Mines Physique 1 MP 2017

Thème de l'épreuve Les memristors
Principaux outils utilisés électromagnétisme, physique quantique, électrocinétique
Mots clefs caractéristique, memristor, falaise de potentiel

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A2017 ­ PHYSIQUE I MP

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT Atlantique (ex Télécom Bretagne),
ENSAE PARISTECH.
Concours Centrale-Supelec (Cycle International),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.
CONCOURS 2017
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE I - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Physique I, annee 2017 -- filiere MP

LES MEMRISTORS
En 1971, le professeur Leon Chua - qui exerca a l'Universite de Berkeley - 
predit l'existence d'un dipole passif nouveau capable de servir de memoire 1 . 
Ce dipole venant completer la
liste des trois dipoles fondamentaux de l'electricite a savoir le resistor, la 
bobine et le condensateur. Le terme de memristor qu'il inventa resulte de la 
contraction des deux termes memory
et resistor.
En 2008, des chercheurs 2 des HP Labs ont puc
blie un article 3 dans la revue Nature!
intitule The
missing memristor is found, dans lequel ils annoncent
avoir mis au point un memristor presentant les proprietes prevues par Leon Chua 
en 1971. La photographie de la figure 1 montre un ensemble de ces
memristors.
En 2015, HP! et SanDisk! se sont associes
pour developper la technologie des memoires a base
de memristors. Les atouts esperes de ce type de
memoires peuvent laisser reveur : 1 000 fois plus rapides que les memoires 
flashs actuelles, 1 000 fois
plus de cycles lecture-ecriture qu'actuellement et,
1 memristor
pour couronner le tout, une densite inegalee au point Figure 1 ­ Un ensemble de 
memristors
de pouvoir doter un smartphone d'une memoire de (echelle nanometrique) !
c HP Labs
100 To en 2020 !
Le probleme propose comporte 3 parties largement independantes qui abordent 
differents
aspects des memristors. A toutes fins utiles un formulaire est fourni a la fin 
du sujet.
$

I. -- Generalites sur les memristors

5
2

I.A. -- Le quatrieme dipole

!

1
4

?

Les quatre grandeurs fondamentales de l'electrocinetique sont la
#
3
"
charge q, le courant i, le flux propre magnetique  a travers le circuit et
la tension u. Elles sont en general dependantes du temps t. On considere Figure 
2 ­ Carre
les trois dipoles classiques que sont le resistor de resistance R, la bobine 
fondamental
d'inductance L et le condensateur de capacite C. Ces trois dipoles seront 
supposes parfaits. Il
est possible de representer les quatre grandeurs fondamentales de 
l'electrocinetique au sommet
d'un graphe ­ carre en l'occurrence ­ ou les aretes representent des relations 
fondamentales ou
des relations fonctionnelles des dipoles. Ce carre est represente sur la figure 
2. Avant 1971, on
connaissait cinq relations entre les sommets de ce graphe et une etait 
manquante. On se placera
systematiquement en convention recepteur pour tout dipole etudie dans la suite 
du probleme.
1 -- Rappeler les relations fonctionnelles de proportionnalite caracterisant 
les trois dipoles
parfaits classiques. Ces relations correspondent aux aretes 1 , 2 et 3 du carre 
fondamental
de la figure 2. On precisera l'unite usuelle de chaque coefficient de 
proportionnalite.
2 -- Rappeler la relation fondamentale liant q, i et t. A partir d'une equation 
de Maxwell,
justifier que u = d
.
dt
1. IEEE Transactions on Circuit Theory, vol. CT-18, N 5, September, 1971.
2. Dmitri Strukov, Gregory Snider, Duncan Stewart et Stanley Williams
3. Nature, Vol 453-- 1 May 2008-- doi :10.1038/nature06932

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Physique I, annee 2017 -- filiere MP

