2 l' 2 Æay=K(d_Ë--] ... Indication numérique : avec u0 : 47t>< lO"7 H.m_1 et C: 3><108 m.s'1 , on trouve la relation K: 2, 47>< 10"33 0'2 , où 0' est la surface de la spire, en m2 D 13 ---- Un dipôle rayonnant de moment dipolaire électrique po (dipôle de Hertz), oscillant à la pulsation a), rayonne dans tout l'espace la puissance moyenne Établir un lien entre cette expression et la relation [1] III Rayonnement dans un circuit à deux condensateurs On rend compte du rayonnement dans le circuit de la figure 1 en introduisant une boîte noire X, régie par la relation [1], et qui, parcourue par le courant i(t), dissipe la puissance Ray. On appelle VX la tension aux bornes de X. Le circuit équivalent lorsque l'interrupteur est fermé est représenté figure 4. Cl 14 -- Montrer, en précisant la valeur de C, que VX satisfait l'équation différentielle (où la constante K est celle qui intervient dans la relation [1]) : +_ __ KC dl C] 15 --- Il se trouve que la solution « physique » de [2] est de la C1 C2 forme VX : VO exp(st) ! Déterminer alors les valeurs possibles de s. La solution de [2] peut--elle être une superposition de fonc- tions correspondant à diverses valeurs de s '? Æ Cl 16 -- Le choix, que l'on fera, de la solution donnée par la Fig. 4 : Fig. ] +boîte noire seule valeur réelle de s est--il admissible du point de vue physi- que '? r ' d2 - r ' 9 I ' r r Cl 17 ---- Determ1ner ä---Zz t---- et expnmer l energ1e rayonnee entre le temps != -- et I' C - EUR != oo. Le résultat obtenu ne devrait pas manquer de susciter un commentaire. IV Un circuit plus réaliste Le circuit de la figure 5 comprend une résistance R, une inductance L, la boîte noire X, régie encore par la relation [1], et un condensateur de capacité CL, équivalent aux deux condensateurs précédents. D 18 ---- Montrer que l'équation différentielle relative à VC, tension aux bornes de EUR., a des solutions Fig. 5 : un circuit RLC série exponentielles VC : AC exp(--ql), avec q réel et positif, pourvu que L R 1 ' 5 2 q ___q +--q------O. 3 K K KC3 ... Que se passe--t-il lorsque K--> 0 ? D 19 -- Donner un sens à l'affirmation suivante : la résistance radiative est Rmd : Kq". Cl 20 -- Quelques résultats numériques pour le circuit RC radiatif (L = 0), avec Q. = 100 MF , a = 5 cm et dans la gamme 10°7QS RS 10"3 Q, sont présentés ci-dessous. 1,15x10" 1,14x10' 1,13x10' 1,01x10° 8,21x10" 2,00x10" 85,62 16,491,50><10'4 4,82x10" 1,54x10" 4,82x10"" Commenter ces résultats. Par exemple : dans quels cas a--t--on affaire à un déclin radiatif, ou au déclin ordinaire d'un circuit RC '? pourquoi, lorsque la résistance R est suffisamment petite, q est--il essentiellement constant ? que vaudrait q pour R=1£2 ? Esquisser l'allure d'une sorte de « diagramme de Bode » donnant ln( R)?) en fonction de ln(R). À quelle forme asymptotique de l'équation [3], qui se ramène ici à Kq5 + Rq----l--=O, correspond C S chacune des asymptotes de ce diagramme ? On pourra introduire la résistance de coupure 1 ? R.=(--KÎ] , R, z6,86><10"9. C, (. VDiscussion des effets radiatifs On considère un circuit RLC série ordinaire, avec C: 0,68 pF, £= 20><10"9 H, [E: 3,5 kg}, correspondant à une résistivité p = O, 80 Elm. Cl 21 -- Justifier que, dans ce circuit, la dépendance temporelle de la charge dans le conden-- sateur puisse être q(t) : % exp(--sf) , avec 5--1 == TRC : RC . E] 22 -- Les câbles de connexion sont, à l'intérieur, électriquement neutres. Ils portent cependant des charges surfaciques, qui contrôlent les champs électriques ; en réalité, ces deux grandeurs se contrôlent mutuellement. L'échelle de temps de cette interaction est le temps de réarrangement des charges surfaciques, c'est-à--dire le temps que met l'information à se propager