Mines Physique 1 MP 2019

Thème de l'épreuve Physique en arctique
Principaux outils utilisés électromagnétisme, mécanique, diffusion thermique
Mots clefs changement d'état, champ géomagnétique, lois de Coulomb, dynamo terrestre

Corrigé

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Mines Physique 1 MP 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (professeur en CPGE) ; il a été relu
par Arthur Alexandre (ENS Paris-Saclay) et Stéphane Ravier (professeur en CPGE).

Ce sujet est l'association de plusieurs exercices dont le fil conducteur est 
l'étude
de phénomènes physiques observables en arctique.
· La première partie débute par la description du champ magnétique terrestre.
On exploite les informations qui peuvent être extraites qualitativement, puis
quantitativement, de l'observation du mouvement de l'aiguille d'une boussole.
Un modèle dipolaire est ensuite proposé pour modéliser ce champ. On cherche
à calculer le moment magnétique de la Terre et à exprimer, en un point de sa
surface, l'angle entre le vecteur champ magnétique et le méridien local. Puis
on s'interroge sur le lien entre la rotation propre de la Terre et l'existence 
de
ce champ magnétique. C'est l'induction magnétique qui assure ce couplage.
L'entraînement mécanique est décrit par le moment des forces de Laplace. On
établit les équations électrique et mécanique couplées qui régissent ce 
phénomène. S'ensuit une discussion sur la détermination et la stabilité des 
points de
fonctionnement de cette dynamo auto-entretenue.
· C'est l'étude du mouvement d'un traîneau tracté par un attelage sur la 
banquise qui ouvre la partie suivante. On s'intéresse plus particulièrement à 
l'effet
du frottement solide entre la neige et le traîneau lors de sa mise en mouvement,
pour gravir une faible pente, accélérer sur une surface horizontale ou encore
négocier un virage. Cette partie se poursuit par l'étude de la croissance de
l'épaisseur de la banquise. L'approche choisie est originale : on ramène l'étude
à une association de résistances et d'une source de courant thermiques. 
L'équation différentielle donnant l'évolution de l'épaisseur de glace est 
obtenue en
appliquant la loi des noeuds en terme de températures. Sa résolution fait appel
à la méthode de séparation des variables.
De difficulté modérée, cet énoncé balaie de larges parties du programme.
Il est proche du cours et peu calculatoire. Avec un minimum d'entraînement, les
quelques applications numériques sont aisément réalisables sans calculatrice.

Indications
Partie I
2 Invoquer le théorème scalaire du moment cinétique. Reconnaître une équation
d'oscillateur harmonique dans la limite des petits angles. Relier la pulsation 
propre
intervenant dans l'équation à la période des oscillations.

3 Utiliser le formulaire. Décomposer le vecteur -
ez sur les vecteurs -
er et -
e .

-
4 Que vaut  (ou ) à l'équateur ? à chaque pôle ? Exprimer la norme de B aux
pôles en fonction de celle à l'équateur.

-
5 Sur un schéma, placer un point sur chaque hémisphère, les vecteurs B et -
e
N en

-

-
ces points. Les lignes de champ de B sont orientées dans le même sens que M.

-
-

-

-
Relier -
e
N et e , puis exprimer tan D à l'aide des projections de B sur er et e .

-
6 Un argument de symétrie permet de trouver la direction de B (P). La règle de

-
la main droite permet de trouver le sens de B en fonction de celui de i et d'en

-
déduire le signe de Ma et Mb . Exprimer d'abord le flux de B (P) à travers un
élément de surface du disque sous forme d'un produit scalaire en prenant garde à
la convention d'orientation du vecteur surface. Intégrer ensuite sur tout le 
disque.
Attention à la convention d'orientation imposée pour i.
8 La somme des puissances de Laplace et de la f.e.m. est nulle (couplage 
parfait).
9 Représenter le schéma électrique équivalent et appliquer la loi des mailles. 
Écrire
le théorème scalaire du moment cinétique.
10 Dériver H par rapport au temps, puis injecter les deux équations de la 
question 9.
Pour le calcul du gradient, il faut voir i et  comme des coordonnées x et y.
Partie II
12 Considérer un élément de corde situé entre x et x + 2dx. Lister les actions 
mécaniques et appliquer le principe fondamental de la dynamique.
13 Projeter le théorème de la résultante dynamique sur l'axe dirigeant le 
mouvement
et l'axe perpendiculaire au sol. Utiliser la loi de Coulomb pour le glissement 
et
chercher à exprimer la réaction tangentielle sous la forme µd Mg.
14 Procéder de manière analogue à la question précédente. Cette fois, c'est la 
loi de
Coulomb pour l'adhérence qui permet de répondre.
15 Le théorème de la résultante dynamique permet d'obtenir une équation 
différentielle linéaire, du premier ordre, à coefficients constants, en v, 
qu'il faut intégrer.
À l'instant t1 , v(t1 ) = 0,95 v0 . Remarquer que 5% = 1/20.
16 Pour un mouvement circulaire uniforme, l'accélération est centripète et 
s'exprime
en fonction de la vitesse et du rayon du cercle. Exprimer tan  et exploiter la
relation sin2  + cos2  = 1.
20 Attention, P u est une puissance surfacique.
21 Procéder en deux temps : établir le schéma équivalent en l'absence de 
changement
d'état, puis ajouter les source et dipôle qui modélisent ce changement d'état.
L'expression de  s'obtient en raisonnant sur une masse élémentaire d'eau qui
change d'état durant dt et libère l'enthalpie de changement d'état associée.
22 Utiliser la loi des noeuds en terme de températures (prendre garde aux 
signes).
Éliminer un des termes pour traduire la différence d'ordre de grandeur. La 
méthode de séparation des variables permet de démontrer la relation entre z g 
et t.
23 Approximer la relation obtenue à la question précédente pour z g  g et z g  
g .

