Mines Physique 1 MP 2019

Thème de l'épreuve Physique en arctique
Principaux outils utilisés électromagnétisme, mécanique, diffusion thermique
Mots clefs changement d'état, champ géomagnétique, lois de Coulomb, dynamo terrestre

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                    

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
        

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Mines Physique 1 MP 2019 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (professeur en CPGE) ; il a été relu par Arthur Alexandre (ENS Paris-Saclay) et Stéphane Ravier (professeur en CPGE). Ce sujet est l'association de plusieurs exercices dont le fil conducteur est l'étude de phénomènes physiques observables en arctique. · La première partie débute par la description du champ magnétique terrestre. On exploite les informations qui peuvent être extraites qualitativement, puis quantitativement, de l'observation du mouvement de l'aiguille d'une boussole. Un modèle dipolaire est ensuite proposé pour modéliser ce champ. On cherche à calculer le moment magnétique de la Terre et à exprimer, en un point de sa surface, l'angle entre le vecteur champ magnétique et le méridien local. Puis on s'interroge sur le lien entre la rotation propre de la Terre et l'existence de ce champ magnétique. C'est l'induction magnétique qui assure ce couplage. L'entraînement mécanique est décrit par le moment des forces de Laplace. On établit les équations électrique et mécanique couplées qui régissent ce phénomène. S'ensuit une discussion sur la détermination et la stabilité des points de fonctionnement de cette dynamo auto-entretenue. · C'est l'étude du mouvement d'un traîneau tracté par un attelage sur la banquise qui ouvre la partie suivante. On s'intéresse plus particulièrement à l'effet du frottement solide entre la neige et le traîneau lors de sa mise en mouvement, pour gravir une faible pente, accélérer sur une surface horizontale ou encore négocier un virage. Cette partie se poursuit par l'étude de la croissance de l'épaisseur de la banquise. L'approche choisie est originale : on ramène l'étude à une association de résistances et d'une source de courant thermiques. L'équation différentielle donnant l'évolution de l'épaisseur de glace est obtenue en appliquant la loi des noeuds en terme de températures. Sa résolution fait appel à la méthode de séparation des variables. De difficulté modérée, cet énoncé balaie de larges parties du programme. Il est proche du cours et peu calculatoire. Avec un minimum d'entraînement, les quelques applications numériques sont aisément réalisables sans calculatrice. Indications Partie I 2 Invoquer le théorème scalaire du moment cinétique. Reconnaître une équation d'oscillateur harmonique dans la limite des petits angles. Relier la pulsation propre intervenant dans l'équation à la période des oscillations. 3 Utiliser le formulaire. Décomposer le vecteur - ez sur les vecteurs - er et - e . - 4 Que vaut (ou ) à l'équateur ? à chaque pôle ? Exprimer la norme de B aux pôles en fonction de celle à l'équateur. - 5 Sur un schéma, placer un point sur chaque hémisphère, les vecteurs B et - e N en - - ces points. Les lignes de champ de B sont orientées dans le même sens que M. - - - - Relier - e N et e , puis exprimer tan D à l'aide des projections de B sur er et e . - 6 Un argument de symétrie permet de trouver la direction de B (P). La règle de - la main droite permet de trouver le sens de B en fonction de celui de i et d'en - déduire le signe de Ma et Mb . Exprimer d'abord le flux de B (P) à travers un élément de surface du disque sous forme d'un produit scalaire en prenant garde à la convention d'orientation du vecteur surface. Intégrer ensuite sur tout le disque. Attention à la convention d'orientation imposée pour i. 8 La somme des puissances de Laplace et de la f.e.m. est nulle (couplage parfait). 9 Représenter le schéma électrique équivalent et appliquer la loi des mailles. Écrire le théorème scalaire du moment cinétique. 10 Dériver H par rapport au temps, puis injecter les deux équations de la question 9. Pour le calcul du gradient, il faut voir i et comme des coordonnées x et y. Partie II 12 Considérer un élément de corde situé entre x et x + 2dx. Lister les actions mécaniques et appliquer le principe fondamental de la dynamique. 13 Projeter le théorème de la résultante dynamique sur l'axe dirigeant le mouvement et l'axe perpendiculaire au sol. Utiliser la loi de Coulomb pour le glissement et chercher à exprimer la réaction tangentielle sous la forme µd Mg. 14 Procéder de manière analogue à la question précédente. Cette fois, c'est la loi de Coulomb pour l'adhérence qui permet de répondre. 