Mines Physique 1 MP 2016

Thème de l'épreuve Le Millenium Bridge
Principaux outils utilisés mécanique du point, ondes
Mots clefs oscillateur harmonique amorti, onde sur une corde, théorème de Shannon, résonance, régime sinusoïdal forcé, réponse à un échelon, onde stationnaire

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A 2016 - PHYSIQUE I MP CONCOURS COMMUN MINES PONTS Ecole des PONTS ParisTech, ISAE-SUPAERO, ENSTA ParisTech, TELECOM ParisTech, MINES ParisTech, MINES Saint-Etienne, MINES Nancy, TELECOM Bretagne, ENSAE ParisTech (Filiere MP). CONCOURS 2016 PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE (Duree de l'epreuve: 3 heures) L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est autorise. Sujet mis a la disposition des concours : Concours Commun TPE/EIVP, Concours Mines-Telecom, Concours Centrale-Supelec (Cycle international). Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page de la copie : PHYSIQUE I - MP L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages de texte. Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amene a prendre. Le Millennium Bridge Le Millennium Bridge Pour marquer le millenaire, une nouvelle passerelle a ete construite au dessus de la Tamise a Londres pour un cout total de plus de 20 millions de Livres Sterling. Quand elle fut ouverte aux pietons on remarqua tres vite qu'elle se balancait lateralement et verticalement en cas de forte affluence. Avec un grand nombre de pietons, son mouvement oblique etait tel que la plupart d'entre eux s'arretaient et s'accrochaient aux rampes. Des images et des videos ont montre que ces mouvements lateraux pouvaient avoir une amplitude moyenne de 75 mm et qu'ils se produisaient avec des frequences de l'ordre du hertz. Le pont fut donc ferme deux jours apres son ouverture au public. Dixhuit mois de recherches furent necessaire pour resoudre le probleme et faire les modifications preconisees par les ingenieurs qui furent donc finalement consultes. L'objectif de ce probleme est la modelisation de plus en plus fine d'une passerelle pietonne et la comprehension de certains problemes poses par le Millennium Bridge de Londres. Les vecteurs sont surmontes d'un chapeau s'ils sont unitaires u bx ou d'une fleche dans le cas general ~v . A l'exception de i tel que i2 = -1, les grandeurs complexes sont soulignees : z C. Un point . sur une grandeur indique la derivee par rapport au temps de cette grandeur : x = dx dt I. -- Oscillateur simple m G ~g Un oscillateur est constitue d'une masse m dont le centre d'inertie G est k repere par la position x dans le referentiel galileen (O, u bx ) ­ voir figure 1. ® L'origine O se situe au niveau du sol. L'oscillateur est relie a un support ux fixe par l'intermediaire d'un ressort lineaire de raideur k et de longueur a vide 0 ainsi que d'un amortisseur lineaire de viscosite , exercant sur O m une force de frottement F~f = -xb ux , avec > 0. A tout instant t, on assimile la distance OG a la longueur (t) du ressort. L'ensemble est Fig. 1 ­ Oscillateur soumis a l'acceleration de la pesanteur ~g = -g u bx avec g = 9,81 m · s-2 . 1 -- En appliquant la relation fondamentale de la dynamique etablir l'equation differentielle X + 20 X + 02 X = 0 dans laquelle on a introduit la fonction X (t) = x (t) - x ou x est une constante que l'on determinera en fonction de g, 0 et 0 . On precisera les expressions et significations de 0 et . 2 -- Dans le regime libre, le systeme est mis en vibration uniquement par des conditions initiales non nulles X(0) = X0 6= 0 et X (0) = V0 6= 0. Determiner les solutions du regime libre (en fonction de 0 , , X0 , V0 et t) pour les cas = 0 et 0 < < 1 et preciser leur comportement. Dans certains cas, le vent peut induire sur le systeme une force proportionnelle au vecteur vitesse que l'on ecrit F~v = xb ux , avec > 0. Quelle peut-etre la consequence de ce phenomene ? Differents cas peuvent etre examines pour l'excitation (ou forcage) F (t) de l'oscillateur etudie lors des deux premieres questions. Nous nous placerons dans l'optique d'une passerelle pietonne. Page 2/7 Physique I, annee 2016 -- filiere MP L'action de la marche d'un pieton est caracterisee par un contact continu sur la surface du sol puisque le second pied touche le sol avant que le premier ne le quitte. La force engendree comprend une composante verticale et une composante horizontale non prise en compte dans cette partie. 