Mines Physique 1 MP 2020

Thème de l'épreuve Au temps des Mayas
Principaux outils utilisés ondes, électronique, thermodynamique, optique
Mots clefs atmosphère isotherme, éclipse, interférences, théorème de Shannon, quetzal, Chichen Itza

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A2020 -- PHYSIQUE I MP

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARISTECH,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVEP.
CONCOURS 2020
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE I - MP
L''énoncé de cette épreuve comporte 9 pages de texte et 1 feuille réponse.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur

d'énontcé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Physique I, année 2020 -- filière MP

Au temps des Mayas

Les phénomènes naturels terrestres ou célestes ont nourri, au fil des âges, les 
cultures des civilisations
anciennes et contribué à forger leur vision du monde. Les exemples 
astronomiques sont nombreux. Il
n'est pas rare de trouver, par exemple, des bâtiments orientés selon les 
directions astronomiques des
levers et couchers du Soleil ou de Vénus, astres qui furent souvent associés à 
des divinités importantes.
Dans ce problème, on se propose d'étudier quelques phénomènes physiques 
auxquels les Mayas, civi-
lisation précolombienne d'Amérique centrale, ont été confrontés ou pour 
lesquels ils ont manifesté de
l'intérêt :

i) La couleur de la Lune totalement éclipsée,

ii) L'écho de la grande pyramide de Chichén Itzä.

Notations et valeurs numériques :

e Notations : les notations adoptées sont les notations internationales (norme 
ISO 80000-2).

e Vecteurs : conformément aux notations internationales, les vecteurs sont 
représentés en caractères
gras. Par exemple, le champ vectoriel de pesanteur terrestre, supposé uniforme, 
est noté g. Les vecteurs
de base, unitaires, sont désignés par un e.

e Valeurs numériques : lorsqu'une valeur numérique non nulle est demandée, 
l'écart relatif de la réponse
par rapport à la valeur exacte ne doit pas excéder 20%.

e Données astronomiques : les données numériques astronomiques sont regroupées 
à la fin de l'énoncé.
Les deux parties du problème sont indépendantes.

I. -- Couleur de la Lune totalement éclipsée

Lorsqu'une éclipse de Lune se produit, cet astre, majeur pour les Mayas, change 
d'aspect durant
plusieurs heures. Dans une société où le mécanisme précis d'une éclipse est 
méconnu, l'interprétation
et la signification du phénomène se réfère souvent, sinon toujours, à une 
origine mythologique ou
religieuse. C'est en particulier le cas de la couleur évocatrice prise par la 
Lune lorsqu'elle se trouve
totalement immergée dans l'ombre de la Terre, couleur dont l'analyse fait 
l'objet de cette dernière
partie.

Ombre

: Premier contact extérieur
À Eclipse totale 2 : Premier contact intérieur
. . 3 : Dernier contact intérieur
prnprrmmmnnnnnnne Eclipse partielle

4 : Dernier contact extérieur

FIGURE 1 -- Chronologie d'une éclipse de Lune : a) Phénomène général; b) Vision 
depuis la Terre de
l'évolution dans une section droite du cône d'ombre terrestre au niveau de 
l'orbite lunaire. Les disques
blancs contenant un chiffre représentent le disque lunaire dans l'étape repérée 
par ce chiffre

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Physique I, année 2020 -- filière MP

Une éclipse se produit lorsque la Lune entre dans le cône d'ombre de la Terre 
(Fig. 1a). On note N le
point situé sur l'axe ST de symétrie de révolution du cône d'ombre terrestre (S 
centre du Soleil et T
centre de la Terre) à la distance rx = TL de T (L centre de la Lune) à l'opposé 
du Soleil (Fig. 1a) .
Dans un plan frontal Z, orthogonal à ST, et placé en N, l'éclipse suit la 
chronologie indiquée sur la
figure 1b. On note respectivement Rs, Rr et Ry les rayons solaire, terrestre et 
lunaire.

Des considérations de géométrie élémentaire montrent que dans le plan Z,, la 
Lune tient plus de deux
fois dans le cône d'ombre de la Terre. Pourtant, durant la totalité (entre le 
premier contact intérieur
et le dernier contact intérieur), c'est-à-dire lorsque la Lune est entièrement 
plongée dans l'ombre de
la Terre, elle est nettement visible dans le ciel!

