Mines Physique 1 MP 2014

Thème de l'épreuve De la physique autour d'un tore
Principaux outils utilisés mécanique du solide, électromagnétisme, induction, diffusion thermique
Mots clefs pince ampèremétrique, torique, modèle de Drude, moment d'inertie

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ECOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT--ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (EILIERE MP) ECOLE POLYTECHNIQUE (EILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2014 PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière MP (Durée de l'épreuve: 3 heures) L'usage de la calculatrice est autorisé Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE--EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE ] -- MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages. -- Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura été amené a prendre. -- Il ne faudra pas hésiter a formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. DE LA PHYSIQUE AUTOUR D'UN TORE Ce sujet comporte quatre parties totalement indépendantes qui explorent les propriétés phy-- siques d'objets de forme torique. Un tore est le volume généré par la révolution autour d'un axe d'une figure géométrique donnée (dans le problème, ce sera un rectangle ou un cercle, voir figure 1) appelée section et inscrite dans un plan passant par l'axe. Les vecteurs sont surmontés d'un chapeau s'ils sont unitaires (Üz) ou d'une flèche dans le cas général (5). Axe Axe Tore à section rectangulaire Tore à section circulaire (bouée) l l FIGURE 1 -- Deux types de tores De la physique autour d'un tore I. -- Modélisation d'un hulahoop Le hulahoop est un cerceau en plastique que l'on fait principalement tourner autour de la taille par un déhanchement rythmé très en vogue dans les années 1960. Pour notre modélisation, nous l'assimilerons a un tore de section rectangulaire en rotation autour d'un arbre cylindrique ficce et vertical, d'axe (O,z) et de rayon 7°, dans le référentiel terrestre supposé galiléen RO. Le tore est de masse volumique ,u homogène, ses dimensions sont les suivantes : le rayon du cercle intérieur est a, celui du cercle extérieur 19 et son épaisseur selon (O,z) vaut c. On note G son centre d'inertie et A son axe de symétrie, dont la direction reste parallèle a (0,71) : on peut donc identifier A : (G,z). On donne l'expression du moment d'inertie d'un cylindre de rayon R et de masse M par rapport a un axe de révolution confondu avec l'axe du cylindre : J : %MR2. Tore , G 9 Vu, Üy @, @, Base cartésienne FIGURE 2 -- Rotation du hulahoop Ü 1 -- Justifier que le moment d'inertie autour d'un axe A donné de l'ensemble constitué par la superposition de deux distribution de masses 81 et 82 disjointes est la somme des moments d'inertie de 81 et 82 par rapport a cet axe. Ü 2 -- Déterminer le moment d'inertie J du tore par rapport a l'axe (G,z) en fonction de ,u, a, b et c. Le contact entre la paroi intérieure du tore et le cylindre vertical se répartit sur un segment vertical dont on note ] le milieu. Il y a roulement sans glissement entre les deux solides. On note f le coefficient de frottement statique au niveau de ce contact. On note @ = Q "ÜZ le vecteur vitesse angulaire de rotation du tore autour de son axe A. La position de G est repérée par l'angle 9 : (Ü...O(È). Ü 3 -- Établir la relation entre 9 et Q associée a l'hypothèse de roulement sans glissement. En déduire l'expression de l'énergie cinétique du tore dans le référentiel R0 en fonction de 2 2 JO : u7rc(b2 -- a2)% et Q. Ü 4 -- On suppose que Q est constante. Déterminer les composantes des forces subies par le tore au contact avec le cylindre vertical. En déduire a quelle condition sur Q l'hypothèse de roulement sans glissement est justifiée. Décrire qualitativement ce qui se passe lorsque cette condition n'est plus vérifiée. Page 2/6 Physique [, année 2014 -- filière MP On suppose maintenant que l'hypothèse de roulement sans glissement est vérifiée mais qu'on observe une adhérence du tore sur le cylindre qu'on modélise par la création d'une force de liaison attractive  = AÛT entre le cylindre et le tore localisée en un point B représenté sur la partie droite de la figure 2 et voisin de ] tel que [? = 6%. On donne la vitesse angulaire initiale Q0 du tore. Ü 5 -- En utilisant par exemple le théorème de la puissance cinétique, établir la loi d'évolution Q(t) et conclure quant a la pratique du hulahoop. FIN DE LA PARTIE I II. -- Étude d'un conducteur ohmique torique Un conducteur ohmique est caractérisé par une conductivité électrique y de l'or-- dre de 108 S - m_1. Il forme un tore tronqué de section rectangulaire de ra-- yon intérieur &, de rayon extérieur (9, d'épaisseur 0. On cherche a déterminer la résistance orthoradiale R d'une portion de ce con-- ducteur comprise entre les angles 9 = 0 où on applique un potentiel uniforme V = U et 9 = oz où on applique un potentiel V = O. Fo% FIGURE 3 -- Portion d'un conducteur torique Ü 6 -- On rappelle la valeur numérique 1 de la constante 50 = Î - 10_9 dans les unités du système international. Rappeler le nom et 77 l'unité pratique de cette constante. Ü 7 -- Établir, dans un conducteur ohmique, l'équation différentielle vérifiée par la densité volumique de charge p. En déduire que p : () tant que la durée T caractéristique de variation des grandeurs électromagnétiques est très supérieure a une durée 7' dont on donnera l'expression en fonction de y et 50 ainsi que la valeur numérique. Ü 8 -- Montrer qu'un terme peut être négligé dans l'équation de Maxwell--Ampère si T >> 7'. Ü 9 -- Établir l'équation vérifiée en régime permanent et dans le conducteur ohmique par le potentiel électrique V. Ü 10 -- On suppose que V ne dépend que de l'angle 9 en coordonnées cylindriques et on donne, dans ce système de coordonnées, les expressions du gradient du potentiel gradV = lô--VÜ9 et de r 89 son laplacien AV = 5%. Déterminer les expressions de V(9), du champ E et de la densité de courant ;. Ü 11 -- Déterminer l'expression de l'intensité totale ] traversant une section rectangulaire droite quelconque de ce tore. En déduire sa résistance orthoradiale R en fonction de a, b, 0, y et or. Ü 12 -- Rappeler l'expression de la résistance d'un conducteur filiforme de section S et de longueur L. Vérifier qu'elle est cohérente avec l'expression du conducteur torique quand () est très proche de &. FIN DE LA PARTIE II Page 3/6 Tournez la page S.V.P. De la physique autour d'un tore III. -- Etude d'une pince ampèremétrique :i _ Une pince ampèremétrique est un appareil dont l'extrémité possède '1 la forme d'un tore. En disposant ce tore autour d'un conducteur , M parcouru par un certain courant le dispositif équipant la pince A\1üg permet d'en mesurer l'intensité. "9 % Son principal intérêt est l'absence de contact physique avec le 0 u,. . ,. . , . , . . . conducteur et le fait qu Il ne s01t pas necessaire d ouvrir le c1rcu1t pour mesurer le courant qui le traverse contrairement a l'implan-- tation d'un ampèremètre classique. ?; A\Fil à tester Le dispositif de mesure de la pince ampèremétrique est formé d'un bobinage torique comportant N spires enroulées sur un tore de section rectangulaire de rayon intérieur &, de rayon extérieur 19, d'épaisseur c, d'axe (0,71). Le fil conducteur utilisé pour le bobi-- nage possède une résistance linéique À. FIGURE 4 -- Partie active de la pince Un point M intérieur au tore est repéré par ses coordonnées cylindriques : Oîl : 7°"lî,» + zÛZ avec 7° EUR [61,19] et ?: EUR [O,c]. Un fil rectiligne infini de même axe (O,z) est parcouru par un courant d'intensité i(t). On note i1(t) l'intensité du courant circulant dans la bobine torique. On se place dans l'approximation des états quasi--stationnaires. Ü 13 -- Rappeler ce qu'on appelle