1,5 Charge par pied Pied gauche Pied droit 1,0 [unités arbitraires] 0,5 0,2 Charge combinée 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 Charge 1,0 [unités arbitraires] 0,0 Temps [seconde] 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 Figure 2 ­ Forcage d'une passerelle par la marche d'un pieton. Dans le cadre d'un modele simplifie, nous representerons cette force, appelee charge, par un vecteur periodique F~(t) = F~0 + F~1 cos (2f t). ~ 0 correspond a la force statique, c'est-a-dire au poids du pieton, la frequence Le vecteur F ~ 0 . Ces deux f correspond a celle d'une marche normale. Nous considererons que F~1 = 0,4 F vecteurs seront supposes constants et orientes comme -b ux . ~ 0 le module de la force statique, Y = X + F02 la reponse en deplacement de On note F0 = F m 0 l'oscillateur et Y = Ym eit sa representation complexe. 3 -- Que devient l'equation de l'oscillateur en Y sous le forcage pieton ? Determiner la fonction de transfert H(), rapport de la representation complexe de la reponse en deplacement Y sur la representation complexe de l'excitation E= m1 F1 . On exprimera H= Y /E en fonction de , 0 et = 0 . 4 -- Sous quelle condition portant sur , un phenomene de resonance peut-il se produire ? Pour quelle pulsation r obtient-on alors ce phenomene ? Exprimer le gain en amplitude a la resonance |H| (r ) dans la limite 2 1 . 5 -- En se placant dans l'hypothese 2 1 et a partir d'une analyse de la courbe 1 de la figure 3, determiner un ordre de grandeur de ainsi que la valeur de la pulsation propre 0 de l'oscillateur modelisant le Millennium Bridge avant la mise en place des amortisseurs harmoniques. 6 -- Pourquoi est-il important de determiner les frequences de resonance d'une structure soumise a une action periodique ? Afin d'etudier precisement les proprietes du forcage que constitue la marche d'un pieton, on realise l'acquisition en laboratoire du signal correspondant a cette sollicitation. 7 -- Quel(s) type(s) de capteur(s) est-il envisageable d'utiliser pour obtenir un signal electrique issu de la marche d'un pieton ? Page 3/7 Tournez la page S.V.P. Le Millennium Bridge 10 3 ! 20 £ jHj [dB] ka 9 11 13 15 17 19 Courbe 2 avec amortisseur harmonique 5 ®a m 7 5 j Etage d'amortissement harmonique G 0 k Courbe 1 sans amortisseur harmonique ® ! [rad.s-1] -5 6 4 8 10 12 14 16 18 20 Figure 3 ­ Schema et reponse d'un amortisseur harmonique applique au modele du Millennium Bridge. L'acquisition est effectuee sur des durees allant de quelques secondes a quelques minutes. Les signaux ainsi obtenus sont similaires mais pas parfaitement identiques. Chacun de ces signaux presente les caracteristiques essentielles du signal de la charge combinee representee sur la figure 2. On calcule alors le spectre de ces signaux en les echantillonnant en N = 300 points equidistants sur un intervalle [tmin ,tmax ]. Les differents spectres obtenus sont rassembles sur la figure 4. 8 -- Analyser et interpreter aussi precisement que possible ces differents spectres. Sont-ils tous exploitables ? Lequel vous parait le plus pertinent ? En deduire la (ou les) frequence(s) caracteristique(s) de la marche etudiee. Etait-ce qualitativement previsible ? 10 10 0 10 N = 300 ; tmin = 1,0 s ; tmax = 27,0 s 2 -2 0 10 N = 300 ; tmin = 1,0 s ; tmax = 180,0 s 1 0.1 0.2 0 0.3 f [Hz] 0.4 f [Hz] 0.5 0.6 0.7 0.8 0 N = 300 ; tmin = 1,0 s ; tmax = 90,0 s 3 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 N = 300 ; tmin = 1,0 s ; tmax = 10,0 s 4 -2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 f [Hz] 1.4 f [Hz] 1.6 0 2 4 6 8 10 12 14 Figure 4 ­ Spectres des signaux correspondants a la marche d'un pieton 9 -- A partir d'une exploitation des donnees fournies dans le sujet, expliquer l'origine du probleme concernant le Millennium Bridge et justifier que l'installation d'amortisseurs harmoniques ait pu le resoudre. FIN DE LA PARTIE I Page 4/7 Physique I, annee 2016 -- filiere MP II. -- Systeme elastique continu Les systemes reels