15 Le théorème de la résultante dynamique permet d'obtenir une équation différentielle linéaire, du premier ordre, à coefficients constants, en v, qu'il faut intégrer. À l'instant t1 , v(t1 ) = 0,95 v0 . Remarquer que 5% = 1/20. 16 Pour un mouvement circulaire uniforme, l'accélération est centripète et s'exprime en fonction de la vitesse et du rayon du cercle. Exprimer tan et exploiter la relation sin2 + cos2 = 1. 20 Attention, P u est une puissance surfacique. 21 Procéder en deux temps : établir le schéma équivalent en l'absence de changement d'état, puis ajouter les source et dipôle qui modélisent ce changement d'état. L'expression de s'obtient en raisonnant sur une masse élémentaire d'eau qui change d'état durant dt et libère l'enthalpie de changement d'état associée. 22 Utiliser la loi des noeuds en terme de températures (prendre garde aux signes). Éliminer un des termes pour traduire la différence d'ordre de grandeur. La méthode de séparation des variables permet de démontrer la relation entre z g et t. 23 Approximer la relation obtenue à la question précédente pour z g g et z g g . Physique en Arctique I. Pôles géographiques et magnétiques - 1 Assimilons l'aiguille aimantée à un dipôle magnétique de moment m. D'après le - formulaire, son énergie potentielle dans le champ magnétique terrestre B est - Ep = -- m·B Ainsi, l'aiguille aimantée tend à s'aligner dans le même sens que les lignes de champ - du champ B terrestre, ce qui minimise l'énergie potentielle de la boussole. - Comme les lignes de champ du champ magnétique terrestre B sont orientées du pôle Sud géographique vers le pôle Nord géographique, à l'équilibre, le moment magnétique de la boussole s'oriente selon la direction Nord-Sud perpendiculairement à l'axe () en pointant vers le Nord géographique. Cette position est une position d'équilibre stable puisqu'elle correspond à un minimum d'énergie potentielle. On peut aussi justifier la stabilité en remarquant que si on écarte l'aiguille de sa position d'équilibre, le couple magnétique l'y ramène, ce qui caractérise une position d'équilibre stable. 2 Appliquons le théorème scalaire du moment cinétique à l'aiguille de la boussole en rotation autour de l'axe () orienté par le vecteur - er , dans le référentiel du sol, supposé galiléen : - I = - m B ·- er - m - BN - er \ - - - - avec = BN ; m où BN est la composante de B normale à l'axe (). Il vient I = -mBN sin soit encore + mBN sin = 0 I À la limite des petits angles, sin et l'équation précédente conduit à une équation d'oscillateur harmonique dont la période osc vérifie 2 2 mBN = I osc d'où BN = 4 2 I m osc 2 La connaissance de I, m et osc permet de déterminer la composante du champ magnétique normale à l'axe () de rotation de l'aiguille. L'énoncé désigne osc comme la « pseudo-période » et indique que le frottement au niveau de la liaison pivot est « faible ». Cela peut suggérer de prendre en compte le moment de la liaison sous la forme -h (frottement visqueux). Dans ce cas, l'équation différentielle des petites oscillations s'écrit h mBN + + =0 I I En régime faiblement amorti, les solutions sont de la forme (t) = 0 e -ht/(2I) cos(t + ) avec = s mBN - I h 2I 2 Pour un amortissement suffisamment faible (h mBN ), r 2 mBN = osc I et on retrouve la même expression de osc que dans le modèle sans frottement. 3 D'après le formulaire, le champ géomagnétique au sol s'écrit - - - - - µ0 3 RT er M0 ez · RT er - RT 2 M0 ez B = 4 RT 5 h i - µ0 M0 - - - = 3 e e · e - e r z r z 4 RT 3 - D'après la figure 7, e = cos - e - sin - e z r - ez - er P - e O - - Injectons cette décomposition de ez dans l'expression de B : i - µ0 M0 h - - B = 2 cos e + sin e r 4 RT 3 - 4 À l'équateur, = /2 et e = -- ez , d'où - µ0 M0 - ez BE = - 4 RT 3 - - Puisque BE est orienté du pôle Sud géographique vers le pôle Nord géographique, BE et - ez sont de même sens. Cela impose M0 < 0 Ce résultat traduit que le pôle Nord géographique correspond au pôle Sud géomagnétique. On devait s'attendre à ce résultat, car l'aiguille de la boussole présente spontanément son pôle Nord magnétique au pôle Sud géomagnétique, qui est donc situé au pôle Nord géographique. - D'après l'expression de BE , M0 = - 4 RT 3 BE (6,4.106)3 × 3.10-5 =- = -8.1022 A.m2 µ0 10-7 Cette valeur est énorme (en valeur absolue). À titre de comparaison, l'aiguille aimantée d'une boussole possède typiquement un moment magnétique de 1 A.m2 et le moment d'un atome est de l'ordre de 10-23 A.m2 .