M > 4 Eclipse de L du 28 septembre 201
I. A. -- Sources de lumière éclairant la Lune clipse de Lune du 28 septembre 
2015

La photographie reproduite sur la figure 2 a été prise, depuis
Toulouse, lors de l'éclipse totale de Lune du 28 septembre 2015.
La direction du zénith (sens de la verticale ascendante) est
indiquée sur la figure.

j 1 -- Situer la photographie de la figure 2 dans la chrono-
logie de la figure 1b.

Direction
du zénith

On suppose désormais que la Lune est totalement immergée
dans l'ombre de la Terre (éclipse totale) et que son centre L
occupe le point N de son orbite.

FIGURE 2 -- Éclipse de Lune
Imaginons, pour commencer l'analyse, que la Terre soit dépourvue d'atmosphère.

J 2 -- Proposer un ordre de grandeur de l'angle 04 caractéristique de la 
diffraction de la lumière
solaire par la Terre, en admettant que cet angle est identique au phénomène de 
diffraction produit
par une ouverture de même taille caractéristique que le diamètre de la Terre, 
éclairé par une onde
plane de direction ST'. En déduire la taille caractéristique a4 de la figure de 
diffraction dans le plan
d'observation Z.. La diffraction peut-elle éclairer le disque lunaire durant la 
phase de totalité ? Citer,
dans le contexte de l'hypothèse envisagée, d'autres sources possibles 
d'éclairage du disque lunaire.

On tiendra désormais compte de la présence de l'atmosphère terrestre, toutes 
les autres sources de
lumière envisageables étant insuffisantes pour expliquer l'éclairement de la 
Lune durant la phase de
totalité.

I.B. -- Modèle d'atmosphère isotherme

On suppose que l'atmosphère terrestre est en équilibre méca-
nique à une température T & 20° C uniforme et stationnaire. Z D °
On cherche le profil altimétrique de masse volumique : c'est-

à-dire l'expression de la masse volumique p, en fonction de L

l'altitude Z mesurée depuis un point G de la surface terrestre

(Fig. 3). Le vecteur unitaire eZ sera dirigé dans le sens de la lez

verticale ascendante, et on note g & 9,80 m : s_?, l'intensité :G

du champ de pesanteur terrestre. L'air est assimilé à un gaz

parfait de masse molaire M, & 29g : mol !. On note R & SERRE

8,31 J : mol_! - K-! la constante des gaz parfaits. FIGURE 3 -- Un point dans 
l'at-
mosphère terrestre.

J 3 -- Déterminer le profil altimétrique de masse volumique
Pa(Z) en fonction de p4(0) et d'une hauteur caractéristique Æ. que l'on 
exprimera et dont on calculera
la valeur numérique.

J 4 -- Évaluer numériquement la masse volumique de l'air au niveau de la mer 
(pression d'environ
1bar) puis en déduire celle de l'air au sommet du mont Everest (8 848 m 
d'altitude) : on indique que
exp(--1) & 1/3. Les valeurs moyennes annuelles de pression et de température au 
sommet de l'Everest
sont respectivement 321 hPa et --23°C. Le modèle isotherme est-il réaliste ?

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Physique I, année 2020 -- filière MP

I.C. -- Onde électromagnétique incidente

Une onde électromagnétique plane, progressive et monochromatique, se propage 
dans le vide illimité
le long et dans le sens d'un axe (O,ez), l'espace étant rapporté à un repère 
orthonormé (O,ex, ey, e:)
dans lequel on note x, y et z les coordonnées spatiales d'un point de l'espace 
et t, le temps.

Le champ électrique de l'onde est polarisé rectilignement selon e,. On note Ho 
& 10-6H:m! la
perméabilité magnétique du vide, c la constante d'Einstein (célérité dans le 
vide des ondes électro-
magnétiques), En > 0 l'amplitude du champ électrique, B,, > 0 celle du champ 
magnétique, w la
pulsation de l'onde, E(x,t) la composante du champ électrique et B(x;,t), celle 
du champ magnétique.
La phase du champ électrique, à l'origine spatio-temporelle, est nulle.

1 5 -- Donner les expressions réelles des champs de vecteur électrique E et 
magnétique B puis
exprimer B;, en fonction notamment de E,,. Représenter sur un même graphique, à 
une date t donnée,
l'évolution spatiale du champ électrique ainsi que celle du champ magnétique.