3 -- Deduire des deux questions precedentes une ecriture de chaque relation 1 a 
5 du
carre fondamental de la figure 2 sous la forme dx = ydz.
4 -- Dans son article de 1971, Leon Chua predit l'existence d'une relation f 
(,q) = 0
que l'on peut soit expliciter sous la forme  = (q), on dit que l'on a un 
memristor controle
par la charge ; soit sous la forme q = q(), on dit alors que l'on a un 
memristor controle
par le flux. La sixieme relation differentielle est posee sous la forme d = M 
(q) dq ou M (q)
est la memristance. Quelle unite rencontree frequemment en electricite est 
aussi celle de la
memristance ? On justifiera precisement sa reponse.
5 -- On associe deux memristors de memristances M1 et M2 en serie. Quelle est 
la memristance M du dipole equivalent ? On justifiera sa reponse. Meme question 
si on associe M1 et
M2 en parallele.
Afin de concretiser la notion de memristor, on propose de le modeliser par la 
relation
(q) =  q + 3 q 3 ou  et  sont des coefficients reels positifs. On impose dans 
le memristor une
intensite i(t) = i0 sin t pour t  0 et on suppose que pour t < 0, i = 0. Enfin, 
on considere
qu'a la date t = 0, on a q(t = 0) = 0.

"(!)

0

6 -- Determiner l'expression de q(t) et tracer sur
un meme graphique les courbes representatives de
i(t) et q(t).

#/$

2#/$

3#/$

Figure 3 ­ Graphe de (t)

!

7 -- On donne sur la figure 3 la courbe representative de (t). Reproduire cette 
courbe en y rajoutant sans calcul l'allure de la courbe representative
de u(t).

$
8 -- En analysant la courbe u(i) du memristor precedent
representee sur la figure 4, pourquoi peut-on dire, en simplifiant un peu, que 
le memristor etudie presente deux regimes
de fonctionnement : l'un dans lequel il laisse passer le courant et l'autre 
dans lequel ce n'est pas le cas ?
0
9 -- La courbe u(i) de la figure 4 presente donc un
"
phenomene particulier. De quoi depend la resistance du
memristor ? Expliquer la possibilite d'utiliser le memristor
pour memoriser une information.
10 -- Leon Chua qualifia le memristor de non volatile memory, c'est-a-dire de 
memoire permanente. Quel
element sur le graphique de la figure 4 permet de dire que
Figure 4 ­ Courbe u(i) du memle memristor est une telle memoire ?
ristor propose

I.B. -- Conductivite
On considere un milieu conducteur ou les porteurs de charge possedent chacun 
une charge
q et une masse m. Ils sont presents dans le milieu conducteur suppose homogene 
et isotrope
a raison d'une densite volumique n en m-3 . Ces porteurs sont soumis a un champ 
electrique
qui va les mettre en mouvement pour creer un courant. Lorsqu'elles se 
deplacent, ces charges
interagissent avec d'autres porteurs en mouvement mais aussi avec leur 
environnement fixe
constitue par le reseau cristallin du conducteur. Elles subissent alors des 
interactions que l'on
m
peut assimiler a des chocs. Il resulte de l'ensemble des interactions une force 
de type - &v ou

&v est la vitesse des porteurs mobiles et  la duree moyenne qui separe deux 
chocs successifs
subis par une charge q. Cette duree est de l'ordre de 10-12 s. Le poids des 
charges sera neglige.
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Physique I, annee 2017 -- filiere MP

