Mines Physique 2 MP 2002

Thème de l'épreuve Particule dans un champ magnétique. Machine perpétuelle.
Principaux outils utilisés mécanique du point, magnétostatique, électromagnétisme
Mots clefs mouvement perpétuel

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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J. 2071 ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ' DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2002 SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE Filière MP (Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé) Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, TPE-EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE Il --Filière MP L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, comporte 6 pages. 0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. 0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même S'il n'a pas été démontré. . Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. - Les vecteurs sont notés en gras. L'épreuve comprend deux problèmes indépendants, que l'on pourra traiter dans l'ordre de son choix. Le premier problème concerne la trajectoire de particules chargées dans un champ électromagnéti-- que ; le second problème concerne un moteur perpétuel, autrement dit un paradoxe. Premier problème : Particule dans un champ électromagnétique Convention : On conviendra de noter B et de nommer champ magnétique le champ qui, en toute rigueur, se nomme champ d'induction magnétique. I--1 Champ magnétique uniforme et constant Cl 1 -- Établir et décrire la trajectoire non relativiste d'une particule de masse m et de charge positive q dans un champ magnétique B uniforme et constant, définissant l'axe Oz . . . . B attaché à un référentiel gahléen. On mtrodu1ra la pulsation cyclotron @ = q-- . m Cl 2 ---- Expliquer pourquoi, en mécanique newtonienne, les forces sont indépendantes du référentiel galiléen d'étude que l'on choisit. Cl 3 -- Un référentiel galiléen Rest en translation uniforme avec la vitesse VEUR par rap-- port à un référentiel galiléen 5. On note ER et B,R (respectivement ES et B5) les champs élec-- trique et magnétique, l'un et l'autre uniformes et constants, mesurés dans le référentiel R (respectivement 53. On suppose que la formule donnant la force agissant sur la particule, Page 1/6 Tournez la page S.V.P. Physique Il -- Filière MP - 2002 F = q E + q V /\ B, reste vraie dans tout référentiel galiléen. Établir alors : BR= B5 et ER= ES + v, /\ BS... Cl 4 -- Les champs Eç et B5 sont orthogonaux. À l'instant initial, la vitesse de la parti-- cule dans 5 est nulle. Montrer, en choisissantjudicieusement le référentiel galiléen d'étude, que la trajectoire de la particule est celle d'un point fixé sur un cercle qui roule sans glisser sur une droite, en restant dans un plan fixe. Nommer cette trajectoire. Cl 5 -- Dans ce dernier référentiel, établir l'expression de la vitesse maximale de la par- ticule et celle de la distance maximale qu'elle parcourt dans la direction des lignes de champ, électrique. Tracer l'allure de la trajectoire. I-2 Champ magnétique uniforme dans l'espace et variable dans le temps On introduit une particule (m, q) dans une région où règne le champ uniforme B(1) , définis- sant la direction Oz. La vitesse v de la particule est dans le plan passant par l'origine O, per- pendiculaireà B. On note v = "V" et B = "B " ; ces deux dernières grandeurs dépendent du temps. Les variations du champ B sont suffisamment lentes pour que, à un instant donné, la trajectoire puisse être considérée comme circulaire, de période de révolution T. On se pro-- pose d'abord d'exprimer dans ces conditions le champ électrique E associé aux variations temporelles de B. D 6 --Première méthode : on admet que ce champ électrique, possédant la symétrie cylindrique, est orthoradial ; trouver alors sa mesure algébrique sur le vecteur unitaire 119. Si B pointe vers les 2 