J 6 -- Exprimer le vecteur de Poynting R(x,t) en fonction notamment de Eh. 
Calculer l'ordre de

grandeur de Æ,, pour une onde électromagnétique véhiculant une intensité Z9 = 
1kW : m°?.

LD. -- Transfert du rayonnement solaire à travers l'atmosphère terrestre

L'onde électromagnétique précédente se propage désormais dans l'atmosphère 
terrestre et rencontre
sur son trajet, des molécules du gaz atmosphérique, mais aussi, dans la 
stratosphère (entre 15 et 20 km
d'altitude), de fines poussières en suspension (aérosols).

Le gaz atmosphérique a pour effet de diffuser sélectivement l'onde incidente 
(dépendance fréquentielle),
réduisant ainsi la puissance transportée par l'onde. On modélise la diffusion 
atmosphérique en suppo-
sant que chaque molécule rencontrée diffuse, en moyenne temporelle, la 
puissance Z, donnée par :

4
Pa = ka (2) I
wo

où k, et wo sont des constantes qui caractérisent la composition chimique du 
gaz atmosphérique et 1
l'intensité de l'onde électromagnétique. On note r7,(x) le nombre de molécules 
par unité de volume du
gaz atmosphérique, x désignant toujours l'abscisse mesurée le long de la 
direction de propagation.
Les poussières ont pour effet d'absorber non sélectivement (indépendance 
fréquentielle) l'onde inci-
dente, réduisant aussi la puissance transportée. On modélise l'effet des 
poussières sur le rayonnement en
supposant que chaque poussière rencontrée absorbe, en moyenne temporelle, la 
puissance Z, donnée
par :

Ps kil
où k, est une constante qui caractérise la composition chimique des poussières. 
On note m,(x) le
nombre de poussières par unité de volume.

7 -- Exprimer (x) en fonction notamment de la masse volumique du gaz 
atmosphérique p,(x)
au point d'abscisse x.

DJ 8 -- Effectuer un bilan unidimensionnel de puissance électromagnétique 
moyenne pour une tranche
d'air limitée par les plans d'abscisse x et x + dx ; en déduire la relation 
liant l'intensité 7(x + dx) de
l'onde en x + dx en fonction notamment de l'intensité Z(x) en x : il faudra 
prendre en compte les deux
phénomènes, de diffusion et d'absorption.

J 9 -- Montrer qu'il est possible d'écrire Z(x) sous la forme suivante :
I(x) = 1(0) exp [---do(x)]

où d,(x) est un facteur, appelé « densité optique >, que l'on exprimera en 
fonction des quantités
intégrales :

| "maté et | | mOd

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FIGURE 4 -- Déviation d'un rayon lumineux par l'atmosphère terrestre.

LE. -- Réfraction atmosphérique

Lorsqu'un rayon lumineux solaire traverse l'atmosphère terrestre, il subit une 
réfraction (Fig. 4).
On note M un point quelconque sur la trajectoire du rayon, et Z, son altitude. 
On note M, le point
de la trajectoire le plus proche du sol, et Z son altitude. On pose :

T=TM=Rr+Z et ro =TMo=Rr +2%Z

Pour une longueur d'onde donnée, l'indice de l'air n(Z) dépend de l'altitude, 
selon la loi de variation
suivante :

Pa(Z)
Pa(0)

L'angle 44, de déviation totale du rayon après traversée de l'atmosphère (Fig. 
4), est donné par :

ans p {fe

1 10 -- Pourquoi l'atmosphère terrestre réfracte-t-elle les rayons lumineux qui 
la traversent ?

Àr
À

2
n(Z) = 1+e) OÙE\ = a+ ( ) ,a = 2,8 x 10 %et À, -- 0,42 nm, on note n9 = n(Zo).

J 11 -- En tenant compte des ordres de grandeur du problème, précisément Z EUR 
Rr et Zo EUR Rr,
2
g
exprimer {/-- -- 1 en fonction de u = Z -- Zo. Exprimer dn en fonction de dp, 
puis dpa en fonction
Tr
0
de He, Pa(Zo), u et du.

On donne la valeur de l'intégrale suivante, qui se ramène aisément à 
l'intégrale de Gauss :

oe e--v
LT
J 12 -- Déduire des expressions obtenues à la question précédente que l'angle 
de déviation totale,
d'un rayon monochromatique passant en Mo, s'écrit :
0a(Zo, À) & O(Zo})Ex
où @(Z9) est une fonction de Z que l'on exprimera en fonction de Rr et He et 
Zo. Pour quelle valeur

particulière de Zo, notée Zn, la déviation d'un rayon lumineux est-elle 
maximale ?

