Mines Physique 1 MP 2013

Thème de l'épreuve Autour d'un dragster à réaction
Principaux outils utilisés mécanique du point, électronique, thermodynamique des systèmes ouverts, électronique, optique ondulatoire
Mots clefs oscillateur amorti, régime sinusoïdal forcé, système ouvert, détection synchrone, interféromètre de Michelson, coin d'air, lame d'air

Corrigé

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ÉCOLE DES PONTS PARISTEOH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTEOH, TELECOM PARISTEOH, MINES PARISTEOH, MINES DE SAINT--ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTEOH (EILIERE MP) ÉCOLE POLYTECHNIQUE (EILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2013 PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière MP (Durée de l'épreuve: 3 heures) L'usage de la calculatrice est autorisé Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE--EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE ] -- MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages. -- Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura été amené à prendre. -- Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. AUTOUR D'UN DRAGSTER À RÉACTION Il existe des courses automobiles pour lesquelles le but est de parcourir le plus rapidement quelques centaines de mètres. Pour cela, des engins surpuissants appelés dragsters sont fabriqués par des passionnés, de façon << artisanale >> au sens où il ne s'agit pas de modèles de série. Ce problème aborde certaines problématiques que l'on peut rencontrer lors de la fabrication de tels engins. Pour les applications numériques on utlisera 3 chiffres significatifs, le module de l'accélération de la pesanteur sera g = 9,81 m--s_2. Les vecteurs sont surmontés d'un chapeau s'ils sont unitaires @, ou d'une flèche dans le cas général 17. La dérivée totale par rapport au , . . da: . . . temps sera notee par un pomt : a: : Æ. Les tr01s parties de ce probleme sont largement indépendantes. I. -- Mesure de l'accélération par un système embarqué Pour mesurer l'accélération du dragster, le choix se porte sur un MEMS ( Micro--Electro-- Mechanical--System). Il s'agit d'une famille technologique très utilisée par l'industrie automobile (notamment pour l'airbag) mais aussi par les particuliers car on les retrouve dans certaines ma-- nettes de consoles de jeu. La taille de ces capteurs est inférieure à celle d'une pièce de monnaie ! I.A. -- Analyse du mouvement mécanique On modélise le fonctionnement du MEMS par le système représenté sur la figure 1. Seule la masse mobile de masse m, cube d'arête b, de centre de gravité 0 peut se déplacer. Le reste du dispositif, appelé bâti, est fixé au dragster et demeure solidaire de celui--ci. Autum- d'un dmgster & réaction Le mouvement, sans frottements, ne peut se faire que selon l'axe des 1'. La masse est liée à deux ressorts de raideur k et de longueur à vide Z0, mais aussi à deux amortisseurs induisant une force proportionnelle à la vitesse relative de la masse par rapport au bâti avec le coefficient de frottement f. On ne se préoccupe pas de la présence éventuelle d'autres forces notament électrostatiques. On note :cE : %(11 + :52), la position du centre de gravité O de la masse m lorsque celle-ci et le dragster sont immobiles, par ailleurs on note 1 la position de 0 a un instant t quelconque dans le référentiel lié au sol. On suppose que les ressorts n'ont pas d'al-- longement à l'équilibre. On introduira les quantités L : 1 + ze, wa : Æ et p : %. L'accéléromètre est fixé sur le châssis de la voiture qui se déplace en ligne droite. La direction de déplacement du dragster est la même que celle de la masse et de l'accéléromètre. FIGURE 1 + Modélisation mécanique 1D du MEMS E' 1 -- Exprimer la résultante É des forces de tension des ressorts appliquée à la masse en fonction de k, L et du vecteur EUR,. Exprimer la résultante F,, des forces d'amortissement appliquée à la masse en fonction de f , L et du vecteur ê}. D 2 -- En