On etudie un conducteur cylindrique de section S, de rayon a et de longueur  
constitue du
milieu conducteur defini ci-dessus. Ce conducteur est soumis a une difference 
de potentiel U0
& 0 uniforme et independant du temps.
independante du temps qui impose un champ electrique E
11 -- Etablir l'equation differentielle a laquelle satisfait la vitesse des 
porteurs de charge.
Donner la solution &v (t) sans se preoccuper de determiner la constante 
d'integration. Quelle est
l'expression de la vitesse en regime permanent ? Sauf precision contraire, on 
considere que l'on
est en regime permanent. Cette hypothese est-elle contraignante ?
12 -- La mobilite µ des porteurs de charge est definie de telle sorte que &v = 
µE&0 . Donner
l'expression de la mobilite d'une charge q. Apres avoir rappele la definition 
de la densite volumique de courant &j0 , etablir l'expression de la 
conductivite electrique 0 du conducteur definie
par la loi &j0 = 0 E&0 . Quel est le nom de la loi precedente ?
13 -- Determiner l'expression de la resistance electrique R0 du cylindre 
conducteur en
fonction de 0 ,  et S.
14 -- Leon Chua indiqua dans son article fondateur que la resistance etait un 
dipole
memory less 4 car le signal associe a la tension suivait instantanement les 
evolutions du signal
associe au courant. Justifier cette affirmation.
& 0 mais un champ
15 -- On impose maintenant au dipole non plus le champ electrique E
&
&
&
electrique E1 toujours uniforme mais dependant du temps selon E1 = E1m cos t. 
Montrer que
le dipole peut etre decrit au moyen d'une impedance complexe Z correspondant a 
l'association
de deux dipoles et que la tension ne suit plus instantanement les evolutions de 
l'intensite. On
exprimera Z en fonction, entre autres, de R0 . A quelle condition retrouve-t-on 
la situation
ou le dipole est un resistor de resistance R0 ? Qualifier le comportement du 
conducteur et
l'interpreter.
& 0 impose est independant du temps. On
On revient a la situation ou le champ electrique E
etudie a nouveau la situation du regime permanent.
& 0 ? Quelle
16 -- Quelle est la puissance transferee a la charge q par le champ electrique E
est la puissance volumique associee a ce transfert d'energie ?
17 -- En considerant l'ensemble du conducteur cylindrique, montrer que la 
puissance qu'il
recoit est p = u i. Cette expression peut etre generalisee aux regimes 
lentement variables puisque
la puissance instantanee p(t) est alors donnee par : p(t) = u(t) i(t).
18 -- Dans le cas ou le dipole est un memristor, exprimer la puissance qu'il 
recoit en
fonction de sa memristance et de l'intensite du courant.
FIN DE LA PARTIE I

II. -- Le memristor des HP Labs
Le memristor mis au point aux HP Labs est constitue par un mince film de 
dioxyde de
titane de 5 nm d'epaisseur et de longueur  = 10 nm. A chaque extremite de ce 
dipole, le
contact electrique est assure par 2 electrodes de platine. La particularite de 
ce memristor est
que le dioxyde de titane presente dans une zone des lacunes en oxygene, la 
formule brute du
dioxyde de titane etant alors TiO2-x si x represente les lacunes. On admet que 
cette situation
est equivalente a celle d'un milieu dope dans lequel les charges mobiles 
portent deux charges
elementaires positives q = +2e. Dans le reste du film, on trouve du dioxyde de 
titane sans
lacune de formule TiO2 . Si le film est totalement dope, sa resistance 
electrique est faible et vaut
Ron  1 k. Au contraire, si le film n'est pas dope du tout alors sa resistance 
electrique est
elevee : Roff  100 Ron . Supposons que la frontiere entre la zone dopee et la 
zone non dopee
soit situee a l'abscisse z, voir le schema de la figure 5.
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Physique I, annee 2017 -- filiere MP

dopée

non dopée

!

! !
! !
!
Pt ! ! !
!
! ! !! !

"

TiO2¡%
0

Pt

TiO2
%

&

%

Figure 5 ­ Representation schematique du memristor des HP Labs
19 -- Donner l'expression de la resistance electrique du memristor lorsque la 
frontiere entre
la zone dopee et la zone non dopee se situe a l'abscisse z0 , on notera cette 
resistance Rmemo .
La particularite du film de dioxyde de titane est que la position de la 
frontiere evolue au
cours du temps en fonction de l'intensite du courant qui est passee mais aussi 
en fonction du
sens de ce courant. C'est cela qui en fait un memristor. On peut donc passer 
d'un dispositif
bon conducteur a un autre presque isolant. On note dorenavant z(t) la position 
de la frontiere
entre la zone dopee et la zone non dopee.
Pour le deplacement de la frontiere, on reprend le modele lineaire de la 
mobilite etudie a la
question 12 ou l'on note toujours µ la mobilite des charges mobiles. On propose 
alors d'ecrire
la relation dz
= µ Roni(t) dans laquelle le courant i(t) est algebrique et son sens 
conventionnel
dt
precise sur la figure 5.
20 -- Interpreter la relation precedente.
21 -- On suppose que i(t < 0) = 0, puis que
i(t  0) %= 0 et enfin qu'a la date t = 0, la frontiere +4 ' [mA]
est situee en z = z0 . Etablir l'expression de z(t) en
fonction, entre autres, de la charge q(t) qui a circule
+2
depuis la date t = 0. Quelle est la charge minimale
Qmin necessaire, dans le cas le plus defavorable, pour
que le memristor soit dans l'etat le plus conducteur
0
possible ?
Pt
22 -- Etablir l'expression de la memristance M (q)
TiO2
en fonction, entre autres, de Rmemo . Expliquer pour- +2
quoi le memristor a ete realise pour la premiere fois
Pt
avec un systeme nanometrique.
+4
& [V]
23 -- Pour simplifier les calculs, on considere que
Roff  Ron , z0 = 0 et (t = 0) = 0. On impose dans
0
+1
+1
le memristor, a partir de la date t = 0, un courant
Figure 6 ­ Courbe i(u) experimentale
d'intensite i(t) = i0 sin t. Etablir les expressions de
du film de TiO2
q(t), (t) et u(t).
24 -- Dans leur article de 2008, les chercheurs 5
des HP Labs ont obtenu experimentalement la courbe i(u) de la figure 6. 
Commenter cette
courbe.
FIN DE LA PARTIE II
4. sans memoire
5. D. Strukov, G. Snider, D. Stewart & S. Williams The missing memristor is 
found Nature Vol 453-- 1
May 2008-- doi :10.1038/nature06932

