Mines Physique 2 MP 2000

Thème de l'épreuve Impact d'une comète sur la Terre; guide d'ondes avec une couche isolante
Principaux outils utilisés mécanique, thermochimie, ondes électromagnétiques

Corrigé

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11111. A 00 PHYS. Il ECOLE NATIONALE DES PONTS ET cmussEEs, ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNÏCATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2000 SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE Filière MP (Durée de l'épreuve : 3heures ; l'emploi de la calculatrice est autorisé) Sujet mis à disposition des concours ENSAE (Statistique), ENSTflVI, INT, TPE-EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE Il -MP L'énonce' de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, comporte 6 pages. 0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. - Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s'il n'a pas été démontré. . Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. L'énoncé de cette épreuve comporte deux problèmes totalement indépendants. Premier problème L'EXTINCTION DES DINOSAURES Les données numériques nécessaires à la résolution du problème sont présentées au fitr et à mesure de l'exposé des questions ; la lecture de la totalité des questions qui précèdent est donc nécessaire à la résolution de chacune des questions posées. Cependant, de nombreuses questions sont indépendantes les unes des autres : il est possible de répondre à certaines questions sans avoir nécessairement résolu toutes celles qui les précèdent. Il y a de cela environ 65 millions d'années, les dinosaures et de nombreuses autres espèces vivantes, terrestres et aquatiques, animales et végétales, ont été victimes d'une extinction massive et brutale (événement K/T, à la limite des périodes crétacée (K) et tertiaire (T)). Parmi les diverses hypothèses proposées, celle qui recueille à l'heure actuelle le plus de suffrages dans la communauté scientifique est celle de l'impact d'une comète à la surface de la Terre. Ce problème examine quelques-uns des aspects de la description mécanique et énergétique d'un tel impact. Première partie -- Les mouvements cométaires Un ensemble d'astéroïdes de faible dimension se trouve vraisemblablement réparti, dans le système solaire, à grande distance du Soleil (au-delà de l'orbite de Pluton). La masse totale de ces astéroïdes (nuage de Cort) représente environ le tiers de la masse totale des neuf planètes et de leurs satellites. Lorsqu'un de ces astéroïdes est suffisamment dévié de sa trajectoire quasi-circulaire par l'effet gravi- tationnel d'autres astéroïdes et planètes pour s'approcher à très courte distance du Soleil, il prend le nom de comète. Nous étudions ici les caractéristiques du mouvement d'une comète hypothétique, qui pourrait, à cer- tains égards, ressembler à celle qui fut peut--être responsable de l'événement K/T . Page 1/6 Tournez la page S.V.P. Comète - Guidage Cette comète C, de masse m = 2,5 1015 kg, est considérée comme sphérique, de rayon rc = 104 m ; sa trajectoire autour du Soleil est une ellipse très allongée. La comète C est aussi caractérisée par une distance maximale au Soleil d,... = 5 104 a, où a = 1,5 10... m est le rayon de la trajectoire (supposée circulaire) terrestre autour du Soleil (a est appelé unité astro-- nomique). Elle est enfin caractérisée par une période de mouvement notée T. On note To la période du mouvement terrestre autour du Soleil. 1. Déterminer numériquement la vitesse vo de la Terre sur son orbite circulaire autour du Soleil. 2. On note G la constante de la gravitation universelle et Ms la masse du Soleil. Exprimer le pro- duit G Ms en fonction de vo eta. 3. La distance minimale de C au Soleil est notée d...,. Exprimer, en fonction de d...", d......, a et vo, les vitesses maximale vmax et minimale v...... de C sur son orbite. On pourra utiliser des relations de conservation. 4. Quelle relation doivent vérifier d...... et a pour qu'un impact de C sur la surface de la Terre puisse être envisagé ? En déduire une évaluation numérique de la plus petite valeur possible pour v,.... 