appliquant le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel lié au sol, déterminer l'équation différentielle vérifiée par L et décrivant le mouvement de la masse m lorsque le dragster possède une accélération de module a dans la direction des au > 0. D 3 -- Afin d'étudier la réponse mécanique globale de ce système, on s'intéresse au cas particulier d'une accélération sinuso'i'dale de pulsation w, les représentations complexes des grandeurs physiques L et a sont notées @ : A...e"" et L : L...e7M; calculer la transmittance L/g de ce système en fonction de EUR : 5--0, ,a et G : m;2. En déduire le régime de pulsation dans lequel une mesure de L permet de déterminer l'accélération subie par le système. On justifiera le raisonnement. LB. -- Mesure du déplacement Comme le montre la figure 17 le mobile est solidaire d'une lame pou-- vant se déplacer devant les faces 1 et 2. La face 1 et la lame forment un condensateur Cl. La face 2 et la lame forment un condensateur Cz. C LL H Ces capacités dépendent de L. 1 i 0 Dans un MEMS une série de de micro--lamelles sont imbriquées comme si deux peignes à cheveux étaient en regard l'un de l'autre. Les conden-- (;2 :: sateurs sont alors simplement plus nombreux que dans le modèle que nous utilisons. Le dispositif formé par les condensateurs est alimenté par les tensions v1 (t) : %Vs + Vlsin (Lot) et o; (t) : %V, + V1 sin (Lot). , _ Le modèle électrique du MEMS est celui de la figure 2. On introduit la EIGU,RE 2_ * M0dellsä' constante de temps T : äH (C1 + C2). tion electrique ' WW ""2 D 4 -- Déterminer l'équation difiérentielle vérifiée par 113 (t) en fonction de V" T, m, cos (uit) v i (: eux et de la tension V2 * C;+C2V1 E' 5 -- Résoudre cette équation en trouvant l'expression de v3(t) en fonction de V,, '/2, w. T, cos (ut + ga) et d'une constante Vo associée au régime libre, fixée par les conditions initiales et que l'on ne cherchera pas à déterminer. En particulier, on exprimera d'une part la phase à l'origine Ap en fonction de w et T et d'autre part l'amplitude des oscillations en régime permanent en fonction de m, V; et T. Page 2/6 Physique 1, année 2013 * filièm MP D 6 -- On fixe T : 5 ms et w : 105 rad.s*1, la mesure de 113 (t) est faite pour t > T. En déduire, dans ces conditions, une expression approchée de v3(t) ne dépendant plus que de V_,, V2 et sin (mt). E' 7 -- Soit deux plaques parallèles, chacune de surface S, séparées par une distance e petite devant les autres dimensions. La normale aux plaques est un vecteur é} orientant l'axe 01. On néglige les effets de bords ainsi que l'épaisseur des plaques. La première plaque située en :L' : 0, porte la charge Q et la seconde située en 1 : 9 porte la charge iQ. Déterminer la capacité C du condensateur plan formé par ces plaques en admettant que le champ est nul a l'extérieur de ce dernier. On exprimera C en fonction de S, e et de la permittiv'ité du vide E,, D 8 -- Les condensateurs du schéma de principe de l'accéléromètre de la figure 1 sont plans et les surfaces en regard ont une aire S. En utilisant le résultat de la question précédente, exprimer 01 et Oz en fonction de (1, L, S et 5... E' 9 -- Sous les hypothèses de la question 6, exprimer v3(t) en fonction de V1, L, (1, V, et sin (alt). On conservera cette expression pour la suite de l'étude. Pour extraire l'information, le principe utilisé est celui de la démodulation synchrone : le signal v3(t) est multiplié par v1(t) pour obtenir un signal sl (t) : h >< v1(t) >< va (t) où Il est un gain positif, puis le résultat est filtré pour obtenir le signal 3 (t). L'ensemble de ce dispositif d'acquisition est représenté sur la figure 3. R, 10 ko v3(z)-- @ "È1(1) C, 100 nF:: WLs(/) FIGURE 3 * Module d'acquisition de l'accélération E' 10 -- Après avoir écrit l'expression de 31 (t), déterminer le signal 3 (t) qu'il est possible d'observer en mode DC sur un oscilloscope. On détaillera le raisonnement permettant d'obtenir cette expression, on exprimera tout d'abord s(t) en