) 13 -- Exprimer l'écart de déviation 044 correspondant à deux rayons incidents 
passant au même
point Mo (et donc caractérisés par le même Z5) mais possédant des longueurs 
d'ondes qui diffèrent de
OÀ.

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La minute d'arc (1/), soit le soixantième de degré, vaut environ : 1' & 3 x 10 
"rad.

En adoptant la valeur numérique réaliste H, & 7,3 km du profil atmosphérique de 
masse volumique,
et pour la longueur d'onde À}, = 504nm du maximum d'émission spectrale solaire 
: 4q(Zm, \m) & 70.
Avec les valeurs 8À & 350nm, Z9 = Zm et À = Àm, sur l'étendue du domaine 
visible, l'application
numérique donne |604| & 0,25'. La dépendance chromatique de la déviation étant 
négligeable devant
l'angle de déviation, on supposera que les rayons sont identiquement déviés, 
indépendamment de leur
longueur d'onde, avec un angle pouvant varier entre 0' et 43, = 70'.

14 -- L'angle sous lequel le rayon terrestre est vu depuis N est d'environ y # 
57/ tandis que
celui sous lequel le rayon solaire est vu depuis la Terre vaut environ 0$ & 
16/. L'atmosphère terrestre
est-elle capable de dévier la lumière solaire pour éclairer le point N ? On 
justifiera quantitativement
la réponse en s'appuyant sur un schéma.

L.F. -- Prévision du spectre de la lumière reçue par la Lune

Le spectre de la lumière solaire hors de l'atmosphère terrestre est donné sur 
la partie gauche de
la figure 5 (spectre de référence E-490-00). Le calcul numérique basé sur le 
modèle qui vient d'être
développé permet de tracer, sur la partie droite de la figure 5, l'atténuation 
exp(--d,) en N en fonction
de la longueur d'onde À de l'onde incidente.

al [W:m *?-nm !] exp (-- do)

2,5 0,20f

2.0

1,5

1,0 + T T T > T T >
400 500 600 700 À nm] 400 500 600 700 À jam

FIGURE 5 -- A gauche : Spectre solaire hors de l'atmosphère terrestre. À droite 
: facteur d'atténuation
spectrale exp(--d,)

J 15 -- À l'aide des deux schémas de la figure 5, déterminer quelques points du 
spectre de la lumière
reçue par la Lune en N permettant de représenter la courbe correspondante sur 
la feuille réponse.
Conclure sur la couleur de la Lune totalement occultée.

FIN DE LA PARTIE I

II. -- Écho de la grande pyramide de Chichén Itzä

Sur le site archéologique de Chichén Itzä, situé dans le Yucatän à 200 km à 
l'ouest de Cancün, se
trouve le temple Maya Cuculcän, en forme de pyramide à base carrée (Fig. 6). 
Sur chaque face de
la pyramide, se trouve un grand escalier central comportant 91 marches qui 
culmine à H -- 24m
au-dessus du sol (Fig. 7).

Ce monument, érigé autour du X° siècle de notre ère, est classé au patrimoine 
mondial de l'UNESCO.
Une de ses particularités a fait l'objet d'études archéoacoustiques : un clap 
produit en frappant dans
ses mains face à l'escalier retourne un écho qui imite, de manière stupéfiante, 
le chant de l'oiseau sacré
endémique quetzal (pharomachrus mocinno).

La question se pose alors de savoir si ce monument à été érigé en respectant 
les contraintes acoustiques
de reproduction du gazouillement de l'oiseau, ou bien s'il s'agit d'une simple 
coïncidence.

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FIGURE 7 -- Vue d'une face de la grande pyramide Maya de Chichén Itzä 
(Cuculcän). Au centre de la
photographie, se trouve le grand escalier.

Si la question reste ouverte, l'analyse physique apporte à l'archéologie 
quelques éléments notamment
en permettant de comprendre l'origine de ce phénomène. Cette partie s'appuie 
sur les fondamentaux
des phénomènes ondulatoires. Aucune connaissance spécifique d'acoustique n'est 
requise.

II.A. -- Sonogramme DSP d'amplitude [dB]
On enregistre, à l'aide d'un microphone, le Pic 1

son d'une note de musique tenue produite

en siffant avec la bouche.