approximation des états quasi--stationnaires. Montrer que cette approximation permet de simplifier l'équation de Maxwell--Ampère. Enoncer dans ce cas le théorème d'Ampère. Ü 14 -- Montrer qu'au point M intérieur au tore, le champ magnétique peut se mettre sous la forme B : B(r)Ûe où l'on précisera l'expression de B (7°) en fonction de u... i(t), i1(t), N et 7°. Ü 15 -- Calculer le flux (I) de Ë a travers le bobinage et en déduire les expressions des coefficients d'autoinductance L du bobinage et de mutuelle inductance M entre le fil et le bobinage. Ü 16 -- Déterminer l'expression de la résistance totale Rp du bobinage en fonction de a, b, e, N et À. On se place en régime sinusoidal forcé avec i(t) : I.../Ï cos(wt) associée a l'intensité complexe @ : Ioflejw' et i1(t) : 11\Æcos(wt + gpl) associée a l'intensité complexe 21 : Ilflejwtejfil. Ü 17 -- Le bobinage formant un circuit fermé, déterminer l'expression de la fonction de @ transfert fi : i en fonction de M , w, Rp et L. @ Ü 18 -- Dans quel régime de pulsation ce dispositif peut--il former une pince ampèremétrique ? FIN DE LA PARTIE III Page 4/6 IV. -- Étude thermique d'un objet torique Un tore de section carrée a >< a et de rayon intérieur a (donc de rayon extérieur 2a) est fabriqué dans un matériau de masse volumique ,u, de capacité calorifique massique c et de conductivité thermique À. Le profil des températures possède la symétrie cylin- drique : T ne dépend que du rayon 7° et du temps 15 soit vide T(r,t). La face intérieure (7° = a, 9 EUR [0,27r[, Z EUR [O,a]) et la face extérieure (7° = 2a, 9 EUR [0,27r[, Z EUR [O,a]) sont placées dans le vide. Disques isolants et réfléchissants Sur les faces parallèles (z = 0 ou z = a), on pose deux disques parfaitement isolants thermiquement et < de surface parfaitement réfléchissantes. Ü 19 -- En effectuant un bilan thermique sur la per- FIGURE 5 _ Vue éclatée du système. tion torique définie par l'intervalle [7°,7° --l-- dr], montrer L'axe (O)z) est celui du tore que le champ des températures vérifie l'équation ô_T ÔT : 8 (T 87°) Ôt Ô7° où l'on exprimera EUR en fonction des grandeurs caractéristiques du matériau et l'on précisera son unité. 57° Ü 20 -- On cherche, pour cette équation, une solution stationnaire à variables séparées sous la forme T (7°,t) = p(r)n(t). Etablir les deux équations différentielles vérifiées respectivement par p(7°) et 7y(t) en faisant apparaître une constante X commune a ces deux équations. Ü 21 -- Déterminer l'expression de 7y(t) sans chercher à caractériser la ou les constantes d'intégration. Quel est le signe de X ? Ü 22 -- Pour la fonction p(7°), on cherche une solution développable en série entière sous la 00 ferme p(7°) = z ozn7°n. Après avoir rapidement justifié cette recherche, déterminer les expres- n=O siens des 042}, et des ng+1 pour tout entier p positif ou nul. Ü 23 -- En examinant tous les transferts thermiques possibles sur la face interne, justifier le d fait que --'0 = O. dlr 'Ï'=OE p(7°) La fonction p(7°) qui admet le développement en série déterminé 170 a la question 22 et qui vérifie la condition aux limites imposée ___________ par la question 23 s'exprime en utilisant les fonctions de Bessel 078 de première (J) et de deuxième (Y) espèces. Elle s'écrit 0,6 EUR J1(a) ....................... p7° =K J07° -- Y07° ê ; T ( > < ) Y1 (a) < ) 0,4 ' 075 170 175 270 où K est une constante d'intégration. La courbe représentative FIGURE 6 -- La fonction p(T) de cette fonction sur le domaine d'étude et pour K = 1 et a = 1 fait l'objet de la figure 6. De la physique autour d'un tore Ü 24 -- À un instant t donné, on suppose que la face externe, assimilée a un corps noir, est en quasi équilibre thermique. En utilisant la loi de Stefan--Boltzmann, établir la deuxième condition aux limites vérifiée par p en 7° : 2a. Montrer que l'on arrive alors a une contradiction. Quelle hypothèse doit--elle être remise en question ? Ü 25 -- En admettant que la solution précédente convienne malgré tout, décrire l'évolution de la température dans le tore au cours du temps en traçant sur un même graphique les profils des températures a diverses dates. Justifier en particulier le fait que T tend uniformément vers zéro. FIN DE LA PARTIE IV FIN DE L'ÉPREUVE Page 6/6