dans le circuit. Ce temps est, en grossière approximation, T, = ;, où EUR est la ta111e caractensüque du c1rcu1t. On pose 0: =LC_ D15cuter, selon les valeurs de a, le T1 régime de retour à l'état d'équilibre des charges dans le condensateur. On justifiera, en parti-- culier, que pour a <<1, les effets radiatifs sont importants. Qu'en est-il pour le circuit considéré, dans lequel EUR = 5 cm ? Cl 23 -- La résistance est modélisée par le parallélépipède représenté " ci-contre, de section S et d'épaisseur e. La permittivité diélectrique du matériau est prise égale à celle du vide : 80 = 8,85 ><10'11 F.m"1 ; la capa- cité ainsi constituée est CM=Eo--. Il existe donc une autre échelle de 9 temps dans ce circuit, TM : £0p. Comment intervient-elle? FIN DE L'ÉPREUVE

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 Mines Physique 2 MP 2003 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Antonin Ferri (ENS Ulm) ; il a été relu par Pierre-Marie Billangeon (École Supérieure de Physique et de Chimie Industrielles) et Jean-David Picon (École Polytechnique). Ce sujet est consacré à l'étude d'un « paradoxe » : lorsqu'un condensateur se décharge dans un circuit ne comportant pas d'éléments dissipatifs, on ne retrouve pas la totalité de l'énergie initiale une fois l'équilibre atteint ­ ce qui semble violer la loi de conservation de l'énergie. Nous verrons que c'est en fait l'approximation quasi-stationnaire qu'il faut ici remettre en question. · Dans la première partie, on met en évidence le phénomène dans un circuit très simple. · Dans la deuxième, le circuit est modélisé par une boucle de courant (dipôle magnétique) et l'on cherche à déterminer l'expression des pertes d'énergie par rayonnement. C'est la partie la plus calculatoire du problème mais l'énoncé nous guide pas à pas. · La troisième fournit l'occasion d'utiliser le résultat obtenu dans la partie précédente : on modélise les pertes par rayonnement en introduisant un dipôle dissipatif dans le circuit initial et on étudie son comportement. · La quatrième propose l'étude d'un circuit RLC ; on met en évidence deux régimes de fonctionnement selon que le rayonnement est négligeable ou non. · Enfin, la cinquième partie est une discussion qualitative portant sur les différentes constantes de temps intervenant dans le problème. Ce sujet, de difficulté moyenne, permet de faire le point sur les phénomènes de rayonnement. Il requiert quelques notions d'électrocinétique et constitue une bonne occasion de réviser les calculs du dipôle rayonnant. Indications 2 Écrire la conservation de la charge. 4 À l'équilibre, i = 0. 5 Pour éviter toute erreur de signe, utiliser la remarque faite à la question 1 ; se méfier des réponses « intuitives » à la question sur la dépendance en R de l'énergie dissipée. 7 Comparer le temps caractéristique de variation du courant au temps de propagation de l'information dans le circuit. 8 Utiliser les symétries de la distribution de courant pour déduire la forme du \ - potentiel vecteur. Faire un dessin pour visualiser l'angle ( u (M), - u ) 9 Ne pas confondre le développement de 1/MP et celui de MP donné par l'énoncé. 10 Ne pas se laisser impressionner par l'expression générale du rotationnel, qui se simplifie beaucoup ici, et ne pas oublier que l'on s'intéresse uniquement au premier ordre en a/r. En dérivant l'expression obtenue, se souvenir que u = t - r/c. - 12 Le vecteur de Poyting est la densité de flux d'énergie électromagnétique : il est homogène à une énergie par unité de surface et par unité de temps. Pour obtenir la puissance totale rayonnée, il suffit donc calculer son flux à travers la sphère de centre O passant par P. 13 On supposera une loi sinusoïdale sur l'intensité et on introduira le moment dipolaire magnétique de la spire, m0 = i0 . 