fonction de h, V1, L, d et V, puis, en supposant que L et a ne dépendent pas du temps, en fonction de h, V1, a, m, lc, d et V,. FIN DE LA PARTIE 1 II. -- Propulsion de l'engin par un réacteur d'avion! II.A. -- Premier principe pour un système ouvert On considère le Volume "VPC d'une partie commune, toutes les grandeurs physiques utiles de cette partie, grisée sur la figure 4, seront notées avec un indice pc, par exemple, l'énergie interne de la partie commune est ainsi notée UFC. Un fluide s'écoule de gauche à droite sur le schéma de la figure 4, On considère le système fermé E constitué par le fluide compris entre les frontières A et B a l'instant t puis A' et B' à l'instant t+ dt. La masse de fluide contenue dans la partie commune est notée m,,c(t) a la date t et m...(t + dt) a la date t + dt. Pendant l'intervalle de temps dt, une masse dme entre dans la partie commune par une ouverture de section S2 et une quantité de matière de masse dm, en sort par une ouverture de section S,. On suppose que le régime est permanent. Les grandeurs intensives (pression, température. . .) ont des valeurs uniformes avant la partie commune et seront notées PE, TE. .. De même, elles sont toujours uniformes après la partie commune où elles seront notées P,, T,. .. Toutes les parois sont calorifugées. Page 3/6 Tournez la page S.V.P. Autum- d'un dmgster & réaction dms D 11 -- Démontrer que le débit massique D... est constant entre l'entrée et la sortie du système. D 12 -- On indice avec un e les grandeurs en entrée et avec un s les grandeurs en sortie, on note W,- le travail autre que celui des forces de pression. Appliquer le premier principe au système fermé E entre les instants t et t + dt en régime permanent et trouver une relation entre les énergies internes (UE, Us), poten-- tielles (E,,,e, EM), cinétiques (E", E"), les pressions (Pe, P,), les sections (SE, S,), les longueurs (die, dis) et le travail 5VV,. FIGURE 4 * Schéma d'un système ouvert D 13 -- La vitesse macroscopique du fluide entrant est notée 52 : age} et celle du fluide sortant E_, : c,ê} , on note 2EUR et z_, les altitudes correspondantes (l'axe 2 est orienté vers le haut) et 5VVi . . . w,- : $ le travail indiqué massique en posant dm : dm2 : dm... Le volume massique à l'entrée de la partie commune est UE et v, a la sortie, les enthalpies massiques sont notées h. Réécrire le premier principe pour obtenir une expression massique de ce dernier reliant ha, h_,, 6... 057 9, z... Z. et % II.B. -- Force de poussée du réacteur * Étude de la tuyère Schématiquement, un turboréacteur absorbe de l'air par « une manche d'en-- trée d'air ». La première partie est une , Sens Partie Tuy ere partie active qui comprime l'air et le dé'à°"'ÿ'_"ent active e chauffe. La seconde partie (grisée sur la figure 5 et appelée tuyère) est chargée d'éjecter l'air a l'extérieur. Pour fournir Manche / une poussée, la vitesse l'éjection doit d=emrée être supérieure à celle de l'admission. Le rôle de la tuy'ere est de maximiser la FIGURE 5 * Schéma du réacteur Vitesse d'éjection. L'écoulement du gaz dans la tuyère est supposé unidimensionnel, horizontal (zEUR : zs), perma-- nent, adiabatique et réversible. Le gaz, supposé parfait, y subit une détente. La Vitesse d'entrée des gaz dans la tuyère est négligeable. En effet, la partie active reçoit de l'air à Vitesse non négli-- geable, mais ceux--ci ressortent avec une vitesse insignifiante dans le référentiel lié au réacteur. Il n'y a pas de travail indiqué dans la tuyère (a); : O). A l'entrée de la tuyère, on mesure une pression PE : 3,00 bar et une température 92 : 850°C , et en sortie de la tuyère une pression P, : 1,00 bar. Dans les conditions d'utilisation, le rapport des capacités calorifiques a pression constante et à volume constant de l'air vaut [' : % et sa capacité thermique massique à pression constante c,, : 1,17 kJ-kgÏ1-KÏ1. E' 14 -- Déterminer l'expression de la température 0, du gaz à la sortie de la tuyère et sa valeur numérique. E' 