Mines Physique 1 MP-MPI 2023

A2023 --- PHYSIQUE I MP

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2023
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE I - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Physique I, année 2023 -- filière MP

Fonctions spéciales

Ce sujet comporte trois parties indépendantes.

Bon nombre de problèmes rencontrés en physique peuvent être résolus à l'aide de 
« fonctions
spéciales » . Ces fonctions définies mathématiquement sont implémentées dans de 
nombreuses
bibliothèques informatiques (comme scipy) et peuvent être utilisées aussi 
simplement qu'une
fonction sinus ou racine carrée qui sont elles aussi d'une certaine manière des 
fonctions spéciales
et tout aussi analytiques ...

On rencontre bien souvent des résolutions numériques de problèmes physiques 
alors que lutili-
sation de ces fonctions spéciales permet une résolution complète et analytique. 
Ce problème se
propose d'illustrer l'intérêt de ces « fonctions spéciales » .

I La fonction de W de LAMBERT

LA Tir d'un projectile sans frottements

Un projectile assimilé à un point matériel de masse m est lancé à partir À U, 5|
du sol en © avec une vitesse initiale t) EUR (O,ü,,,ü.) et faisant un angle
0, avec l'horizontale dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
D -- 1. Rappeler la définition d'un référentiel galiléen. Dans quelle me- A
sure le référentiel terrestre peut-il être supposé galiléen ? do
2 © > Sol
DJ -- 2. Etablir les équations horaires du mouvement. -- Uy

Montrer que le mouvement est plan.
FIGURE 1 -- Tir d'un

Q -- 3. Établir l'équation de la trajectoire. Quelle est la forme de la 
projectile

trajectoire ? Est-elle symétrique ?

J -- 4. Déterminer les coordonnées du sommet $ de la trajectoire. Définir la 
portée £ du tir et
établir son expression. Quel est l'angle 0, assurant un tir de portée maximale ?

LB Tir d'un projectile avec frottements

On considère maintenant que le projectile est soumis à une force de frottements 
proportionnelle
à la vitesse : f -- --av avec à > 0.

LJ -- 5. Quelle est la dimension du coefficient & ? Définir à partir de à un 
temps caractéristique
T. Le mouvement reste-t-il plan ?

Q -- 6. Établir, en fonction g, 7, vo -- ||, et t, les nouvelles équations 
horaires du mouvement.

L -- 7. Dans la situation où { EUR 7, simplifier les équations horaires de la 
trajectoire et donner
l'allure du mouvement.

LJ -- 8. Dans la situation où { > 7, simplifier les équations horaires du 
mouvement en faisant
apparaitre une vitesse limite v..

Où retombe le projectile ?

D -- 9. Déduire des résultats précédents, l'allure globale de la trajectoire 
dans une situation où
le temps de vol est grand devant 7, en séparant la trajectoire en trois phases.

D -- 10. Tracer l'allure de la trajectoire pour un temps de vol de l'ordre de 7.

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Physique I, année 2023 -- filière MP

IC La portée maximale d'un tir avec frottement

Qi -- 11. Dresser le tableau de variation de la fonction T': x + T(x) = xe* et 
déterminer la valeur
5 de son minimum global.
La fonction W de LAMBERT est définie comme étant la fonction réciproque de T° 
sur
|B, + |. Reproduire le graphe de T représenté sur la partie gauche de la figure 
2 et
expliquer comment en déduire l'allure de W représenté sur la partie droite.

X X

FIGURE 2 -- Représentations graphiques de T(x) (à gauche) et W(Y) (à droite)

D -- 12. On peut montrer que : (x +exp{[W{Y)}) W'(x) = 1. Quelle est la valeur 
de W(0) ?
On souhaite appliquer le schéma d''EULER explicite avec un pas À -- 0.0001 pour 
résoudre
cette équation différentielle. Donner le code python permettant d'obtenir une 
représenta-
tion graphique de W(y) sur l'intervalle {0 ; 2,5|.

La fonction W(x) est implémentée dans scipy. On peut l'appeler avec : from 
scipy.special
import lambertw.
On montre que si ad Z 0, la solution de l'équation at+b+ce% -- 0 pour 
l'inconnue t est donnée

par l'expression
b 1 d bd
t= ----- AE EXP (-))
a d a a

LD -- 13. En déduire à quel instant {* > 0 le projectile touche le sol. On 
posera u = -- Gi + snte )

Qi -- 14. On rappelle que par définition W exp(W) -- Id où Id est la fonction 
identité : Y + x.
En déduire que la portée est donnée par { = Two cos 45 (1 -- Wlue")/u).