5. On choisira dans la suite d...... E a. Quelles sont les valeurs extrêmes possibles de la vitesse relative de la Terre et de C (vitesse d'impact) au moment du choc de C sur la Terre ? Deuxième partie -- L 'imgact L'hypothèse d'un impact de comète a été avancée pour la première fois à la suite de la mise en évi- dence d'une couche, déposée sur toute la surface de la Terre (considérée comme une sphère de rayon RT = 6,4 106 m) de quelques millimètres d'épaisseur, contenant de l'Iridium (métal lourd et non radio-- actif) en proportion anormale. La couche (dite K/T) ainsi mise en évidence est actuellement enfouie sous des sédiments plus récents. Elle contient une masse totale d'Iridium estimée à 5 108 kg. La pro- portion usuelle d'Iridium en masse dans la croûte terrestre est de l'ordre de 10"'°. 6. Par quelle(s) méthode(s), peut-on, à votre avis, déterminer des proportions aussi faibles que celles qui sont citées ci-dessus ? 7. La masse volumique moyenne de la terre est pT = 5,5 103 kg.m". Comparer les proportions d'Iridium dans la couche K/T et dans le reste de la croûte terrestre. Conclure, sachant que la proportion d'Iridium en masse dans les astéroïdes et les comètes est quelques dizaines à quel- ques centaines de fois plus élevée que dans la croûte ter- ; restre. ' ' Au moment de l'impact, nous considérerons que la trajec- toire de la comète C parvient sur la Terre selon une trajec- toire verticale, avec une vitesse (relativement au sol terres- atmosphère tre) égale à v; = 2 104m.s'1, qui reste pratiquement cons- tante pendant la traversée de l'atmosphère, au-dessus de la mer où l'impact a eu lieu. Lors de sa descente dans l'atmosphère, la comète expulse la totalité de l'atmosphère dans une colonne cylindrique de rayon rc. EZ;Z;Z;ZZËZ;ZZZZ;Z;Â 8. Déterminer la masse de cette colonne d'air, sur la hauteur totale de l'atmosphère. La pression atmosphérique _ n?er peurs" Page 2/6 . Physique Il ; année 2000 ; filière MP au sol est Po = 105 Pa et l'accélération de la pesanteur au sol est g = 9,8 m.s'2. La hauteur totale de l'atmosphère, h, est de l'ordre de la centaine de kilomètres (h : 6 ><104 m). On considérera que l'intensité et la direction du champ de pesanteur sont constants sur cette distance. 9. La variation relative de la vitesse de la comète à l'issue de sa traversée de l'atmosphère est inférieure de 1 % à ce qu'elle serait en l'absence d'atmosphère. Comparer la variation de l'énergie cinétique de la comète, lors de cette même traversée, et la variation de son énergie potentielle de pesanteur. En déduire, en considérant le transfert d'énergie de la comète à l'air expulsé au cours de sa descente, que la vitesse des molécules d'air au moment où elles quittent cette colonne cylin-- drique est de l'ordre de grandeur de vl. 10. En déduire l'énergie cinétique communiquée par la comète à l'atmosphère; comparer à l'énergie cinétique initiale de la comète. Conclure. La partie de la mer peu profonde (profondeur de l'ordre de100 m) située sur la trajectoire de la comète est instantanément vaporisée et expulsée par la traversée de la comète. 11. La masse volumique de l'eau liquide est po = 103 kg.m'3 ; l'enthalpie de vaporisation massique de l'eau est L = 2,3 106 J.kg". Déterminer l'énergie communiquée par la comète à l'océan ; comparer à l'énergie cinétique initiale de la comète. Conclure. Troisième partie -- Les retombées de l 'imgact On considère qu'après l'impact, environ 90 % de l'énergie cinétique de la comète sont convertis en émission de projectiles divers. Après être remontés à travers la colonne de vide créée par la chute de la comète, ces projectiles se répartissent de façon quasi-uniforme sur toute la surface de la haute atmos-- phère, à une altitude de l'ordre de h = 6 104 m. La combustion de ces projectiles lors de leur retombée convertit la totalité de l'énergie cinétique en énergie thermique. La durée totale de la combustion est estimée à une heure. 12. Déterminer la puissance totale ainsi rayonnée par la haute atmosphère, et la puissance par unité de surface @ correspondante. 13. On souhaite comparer cette puissance $ au flux solaire moyen «p,. Pour déterminer celui-ci, on assimilera le Soleil à un corps noir sphérique de rayon R, = 7 108 m, dont la température de surface est de l'ordre de T, = 5,7 103 K. Déterminer le flux solaire moyen cp. reçu à la surface de la haute atmosphère terrestre, à la distance a du Soleil. On rappelle la valeur de la constante de Stefan, (: = 5,67 10" W.m".K"'. Comparer q) et cp,. Conclure. 