15 -- Exprimer la vitesse E_, du gaz à la sortie de la tuyère en fonction de c,, et des températures BE et EUR,. Calculer la valeur numérique de sa norme. Page 4/6 Physique 1, année 2013 * filièm MP D 16 -- La variation de la quantité de mouvement du gaz qui entre et qui sort du réacteur au cours du temps, lorsque l'on est en régime permanent, génère une force appelée force de poussée du réacteur. On se place dans le référentiel lié au réacteur supposé galiléen. Calculer cette force fi en fonction du débit massique de gaz D... (entrant dans le réacteur) et des vitesses d'entrée 52 et de sortie È, exprimées dans le référentiel lié au réacteur. Déterminer la valeur numérique de la norme de la force de poussée subie par le dragster lors d'un départ arrêté, pour un débit massique constant D... : 80,0 kg-s*1 et en l'absence de vent. D 17 -- Déterminer la valeur de la norme a de l'accélération subie au démarrage par un dragster de 1,06 - 103 kg équipé du réacteur décrit dans la question précédente. On exprimera cette accélération en g (accélération de la pesanteur). D 18 -- Le débit massique est supposé constant. On admet que la force de poussée calculée dans le référentiel lié au réacteur garde la même valeur (norme, direction et sens) dans le référentiel lié au sol. Calculer le temps mis par le dragster pour parcourir les 305 m de la piste dans le cas ou la seule force existante serait la force de poussée. Le résultat attendu est numérique a deux chiffres, et non littéral, de manière à pouvoir conclure sur la capacité de ce véhicule a faire mieux qu'un dragster classique (sans réacteur) qui parcourt la distance en 3,80 s. FIN DE LA PARTIE II III. -- Contrôle d'épaisseur de certaines pièces Pour une bonne mise au point mécanique et aérodynamique du dragster, il est important de contrôler précisément certaines épaisseurs, on utilise pour cela des dispositifs interférentiels. La première mesure consiste en la vérification de l'épaisseur d'un dépôt métallique opaque destiné à protéger certaines pièces, la seconde est la mesure de l'épaisseur d'une pièce en verre et donc transparente. HLA. -- Contrôle d'épaisseur d'un dépôt métallique On éclaire une lame de verre semi--réfléchissante, supposée infiniment fine, et formant un angle s : 0,1° avec une plaque réfléchissant totalement la lumière sur laquelle le dépôt métallique a été effectué. L'éclairement est assuré par une lumière monochromatique de longueur d'onde )... : 532 nm. L'incidence est quasi normale. Le dépôt est assimilable à un parallélépipède métallique opaque d'épaisseur constante posé au contact de la lame réfléchissante. L'ensemble est représenté sur la partie gauche de la figure 6. Lumière incidente l Lame semi-- réfléchissante Lame réfléchissante Dépot métallique FIGURE 6 * Dispositif optique et franges observées sur l'écran Au voisinage des lames, on observe des franges non rectilignes, on dit qu'elles sont « décrochées » . Ces franges sont observées sur un écran placé à 50 cm d'une lentille convergente de distance focale f' : 4 cm. Elles sont représentées sur la partie droite de la figure 6. Page 5/6 Tournez la page S.V.P. Autuw d'un dmgster & réaction D 19 -- Déterminer l'expression de l'interfrange d,» observée sur l'écran dans la zone où le dépôt est absent. On exprimera d,» en fonction de /\0, E et du grandissement 'y de la lentille et on calculera sa valeur numérique. E' 20 -- Expliquer ce que l'on observe sur l'écran (présence du décroché) et montrer que l'épaisseur e du dépôt métallique dépend de la valeur u du décroché mesurée sur l'écran (partie droite de la figure 6). On explicitera la relation entre 6, u et d'autres paramètres utiles de l'expérience. On mesure u : 0,59 mm sur l'écran, quelle est la valeur numérique de l'épaisseur du dépôt? On commentera ce résultat. D 21 -- Qu'observe--t--on sur l'écran si on remplace l'air par de l'eau dans la même expérience. Préciser, en le justifiant, ce qui est modifié et ce qui ne l'est pas. E' 22 -- Qu'obsewe--t-on sur l'écran si l'on augmente l'angle 5. Préciser, en le justifiant, ce qui est modifié et ce qui ne l'est pas. III.B. -- Mesure de l'épaisseur de la pièce transparente La pièce transparente dont on veut déterminer l'épaisseur L est une lame de verre homogène. On utilise un interféromètre de Michelson réglé en lame d'air et éclairé par une lampe à vapeur de sodium dont on a isolé le doublet jaune de longueur d'onde moyenne )... : 589,3 nm. On considère dans un premier temps cette source comme monochromatique. Il est configuré pour l'observation d'anneaux d'égale inclinaison. On se place au contact optique (teinte plate). On introduit la lame à mesurer devant le miroir mobile M2, a son contact. On translate M2 en l'éloignant de la lame. Des anneaux finissent par être visibles. On continue de charioter de façon a retrouver une teinte plate (à ne pas confondre avec une anticoïncidence), et l'on note la position du chariot. Soit d la distance de chariotage depuis le contact optique. A la longueur d'onde moyenne du doublet jaune du sodium, le verre possède un indice n : 1,517. D 23 -- On note i l'incidence, par rapport à la normale de la lame, du rayon lumineux et 7 son angle de réfraction dans la lame de Verre. Montrer que la différence de marche entre deux rayons peut s'écrire 6 : 2A cos(i) + 23 cos(r) où l'on expi'imera A et B en fonction de L, d et 71. À quel endroit l'observation se fait--elle? E' 24 -- En prenant en compte le fait que T et i sont de petits angles, montrer que lorsque l'on atteint le contact optique il est possible d'exprimer l'épaisseur L en fonction de d et n. La source n'est plus considérée comme monochromatique. Pour obtenir les Valeurs du doublet du sodium À1 : À... * %AÀ et À; : /\... + %AÀ, on cherche les positions du brouillage lorsque la lame de verre n'est plus la. On supposera que /\... >> A)... On part du contact optique et on translate le chariot mobile. Une première anticoïncidence correspond à la division el : 9,69 mm pour la position du chariot. La onzième anticoi'ncidence correspond à la division en : 12,61 mm. On suppose que les sources de ces deux raies ont la même intensité. E' 25 -- Exprimer la différence AÀ entre les des deux longueurs d'onde de la raie double du sodium en fonction de el, en et À.... En déduire la valeur numérique de cette différence. FIN DE LA PARTIE III FIN DE L 'ÉPREUVE Page 5/6

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 Mines Physique 1 MP 2013 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (ENS Ulm) ; il a été relu par Louis Salkin (ENS Cachan) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Cette épreuve est composée de trois parties indépendantes qui abordent des méthodes vues au cours des deux années de classes préparatoires. · La première partie porte sur l'étude d'un accéléromètre utilisé dans les smartphones et les manettes de jeu. On l'étudie comme un oscillateur harmonique amorti soumis à une excitation sinusoïdale. La conversion de la réponse mécanique de l'accéléromètre en un signal électrique est effectuée à l'aide d'une détection dont on établit les propriétés. · Dans la deuxième partie, on analyse le fonctionnement d'un turboréacteur. Après avoir démontré des lois générales sur les systèmes ouverts en régime permanent, on se penche sur l'accélération d'un véhicule propulsé par le turboréacteur. · Les interférences en optique sont utilisées dans la troisième partie pour diagnostiquer des défauts de surface. C'est l'interféromètre de Michelson qui est au coeur de cette étude, en coin d'air puis en lame d'air. Cette épreuve est de longueur et de difficulté raisonnables. Elle touche à des domaines très différents du programme et constitue un bon entraînement aux épreuves de trois heures du concours Mines-Ponts. Indications Partie I 2 Remarquer que x = L + a. 3 La fonction de transfert est celle d'un filtre passe-bas. 4 Écrire la loi des noeuds en termes des potentiels. 