En posant y = vo/v+, on montre que l'angle initial donnant la portée maximale 
est :

|
we)
EUR
arcsin 7 si y
2 1
Onax -- 4 T l W e |
1
arCsin | oe 39,6" Si y--
| e -- Î

CO -- 15. À l'aide de la figure 2, déterminer la valeur numérique de l'angle 
assurant la portée
maximale pour vo = 10m-s 1 g--98m:.s ?et r -- 0.48.

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Physique I, année 2023 -- filière MP

IT

L'intégrale elliptique de première espêce

O[_ Uy
Dans toute cette partie on néglige les frottements de l'air. > >
On étudie un pendule simple constitué d'une masse ponctuelle m TA AN
et d'une tige rigide de longueur £ et de masse négligeable, astreint _.
à évoluer dans un plan vertical (O,üu,,ü,). | [227 d LA 0
x "i: ) À _ A 9 O(t) mn
On repère sa position par l'angle 0(t). À t -- 0 on lâche le pendule
sans vitesse initiale avec 0(t = 0) = 4 EURÏ0,7/2|. È D
Y P "
LD -- 16. Etablir l'équation différentielle du mouvement vérifiée par la
fonction (+). FIGURE 3 -- Pendule
simple
D -- 17. On fait l'approximation des petits angles tels que sin 0 = 6.
Établir dans ces conditions la période 79 des oscillations.
Quelle est la propriété remarquable de la période dans le cadre de cette 
approximation ?
dé
 -- 18. Déterminer l'expression générale de di sans faire l'approximation des 
petits angles.
En déduire que la période T des oscillations du pendule est donnée par :
Tr _ 270 70 dé
T Jo /2(cos0 -- cos 65)
La propriété remarquable de la question précédente est-elle conservée ?
En effectuant le changement de variable sin £ -- sin @ sin do. on montre que :

2T, 0
T = K (sis «

210 _ f° do
= 2) avec Ko | AS

On souhaite calculer l'intégrale Æ(Yx) par la méthode des rectangles médians 
pour un angle
bo -- Tr /3.

LU -- 19.

Li -- 20.

Après avoir tracé le graphe de la fonction x + 1+,/x pour x EUR [0;9/, 
illustrer le principe
de la méthode des rectangles médians pour calculer le réel 1 -- VX +1)dyx en 
utilisant
9 rectangles.

Si on double le nombre de rectangles utilisés qu'en est-il de la différence 
entre la valeur
exacte de J et la valeur approchée numériquement par la méthode des rectangles 
médians ?

Recopier et compléter le code suivant permettant de calculer Æ(Yx) par la 
méthode des
rectangles médians.

import math as m
def f(x,phi):

return............
S = 0.
N = 100
a = 0.
b = m.pi/2
pas = ............

theta_0O = m.pi/3.

x = m.sin(theta_0O)x*xx2

for i in range(N):
phi = ............

print(pas * S)

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Physique I, année 2023 -- filière MP

La fonction y - Æ(x) est nommée intégrale elliptique complète de première 
espèce. Elle est
implémentée dans scipy. On peut l'appeler directement avec : from scipy.special 
import
ellipk.

D -- 21. En utilisant la figure 4, pour un pendule tel que 75 = 1s, 1,2
évaluer T lorsque 00 = 50°. Quel est le décalage temporel
induit par la prise en compte de l'approximation des TT, /
petits angles si l'on envisage de mesurer une heure ? /

1,1
Au XVII* siècle les puissances maritimes désiraient posséder NT
des instruments précis pour la mesure du temps afin de facili- J
ter la navigation (notamment pour déterminer la longitude). Ad 6 ||
Les rois de FRANCE et d'ANGLETERRE avaient offert des prix 106 20 40 60 80
importants à qui serait capable de réaliser un chronomètre

précis, fiable et utilisable en mer. FIGURE 4 - 4 T(do)/To

Christiaan HUVGENS (1629-1695) motivé par ce problème étudia le pendule conique 
et le pen-

dule oscillant entre deux lames courbes. Il parvint à démontrer que des lames 
en forme de
cycloïde assurent l'isochronisme rigoureux des oscillations.

