ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT--ÉTIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (EILIERE MP)
ECOLE POLYTECHNIQUE (EILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2014
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière MP
(Durée de l'épreuve: 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorisé
Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM
INT, TPE--EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page
de la copie :
PHYSIQUE ] -- MP.
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages.
-- Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une
erreur d'énoncé, il est invité
a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les
raisons des initiatives
qu'il aura été amené a prendre.
-- Il ne faudra pas hésiter a formuler les commentaires (incluant des
considérations numériques) qui
vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas
explicitement. Le barème
tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la
copie.
DE LA PHYSIQUE AUTOUR D'UN TORE
Ce sujet comporte quatre parties totalement indépendantes qui explorent les
propriétés phy--
siques d'objets de forme torique. Un tore est le volume généré par la
révolution autour d'un
axe d'une figure géométrique donnée (dans le problème, ce sera un rectangle ou
un cercle, voir
figure 1) appelée section et inscrite dans un plan passant par l'axe. Les
vecteurs sont surmontés
d'un chapeau s'ils sont unitaires (Üz) ou d'une flèche dans le cas général (5).
Axe Axe
Tore à section
rectangulaire
Tore à section
circulaire (bouée)
l l
FIGURE 1 -- Deux types de tores
De la physique autour d'un tore
I. -- Modélisation d'un hulahoop
Le hulahoop est un cerceau en plastique que l'on fait principalement tourner
autour de la taille
par un déhanchement rythmé très en vogue dans les années 1960. Pour notre
modélisation,
nous l'assimilerons a un tore de section rectangulaire en rotation autour d'un
arbre cylindrique
ficce et vertical, d'axe (O,z) et de rayon 7°, dans le référentiel terrestre
supposé galiléen RO. Le
tore est de masse volumique ,u homogène, ses dimensions sont les suivantes : le
rayon du cercle
intérieur est a, celui du cercle extérieur 19 et son épaisseur selon (O,z) vaut
c. On note G son
centre d'inertie et A son axe de symétrie, dont la direction reste parallèle a
(0,71) : on peut donc
identifier A : (G,z). On donne l'expression du moment d'inertie d'un cylindre
de rayon R et
de masse M par rapport a un axe de révolution confondu avec l'axe du cylindre :
J : %MR2.
Tore , G
9
Vu,
Üy
@, @,
Base cartésienne
FIGURE 2 -- Rotation du hulahoop
Ü 1 -- Justifier que le moment d'inertie autour d'un axe A donné de l'ensemble
constitué par
la superposition de deux distribution de masses 81 et 82 disjointes est la
somme des moments
d'inertie de 81 et 82 par rapport a cet axe.
Ü 2 -- Déterminer le moment d'inertie J du tore par rapport a l'axe (G,z) en
fonction de ,u,
a, b et c.
Le contact entre la paroi intérieure du tore et le cylindre vertical se
répartit sur un segment
vertical dont on note ] le milieu. Il y a roulement sans glissement entre les
deux solides. On note
f le coefficient de frottement statique au niveau de ce contact. On note @ = Q
"ÜZ le vecteur
vitesse angulaire de rotation du tore autour de son axe A. La position de G est
repérée par
l'angle 9 : (Ü...O(È).
Ü 3 -- Établir la relation entre 9 et Q associée a l'hypothèse de roulement
sans glissement.
En déduire l'expression de l'énergie cinétique du tore dans le référentiel R0
en fonction de
2 2
JO : u7rc(b2 -- a2)% et Q.
Ü 4 -- On suppose que Q est constante. Déterminer les composantes des forces
subies par le
tore au contact avec le cylindre vertical. En déduire a quelle condition sur Q
l'hypothèse de
roulement sans glissement est justifiée. Décrire qualitativement ce qui se
passe lorsque cette
condition n'est plus vérifiée.
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Physique [, année 2014 -- filière MP
On suppose maintenant que l'hypothèse de roulement sans glissement est vérifiée
mais qu'on
observe une adhérence du tore sur le cylindre qu'on modélise par la création
d'une force de
liaison attractive  = AÛT entre le cylindre et le tore localisée en un point B
représenté sur
la partie droite de la figure 2 et voisin de ] tel que [? = 6%. On donne la
vitesse angulaire
initiale Q0 du tore.
Ü 5 -- En utilisant par exemple le théorème de la puissance cinétique, établir
la loi d'évolution
Q(t) et conclure quant a la pratique du hulahoop.