14. Comparer encore la puissance totale due à la combustion et la puissance (que vous estimerez) correspondant à un réacteur (une tranche) de centrale nucléaire de production d'électricité. Conclure à nouveau. 15. La température d'équilibre T, à la surface du sol (en négligeant le rayonnement solaire, obs- 1 Z curci par les retombées de l'impact) peut être évaluée par la relation 7; == (2l) (1+ î%Ï--). O' Justifier cette relation. Évaluer T e ; conclure. FIN DE CE PROBLÈME page 3 /5 Tournez la page S.V.P. Comète - Guidage Second problème ONDES GUIDÉES EN SURFACE Les ondes électromagnétiques sont susceptibles de se propager dans divers milieux. Ce problème présente une étude du phénomène de guidage d'ondes électromagnétiques entre deux plans ; cepen- dant, il ne s 'agit pas ici de plans métalliques, mais de plans de discontinuité des propriétés électri- ques des matériaux utilisés. Les vecteurs seront notés par des caractères gras (exemple : E). Les vecteurs unitaires du système d'axes orthonormé (Oxyz) seront notés u,, uy et u,. On rappelle les valeurs numériques de la célérité de la lumière dans le vide c = 3,00 108 ms" et de la perméabilité magnétique du vide tu; = 4 TE lO'7 Hm". On rappelle aussi que rot rot U = grad div U - AU, pour toute fonction vectorielle U. Première partie -- .Milieux conducteurs Nous étudions dans cette partie un milieu décrit par les équations de Maxwell relatives au vide, carac- térisé par la densité volumique de courant j et par une densité volumique de charge nulle : p = O. 16. Expliquer en quoi est généralement fausse l'affirmation « Ce milieu ne comporte pas de char- ges, donc le courant électrique y est nécessairement nul ». 17. Écrire les équations de Maxwell vérifiées par le champ électromagnétique (E, B) dans ce mi- lieu. Le milieu étudié sera provisoirement considéré comme un milieu conducteur ohmique, de conductivité 7. Les champs étudiés (E, B, j) sont harmoniques de pulsation a). 18. Quelle approximation classique peut-on faire dans les équations de Maxwell, pour les bons conducteurs ? On discutera des limites en fréquence de cette approximation dans le cas du cui-- vre (y = 5,7 107 Sm") et du silicium (y = 3 >< 10'4S.m"). Conclurc, sachant qu'on limitera la suite de l'étude à des ondes de fréquence inférieure à IGHZ. 19. Déterminer, pour un bon conducteur, l'équation vérifiée par le champ électrique E seul ; on . . 2 l'écr1ra en fonction de la grandeur 5 = l . llon 20. Montrer que, dans un milieu bon conducteur occupant l'espace x > O, invariant par translation dans le plan (Oyz), un champ électrique de la forme : E(x,t) = E0 exp{i(oe1 _ %)] exp(_%) est la seule solution des équations de Maxwell compatible avec la géométrie du problème. Commenter ; conclure, numériquement, dans le cas du cuivre à 1MHz. 21. Qu'appelle-t-on approximation des conducteurs parfaits ? Page 4/6 Physique 11 ; année 2000 ; filière MP Seconde artie -- Ondes de sur ace L'espace contient trois régions distinctes (cf. fi- gure) ; la région I (x > a > O) est vide ; la région I I (0 < x < a) est constituée d'une mince couche de milieu isolant, et la région III (x < 0) est constituée d'un métal parfait). Dans le métal, le champ électromagnétique est nul. Dans le vide, les densités volumiques de charge p et de courant j sont nulles. On admet que, dans la Disposfifguidanî région isolante, le champ électromagnétique véri- fie les équations de Maxwell modifiées : divE=0 rotE=--a--B ôt div B = 0 rotB : e,poeo aa--IÎ où la permittivité relative du, diélectrique EUR, est un nombre réel supérieur à 1. On étudie la propagation dans ces trois régions de l'espace d'une onde électr'omagnétique dont le champ magnétique, porté par le vecteur unitaire uy s'écrit B : Bo(x)uy exp[i(æt -- kz)] et l'on cherche le champ électrique sous la forme E : E0 (x) exp[ i(cot -- kz)] Les constantes &) et k ont la même valeur réelle positive dans les trois milieux, tandis que la fonction Bo(x) et les trois composantes E0x(X), Eoy(x), Eo,(x) de Eo(x) sont des fonctions de x seulement, avec des expressions différentes dans les trois milieux I, I I et I I I. 22. Exprimer les diverses composantes de Eo(x) en fonction de a), k, Bo(x) et de ses dérivées, et des constantes qui caractérisent le problème, dans la région II. En déduire les relations analogues s'appliquant dans la région I. 23. Déterminer, dans les régions I et II, les équations différentielles vérifiées par la fonction Bo(X). 