sont rarement discrets. Ainsi la poutre de structure d'une passerelle est deformable en tout point. Nous sommes donc en presence d'un probleme de dynamique des milieux continus mais d'un point de vue pratique l'etude des systemes continus se ramene finalement a celle liee aux systemes discrets : c'est la discretisation des systemes continus. On negligera dans la suite du probleme l'action de la pesanteur. On considere un solide homogene, de masse volumique constante, qui a la forme d'un cylindre de section S et d'axe (O,b ux ) horizontal, le long duquel on etudie les petits mouvements de deformation. Dans le domaine d'elasticite du materiau, la norme F de la force de traction permettant a un ou E est solide de longueur L de s'allonger de L est donnee par la loi de Hooke : F = ES L L une constante appelee module d'Young du materiau. 10 -- Quelle est l'unite d'un module d'Young ? On motivera sa reponse pour laquelle on utilisera une seule unite du systeme international. 11 -- On note X(x,t) le deplacement par rapport a la position de repos d'une section plane d'abscisse x. Calculer la variation relative de longueur d'une tranche elementaire du cylindre - de longueur au repos dx et en deduire la force de traction F (x,t) = F (x,t)b ux exercee par la partie droite (du cote des x croissants) sur la partie gauche (du cote des x decroissants) . Ecrire l'equation du mouvement de la tranche de longueur dx et en en fonction de E, S et X x deduire l'equation aux derivees partielles verifiee par X(x,t). Afin de prendre en compte le mouvement transverse de la passerelle on introduit un axe vertical dirige selon le vecteur unitaire u by et on adopte le modele de la corde. Dans ce modele bidimensionnel, la passerelle est representee a l'instant t par une ligne d'equation y (x,t) de masse lineique µ uniforme. En un point M (x,y) de la passerelle, on definit ~ T(x+dx,t) le vecteur unitaire tangent u b a la passerelle tel y(x+dx) que u b (x,t) = cos [ (x,t)] u bx + sin [ (x,t)] u by . Les ®(x,t) deplacements sont contenus dans un plan vertiy(x) cal et sont de faible amplitude. On suppose donc ~ (x,t) ¡T qu'a chaque instant (x,t) y(x,t) 1. Sous x uy b ces hypotheses, la longueur de la corde ne varie x+dx x pas et chaque troncon infinitesimal de la passeubx relle n'est deplace que selon la verticale. En chaque Figure 5 ­ Troncon de corde elastique point M (x,y) de la passerelle regne a chaque instant t une tension T~ (x,t) portee par u b . Un troncon de corde est represente sur la figure 5. 12 -- En appliquant un theoreme de mecanique a un troncon de corde infinitesimal de p 2 2 longueur d = dx + dy , montrer que, sous les hypotheses effectuees, le module de la tension de la corde est independant de x. On le notera T0 . 2y 2y 13 -- Montrer alors que l'on peut ecrire 2 = c2 2 ou l'on exprimera c en fonction de t x T0 et µ. FIN DE LA PARTIE II Page 5/7 Tournez la page S.V.P. Le Millennium Bridge III. -- Modele de la poutre elancee Dans un modele couramment utilise, on peut assimiler une passerelle a une poutre homogene de section rectangulaire de largeur b selon (O,b uz ) et de hauteur h selon (O,b uy ). Pour des contraintes moderees, induisant un deplacement vertical petit devant les dimensions transversales de la poutre, c'est-a-dire y(x) tres petit devant h ou b, on peut alors se placer dans une extension du modele de la corde. On considere une passerelle de section S, de masse volumique , de module d'Young E et dont 1 le moment quadratique de la section droite par rapport a l'axe (O,b uz ) est I = 12 bh3 . L'ecriture des contraintes conduit alors a une equation aux derivees partielles de la forme S 4y 2y + IE =0 t2 x4 14 -- On cherche des solutions sous la forme y (x,t) = f (x) g (t). De quel type d'onde s'agit-il ? Sous quelles hypotheses de telles ondes apparaissent-elles dans ce genre de structure ? 15 -- Determiner les equations differentielles verifiees par f (x) et g (t). En deduire que g (t) est une fonction periodique de pulsation constante. Combien de constantes d'integrations sont necessaires a la determination complete de la solution y (x,t) correspondant a la situation etudiee ? 