L -- 22. Dans quelle situation courante rencontre-t-on la cycloïde ?

IIT La fonction d'erreur de GAUSS : erf{(y)

IITIA Introduction au problème de STEFAN

Un certain nombre de problèmes géologiques importants peuvent être modélisés 
par le chauffage
ou le refroidissement instantané d'un demi-espace semi-infini. Au milieu du 
XIX° siècle Lord
KELVIN a ainsi utilisé cette idée pour estimer l'âge de la Terre. Il supposa 
qu'à la surface le flux
d'énergie thermique résultait du refroidissement d'un flux initialement chaud 
de la Terre et a
conclu que l'âge de la Terre était environ 65 millions d'années. On retrouve 
ces phénomènes en
étudiant le refroidissement de la lithosphère océanique ou l'évolution d'une 
coulée de magma.

LU -- 23. Comment explique-t-on de nos jours le résultat erroné obtenu par Lord 
KELVIN ?

On étudie un milieu matériel semi-infini défini par y > 0 dont la surface subit 
un changement
instantané de température. Initialement à { = 0, le demi-espace est à la 
température uniforme
T\ ; pour t > 0 , la surface y = 0Ü est maintenue à une température constante 
T4. Si T1 > To, le
milieu matériel se refroidit et sa température diminue. La situation est 
représentée à la figure
5 pour le cas T5 > To.

Ti To Ti To T'

t=0. t=0T t>0

UY UY UY
T=T;àt=0 pour y > 0 T = T5 à y = 0 pour t > 0 T'-- Ti quand y -- + pour t > 0

FIGURE 5 -- Évolution de la température

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Physique I, année 2023 -- filière MP

Le flux thermique élémentaire, défini comme la quantité d'énergie traversant 
une surface élé-
mentaire dS pendant dt, est noté 090.
L -- 24. Rappeler la définition du vecteur jo: densité de flux thermique. 
Quelle est sa dimension ?
Rappeler la loi de Fourier, ainsi que ses conditions d'application.
En déduire la dimension de la conductivité thermique K.

On étudie une tranche mésoscopique de sol de masse m de masse volumique p et de 
capacité
thermique massique EUR comprise entre y et y + dy de surface S.

D -- 25. Quelle est l'énergie thermique 0Q reçue par cette tranche entre t et t 
+ dt ?

Pourquoi étudie-t-on une tranche « mésoscopique » ?

- 0)
Etablir l'expression de sa variation d'énergie interne dÜ en fonction de Je S, 
dy et dt

0y
_ dy et dt.
OT OT

En déduire l'équation de la chaleur à une dimension -- -- D)----- dans laquelle 
on

ot Oy"

précisera l'expression et la dimension du coefficient D de diffusion thermique.

puis en fonction de p, c, &,

En déduire l'expression d'une longueur caractéristique L en fonction de D et du 
temps t.

On introduit la température adimensionnée

T(y,t) E T

O(y;t) -- To _ T'

1 -- 26. Quelle est l'équation vérifiée par O(y,t) ?
Déterminer les valeurs de 0{y > 0,t = 0), d(y = O,t > 0) et d(y -- +oo,t > 0).

U

2V Dt

On introduit une variable de similarité sans dimension 7 -- et on suppose que Y 
n'est

une fonction que de cette seule variable 7.

DJ -- 27. Montrer que
d'0(n) |, d0(n)

1 = (.
dn° an
L .... _ dô(n) A
D -- 28. En utilisant la fonction w(n) -- PE montrer que 0(n) = 1 --- ---- dz.
1]

+00

T

On donne | e* dz = vT En déduire une expression de T nn faisant apparaître
0

une intégrale.

2
La fonction y + ---- | e7* dz est appelée fonction d'erreur de GAUSS, elle est 
implémentée
T

dans scipy.
Elle est souvent notée erf(x). On peut l'appeler directement en utilisant la 
commande : from
scipy.special import erf.

IILB Formation d'une croûte de lave solide.

Dans cette dernière partie on s'intéresse à une coulée de lave en fusion et à 
la formation d'une
croûte solide à sa surface. On étudie alors l'augmentation de l'épaisseur de 
cette croûte en
fonction du temps.