24. On cherche une solution des équations de Maxwell (dite onde guidée en surface) telle que l'amplitude du champ magnétique est une fonction exponentielle réelle de x dans le milieu I et une fonction sinusoïdale de x dans le milieu II. On notera ces fonctions BI exp (- ax) et En cos (B x + d)) respectivement. À quelle condition (portant sur k, a), c et e,) une telle onde existe-t--elle ? Déterminer alors a et ,B et montrer la relation (RI) : 2 a2 + [32 = %(e -- 1) (R1) 0 25. Expliquer l'analogie et les différences entre le dispositif présenté ici et les guides d'ondes à parois métalliques étudiés dans le cadre du cours. Troisième partie -- Relations de passage et modes du gyide d'ondes À la surface de séparation de deux milieux matériels (vide, métal parfait ou isolant), on admettra que les relations de passage du champ électromagnétique sont les mêmes que celles qui sont étudiées dans Page 5/6 Tournez la page S.V.P. Comète - Guidage le cadre du cours pour ce qui concerne les deux composantes (normale et tangentielle) du champ magnétique et la seule composante tangentielle du champ électrique. En revanche, la relation relative à la composante normale du champ électrique ne se généralise pas ici. On n'étudiera donc pas l'éventuelle discontinuité de cette composante normale dans la suite. D'une façon générale, l'écriture des relations de passage aura pour but de relier les expressions des champs de part et d'autre des surfaces x = 0 et x = a ; on ne cherchera pas à déterminer les expressions des éventuelles densités surfaciques de charge ou de courant. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. Expliquer pourquoi la fonction Bo(x) est continue de part et d'autre de la surface x = a. Exprimer une relation de passage à la surface x = 0 permettant d'obtenir la valeur de «p. Exprimer de même des relations de passage àla surface x = a. Montrer qu'il n'existe pas de solution de la forme demandée (onde de surface) pour certaines valeurs de (Ba). On supposcra bien sûr dans la suite que la solution cherchée existe. Établir la relation (R2) : fitan(fla) = e,a. Pour résoudre le système d'équations formé de (R1) [question (24)] et (R2), on pourra utiliser une méthode graphique, en posant X = /3a et Y = aa. Il n 'est pas nécessaire de disposer d'une calculette graphique, ni même d 'une calculette très performante, pour venir à bout des calculs numériques nécessaires, qui sont simples. Montrer que les solutions de ces équations sont en nombre fini, ce nombre dépendant de la pulsation w. On pourra remarquer que les zéros de la fonction X ---> X tan(X) sont les mêmes que ceux de la fonction X ---> tan(X). Chaque solution porte le nom de mode du guide. Définir et déterminer la pulsation de coupure a),, du mode numéro n. Expliquer l'analogie avec les modes d'un guide d'ondes à parois métalliques. FIN DE CE PROBLÈME FIN DE L'ÉPREUVE Page 6/6

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 Mines Physique 2 MP 2000 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Nancy Loosemore (ENS Lyon) ; il a été relu par JeanDavid Picon (École Polytechnique) et Jean-Yves Tinevez (ENS Lyon). Le sujet se divise en deux problèmes indépendants, tous deux se subdivisant en trois parties, dont presque toutes peuvent être traitées séparément. Le premier problème étudie l'impact d'une comète sur la Terre. Une section utilise les notions de forces centrales ; elle concerne le mouvement de la Terre et de la comète avant la collision. La suite fait intervenir de la mécanique plus générale, ainsi que quelques notions de thermodynamique. On y étudie la descente de la comète à travers l'atmosphère, puis les conséquences pour le bilan énergétique de la surface de la Terre. Le second problème porte sur les ondes électromagnétiques. Après avoir étudié les milieux conducteurs, le sujet se tourne vers l'étude d'un guide d'ondes, qui diffère des guides d'ondes « classiques » par l'existence d'une couche isolante entre métal et vide. On utilisera ici les relations de passage des champs à la surface de séparation entre les milieux. Indications Premier problème 3 Utiliser la conservation de l'énergie, la conservation du moment cinétique bien entendu, ainsi que le fait qu'aux points dmin et dmax , on a r = 0. C'est-à-dire que la vitesse est orthoradiale... Ceci donne deux équations contenant v min et v max . 