positifs et si sa norme augmente avec le temps, une particule de charge électrique positive sera-t-elle accélérée ou ralentie par la force associée au champ E '? E] 7 -- Seconde méthode : vérifier que le champ magnétique à l'instant tet au point r 1 peut être décrit par le potentiel vecteur A(r,t) = --2-B(t) /\ I'. En admettant que le potentiel scalaire soit nul, exprimer le champ électrique E associé au potentiel vecteur choisi. Cl 8 -- Exprimer le rayon R du cercle trajectoire en fonction de v , B, m et q. Cl 9 ---- Établir que l'énergie cinétique Ec(t) de la particule est proportionnelle à B(t) . Pour établir ce résultat, il sera commode de considérer les équations du mouvement de la particule chargée, soumise au champ électromoteur E... = E + V /\ B. On notera M le coeffi- cient de proportionnalité : Ec(t) = MB(t ). E] 10 -- Montrer que le moment magnétique M équivalent à la charge en mouvement est constant. E] 11 -- Préciser la formulation << variations suffisamment lentes >> en terme d'une iné- ? dB galité faisant intervenir B, T et -d-t-- . D 12 -- Les questions précédentes ont montré que le champ E dépendait lui aussi du ÔE , _ _ _ ] ÔE . temps, 37 n est pas 1dent1quement nul ; or, la relation r0t(B) = --25 force la conclusron c que, le champ B étant homogène dans l'espace, le champ E ne saurait dépendre du temps. Quelle est l'origine de cette contradiction ? comment la résoudre '? Page 2/6 Physique ll -- Filière MP -- 2002 1--3 Champ magnétostatique non uniforme : miroirs magnétiques Cl 13 -- Quelques lignes d'un champ magnétostatique pos- sédant la symétrie de révolution autour de l'axe 02 sont A représentées Fig. 1. On suppose que B__ est positif et que Q ses variations spatiales sont lentes (cette dernière » ' hypothèse servira en temps utile) ; le champ est-il plus intense en A ou en Q ? D 14 -- Établir l'expression de la composante radi-ale du Fig. ] : Lignes de B 83 A: dans un plan méridien champ, B, , en supposant -- indé pendant de la coordon-- 82 née cylindrique radiale r (ce qui est acceptable au voisinage de l'axe). On pourra, par exem- ple, utiliser l'expression de la divergence du champ en coordonnées cylindriques : div(B)=%£(rg,)+_--+=. Cl 15 --Montrer que la composante F de la force de Lorentz qv /\ B s'exerçant sur une particule animée d'un mouvement hélicoïdal de vitesse v = v9u9 + v__u_, v autour de l'axe Oz dB, dv s'écrit F_ =--,u--"- : m--" , où u, posrt1f, s'exprime en fonction de m, |ve | et B:. En " BZ dt coordonnées cylindriques, ur /\ "a = u:, u: /\ ur = ue et ue A u: = u,... d Cl 16 -- Montrer que y est une intégrale première du mouvement : --fi = 0. On pourra dt pour ce but considérer que la coordonnée radiale est essentiellement constante sur une trajectoire (u,, = O). [117 -- Quel est le lien entre le # des questions 15 et 16 et le M de la question 10 '? Cl 18 -- Expliquer sous quelles conditions des particules peuvent être réfléchies par les régions de fort champ magnétique, comme par un miroir. Cl 19 -- Une particule est lancée du point Q avec une vitesse VU faisant l'angle a avec l'axe Oz et de composante radiale nulle. Cette particule se réfléchit en un point où la norme du champ est BM. Calculer, en fonction de BM et de BQ = B(Q) l'angle limite % à partir duquel la particule est réfléchie par le miroir magnétique. Les particules sont-elles réfléchies pour un angle supérieur ou inférieur à OCL '? tube deflux. Un tube de flux est une surface engendrée par les lignes de @ Cl 20 -- Montrer que la trajectoire d'une particule décrit la paroi d'un ; champ s'appuyant sur un contour fermé simple. E] 21 --Décrire l'évolution d'une particule chargée venant du Soleil et captée par le champ magnétique terrestre, qui est un champ dipolaire. El 22 -- Donner les idées générales du mécanisme des aurores polaires. FIN DE CE PROBLÈME Page 3/6 Tournez la page S.V.P. Physique Il ---- Filière MP -- 2002 Second problème : Un moteur perpétuel ? L'idée de base : Le dessin de la Fig. 2 représente une proposition de moteur perpétuel. Tous les éléments en sont plongés dans un liquide incompressible. Un ressort relie le piston P au fond de chaque godet G. Il n'y a ni viscosité, ni frottement, ni quoi que ce soit de dissi- patif dans ce dispositif. La << force d'Archimède >> est proportionnelle au volume de la cham- bre C (où règne le vide). Le volume total des chambres à gauche (Partie 1 du dispositif décrit par la Fig. 2) est supérieur au volume total des chambres à droite (Partie 2). Le dispositif tourne « donc » dans le sens des aiguilles d'une montre. Zl.max Partie 1 Partie 2 Partie 4 Fig. 2 : projet de moteur perpétuel seuls quelques godets ont été représentés Notations, hypothèses : Une courroie très longue est tendue entre deux poulies circulai-- res de centres respectifs l et J, d'axes perpendiculaires au plan de la figure et tournant sans frottement. Les supports des forces de contact passent de ce fait par l'un ou l'autre des cen- tres, I ou J. Des godets cylindriques identiques sont régulièrement répartis sur la courroie, à raison de n godets par unité de longueur. Chaque godet est fermé par un piston étanche, d'épaisseur négligeable, coulissant sans frottement, d'aire S et de masse m. Un ressort de raideur k, de longueur variablex et de longueur à vide x0 relie chaque piston au fond du godet qu'il obture : chaque piston est soumis à la force F = ----k(x -- XO) . La longueur d'un ressort comprimé au maximum sera traitée comme nulle. On note dla distance entre la droite Il et l'axe des godets. Le tout est immergé dans un liquide incompressible et non visqueux, de masse volumi- que p. Le rayon des poulies est suffisamment petit devant la hauteur de l'ensemble, et la masse volumique du fluide est suffisamment petite, pour que l'on puisse négliger Page 4/6 Physique Il -- Filière MP - 2002 la variation de pression sur une distance égale au diamètre d'une poulie. On conviendra que la pression est nulle sur l'horizontale passant par ] (pression de référence). Hormis celles des pistons et du liquide, toutes les autres masses (poulies, godets etc.) seront traitées comme nulles. Chaque piston est repéré par sa profondeur z, comptée positivement vers le bas (2 :D en 1). On nomme n (Fig. 3) le vecteur unitaire normal au plan de la figure. On note enfin g l'intensité du champ de pesanteur. Le dispositif est artificiellement découpé en quatre parties (Fig. 2), numérotées l, 2, 3 et 4 et limitées par la droite portant le segment IJ et les deux horizontales passant par I et par J. II--l Étude de la partie 1 et de la partie 4 z=0, P(0)=0 Cl 21 -- Supprimons provisoirement la poulie inférieure et """""" ° ' supposons équivalent de la remplacer (Fig. 3) par deux brins (l) et (2), de longueurs égales, se terminant, sans êtrejoints, par deux ... (2) masses égales, assurant la tension de la courroie. En exprimant t\\ \\t _______ @ l'équilibre d'un piston situé à la profondeur z dans la partie l, éta-- :, P(;) n blir la relation mg pgSz Fig. 3 .' modélisation du x = x0 + T _ k ' mouvement vertical El 22 ---- Calculer la profondeur, Z au-delà de laquelle tous l,max ' les pistons sont plaqués sur le fond. Cl 23 -- La poulie du bas est en fait située à une profondeur telle que tous les pistons dans son voisinage sont calés au fond de leurs godets respectifs. Justifier dans ces conditions la modélisation illustrée dans la Fig. 3. El 24 -- Exprimer M, , moment par rapport au point 1 des forces de poussée agissant sur un piston situé à la profondeur 2. E] 25 ---- Calculer , valeur moyenne de M1 entre Z = 0 et Z = Z on supposera l,max ' les pistons suffisamment proches les uns des autres pour que le calcul puisse se faire par intégration. Cl 26 -- Calculer M(l), moment résultant pour l'ensemble des pistons de la partie ], sachant qu'il y en a H par unité de longueur. II-2 Étude dela partie 2 Cl 27 -- Calculer la longueur x du ressort dont le piston est à la profondeur 2. E] 28 -- Calculer la profondeur, z 271... , au--delà de laquelle tous les pistons sont plaqués sur le fond. Cl 29 -- Exprimer M2, moment par rapport au point 1 des forces de poussée agissant sur un piston situé à la profondeur 2. Calculer , valeur moyenne de M2 entre Z =() et Z : Z . Calculer M(2), moment résultant pour l'ensemble des pistons de la partie 2. 