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 Mines Physique 1 MP 2014 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) et Vincent Freulon (Professeur en CPGE). Cette épreuve étudie quelques propriétés d'un tore à travers quatre exercices indépendants. · Le premier exercice étudie sommairement le « fonctionnement » d'un hulahoop. Les premières questions visent à obtenir l'expression du moment d'inertie du tore autour d'un axe. Seules les deux dernières questions concernent l'étude dynamique proprement dite. Même s'il n'est pas difficile et abordé ici d'une façon un peu originale, le calcul du moment d'inertie n'est pas vraiment dans l'esprit du programme. · Le deuxième exercice vise à exprimer la résistance d'un conducteur ohmique ayant la géométrie d'un tore. À partir des équations de Maxwell, on redémontre la neutralité d'un conducteur puis on résout l'équation de Laplace qui régit le potentiel électrique, ce qui permet d'établir la loi d'Ohm dans cette géométrie. Très détaillée, la démarche proposée est analogue à celle qui a été effectuée en cours pour un conducteur cylindrique. · Dans le troisième exercice, on étudie une pince ampèremétrique. Ce dispositif permet, par induction, de mesurer un courant d'intensité importante circulant dans un fil. Un des avantages de ce dispositif est qu'il n'y a pas besoin d'ouvrir le circuit pour insérer l'instrument de mesure, comme on doit le faire pour utiliser un ampèremètre. Le calcul est conduit en passant par la détermination du flux du champ magnétique à travers le tore. On termine en précisant les conditions de fonctionnement d'une telle pince grâce à l'étude de sa fonction de transfert. · La quatrième partie est une étude thermique d'un objet torique placé dans le vide. Après l'établissement de l'équation de la diffusion thermique dans cette géométrie, on poursuit avec une étude semi-qualitative du profil de température. Pour cela, on détermine d'abord les conditions aux limites, ce qui implique de conduire des raisonnements simples mais qui nécessitent de passer en revue tous les modes de transfert thermique possibles. On termine en utilisant la loi de Stefan. L'ensemble n'est pas très difficile et reste proche du cours. Seule la dernière partie est un peu plus poussée. Cela en fait tout de même une épreuve relativement difficile à traiter dans le temps imparti puisqu'il faut changer de thématique après seulement quelques questions. L'ensemble des points abordés dans cette épreuve figure toujours au programme en vigueur à la rentrée 2014. Indications Partie I 2 Le tore peut être vu comme un cylindre « évidé », c'est-à-dire que l'on peut voir un « grand » cylindre comme un « petit » cylindre plus un tore, ce qui permet de trouver J à partir de la question 1. 4 Appliquer le théorème de la résultante dynamique au tore. Supposer que le mouvement du tore reste horizontal et remarquer que G a alors un mouvement circulaire uniforme. 5 Seule la force d'adhérence a une puissance non nulle. Sans hypothèse supplémentaire sur A, on ne peut pas intégrer l'équation différentielle qui régit l'évolution d . de mais on peut interpréter dt Partie II 9 En régime permanent, l'équation de Maxwell-Faraday permet d'introduire le potentiel électrique. Utiliser également l'équation de Maxwell-Gauss (avec = 0). 