FIN DE LA PARTIE I
II. -- Étude d'un conducteur ohmique torique
Un conducteur ohmique est caractérisé
par une conductivité électrique y de l'or--
dre de 108 S - m_1. Il forme un tore
tronqué de section rectangulaire de ra--
yon intérieur &, de rayon extérieur (9,
d'épaisseur 0.
On cherche a déterminer la résistance
orthoradiale R d'une portion de ce con--
ducteur comprise entre les angles 9 = 0
où on applique un potentiel uniforme
V = U et 9 = oz où on applique un
potentiel V = O.
Fo%
FIGURE 3 -- Portion d'un conducteur torique
Ü 6 -- On rappelle la valeur numérique
1
de la constante 50 = Î - 10_9 dans les unités du système international.
Rappeler le nom et
77
l'unité pratique de cette constante.
Ü 7 -- Établir, dans un conducteur ohmique, l'équation différentielle vérifiée
par la densité
volumique de charge p. En déduire que p : () tant que la durée T
caractéristique de variation
des grandeurs électromagnétiques est très supérieure a une durée 7' dont on
donnera l'expression
en fonction de y et 50 ainsi que la valeur numérique.
Ü 8 -- Montrer qu'un terme peut être négligé dans l'équation de Maxwell--Ampère
si T >> 7'.
Ü 9 -- Établir l'équation vérifiée en régime permanent et dans le conducteur
ohmique par le
potentiel électrique V.
Ü 10 -- On suppose que V ne dépend que de l'angle 9 en coordonnées cylindriques
et on donne,
dans ce système de coordonnées, les expressions du gradient du potentiel gradV
= lô--VÜ9 et de
r 89
son laplacien AV = 5%. Déterminer les expressions de V(9), du champ E et de la
densité
de courant ;.
Ü 11 -- Déterminer l'expression de l'intensité totale ] traversant une section
rectangulaire
droite quelconque de ce tore. En déduire sa résistance orthoradiale R en
fonction de a, b, 0, y
et or.
Ü 12 -- Rappeler l'expression de la résistance d'un conducteur filiforme de
section S et de
longueur L. Vérifier qu'elle est cohérente avec l'expression du conducteur
torique quand () est
très proche de &.
FIN DE LA PARTIE II
Page 3/6 Tournez la page S.V.P.
De la physique autour d'un tore
III. -- Etude d'une pince ampèremétrique
:i _ Une pince ampèremétrique est un appareil dont l'extrémité possède
'1 la forme d'un tore. En disposant ce tore autour d'un conducteur
, M parcouru par un certain courant le dispositif équipant la pince
A\1üg permet d'en mesurer l'intensité.
"9 % Son principal intérêt est l'absence de contact physique avec le
0 u,. . ,. . , . , . . .
conducteur et le fait qu Il ne s01t pas necessaire d ouvrir le c1rcu1t
pour mesurer le courant qui le traverse contrairement a l'implan--
tation d'un ampèremètre classique.
?; A\Fil à tester Le dispositif de mesure de la pince ampèremétrique est formé
d'un
bobinage torique comportant N spires enroulées sur un tore de
section rectangulaire de rayon intérieur &, de rayon extérieur 19,
d'épaisseur c, d'axe (0,71). Le fil conducteur utilisé pour le bobi--
nage possède une résistance linéique À.
FIGURE 4 -- Partie active
de la pince
Un point M intérieur au tore est repéré par ses coordonnées cylindriques : Oîl
: 7°"lî,» + zÛZ
avec 7° EUR [61,19] et ?: EUR [O,c].
Un fil rectiligne infini de même axe (O,z) est parcouru par un courant
d'intensité i(t). On note
i1(t) l'intensité du courant circulant dans la bobine torique. On se place dans
l'approximation
des états quasi--stationnaires.
Ü 13 -- Rappeler ce qu'on appelle approximation des états quasi--stationnaires.
Montrer que
cette approximation permet de simplifier l'équation de Maxwell--Ampère. Enoncer
dans ce cas
le théorème d'Ampère.
Ü 14 -- Montrer qu'au point M intérieur au tore, le champ magnétique peut se
mettre sous
la forme B : B(r)Ûe où l'on précisera l'expression de B (7°) en fonction de
u... i(t), i1(t), N et
7°.