16 -- Justifier precisement que l'on puisse ecrire f (x) = A cos (x) + B sin (x) + C ch (x) + D sh (x) ou A,B,C et D sont des constantes d'integration, on precisera l'expression de en fonction des donnees du probleme. On se place dans l'hypothese d'une passerelle de longueur L en appui simple a ses extremites, 2y 2y = = 0. les conditions aux limites s'ecrivent y|x=0,t = y|x=L,t = 0 et x2 x=0,t x2 x=L,t 17 -- Determiner les pulsations propres n de vibration transversale d'une poutre en appui simple en fonction de L, E, I, , S et d'un entier n caracterisant le mode. 18 -- Differents modes de vibrations d'une passerelle ont ete representes sur la figure 6, quels sont ceux correspondants a l'etude proposee dans cette section ? Identifier de facon argumentee pour chacun de ces modes, l'entier n le caracterisant. La passerelle du Millennium Bridge est globalement une poutre en aluminium de 322 m de longueur, d'epaisseur h = 1,07 m (42 pouces) et de largeur b = 4 m (158 pouces). Elle repose sur 4 appuis en creant 3 travees solidaires de L1 = 70 m, L2 = 144 m et L3 = 108 m. On donne la masse volumique de l'aluminium = 2700 kg · m-3 et son module d'Young E = 69 × 109 SI. 19 -- Dans le cadre du modele de la poutre sur appui simple, existe-t-il des modes de vibration transversale du Millennium Bridge susceptibles d'entrer en resonance avec un forcage par des pietons ? Discuter egalement de la possibilite d'une excitation resonante de certains modes de vibration laterale, c'est-a-dire dans le sens de la largeur b. On motivera ses reponses par une argumentation precise. Page 6/7 Physique I, annee 2016 -- filiere MP Mode a Mode b Mode c Mode d Mode e Mode f Mode g Mode h Figure 6 ­ Differents modes de vibration d'une passerelle en appui libre aux deux extremites FIN DE LA PARTIE III FIN DE L'EPREUVE Page 7/7

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 Mines Physique 1 MP 2016 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Tom Morel (Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Ce sujet est composé de trois parties qui ont pour fil conducteur l'étude des oscillations du Millenium Bridge, à Londres. D'importantes oscillations avaient conduit à sa fermeture, quelques jours seulement après son inauguration ! · La première partie propose une modélisation simple du pont. Le système est décrit à l'aide d'un oscillateur masse-ressort faiblement amorti. On analyse la réponse de ce système à un échelon, puis à un forçage sinusoïdal qui décrit l'excitation périodique due au passage d'un piéton sur la passerelle. L'étude de la réponse fréquencielle fait ressortir une résonance à la fréquence typique de la marche des piétons. Un dispositif mécanique est alors ajouté pour supprimer le phénomène de résonance. Pour pouvoir conclure quant à l'utilité de cet ajout, on est conduit à analyser finement le contenu spectral de l'excitation du pont par les pas des piétons. · C'est l'étude des ondes de compression longitudinales à travers la structure du pont qui débute la deuxième partie. S'ensuit l'établissement de l'équation d'onde pour la propagation d'ondes transversales le long d'une corde tendue. · Dans la troisième partie, on modifie l'équation différentielle établie précédemment pour tenir compte de la rigidité interne de la structure. L'étude des modes propres d'oscillation de la passerelle est alors réalisée. Cet énoncé aborde essentiellement les oscillateurs et les ondes mécaniques, et frise ainsi le hors-programme. Il contient peu d'applications numériques. Quelques analyses de courbes nécessitent un peu d'entraînement ou de bon sens. Indications Partie I 1 Remarquer que x = = OG. L'expression de x e est obtenue en cherchant la position d'équilibre. 2 La prise en compte de l'effet du vent revient à changer en - . 3 On peut poser indifféremment F1 = F1 ou F1 = -F1 . 4 Inutile de dériver |H| par rapport à , il suffit de dériver (1 - 2 )2 + 4 2 2 . 5 Remarquer que pour 2 1, r 0 . Utiliser les propriétés d'une résonance aiguë pour estimer graphiquement la valeur de . 