Mines Physique 1 MP 2011

Thème de l'épreuve Transports planétaires
Principaux outils utilisés mécanique du point, mécanique du solide
Mots clefs ascenseur orbital, ascenseur gravitationnel, tunnel creusé, métro

Corrigé

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ECOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP) ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2011 PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE Filiere MP (Duree de l'epreuve: 3 heures) L'usage de la calculatrice est autorise Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE­EIVP Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page de la copie : PHYSIQUE I -- MP. L'enonce de cette epreuve comporte 6 pages. ­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il est invite a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura ete amene a prendre. ­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des considerations numeriques) qui vous sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. Le bareme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie. TRANSPORTS PLANETAIRES Ce probleme etudie divers aspects physiques du voyage a l'echelle planetaire. Il est compose de deux parties independantes, la premiere envisage le deplacement d'un train dans un tunnel creuse dans la sphere terrestre, la seconde etudie la montee d'un ascenseur le long d'un cable vertical fixe a l'equateur. Dans tout le probleme la Terre est assimilee a un corps spherique homogene de rayon rT , de centre OT et de masse volumique homogene µT . Pour les applications numeriques on prendra µT = 5, 50·103 kg.m-3 , rT = 6, 38·106 m , et on utilisera 3 chiffres significatifs. On rappelle la valeur de la constante universelle de la gravitation de Newton G = 6, 67 · 10-11 m3 .kg-1 .s-2 . Les vecteurs sont surmontes d'un chapeau s'ils sont unitaires ubx ou - d'une fleche dans le cas general OP. Une quantite surmontee d'un point designe la derivee totale par d rapport au temps de cette quantite = . dt I. -- Le metro gravitationnel Dans toute cette partie on neglige tous les effets de la rotation de la terre sur elle-meme et on se place dans le referentiel geocentrique que l'on supposera galileen. I.A. -- Etude preliminaire -- -- - On considere un point P situe a l'interieur de la sphere terrestre. On note OT P = r = r ubr et g (P) le champ gravitationnel cree par la terre en P. -- 1 -- Justifier que g (P) est porte par ubr et que son module ne depend que de r, on notera donc -- g (P) = g (r) ubr . En utilisant le theoreme de Gauss gravitationnel determiner l'expression de g (r) en 4 fonction de 2 = GµT et r. 3 Transports planetaires 2 -- Deduire de la question precedente que la force de gravitation s'exercant sur un point de masse m situe en P derive de l'energie potentielle 1 E p (r) = E p0 + m 2 r2 2 ou E p0 est une constante qui depend de la reference choisie et que l'on ne demande pas d'expliciter. Quelle est la dimension de ? I.B. -- Le tunnel droit On relie deux points A et B de l'equateur terrestre par un tunnel cylindrique traversant la Terre selon le schema de la figure 1 qui presente egalement les notations utilisees. F IG . 1 ­ Le tunnel droit On considere un mobile ponctuel P de masse m se deplacant dans le tunnel sous l'effet du champ gravitationnel terrestre. La position du mobile est reperee sur le segment [AB] par la coordonnee x - - telle que PH = x ubx ou le vecteur unitaire ubx est colineaire a AB et de meme sens et H est la projection orthogonale de OT sur [AB]. On note finalement h = OT H. Dans toute la partie I, on suppose que le point P reste en permanence dans l'axe du tunnel grace a un systeme de confinement. Il n'y a donc pas de contact avec les parois et donc pas de frottement avec celles-ci. Un tel confinement est envisageable en utilisant des parois magnetiques ! On suppose enfin qu'un vide suffisament pousse a ete cree dans le tunnel. Sous toutes ces hypotheses, on considerera que la seule force qui s'applique au mobile est la force de gravitation qu'exerce sur lui la terre. A l'instant t = 0, on abandonne le mobile au point A sans vitesse initiale. 