2, m ax Cl 30 ---- Commenter brièvement la manière dont on passe des résultats de la partie Il-l à ceux de la partie II-2. Page 5/6 Tournez la page S.V.P. Physique ll -- Filière MP -- 2002 II-3 Bilan des parties 1 et 2 Cl 31 -- Vérifier que le moment résultant des parties 1, 2 et 4 a pour mesure M12=--2nmgdxû. II--4 Étude de la partie 3 E] 32 -- Les notations étant celles de la figure 2, déterminer x(O£) caractérisant l'équilibre du piston. On supposera que ce dernier reste dans une région de pression nulle. Cl 33 -- En déduire l'expression M3 du moment par rapport au point I du poids du pis-- . 7Z' 72." ton, puis sa valeur moyenne < M_;> pour ---- S 06 S --. 2 2 E] 34 -- En déduire le moment total pour n pistons par unité de longueur. II-5 Bilan Cl 35 -- L'étude qui précède devrait rassurer sur les potentialités du dispositif comme moteur perpétuel. Commenter, voire critiquer les hypothèses, explicites ou implicites, du modèle que nous venons d'étudier. Y a--t-il un principe physique interdisant l'existence d'un mouvement perpétuel '? FIN DE CE PROBLÈME FIN DE L'ÉPREUVE Page 6/6

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 Mines Physique 2 MP 2002 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Stéphane Plat (Centrale Paris) ; il a été relu par Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (ENS Lyon). L'épreuve se compose de deux problèmes indépendants et de longueurs inégales. · Le premier problème, le plus long, étudie la trajectoire d'une particule chargée dans un champ électromagnétique. Il fait appel à des connaissances de mécanique du point et d'électromagnétisme. Dans la première partie, le champ est uniforme et constant ; dans la deuxième, il varie dans le temps, alors que dans la troisième, il varie dans l'espace. Ce problème est intéressant dans la mesure où il explore toutes les façons de déplacer une particule dans un champ magnétique. De ce fait, il constitue une excellente révision du chapitre correspondant. · Le second problème étudie le fonctionnement d'une machine « perpétuelle ». Il nécessite des connaissances de mécanique. Avant de le commencer, il faut lire l'énoncé très attentivement pour bien comprendre le fonctionnement de la machine et les hypothèses du problème. Il ne faut pas hésiter à faire des dessins pour faciliter les calculs de moments. Indications Premier problème 1 Utiliser le principe fondamental de la dynamique. Sur le système couplé obtenu, appliquer la méthode de dérivation/substitution. 2 Écrire la définition du mouvement relatif de deux systèmes galiléens et son implication dans les accélérations. 4 Choisir un référentiel galiléen R tel que le champ électrique y soit nul. Pour vérifier le roulement sans glissement, il faut vérifier que ce référentiel parcourt sur une période la même distance par rapport à S que la particule dans R. 6 Intégrer l'équation de Maxwell-Faraday à l'aide du thérorème de Stokes sur une surface bien choisie. - - 7 Utiliser la relation entre E et A . 8 Utiliser le repère de Frenet et projeter le principe fondamental de la dynamique - sur un axe bien choisi (il ne faut surtout pas oublier E ). 9 Même principe que pour la question précédente mais il faut choisir un autre axe, puis intégrer l'équation obtenue. dq . 10 Revenir à la définition du moment magnétique puis se souvenir que I = dt - - 12 Visiblement rot B n'est pas nul mais peut-être est-il négligeable. . . Introduire la - distance caractéristique D et le temps caractéristique de variation de B pour le montrer. 