On note s,(t) le signal obtenu. Le spectre -. Pic 2

d'amplitude du signal en sortie du micro-
phone est donné sur la figure 8, l'échelle
verticale étant graduée en décibels. L'am-
plitude du pic 1 vaut a; = 100 mV.

16 -- Déterminer la fréquence f1 du fon- 190

damental (pic 1) de cette note ainsi que l'am- 0 5 10 f NH]
plitude a> du pic 2. On donne 1005 & 3,16.

FIGURE 8 -- Spectre d'amplitude d'un son sifflé tenu.
Les pics 1 et 2 sont assimilés à des composantes harmoniques et on néglige tout 
autre contenu spectral.
On note 7, la durée totale de l'enregistrement et f. la fréquence 
d'échantillonnage. La méthode
d'analyse spectrale employée génère un spectre dont la résolution spectrale, 
notée 6 f, est l'inverse de
la durée d'acquisition du signal.

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17 -- Calculer numériquement la plus petite valeur de f, respectant la 
condition de Nyquist-
Shannon, et la durée d'acquisition 7, donnant une résolution spectrale de 100 
Hz.

Un sonogramme est une représentation graphique permettant de visualiser 
l'évolution des composantes
harmoniques d'un son au cours du temps. Dans sa version simplifiée, c'est un 
diagramme à deux
dimensions ayant en abscisse le temps et en ordonnée les fréquences. À un 
instant t donné, une
composante harmonique de fréquence f est représentée par un point de 
coordonnées (t, f).

Le sonogramme simplifié de s,(t) est représenté sur la figure 9a. Dans un 
sonogramme complet, on
ajoute l'information sur l'amplitude des composantes harmoniques en grisant les 
points du diagramme
à l'aide d'une échelle allant du blanc pour les faibles amplitudes (< --50 dB), au noir pour les fortes (> 0 dB). Le sonogramme complet de s,(t) est donné sur la figure 9b.

Pour construire un sonogramme, on calcule les spectres successifs du signal 
entre les dates n1, et
(n +1)74, n étant un entier positif ou nul et 7, la durée des intervalles 
temporels d'acquisition.

f [kHz] @)

Pic 2

0 0
0 100 200 300 400 500 0 100 200 300 400 500

FIGURE 9 -- Sonogramme d'un son sifflé tenu a) simplifié  b) complet.

1 18 -- On note 7 la durée totale de l'enregistrement sonore. La résolution 
spectrale 6f du sono-
gramme dépend-elle de T, ou de 7? Combien de pixels (rectangles élémentaires 
composant le sono-
gramme) comporte un sonogramme de fréquence maximale f et de durée 7 ? 
Effectuer l'application
numérique lorsque fu = 3,5 kHz et 7 -- 500 ms.

On produit un nouveau son sifflé, s,(t), mais cette fois, de hauteur 
décroissante (donc vers les sons
graves). Ce son possède encore deux composantes harmoniques, mais la fréquence 
f! du fondamental
décroît au cours du temps de manière affine : fi(t) = f1 x (1--t/7g), ra > 0 
étant une constante
temporelle.

1 19 -- Quelle condition doit vérifier 7; afin que l'on puisse suivre 
l'évolution temporelle de la
fréquence du fondamental sur le sonogramme"? Construire le sonogramme simplifié 
de s4(t) dans
l'intervalle temporel [0; 0,5 r;]. On prendra soin de mentionner sur le 
graphique toutes les informations
connues.

J kHz] Le chant d'un oiseau est plus riche en harmoniques que le

sifflement précédent.

Le sonogramme d'un quetzal jeune est représenté sur la fi-
gure 10 extraite de Lubman, D., J. Acoust. Soc. Am. 112 (5),
2008.

J 20 -- Déterminer la durée approximative 7, du chant du
quetzal puis mesurer, à la date { -- 140 ms, la fréquence f, 1
du fondamental du chant ainsi que celles f,; (à entier) des
FIGURE 10 -- Sonogramme du quetzal autres harmoniques visibles sur le 
sonogramme.