3 -- Determiner l'equation differentielle (lineaire) du second ordre verifiee par x (t). En deduire l'expression de x (t) en fonction de h, rT , et t. 4 -- Determiner la valeur de la vitesse maximale atteinte par le point P sur le trajet. En quel point cette vitesse est-elle atteinte ? 5 -- Exprimer la duree 0 du trajet entre AB et calculer sa valeur numerique. I.C. -- Projet de metro Pour desservir plusieurs points sur l'equateur, on considere un systeme de tunnels representes sur la figure 2. Un tunnel circulaire est perce a une distance rH du centre de la Terre dans le plan de l'equateur et l'on creuse des tunnels rectilignes de descente ou de remontee A1 H1 A2 H2 , etc... Ces tunnels se raccordent au tunnel circulaire interne en des points H1 , H2 , · · · . Chaque jonction est tangentielle, c'est-a-dire que --- --- --- --- A1 H1 .OT H1 = A2 H2 .OT H2 = · · · = 0. Les points H1 , H2 , ... sont equipes d'un systeme d'aiguillage Page 2/6 Physique I, annee 2011 -- filiere MP F IG . 2 ­ Le systeme de tunnels assurant la continuite du vecteur vitesse de la rame de transport des voyageurs lors du transfert entre le tunnel de descente ou de remontee et le tunnel circulaire. On assimile cette rame a un point materiel P de masse m astreint a circuler dans l'axe du tunnel et sans contact avec ses parois grace au systeme de confinement. A l'instant t = 0, on laisse tomber une rame du point A1 et sans vitesse initiale. 6 -- Quelle est la nature du mouvement de la rame sur le trajet circulaire interne H1 H2 . Determiner la vitesse de la rame sur cette portion, en deduire que la duree 1 du transfert de H1 vers H2 se met sous la forme 1 = f (y) ou y = rT /rH et f est une fonction que l'on determinera. 7 -- Determiner la duree totale du voyage de A1 vers A2 en fonction de , et y. Determiner la valeur numerique de pour un voyage tel que = /3 avec rH = rT /2. Comparer les caracteristiques de ce voyage avec son equivalent a la surface de la terre. 8 -- Avec un diametre moyen de 7 m, evaluer la quantite de deblais a evacuer pour creuser le tunnel circulaire, ainsi qu'un tunnel radial. Commenter le resultat obtenu. L'une des nombreuses hypotheses necessaires a la realisation d'un tel projet est la creation et le maintien d'un vide suffisant dans le tunnel. En fait, ce vide ne peut etre que partiel sur un tel volume et le tunnel contient de l'air de densite volumique de masse maintenu a la pression p et a la temperature ambiante. Ce dernier point serait a discuter dans le cadre d'une etude plus complete que nous ne menerons pas ici. On supposera que p et sont constantes dans l'enceinte du tunnel et que l'air s'y comporte comme un gaz parfait. Pour cette etude on se place dans le cas du mouvement dans le tunnel circulaire. Des experiences d'aerodynamique montrent que le mouvement d'un solide dans un gaz au repos est soumis a une force de frottement, dite trainee. Cette trainee depend de la taille caracteristique L et de la vitesse v du solide ainsi que de la densite du gaz dans lequel s'effectue le mouvement. 9 -- En effectuant une analyse dimensionnelle, determiner l'expression de cette force de frottement. Page 3/6 Tournez la page S.V.P. Transports planetaires 10 -- On note P la puissance developpee par la trainee subie par la rame de metro lorsqu'elle circule dans la portion circulaire du tunnel. Determiner la pression qu'il faut maintenir dans le tunnel afin que P soit comparable a la puissance que developpe la force de trainee dans le cas d'une rame de TGV circulant a la vitesse de 360 km.h-1 a la surface de la terre. On supposera qu'en dehors de la vitesse la rame de metro et la rame de TGV possedent les memes carateristiques physiques. Commenter le resultat obtenu. FIN DE LA PARTIE I II. -- Ascenseur spatial Ce probleme etudie certains aspects physiques de la realisation d'une idee recurrente dans de nombreux contextes « l'ascenseur spatial ». Il s'agit d'un mecanisme permettant de s'extraire du champ de pesanteur terrestre sans utiliser de fusee. On suppose pour cela qu'un cable realise par filage de nanotubes de carbone, de plus de 100 000 km de long, inextensible, a pu etre dresse a la verticale d'un point de l'equateur de la Terre. Ce cable possede une masse