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Physique I, annee 2017 -- filiere MP

( (')

III. -- Une falaise de potentiel ?

)
0

On etudie l'evolution d'un quanton de masse m qui
'
milieu 1
milieu 2
aborde, avec une energie E > 0, une falaise de potentiel
- (0
de hauteur V0 constante situee en x = 0, voir le schema
de la figure 7. L'etude est undimensionnelle conduite sur Figure 7 ­ Falaise de 
potentiel et
energie du quanton
un axe Ox.
25 -- A partir de l'equation de Schrodinger, etablir l'equation differentielle 
verifiee par
la fonction d'onde spatiale (x) associee au quanton.
26 -- Dans le cas ou le quanton arrive depuis x  -, etablir les expressions de 
la fonction
d'onde 1 (x) dans le milieu 1 et 2 (x) dans le milieu 2. Il n'est pas 
necessaire de determiner
les constantes d'integration.
27 -- Etablir l'expression du coefficient r rapport de l'amplitude de la 
fonction d'onde
spatiale correspondant a l'onde reflechie et de l'amplitude de l'onde 
incidente. De la meme
facon, etablir l'expression du coefficient t rapport de l'amplitude de la 
fonction d'onde spatiale
correspondant a l'onde transmise et de l'amplitude de l'onde incidente.
28 -- En deduire les coefficients R et T de reflexion et de transmission de la 
densite de
courant de probabilite. Faire l'application numerique lorsque 8E = V0 .
Dans le cas du memristor des HP Labs, les charges constituant le courant i(t) 
traversent
le film de dioxyde de titane facilement dans un sens et beaucoup plus 
difficilement dans l'autre
sens. On s'interroge pour savoir si ces charges peuvent etre decrites comme le 
quanton des
questions precedentes abordant une falaise de potentiel par un cote ou bien par 
l'autre pour
expliquer la difference de conductivite du memristor en fonction du sens du 
courant.
29 -- Qu'en pensez-vous ? Que proposeriez-vous ?
FIN DE LA PARTIE III

Formulaire
Formules de Green
Soit S une surface fermee entourant un volume  . Le flux d'un vecteur sur la 
surface S orientee
vers l'exterieur est egal a l'integrale de la divergence de ce vecteur sur tout 
le volume  :
!
"
& · dS
&=
& d
Theoreme de Green - Ostrogradski
A
div A
S

 /S

Soit C une courbe fermee sur laquelle s'appuie une surface . La circulation 
d'un vecteur le
long de C est egale au flux du rotationnel de ce vecteur a travers  orientee 
selon la regle du
tire-bouchon.
!
#
&
&
& · d
&
Theoreme de Stokes
A · d =
rot A
C

/C

Mecanique quantique
On note ! = h/2 avec h la constante de Planck. On rappelle l'equation de 
Schrodinger
pour un quanton de masse m possedant l'energie E, evoluant en milieu 
unidimensionnel d'axe

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Physique I, annee 2017 -- filiere MP