5 Chercher la solution de l'équation homogène, puis la solution particulière pour le cas du second membre constant et enfin la solution particulière correspondant au régime sinusoïdal forcé. La solution générale est une combinaison linéaire de ces trois solutions. 6 Montrer que v3 (t) Vs + V2 sin t 2 7 Après une brève discussion sur les invariances, invoquer les relations de passage pour le champ électrique à la traversée d'une interface. 10 Le filtre Rf Cf ne laisse passer que la composante continue. Partie II 11 Invoquer la conservation de la masse pour le système proposé par l'énoncé. 12 Sous sa forme la plus générale, le premier principe s'écrit dEc + dU = W + Q 14 Utiliser la loi de Laplace pour le gaz parfait. 15 La deuxième loi de Joule permet de relier la variation de température à la variation d'enthalpie. 16 Effectuer un bilan de quantité de mouvement. Partie III 21 di dépend de n mais u n'en dépend pas. 22 di et u dépendent tous les deux de . 24 L'énoncé comporte une erreur : il faut rapprocher M2 en sorte que d < 0. 25 Exprimer l'intensité lumineuse résultante. Exploiter les annulations du cosinus oscillant le plus lentement. Autour d'un dragster à réaction I. Mesure de l'accélération par un système embarqué 1 Écrivons la force due à chaque ressort. Pour le ressort de droite (indicé 2), - Fr2 = k (x2 - x - 0 ) - ex où 0 est la longueur à vide du ressort. Pour le ressort de gauche (indicé 1), - Fr1 = -k (x - x1 - 0 ) - ex Par conséquent, - - - Fr = Fr1 + Fr2 = k (x2 + x1 - 2x) - ex = 2k (xe - x) - ex - Fr = - 2k L - ex donc La force de friction est proportionnelle à la vitesse du point O par rapport aux deux amortisseurs solidaires du dragster qui évolue à la vitesse xe par rapport au sol. Cette force est donc proportionnelle à x - xe . Mais L = x - xe , d'où - Fa = -2f L - ex Le facteur « 2 » s'explique par la présence de deux amortisseurs. Le paragraphe, en haut de la deuxième page de l'énoncé, peut paraître contradictoire puisque l'on y précise d'abord qu'il n'y a pas de frottements et un peu plus loin que le coefficient de frottement est noté f . Il faut certainement comprendre que l'on néglige tout frottement solide et que le coefficient pour le frottement fluide (supposé proportionnel à la vitesse) est noté f . 2 Après projection sur l'horizontale, le principe fondamental de la dynamique appliqué au dragster dans le référentiel du sol, supposé galiléen, s'écrit mx = -2k L - 2f L On a la relation (car x¨e = a) x = L + a que l'on injecte dans l'équation précédente, pour obtenir mL + 2f L + 2k L = -ma Utilisons les grandeurs 0 et µ introduites dans l'énoncé. Puisque µ 0 = Il vient f m et 0 2 = 2k m L + 2µ 0 L + 0 2 L = -a 3 En notation complexe, l'équation différentielle précédente devient - 2 L + 2jµ 0 L + 0 2 L = -a L 1 = 2 a - 0 2 - 2jµ 0 Ainsi, Factorisons 0 2 au dénominateur de cette fraction, L G = 2 a - 1 - 2jµ Il apparaît que cette fonction de transfert est celle d'un filtre passe-bas du second ordre. Pour que la mise en mouvement du capteur soit fidèlement reproduite (c'està-dire que l'on obtient bien a à une constante près quand on mesure L), il faut que 1 c'est-à-dire que 0 4 Écrivons la loi des noeuds, v3 v3 - Vs d(v3 - v2 ) d(v3 - v1 ) + + C2 + C1 =0 R R dt dt Remplaçons v1 et v2 par leur expression et rassemblons les termes en v3 , (C1 + C2 ) d'où dv3 2 Vs + v3 = + V1 (C1 - C2 ) cos t dt R R dv3 Vs + v3 = + V2 cos t dt 2 5 La solution v 3h de l'équation sans second membre associée à cette équation est v 3h (t) = V0 e -t/ La solution particulière est la somme d'une fonction constante v 3c et d'une solution sinusoïdale v 3s oscillant à la pulsation . Pour déterminer v 3c , il suffit de l'injecter dans l'équation différentielle : dv 3c Vs + v 3c = 0 + v 3c = dt 2 Vs 2 s'obtient en traduisant l'équation, en régime sinusoïdal forcé, Par conséquent, v 3s v 3c (t) = qui devient Ainsi, dv 3s + v 3s = V2 cos t dt (j + 1)v 3s = V2 e jt v 3s = v 3s = p 1 + ( )2 (1 - j ) V2 e jt 1 + ( )2 1 - p +jp 1 + ( )2 1 + ( )2 ! V2 e jt