11 L'intensité I qui traverse une section droite d'un conducteur est ZZ - - I= · dS Partie III 14 Supposer que le nombre N de spires est grand. Les sources du champ magnétique sont le courant i1 dans le tore et le courant i dans le fil. Une étude des symétries et - invariances conduit à B = B(r, z, t)c u . Appliquer ensuite le théorème d'Ampère et vérifier que la composante orthoradiale du champ ne dépend pas de z. Si les courants i1 et i dépendent du temps, le champ magnétique en dépend. 15 Le flux à travers le bobinage est égal à N fois le flux à travers une spire. 17 Écrire l'équation électrique soit en considérant des inductances L et M en série avec une résistance Rp , soit en utilisant la loi de Faraday pour déterminer la f.é.m. totale du circuit qui est alors uniquement constitué de la résistance Rp . 18 Le principe de la mesure est de mesurer i1 et d'en déduire i. Il faut donc que la relation liant ces deux grandeurs soit linéaire et indépendante de la forme du signal (notamment de sa pulsation). Partie IV 19 Appliquer le premier principe à la portion torique proposée. La puissance transférée par conduction à travers un cylindre est égale au flux du vecteur densité de courant thermique - à travers la surface de ce cylindre. 23 Les transferts thermiques peuvent être de trois natures distinctes : conductifs, convectifs ou radiatifs. De la physique autour d'un tore I. Modélisation d'un hulahoop 1 Par définition, le moment d'inertie d'un solide S autour d'un axe est Z J= r2 dm MS où r désigne la distance entre l'axe et le point M. Si S peut être décrit comme deux solides disjoints S1 et S2 , l'intégrale sur S est la somme des deux intégrales sur S1 et S2 : Z Z 2 JS1 S2 = r dm + r2 dm M S1 M S2 2 Le moment d'inertie d'un cylindre de hauteur c, de rayon b et de masse Mb est, d'après l'indication de l'énoncé, 1 Mb b2 2 Quant à celui d'un cylindre de hauteur c, de rayon a et de masse Ma , c'est Jb = 1 Ma a2 2 D'après la question précédente, on peut écrire Ja = Jb = Ja + J Il ne reste qu'à exprimer les masses des deux cylindres Ma = µ c a2 donc J= et Mb = µ c b2 1 µ c (b4 - a4 ) 2 On pouvait faire un calcul direct à partir de la définition du moment d'inertie Z c Z b Z c Z b Z b J= r2 dm = r2 (2µrdr dz) = 2µ c r3 dr z=0 r=a z=0 r=a r=a Cela conduit bien au même résultat. 3 Le roulement sans glissement peut se traduire formellement par la relation suivante au point de contact I entre l'arbre et le tore : - v (I tore) = - v (I arbre) - - Or, l'arbre étant fixe dans le référentiel R0 , v (I arbre) = 0 . En utilisant par - ailleurs la relation de cinématique pour un solide dont le vecteur rotation est , - - - v (I tore) = - v (G) + GI - - - - v (G) + GI = 0 il vient - v (G) = OG u c = (a - r) u c - - GI = ( u cz ) (-ac ur ) = -a c u Or, Finalement, = a a-r D'après le théorème de König, l'énergie cinétique du tore de masse m = µ c(b2 - a2 ) est la somme de deux termes : 2 2 1 1 E c = m- v (G) + E c = µ c(b2 - a2 ) (a - r) + E c 2 2 où E c est l'énergie cinétique barycentrique, qui s'écrit, dans le cas de la rotation autour d'un axe fixe, E c = 1 1 a2 + b 2 2 J 2 = µ c (b2 - a2 ) 2 2 2 En remplaçant (a - r) par a , on obtient bien Ec = 1 J 0 2 2 avec J0 = µ c(b2 - a2 ) 3a2 + b2 2 4 Dans le référentiel galiléen R0 , le tore est soumis à · son poids -m gc uz ; - - - - · une force de contact au niveau de l'arbre : R = T + N ; la force N est la - réaction normale et la force T , qui traduit les frottements solides, est opposée à la vitesse de glissement. - - Compte tenu de la géométrie, on peut écrire a priori, N = Nr u cr et T = T u c +Tz u cz . Le théorème de la résultante dynamique s'écrit d- v (G) m = -m gc uz + N c u r + T u c + Tz u cz () dt Puisque est supposé constante, il en est de même pour en raison du roulement sans glissement. Par conséquent, G a un mouvement circulaire uniforme de vitesse angulaire et de rayon (a - r) autour du point O, donc d- v (G) = -(a - r)2 c ur dt En remplaçant par son expression en fonction de , il vient a2 d- v (G) m = -m 2 u cr dt a-r En projetant la relation (), on trouve N = -m a2 2 a-r T = 0 Tz = mg