13 Utiliser le fait que, par définition, le flux le long d'un tube de champ est constant et en déduire B. - 15 B est nul par symétrie. Calculer Fz directement puis trouver une relation entre v et r en s'inspirant de la question 8. 16 Appliquer le théorème de la puissance cinétique. 17 Montrer que les deux résultats ont la même origine physique à un changement de référentiel près. 19 Intégrer le principe fondamental de la dynamique démontré à la question 15. 20 Montrer que le flux du tube auquel appartient la particule, est constant. Second problème 23 Comme tous les godets sont au fond, il y a invariance par symétrie pour tous les godets à partir d'une certaine profondeur. 31 Faire attention à l'erreur de signe dans le résultat proposé. Premier problème Particule dans un champ électromagnétique I-1 Champ magnétique uniforme et constant - - 1 La particule est soumise à la seule force magnétique F = q - v B . On applique le principe fondamental de la dynamique à la particule (dans le référentiel galiléen du problème et en choisissant le repère proposé par l'énoncé) : - - d- v = F = q- v B m dt Le poids est négligeable devant la force électromagnétique pour une particule chargée, c'est pour cela que l'on n'en a pas tenu compte dans l'écriture du principe fondamental de la dynamique. d- v qB - ) = ( v - u z dt m Or - - - - - (vx - u x + vy uy + vz uz ) uz = -vx uy + vy ux d- v +v - = c (-vx - u y y ux ) dt Puis - En projetant v sur Oz, puis en intégrant, on obtient : puis z = 0 donc z = Cte = vz0 z = z0 + vz0 t - En projetant v sur Ox et Oy, il vient : ( vx = c vy vy = - c vx En dérivant la première équation par rapport au temps et en utilisant la seconde, on obtient : vx = c vy = - c 2 vx La solution de cette équation différentielle est de la forme : vx = A cos( c t) + B sin( c t) . On a donc : On choisit l'axe Ox de telle sorte que v0 = vx0 - ux + vz0 - u z vx (0) = vx0 d'où Comme vy = et vx (0) = c vy0 = 0 vx = vx0 cos ( c t) vx , on a : c vy = -vx0 sin ( c t) Puisque x = vx et y = vy , en supposant que la particule est en (0, vx0 /c , z0 ) à t = 0, il vient finalement x= vx0 sin( c t) c y= vx0 cos( c t) c et z = z0 + vz0 t La particule décrit un mouvement hélicoïdal uniforme, d'axe Oz, de rayon R, de période T et de pas z = z(t + T) - z(t) caractérisés par : R= p |vx0 | x2 + y 2 = c T= 2 R 2 = |vx0 | c et z = vz0 T = 2 vz0 c On pourrait résoudre le système d'équations différentielles couplées en passant par la notation complexe Z = x + i y. Le système d'équations différentielles s'écrit alors : vx Z = -i c Z avec Z (0) = vx0 et Z(0) = i 0 c On obtient après intégration, vx vx Z(t) = - 0 exp (-i ct) = 0 (sin( c t) + i cos( c t)) i c c On retrouve bien le même résultat. On pourrait aussi considérer que le mouvement est la composée d'un déplacement à la vitesse vz0 et d'un mouvement caractérisé par la vitesse vx0 - ux - qui est orthogonale à B à l'instant initial. On montre alors que le mouvement est la composée d'une translation rectiligne uniforme à la vitesse vz et d'un mouvement circulaire uniforme (on retrouve le rayon à l'aide de la projection dans le repère de Frenet). En tout point de l'hélice, l'inclinaison de la trajectoire par rapport à Oz reste constante : vz cos = 0 v0 2 Soient deux référentiels galiléens R1 et R2 . Ils sont par définition en translation rectiligne l'un par rapport à l'autre : - v1 = - v2 + - v0 (avec - v0 vecteur constant) Comme la dérivée temporelle de - v est nulle, on en déduit l'égalité des accélérations 0 dans les deux référentiels : - a1 = - a2 On écrit le principe fondamental de la dynamique dans les deux référentiels en notant - - F1 et F2 les forces dans chaque référentiel. Il vient : - - - F1 = m a1 = m - a2 = F2 - La résultante F des forces subies par la particule en M est donc indépendante du référentiel galiléen d'étude que l'on choisit.