Ü 15 -- Calculer le flux (I) de Ë a travers le bobinage et en déduire les
expressions des
coefficients d'autoinductance L du bobinage et de mutuelle inductance M entre
le fil et le
bobinage.
Ü 16 -- Déterminer l'expression de la résistance totale Rp du bobinage en
fonction de a, b, e,
N et À.
On se place en régime sinusoidal forcé avec i(t) : I.../Ï cos(wt) associée a
l'intensité complexe
@ : Ioflejw' et i1(t) : 11\Æcos(wt + gpl) associée a l'intensité complexe 21 :
Ilflejwtejfil.
Ü 17 -- Le bobinage formant un circuit fermé, déterminer l'expression de la
fonction de
@
transfert fi : i en fonction de M , w, Rp et L.
@
Ü 18 -- Dans quel régime de pulsation ce dispositif peut--il former une pince
ampèremétrique ?
FIN DE LA PARTIE III
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IV. -- Étude thermique d'un objet torique
Un tore de section carrée a >< a et de rayon intérieur a (donc de rayon extérieur 2a) est fabriqué dans un matériau de masse volumique ,u, de capacité calorifique massique c et de conductivité thermique À. Le profil des températures possède la symétrie cylin- drique : T ne dépend que du rayon 7° et du temps 15 soit vide T(r,t). La face intérieure (7° = a, 9 EUR [0,27r[, Z EUR [O,a]) et la face extérieure (7° = 2a, 9 EUR [0,27r[, Z EUR [O,a]) sont placées dans le vide. Disques isolants et réfléchissants Sur les faces parallèles (z = 0 ou z = a), on pose deux disques parfaitement isolants thermiquement et < de surface parfaitement réfléchissantes. Ü 19 -- En effectuant un bilan thermique sur la per- FIGURE 5 _ Vue éclatée du système. tion torique définie par l'intervalle [7°,7° --l-- dr], montrer L'axe (O)z) est celui du tore que le champ des températures vérifie l'équation ô_T ÔT : 8 (T 87°) Ôt Ô7° où l'on exprimera EUR en fonction des grandeurs caractéristiques du matériau et l'on précisera son unité. 57° Ü 20 -- On cherche, pour cette équation, une solution stationnaire à variables séparées sous la forme T (7°,t) = p(r)n(t). Etablir les deux équations différentielles vérifiées respectivement par p(7°) et 7y(t) en faisant apparaître une constante X commune a ces deux équations. Ü 21 -- Déterminer l'expression de 7y(t) sans chercher à caractériser la ou les constantes d'intégration. Quel est le signe de X ? Ü 22 -- Pour la fonction p(7°), on cherche une solution développable en série entière sous la 00 ferme p(7°) = z ozn7°n. Après avoir rapidement justifié cette recherche, déterminer les expres- n=O siens des 042}, et des ng+1 pour tout entier p positif ou nul. Ü 23 -- En examinant tous les transferts thermiques possibles sur la face interne, justifier le d fait que --'0 = O. dlr 'Ï'=OE p(7°) La fonction p(7°) qui admet le développement en série déterminé 170 a la question 22 et qui vérifie la condition aux limites imposée ___________ par la question 23 s'exprime en utilisant les fonctions de Bessel 078 de première (J) et de deuxième (Y) espèces. Elle s'écrit 0,6 EUR J1(a) ....................... p7° =K J07° -- Y07° ê ; T ( > < ) Y1 (a) < ) 0,4 ' 075 170 175 270 où K est une constante d'intégration. La courbe représentative FIGURE 6 -- La fonction p(T) de cette fonction sur le domaine d'étude et pour K = 1 et a = 1 fait l'objet de la figure 6. De la physique autour d'un tore Ü 24 -- À un instant t donné, on suppose que la face externe, assimilée a un corps noir, est en quasi équilibre thermique. En utilisant la loi de Stefan--Boltzmann, établir la deuxième condition aux limites vérifiée par p en 7° : 2a. Montrer que l'on arrive alors a une contradiction. Quelle hypothèse doit--elle être remise en question ? Ü 25 -- En admettant que la solution précédente convienne malgré tout, décrire l'évolution de la température dans le tore au cours du temps en traçant sur un même graphique les profils des températures a diverses dates. Justifier en particulier le fait que T tend uniformément vers zéro. FIN DE LA PARTIE IV FIN DE L'ÉPREUVE Page 6/6