0 100 200

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IT.B. -- Diffraction du son par une marche de l'escalier

Lorsque l'on frappe dans ses mains en face de l'escalier,
depuis une position $ que l'on supposera voisine du
sol (Fig. 11), le clap produit se propage dans l'air en
direction des marches. Ces dernières sont modélisées
par des obstacles de petite dimension, qu'on localise
arbitrairement en S$, (les arêtes des marches), n allant
de 0 à N = 91. On note a = 20 m la distance entre S
et le bas So des marches de la pyramide. La hauteur
b -- 26,3 cm des marches est égale à leur profondeur de
sorte que les arêtes $, soient contenues dans un plan
formant un angle de 45° par rapport au plan horizontal. FIGURE 11 -- Les 
marches de la pyramide
L'hypothèse testée est que l'écho entendu par l'auteur du clap, ressemblant à 
s'y méprendre au chant
du quetzal, résulte de la diffraction du son sur les marches de l'escalier.

Le clap émis en S, à un instant pris comme origine temporelle, est un signal 
bref, noté s(t) au point
d'émission S. La distance entre $ et l'arête de la n--ième marche est appelée 
d, = S$S,. Pour modéliser
la propagation du son, on note Y(M,t) la fonction qui décrit l'onde sonore en 
un point M de l'espace
à l'instant { : par exemple ici Y(S,t) -- s(t). On note c; & 340m:s7! la 
célérité du son dans l'air. On
assimilera la propagation de l'onde le long de l'axe SS, à une propagation 
unidimensionnelle linéaire
non dispersive; ainsi, on ignore toute variation d'amplitude au cours de la 
propagation. Lorsque
l'onde atteint une arête S,, elle est « renvoyée > dans toutes les directions 
(par diffraction), et en
particulier, dans la direction $,,$. On suppose qu'après diffraction, la 
fonction décrivant l'onde retour,
notée V'(M,t), dont la propagation est encore supposée unidimensionnelle 
(modélisation identique
à celle de l'onde incidente), s'écrit en S, : W'(S,,t) = KY(S,,t) où x est un 
facteur (nombre sans
dimension) indépendant de n.

J 21 -- Exprimer V(S,,t) puis W(S,t) en fonction notamment de la fonction s.

Le spectre du clap s(t) dans le domaine audible est continu : toutes les 
fréquences y sont présentes.
On supposera par ailleurs qu'elles ont toutes la même amplitude. On considère 
une composante har-
monique 5,(t) du clap, de pulsation w, dont on suppose la phase @(t) nulle à 
l'origine temporelle soit
Sw(t) = Sm coS{[p(t)]. On prendra @(t) = wt et on considère que 8, ne varie pas 
dans le temps.

J 22 -- Exprimer la phase d/,(t) à l'instant t de la composante harmonique de 
pulsation w de l'onde
retour en S diffractée en $,, en fonction notamment de d,.

II.C. -- Superposition constructive en S

Le clap étant bref, on suppose seules deux marches consécutives diffractent le 
son incident. On note
la différence de phase en $ entre les deux ondes retour diffractées Ag!, = 
d,,(4) -- d1,,1(#).

J 23 -- Exprimer A! en fonction notamment des distances dy et dy+1.

On fait l'hypothèse que les seules fréquences audibles sont celles pour 
lesquelles les ondes diffractées
se superposent constructivement.

Jj 24 -- Déduire de cette hypothèse l'ensemble des fréquences {7,,, m EUR N} 
entendues lors du retour
du son diffracté par les marches S, et S,+1, en fonction notamment des 
distances d, et dh+1.

J 25 -- Exprimer d, en fonction de a, b et n. Calculer l'expression exacte de 
d2,, -- d?. On admet
que la condition de l'expérience a © b permet d'écrire dy + dn+1 © 2dh : en 
déduire l'expression

approchée suivante 1 © (n)dn où g(n) est une fonction que l'on explicitera.

Se
2ab 3

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La figure 12 donne la représentation graphique de g(n)dn  ag(n)d, [ml]
en fonction de d, pour les 91 valeurs de n. Elle permet 207
d'éviter des calculs fastidieux à la main...

J 26 -- En exploitant la figure 12 déterminer la dis- 18
tance dN entre le sommet de l'escalier et $. On fixe
l'origine temporelle à l'instant du clap. Calculer numé-
riquement la date t1 d'arrivée du début de l'écho en $,

puis celle tx de fin de l'écho. Combien de temps l'écho 167

dure-t-il ?

1 27 -- Calculer numériquement les fréquences 1 (41) n d, [m]
et 21 (EN). M 26 30 40 50

1 28 -- Sur la feuille réponse, tracer l'allure du sono- FIGURE 12 - g(n)d, en 
fonction de dy

gramme simplifié de l'écho comportant le fondamental

du son ainsi que les trois harmoniques qui le suivent.