8 Le spectre d'un signal périodique possède une propriété particulière, que seul un des spectres proposés vérifie. Remarquer que les autres spectres violent le théorème de Shannon (ce qui entraîne l'apparition de pics fantômes). Partie II 11 S'aider d'un schéma pour relier L à X(x + dx, t), X(x, t), x et dx. Effectuer un développement limité à l'ordre 1 en dx. Noter ensuite que L = dx. Invoquer le principe des actions réciproques pour montrer que la force exercée par - la partie à gauche de la tranche est - F (x, t). Réaliser un développement limité à l'ordre 1 en dx. 12 Projeter l'équation vectorielle obtenue sur u cx . 13 Projeter l'équation vectorielle obtenue à la question 12 sur u cy . Effectuer un développement limité à l'ordre 1 en dx. Partie III 15 Montrer que g(t) est solution de l'équation g (t) - g(t) = 0 où est une constante. Utiliser l'hypothèse des très petits déplacements (devant h ou b) pour déterminer le signe de et reconnaître une équation d'oscillateur harmonique. 16 L'équation différentielle vérifiée par f est homogène, linéaire, du quatrième ordre. Le cours de mathématiques indique que f est une combinaison linéaire de quatre fonctions indépendantes. Il suffit alors de montrer que les quatre fonctions apparaissant dans la combinaison linéaire proposée sont bien solutions de l'équation différentielle. 17 Commencer par déterminer les valeurs de A et C en utilisant les conditions en x = 0. Les conditions en x = L permettent de trouver D, puis la condition de quantification. 18 Certains modes semblent présenter une dépendance à la coordonnée z qui n'est pas prise en compte dans le modèle. Les autres modes rappellent ceux de la corde de Melde. Le Millenium Bridge I. Oscillateur simple 1 Appliquons la loi de la quantité de mouvement au barycentre G, de masse m, dans le référentiel terrestre supposé galiléen : d- v = -x u cx - mg u cx - k( - 0 ) u cx m dt D'après l'énoncé, = OG = x. Projetons cette relation sur u cx : mx = -x - mg - k(x - 0 ) Divisons cette égalité par m et posons : r k 0 = et m 2 0 = m x + 2 0 x + 0 2 (x - 0 ) + g = 0 Il vient Notons x e la valeur de x à l'équilibre. Alors, 0 2 (e x - 0 ) + g = 0 x e = 0 - Il s'ensuit que g 0 2 Posons x(t) = X(t) + x e, où X(t) représente la position de G par rapport à sa position à l'équilibre. L'équation du mouvement devient : g X + 2 0 X + 0 2 X + 0 - 2 - 0 + g = 0 0 Après simplification, il apparaît que 2 avec X + 2 0 X + 0 X = 0 0 = r k m et = 2 mk La constante 0 est la pulsation propre, c'est la pulsation naturelle de l'oscillateur en l'absence d'amortissement. Le coefficient est le facteur d'amortissement, il croît proportionnellement avec le coefficient de frottement . 2 Pour = 0, l'équation du mouvement devient : X + 0 2 X = 0 Il s'agit de l'équation de l'oscillateur harmonique de pulsation 0 . La solution X(t) est de la forme : X(t) = A cos 0 t + B sin 0 t Avec les conditions initiales imposées, on obtient que : A = X(0) = X0 Par conséquent, et B 0 = X(0) = V0 X(t) = X0 cos 0 t + V0 sin 0 t 0 (pour = 0) Pour 0 < < 1, en cherchant des solutions sous forme X(t) = A e pt , on aboutit à l'équation caractéristique : p2 + 2 0 p + 0 2 = 0 dont le discriminant est Il s'ensuit que Ainsi, X(t) est de la forme : = 4 0 2 ( 2 - 1) < 0 p 2 p = -0 + - i0 1 - X(t) = (A cos a t + B sin a t) e -0 t avec a = 0 Cette fois, les conditions initiales se traduisent par A = X(0) = X0 et p 1 - 2 - A 0 + B a = X(0) = V0 si bien que 1 X(t) = X0 cos a t + [V0 + 0 X0 ] sin a t e -0 t a avec a = 0 p 1 - 2 On observe des pseudo-oscillations. Enfin, l'ajout d'une force due au vent revient à changer en - , c'est-à-dire à redéfinir le facteur d'amortissement et à l'écrire : = - 2m 0 Si > , < 0 et l'oscillateur devient instable. Sous l'effet du vent, l'oscillateur peut se mettre à osciller spontanément. 3 La nouvelle équation du mouvement est x + 2 0 x + 0 2 (x - 0 ) + mg = -F0 - F1 cos t Divisons par m et introduisons X, comme à la question 1, X + 2 0 X + 0 2 X = - F0 F1 - cos t m m Comme X = Y - F0 /(m0 2 ), il vient : Y + 2 0 Y + 0 2 Y = - F1 cos t m En régime sinusoïdal forcé (en posant F1 = -F1 ), on a : Par conséquent, donc F Y - 2 + 2i 0 + 0 2 = 1 m Y 1 = E - 2 + 2i 0 + 0 2 H= 1 - 2 + 2i On aurait aussi pu poser F1 = F1 . Dans ce cas, H=- 1/0 2 1 - 2 + 2i 4 Une résonance se produit si |H| présente un maximum au voisinage d'une pulsation propre de l'oscillateur. Comme