Ox dans un potentiel 6 V (x) independant du temps. Le quanton est represente 
par la fonction
d'onde (x,t). On a :
~2  2 (x,t)
(x,t)
=-
+ V (x) (x,t)
i~
t
2m x2
Dans le cas d'un potentiel V (x) independant du temps, les etats stationnaires 
du quanton sont
decrits par la fonction d'onde es (x,t) telle que :
E
es (x,t) = (x) exp -i t
~
ou (x) est la fonction d'onde spatiale.
On rappelle enfin que la densite de courant de probabilite de presence est 
definie par :
~k
J~ = ±
|(x)|2 ~ex
m
ou k est le module du vecteur d'onde associe au quanton et ~ex est un vecteur 
unitaire.
FIN DE L'EPREUVE

6. Attention : en Mecanique quantique, on nomme potentiel V (x) en realite une 
energie potentielle.

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 1 MP 2017 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (professeur en CPGE) ; il a été relu
par Tom Morel (professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (professeur en CPGE).

Ce sujet porte sur un nouveau composant qui pourrait prochainement 
révolutionner les capacités de stockage de l'information : le memristor, sorte 
de résistance à
effet mémoire.
· La première partie s'intéresse d'abord aux propriétés des memristors du point
de vue de l'électrocinétique : quelle est l'unité d'une memristance ? comment
s'exprime la memristance d'une association série ou parallèle de memristors ?
Le candidat est ensuite invité à se pencher sur la caractéristique de ce dipôle
pour expliquer l'effet de mémoire permanente. Si les premières questions de
cette partie sont assez faciles, il n'en va pas de même pour les dernières, qui
reposent sur l'analyse d'une caractéristique non linéaire.
· C'est l'étude de l'équation du mouvement des porteurs mobiles dans un 
conducteur qui ouvre la deuxième partie. En s'appuyant sur le modèle de Drude,
on analyse successivement leur comportement vis-à-vis d'une tension continue, 
puis sinusoïdale. Cette approche débouche naturellement sur une analyse
des transferts énergétiques de la source de tension vers les porteurs mobiles.
L'effet mémoire du memristor étant dû à la migration de lacunes, qui peut
également être décrite par le modèle de Drude, on s'appuie sur les résultats
précédents pour interpréter le comportement du memristor. Cette partie est
très classique, bien que quelques questions demandent de l'intuition.
· Dans la troisième partie, on cherche à interpréter les propriétés de transport
du memristor à l'aide d'une description quantique simple. On est alors amené
à exprimer les coefficients de transmission et de réflexion d'un porteur mobile
sur une falaise de potentiel. Cette partie à la saveur quantique, en réalité 
très
proche du cours de physique des ondes, est assez facile.
Alternant des questions faciles, très classiques, et d'autres beaucoup plus 
délicates
par leur formulation ou par les capacités d'analyse qu'elles requièrent, ce 
sujet est
déroutant dès les premières questions. Il faut savoir surmonter la première 
impression
et ne pas se laisser déstabiliser pour pouvoir progresser. Une bonne maîtrise 
du cours
suffit en réalité à réussir l'essentiel de l'épreuve.

Indications
Partie I
5 Considérer l'association série de deux memristors. Exprimer la memristance du
memristor équivalent en utilisant l'additivité des tensions. Procéder de manière
analogue pour l'association parallèle (cette fois, en utilisant la loi des 
noeuds).
6 Ne pas oublier la condition initiale : en t = 0, q = 0.
8 Pour une même valeur de i, deux valeurs de u peuvent être observées. Chacune
correspond à un régime de fonctionnement. Pour trouver lequel est plutôt bloqué,
comparer les pentes en chaque valeur, qui renseignent sur la résistance.
10 Pour répondre à cette question, il faut se rappeler que M dépend de q. Une 
fois i
coupé, M(q) conserve la même valeur qu'avant coupure.
13 Utiliser E0  = u et j0 S = i.
15 Montrer que Z = R0 (1+j ). Quelle est l'association de deux composants 
simples
qui conduit à la même impédance ?
16 La puissance exercée par la force de Lorentz électrique sur une particule 
est égale
au produit scalaire entre la vitesse de cette particule et la force. Pour 
trouver la
puissance volumique, il faut prendre en compte le nombre de porteurs mobiles
par unité de volume, qui est lié à n.
17 Utiliser E0  = u et j0 S = i.
Partie II
19 Le film d'oxyde de titane peut être vu comme l'association en série de deux
résistances, l'une modélisant la zone dopée et l'autre, la zone non dopée.
-