Physique en Arctique
I. Pôles géographiques et magnétiques
-
1 Assimilons l'aiguille aimantée à un dipôle magnétique de moment 
m. D'après le

-
formulaire, son énergie potentielle dans le champ magnétique terrestre B est

-

Ep = --
m·B
Ainsi, l'aiguille aimantée tend à s'aligner dans le même sens que les lignes de 
champ

-
du champ B terrestre, ce qui minimise l'énergie potentielle de la boussole.

-
Comme les lignes de champ du champ magnétique terrestre B sont orientées du
pôle Sud géographique vers le pôle Nord géographique, à l'équilibre, le moment
magnétique de la boussole s'oriente selon la direction Nord-Sud 
perpendiculairement à l'axe () en pointant vers le Nord géographique. Cette
position est une position d'équilibre stable puisqu'elle correspond à un minimum
d'énergie potentielle.
On peut aussi justifier la stabilité en remarquant que si on écarte l'aiguille
de sa position d'équilibre, le couple magnétique l'y ramène, ce qui caractérise
une position d'équilibre stable.
2 Appliquons le théorème scalaire du moment cinétique à l'aiguille de la 
boussole en rotation autour de l'axe () orienté par

le vecteur -
er , dans le référentiel du sol, supposé galiléen :
 
-

I = -
m B ·-
er

-

m

-
BN
-

er

\
-
 -
-
-

avec  = BN ; 
m où BN est la composante de B normale à
l'axe (). Il vient
I = -mBN sin 

soit encore

 +

mBN
sin  = 0
I

À la limite des petits angles, sin    et l'équation précédente conduit à une 
équation
d'oscillateur harmonique dont la période  osc vérifie

2
2
mBN
=
I
 osc
d'où

BN =

4 2 I
m  osc 2

La connaissance de I, m et  osc permet de déterminer la composante du champ
magnétique normale à l'axe () de rotation de l'aiguille.
L'énoncé désigne  osc comme la « pseudo-période » et indique que le frottement 
au niveau de la liaison pivot est « faible ». Cela peut suggérer de
prendre en compte le moment de la liaison sous la forme -h (frottement
visqueux). Dans ce cas, l'équation différentielle des petites oscillations 
s'écrit
h
mBN
 +  +
=0
I
I
En régime faiblement amorti, les solutions sont de la forme

(t) = 0 e -ht/(2I) cos(t + )

avec  =

s

mBN
-
I

h
2I

2

Pour un amortissement suffisamment faible (h  mBN ),
r
2
mBN
=
 osc
I
et on retrouve la même expression de  osc que dans le modèle sans frottement.
3 D'après le formulaire, le champ géomagnétique au sol s'écrit

-

-

-

-

-
µ0 3 RT er M0 ez · RT er - RT 2 M0 ez
B =
4
RT 5
h
i
 -
µ0 M0

-

-

-

=
3
e
e
·
e
-
e
r
z
r
z
4 RT 3

-

D'après la figure 7,
e = cos  -
e - sin  -
e
z

r

-

ez 
-

er
P

-

e

O
-

-
Injectons cette décomposition de 
ez dans l'expression de B :
i
-

µ0 M0 h

-

-
B =
2
cos

e
+
sin

e
r

4 RT 3

-

4 À l'équateur,  = /2 et 
e = --
ez , d'où

-
µ0 M0 -

ez
BE = -
4 RT 3
-
-
Puisque BE est orienté du pôle Sud géographique vers le pôle Nord géographique, 
BE

et -
ez sont de même sens. Cela impose
M0 < 0
Ce résultat traduit que le pôle Nord géographique correspond au pôle Sud
géomagnétique. On devait s'attendre à ce résultat, car l'aiguille de la 
boussole présente spontanément son pôle Nord magnétique au pôle Sud 
géomagnétique, qui est donc situé au pôle Nord géographique.
-
D'après l'expression de BE ,
M0 = -

4 RT 3 BE
(6,4.106)3 × 3.10-5
=-
= -8.1022 A.m2
µ0
10-7

Cette valeur est énorme (en valeur absolue). À titre de comparaison, l'aiguille 
aimantée d'une boussole possède typiquement un moment magnétique de 1 A.m2 et le
moment d'un atome est de l'ordre de 10-23 A.m2 .