On marquera d'une croix bien visible les points du sonogramme d'abscisses {1 et 
tn.

29 -- Comparer le sonogramme construit à la question précédente, au sonogramme 
du quetzal
(Fig. 10). L'écart fréquentiel est-il négligeable ? L'écart se réduirait-il si 
l'enregistrement du quetzal
était celui d'un oïiseau adulte ?

FIN DE LA PARTIE II

Données astronomiques

Constante d'Einstein : c& 3 x 109m-s71

Distance Terre-Lune (centre à centre) : rz = TL & 3,84 x 105 m
Rayon du Soleil : Rs & 6,96 x 105 m

Rayon de la Terre : Rr & 6,37 x 106 m

Rayon de la Lune : Rj & 1,74 x 106m

FIN DE L'ÉPREUVE

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 1 MP 2020 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (professeur en CPGE) ; il a été relu
par Guillaume Maimbourg (professeur en CPGE) et Émilie Frémont (professeur en
CPGE).

Ce sujet est composé de deux parties indépendantes s'articulant autour de la
civilisation maya.
Dans la partie I, on s'intéresse à la visibilité et à la couleur de la Lune, 
astre
majeur chez les Mayas, au cours d'une éclipse. Alors qu'elle est entièrement 
plongée
dans l'ombre de la Terre, la Lune reste visible. Une première explication 
possible
de cet effet serait la diffraction des rayons solaires par la Terre. Une 
estimation
rapide permet de l'écarter. La seconde raison envisagée est la réfraction des 
rayons du
Soleil par l'atmosphère terrestre. À l'aide du modèle de l'atmosphère isotherme 
et en
s'appuyant sur l'électromagnétisme pour modéliser la lumière, on décrit 
l'interaction
entre les molécules de l'atmosphère et le rayonnement solaire. La déviation des 
rayons
lumineux par l'atmosphère est alors estimée et il apparaît qu'elle permet 
d'expliquer
la visibilité de la Lune.
La seconde partie porte sur l'étude de l'écho d'un claquement de mains après
réflexion sur l'escalier d'une pyramide maya. Cet écho ressemble à s'y méprendre
au chant d'un quetzal, oiseau sacré pour les Mayas. Après quelques rappels sur 
les
spectres de signaux périodiques et leur résolution expérimentale, on étudie le 
spectre
du cri d'un quetzal en fonction du temps. On s'attache alors à montrer que la 
réflexion
de l'onde sonore produite par le claquement de mains sur les marches d'une 
pyramide
maya présente un spectre analogue. Pour ce faire, l'étude du déphasage entre 
les ondes
réfléchies par les marches successives, est réalisée. On montre que les 
interférences
entre les différentes ondes sélectionnent des fréquences, réfléchies les unes 
après les
autres, conduisant effectivement à un spectre semblable au chant du quetzal.
Cette épreuve, dont la thématique est originale, n'en demeure pas moins 
classique
dans sa construction. Elle est abordable en deuxième année dès que les 
chapitres sur
la numérisation des signaux, les ondes électromagnétiques et la loi de 
l'hydrostatique
ont été traités.

Indications
Partie I
3 Utiliser les lois de l'hydrostatique et du gaz parfait. Intégrer à T 
constante.
5 La polarisation de l'onde correspond à la direction de son champ électrique. 
La
relation de structure des ondes électromagnétiques planes dans le vide permet de

-
déterminer B (M, t).
6 L'intensité I0 est égale à la valeur moyenne de la norme du vecteur de 
Poynting.
8 Remarquer que I(x)S se répartit entre trois termes.
9 Développer I(x + dx) à l'ordre 1 en dx. Reconnaître une équation 
différentielle
linéaire du premier ordre. Se rappeler que la solution de f 0 (x) + (x)f (x) = 
0 est
Rx
-
(u)du
f (x) = f (0) e 0
11 Développer le rapport r2 /r0 2 à l'ordre 1 en Z/RT et Z0 /RT . Différentier 
la relation
fournie entre n(Z) et a (Z) et celle établie à la question 3.
12 Injecter les expressions de dn, da obtenues à la question précédente dans 
celle
de d fournie. Remarquer que n  1 lorsque u  . Effectuer le changement de
variable v = u/Hc .
13 Différentier l'expression obtenue à la question précédente et éliminer  au 
profit
de  grâce à la relation de l'énoncé.
14 Le Soleil possède un rayon supérieur à la celui de la Terre, donc le rayon 
extrême,
qui est vu sous un angle de 160 , n'est pas incliné comme sur la figure 4.
Partie II
16 Le gain en dB de a2 par rapport à a1 est défini par GdB = 20 log(a2 /a1 ).
24 Traduire la condition d'interférences constructives entre l'onde ayant 
parcouru la
distance 2dn et celle ayant parcouru 2dn+1 .
25 Commencer par montrer que
dn+1 2 - dn 2 = 2ab + 2b2 (2n + 1) ' 2dn (dn+1 - dn )