14 Exprimer la puissance rayonnée en fonction de VX , de deux manières différentes. 16 Retrouve-t-on, pour t = +, l'équilibre caractérisé dans la partie I ? 18 Cette question est très semblable à la question 14. 19 Où peut-on faire apparaître le terme Kq 4 dans l'équation (3) ? 22 Évaluer l'ordre de grandeur de la puissance rayonnée Pray en fonction du paramètre . 23 Comparer M et RC ; lequel contrôle les variations du courant dans le circuit, et pourquoi ? I. Circuit de deux condensateurs, régime quasi-stationnaire 1 L'expression de l'énergie d'un condensateur de capacité C en fonction de sa charge q est E = q 2 /2 C. Par extensivité, l'énergie contenue dans le circuit est la somme des énergies contenues dans chaque condensateur. L'énergie initialement emmagasinée dans le circuit est donc Wi = q10 2 2 C1 Rappelons les conventions de signes concernant les condensateurs : avec l'orientation indiquée ci-dessous dq (et elle seule) on a q = C U et i = . dt i +q C U 2 Notons q1 et q2 les charges des condensateurs C1 et C2 à l'équilibre. Par définition, la tension d'équilibre Uf est identique aux bornes des deux condensateurs. On a donc q1 = C1 Uf et q2 = C2 Uf ; de plus, la conservation de la charge implique q10 = q1 + q2 . q2 q1 C1 C2 U f La tension d'équilibre est donc Uf = q10 C1 + C2 3 L'énergie stockée dans le circuit à l'équilibre est Wf = soit d'où Wf = 1 1 C1 Uf 2 + C2 Uf 2 2 2 q10 2 2(C1 + C2 ) Wf - Wi = - q10 2 C2 2(C1 + C2 ) C1 Ainsi, Wf - Wi < 0 alors qu'aucun élément dissipatif n'est présent dans le circuit, ce qui est inquiétant ! UR 4 Tenons compte cette fois de la résistance des fils du circuit, modélisée par l'introduction de R. À l'équilibre, l'intensité i dans le circuit est nulle par définition ; par conséquent UR = R i = 0. De plus, la présence de R ne modifie pas l'équation de conservation de la charge. On retrouve donc les mêmes valeurs pour Uf et Wf qu'à la question précédente. i R U1 q1 C1 q2 C2 U2 5 La loi des mailles donne U1 = UR + U2 soit q1 q2 = Ri + C1 C2 donc q1 dq1 q10 - q1 = -R + C1 dt C2 d'où l'équation différentielle vérifiée par q1 (t) pendant la décharge du condensateur : q1 q10 dq1 + = dt R C2 avec =R C1 C2 et q1 (0) = q10 C1 + C2 La solution générale de cette équation différentielle linéaire non homogène du premier ordre est la somme de la solution de l'équation homogène associée et d'une solution particulière de l'équation avec second membre, que l'on peut ici choisir constante. On a donc q1 (t) = e-t/ + q10 avec R R C2 et en utilisant la condition initiale, il vient q10 q1 (t) = C2 e-t/ + C1 C1 + C2 d'où l'expression du courant i dans le circuit : i(t) = - dq1 q10 -t/ = e dt R C1 Pendant le temps infinitésimal dt, la résistance dissipe l'énergie Q = R i2 (t) dt. Ainsi, l'énergie totale dissipée par effet Joule au cours de la décharge du condensateur s'écrit Z + Z + q10 2 Q= R i2 (t) dt = e-2t/ dt R C1 2 0 0 Par conséquent, Q= q10 2 C2 2(C1 + C2 ) C1 Tout d'abord, constatons que l'énergie dissipée ne dépend pas de R, ce qui n'a rien d'évident a priori puisque l'effet Joule est justement conditionné par l'existence d'une résistance dans le circuit. Ici, l'augmentation de R entraîne une « diminution » de i et on constate qu'au final ces deux effets opposés se compensent. On peut également faire le rapprochement avec l'énergie manquante calculée à la question précédente : on retrouve Wf - Wi = -Q ; ainsi, la prise en compte de la résistance des fils permet d'expliquer le phénomène. Pourtant, cela ne résout pas vraiment le problème initial, puisque l'effet existe même dans un circuit ne comportant aucune résistance. Il faut donc chercher ailleurs !