20 Pour l'interprétation, utiliser l'analogie avec la formule -
v = µE .
0

21 Remarquer que Qmin correspond à z0  0 et z  .
22 La memristance est la résistance du film.
Partie III
25 Injecter la solution de type onde stationnaire proposée dans le formulaire 
dans
l'équation de Schrödinger.
26 Dans le domaine x > 0, V(x) = -V0 .
27 Utiliser la continuité de la fonction d'onde et de sa dérivée en x = 0 et 
remarquer
qu'aucune onde ne provient du côté droit.
28 Prendre garde que le coefficient T n'est pas juste égal à t2 .
29 Les expressions de T et R obtenues sont invariantes par échange des normes 
des
vecteurs d'onde. Cela suggère que la falaise est aussi facile à franchir dans 
les
deux sens de propagation.

I. Généralités sur les memristors
1 Rassemblons les relations demandées dans un tableau, où la résistance R 
s'exprime en ohms, la capacité C en farads, l'inductance L en henrys :
lien
(1)

résistor
×

(2)

u = Ri

(3)

×

condensateur
q = Cu
du
i=C
dt
×

bobine
×
di
u=L
dt
 = Li

2 Comme l'intensité i du courant électrique est un débit de charges,
i=

dq
dt

L'équation de Maxwell-Faraday s'écrit

-
-
B
- 
rot E = -
t
Appliquons le théorème de Stokes sur le contour orienté C défini par la portion 
de
circuit électrique aux bornes de laquelle u est appliqué. Alors,

I
ZZ -

 -
-

-
B
E · d = -
· dS
t
C
SC

où SC est une surface s'appuyant sur C . Permutons la dérivation sur le temps et
l'intégration sur l'espace :
 ZZ

I

 -
-

 -
-
d
E · d = -
B · dS
dt
C
SC

Le membre de gauche est égal à -u (en convention récepteur). L'intégrale dans le
membre de droite est égale au flux du champ magnétique  à travers le circuit. 
Ainsi,
u=

d
dt

3 Différentions les réponses de la question 1 :
lien
formule

(1)
dq = C du

(2)
du = R di

(3)
d = L di

Les deux autres relations sont obtenues à l'aide des réponses de la question 2,
lien
formule

(4)
dq = i dt

(5)
d = u dt

4 D'après la définition proposée,
[M] =
Comme

u
= [R],
i

d
u dt
=
dq
i dt

M s'exprime en ohms.

5 La configuration série est décrite par le
schéma électrique ci-contre. Par additivité
des tensions,
u = u1 + u2

u

i

M1

M2

u1

u2

D'après la relation (5), on en déduit que
d
d1
d2
=
+
dt
dt
dt
donc

M

Comme
il s'ensuit que

dq
dq1
dq2
= M1
+ M2
dt
dt
dt
dq1
dq2
dq
=
=
i=
dt
dt
dt

Pour une association série, M = M1 + M2 .

La configuration parallèle est décrite par le schéma
électrique ci-contre. D'après la loi des noeuds,
i = i1 + i2

d'où
Comme
il vient

M1

i

dq
dq1
dq2
=
+
dt
dt
dt
1 d1
1 d2
1 d
=
+
M dt
M1 dt
M2 dt
d1
d2
d
u=
=
=
dt
dt
dt

soit

i1

Pour une association parallèle,

i2
M2
u

1
1
1
=
+
.
M
M1
M2

6 Puisqu'on connaît i(t) et que dq = i dt, intégrons pour obtenir q(t) :

t
Z q(t)
Z t
i0
dq =
i( )d = - cos 

q(0)
0
 =0
D'après les données, q(0) = 0, si bien que
q(t) =

i0
(1 - cos t)

La charge q(t) oscille sinusoïdalement autour de la valeur moyenne i0 / avec 
l'amplitude i0 /. La fonction q(t) a même pulsation que i(t), atteint sa valeur 
moyenne
chaque fois que i(t) est extrémale et est extrémale chaque fois que i(t) 
s'annule.
On obtient le graphe suivant :
2i0

i0

0

q(t)

i(t)
q(t)
i0

i(t)

2

3

t
-i0