5 L'obtention de la vitesse relative nécessite de considérer la direction des mouvements de la Terre et de la comète. 7 Estimer la masse de la couche dans laquelle se trouve la concentration la plus élevée d'iridium. 8 C'est le poids de cette colonne d'air qui génère la pression P0 à la surface de la Terre. 9 Bien noter toutes les variables du problème en distinguant les deux cas : avec et sans atmosphère. Pour estimer la différence de variation d'énergie cinétique et potentielle, il faudra entre autre calculer la vitesse de la comète et de la surface de la Terre, dans le cas sans atmosphère, estimer la masse de l'atmosphère, ainsi que relier G à g pour obtenir une valeur numérique de G, non fournie par l'énoncé. 12 On parle ici de la puissance par unité de surface au niveau de la haute atmosphère. 14 Essayer d'estimer l'ordre de grandeur. 15 Effectuer un bilan énergétique pour la surface de la Terre. Attention au fait que la puissance rayonnée par le projectile n'est pas entièrement dirigée vers le sol. Second problème 18 Un bon conducteur a une conductivité élevée. On peut donc s'attendre à ce que - - - E 0 soit négligeable devant j . Reste à le vérifier en utilisant le fait que E est t harmonique... 19 Utiliser la formule du début avec trois des équations de Maxwell. - 20 Le champ électrique respecte les invariances de l'espace. De plus, sachant que E est harmonique, on pourra chercher les solutions sous la forme - - E (x, t) = E (x)eit . Il faut alors résoudre une équation du second ordre en x. - - E - - 22 peut être relié à E encore une fois. L'équation à utiliser est donc rot B = t - E r 0 µ0 . t 23 Se rappeler de la question 19. 24 Les équations de la question 23 étant de la forme B0 (x) + aB0 (x) = 0, discuter la forme des solutions en fonction du signe de a. 26 Le milieu II est un isolant. Il ne peut pas supporter de courant surfacique. 29 S'intéresser aux signes de et permet de conclure que les membres de droite des deux équations de la question précédente ont même signe... 31 Tracer les deux courbes. Celle en X tan X peut être faite très approximativement. Ceci permet de visualiser où se trouvent les solutions, en gardant à l'esprit les signes de et . 32 Le ne mode n'existe que si la pulsation est suffisamment élevée... Premier problème : l'extinction des dinosaures Première partie : mouvements cométaires 1 D'après l'énoncé, l'orbite de la Terre est supposée circulaire. La vitesse angulaire de la Terre est donc constante. Notons-la . On a les deux relations 2 v0 = a et = T0 Sachant que T0 = 365 jours, la vitesse vaut v0 = 3, 0 .104 m.s-1 2 Projetons la relation fondamentale de la dynamique radialement, sachant que la Terre n'est soumise qu'à l'attraction gravitationnelle du soleil. Puisque son orbite est supposée circulaire, son accélération radiale peut s'écrire ar = - v2 r Avec v = v0 et r = a ici, on obtient - soit v0 2 G MS MT = -MT 2 a a G MS = a v0 2 3 La conservation de l'énergie de la comète s'écrit 1 G MS m m v2 - = Cte 2 r v max correspond donc au point où la distance entre comète et soleil est minimale et v min au point où cette distance est maximale. Par conséquent, 1 G MS m 1 G MS m m v max 2 - = m v min 2 - 2 dmin 2 dmax (1) Une deuxième relation s'obtient à partir de la conservation du moment cinétique, qui est assurée ici parce que le système est un système à force centrale. Il vient m r2 = Cte Aux points où r = dmin et r = dmax , la vitesse de la comète est dirigée orthoradialement (en effet, par définition de ces points r = 0 donc v = r) et par conséquent v max = dmin max v min = dmax min