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Physique I, année 2023 -- filière MP

À la surface extérieure, en y = 0, la lave est en contact avec l'air à la 
température constante 79.
La lave en fusion à la température T'} est donc soudainement portée à la 
température T6 à t -- 0.
Dans ces conditions, la couche superficielle de la lave se solidifie, et on 
note y,(t) l'épaisseur de
la couche de lave solide.

Nous devons donc résoudre l'équation de la chaleur dans l'espace 0 < y < y.(t) avec comme conditions aux limites 1 = TG en y = 0, et T' = T}; en y = y;(t), et comme condition initiale ys =0àt--0. d_ Lave solidifiée Air à T' =To interface de 7 > L
transition
de phase
| AY Ys Yet
Lave en fusion à T'=T
dys Ce) / "3 NY
dt

FIGURE 6 -- Formation d'une croûte de lave solide

La position y.(t) de l'interface de transition de phase est une fonction à 
priori inconnue du

temps. Comme dans la situation précédente il n'y a pas d'échelle de longueur 
définie dans

ce problème. Pour cette raison, on travaillera également avec la variable de 
similarité sans
y

2VDt

On utilisera également la température adimensionnée

dimension 7 --

La profondeur de l'interface de solidification y,(t) doit enfin s'adapter à la 
longueur caractéris-
tique de la diffusion thermique. Nous supposerons que celle-ci varie 
proportionnellement à la

ys(t)

racine carrée du temps, de telle sorte que : 7, = -- cte = À. Cette constante 
est inconnue

2V Dt

et reste à déterminer.

DJ -- 29. En reprenant l'équation de la question 27, montrer que

erf (7)
erf(À)

O(n) --

Afin d'obtenir l'expression puis la valeur de la constante À, nous allons 
étudier la solidification
d'une tranche de lave d'épaisseur dy, entre les instants { et EUR + dt

 -- 30. Quelle est l'énergie 0Q libérée par la solidification à la température 
7; d'une tranche dy,
de lave de surface $ en fonction de la masse volumique p de la lave en fusion 
et l'enthalpie
de fusion massique : Ahio1-iia:

 -- 31. Toute l'énergie libérée par la solidification doit être évacuée par 
diffusion dans la lave
solide car la lave en fusion reste à la température 7}. Montrer que :

dys(t) OT
DAT) AC 2, (a)
dt y U--VYs

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Physique I, année 2023 -- filière MP

1,5

DJ -- 32. En déduire que

1
__ 12 _ 2
exP( A) PONT (T.
X erf(À) Àerf(à) (Tr -- To)

05 LH -- 33. Quel algorithme peut on utiliser pour
obtenir la constante À numérique-

0 ment ?
0 1 À 2 3 Expliquer en quelques mots son fonc-

exp(-- X?) tionnement.

FIG -- he d... À --------
IGURE 7 -- Graphe de À TON

On donne les valeurs numériques suivantes :

e Ahioi ia(lr) = 400kJ -kg7" + p -- 2600 kg : m *
ec=Il1kJ-ke | .K-! eD--7x 10 SI
© TL -- 16 -- 1000K e /T 1,77

Ci -- 34. À l'aide de la figure 7, estimer la valeur numérique de À.
En déduire l'épaisseur de la croûte de lave six mois après l'éruption.
Comparer votre résultat à ceux de la figure 8 tirés d'une expérience !.

t (yr)

0 1 2 3 4
0 |
2 D Kilauea Iki

ee X  Akae

©
4: L- O Makaopuhi
oO
-- Theory

FIGURE 8 -- Épaisseurs des croûtes de lave solides à la surface des lacs de 
lave dans les trois
cratères à fosse Kilauea Iki (1959), Alae (1963) et Makaopuhi (1965) sur le 
volcan Kilauea,
Hawaii (Wright et al., 1976), et résultat théorique.

FIN DE L'ÉPREUVE

1. Wright, T. L., Peck, D. L., and Shaw, H. R. (1976). Kilauea lava lakes : 
Natural laboratories for study
of cooling, crystallization, and differentiation of basaltic magma. In The 
Geophysics of the Pacific Ocean Basin
and its Margin, eds. G. H. Sutton, M. H. Manghnani, R. Moberly, and E. U. 
McAfee, vol. 19 of Geophysical
Monograph Series, Washington, D.C. : American Geophysical Union, pp. 375-90

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