Publié dans les Annales des Concours

Au temps des Mayas
I. Couleur de la Lune totalement éclipsée
1 Sur la figure 2, la moitié supérieure gauche de la Lune est située dans la 
zone de
pénombre et le reste de la Lune dans la zone d'ombre. Cette photographie a été 
prise
entre les positions 3 et 4 sur la chronologie de la figure 1, lorsque la Lune 
quitte
la zone d'ombre.
2 On assimile la Terre à une ouverture de largeur 2RT .
Pe
ad

d

T

N
rL

2RT

La demi-ouverture angulaire d de la tache centrale de diffraction vérifie
d '

5.10-7
' 4.10-14 rad
'
2 RT
2 × 6.106

Dans le plan P e , situé à la distance rL du centre de la Terre, cette tache a 
une
largeur ad telle que
ad = 2d × rL ' 2 × 4.10-14 × 4.108 ' 3.10-5 m
soit quelques dizaines de microns, ce qui est très inférieur au rayon de la 
Lune.
La diffraction des rayons solaires par la Terre ne permet pas d'expliquer
l'éclairement de la Lune lors de son passage dans la zone d'ombre.
On peut envisager que de la lumière provienne d'autres astres, de la même
manière que la Lune « éclaire » les nuits sur Terre, par temps clair. On peut 
aussi
penser que la présence de l'atmosphère terrestre doit être prise en compte. 
Elle dévie
les rayons lumineux issus du Soleil par réfraction, hypothèse dont l'étude fait
l'objet de la suite de cette partie.
3 D'après la loi de la statique des fluides,
dp
(Z) = -a (Z)g
dZ
car GZ est la verticale ascendante. La loi des gaz parfaits s'écrit
p(Z) = a (Z)

RT
Ma

Injectons cette relation dans la loi de la statique des fluides (en prenant T 
constante) :
da
Ma g
(Z) = -a (Z)
dZ
RT

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire, du premier ordre, à 
coefficients constants
en a , que l'on intègre pour obtenir
a (Z) = a (0) e -Z/Hc

avec

Hc =

RT
8 × 3.102
'
' 8 km
Ma g
3.10-2 × 10

4 Au niveau de la mer, à l'altitude Z = 0

a (0) =

p(0)Ma
1,0.105 × 3.10-2
' 1 kg/m3
'
RT
8 × 3.102

À l'altitude ZE ' 8 km ' Hc au sommet de l'Everest :
a (ZE ) '

a (0)
' 0,3 kg/m3
3

Avec les données, on estime la masse volumique de l'air au sommet de l'Everest à
3.104 × 3.10-2
p(ZE )Ma
'
' 0,4 kg/m3
RT
8 × 250
On constate que le modèle isotherme conduit à une bonne estimation de a (ZE ).
La variation de température entre la mer et le sommet de l'Everest vaut 40 K 
(soit
environ 10 % de 300 K). Elle peut être négligée. En conséquence, le modèle de
l'atmosphère isotherme est réaliste sur environ 10 km d'atmosphère à
partir du sol.
5 D'après les informations fournies,
h 

-
x i 
-
E (M, t) = Em cos  t -
ey
c
D'après la relation de structure des ondes électromagnétiques planes 
progressives
dans le vide,

-

-
-
ex 
B (M, t) =
 E (M, t)
c
Ainsi,

h 

-
x i 
-
ez
B (M, t) = Bm cos  t -
c

avec

Bm =

Il est aussi correct d'écrire

h 

-
x i 
-

ey
 E (M, t) = Em sin  t - c
h 

-
x i 
-

 B (M, t) = Bm sin  t -
ez
c

Em
c