lineique = 1, 00 kg.m-1 extremement faible et une resistance mecanique extremement forte par rapport a un cable en acier, qui le rend capable de supporter de tres fortes tensions sans casser. Dans cette partie, le referentiel terrestre est en rotation uniforme autour de l'axe des poles par rapport au referentiel geocentrique suppose galileen. Il effectue un tour en un jour sideral de duree T = 8, 62 · 104 s. La terre est toujours supposee spherique et homogene de masse mT = 34 rT3 µT = 5, 98 · 1024 kg. II.A. -- Etude de l'equilibre du cable Les notations sont celles de la figure 3 : Le point d'ancrage E du cable est un point de l'equateur terrestre, rT est le rayon de la Terre et OT son centre. L'altitude d'un point M du fil est notee z, r = rT + z est le rayon OT M et h est la hauteur totale du cable. Le point H represente l'extremite haute du cable : zH = h et rH = rT + h. Ce point est libre. On pourra enfin utiliser le vecteur unitaire --- ubr = OT M/r. rT OT z M E H r h F IG . 3 ­ Vue generale de la Terre et du cable 11 -- Rappeler la definition de l'orbite geostationnaire terrestre. Etablir l'expression litterale du rayon rs correspondant a cette orbite en fonction de la masse mT de la terre, de G et de la pulsation 2 siderale terrestre = . T Dans toute la suite du probleme, on considerera un cable de longueur totale h = 4rs - rT , on a donc OT H = rH = 4rs . On note gs le module du champ de gravitation en r = rs , c'est-a-dire la quantite telle que fs = mgs ou fs est le module de la force de gravitation subie par un corps de masse m situe en r = rs . Enfin, on note g le module du champ de gravitation en r = rT . Page 4/6 Physique I, annee 2011 -- filiere MP 12 -- En ecrivant que le cable est en equilibre, montrer que la derivee de la tension du cable en M verifie la relation 2 dT rs r = 2- dr r rs ou est un parametre que l'on exprimera en fonction de et gs . En admettant que T (rH ) = 0, determiner l'expression de la tension T (r) en fonction de , r et rs . 13 -- Determiner les valeurs numeriques de rs , gs de la tension du fil au point d'ancrage notee TE = T (rT ), ainsi que la valeur maximale Tmax de T (r). Commenter le resultat obtenu, on pourra par exemple se « servir » de la question 8, on donne aussi le module d'Young de l'acier a = 210 GPa et d'un cable en nanotubes de carbonne c = 1 TPa. II.B. -- Montee de la cage d'ascenseur le long du fil Le systeme de propulsion de la cabine est modelise sur la figure 4. La montee est assuree par la rotation en sens inverses de deux gros cylindres de caoutchouc identiques, chacun de rayon Rc = 1, 00 m, de masse mc = 2, 00 · 103 kg, de moment d'inertie par rapport a son axe J = 12 mc R2c . Ces cylindres sont mus par un moteur electrique exercant sur chacun un couple. Le moment resultant de ce couple est - - g = +0 uby pour le cylindre de gauche et d = -0 uby pour le cylindre de droite. Les deux cylindres serrent le cable grace a un ressort reliant leurs centres. La longueur a vide 0 = Rc et la constante de raideur k du ressort permettent d'assurer un roulement sans glissement au contact du cable. On prend fs = 0, 5 pour le coefficient de frottement statique entre le caoutchouc des cylindres et le cable. On neglige les masses de la cabine, de ses occupants et des moteurs par rapport a celle des cylindres. F IG . 4 ­ Vue generale des cylindres assurant la montee de la cabine On negligera toute action de l'air (frottement et vent) sur le systeme. Dans le referentiel (E, ubx , uby , ubz ) avec ubz = ubr la cabine, reperee par le point M, est en E a t = 0. La montee de z = 0 (ou la vitesse est nulle) a z = h dure au total tm = 4 jours et se decompose en une phase d'acceleration constante d'intensite a = 1 m.s-2 pendant une duree t0 suivie d'une phase a vitesse constante de module v0 . 14 -- Calculer les valeurs numeriques de la duree t0 , de la vitesse v0 et de l'altitude z0 atteintes a la fin de la premiere phase. On verifiera que z0 h. 15 -- Justifier le fait que l'on puisse considerer que pendant la premiere phase, la force de gravitation exercee par la Terre sur le systeme est sensiblement constante et negliger une des forces par rapport a celle-ci. Page 5/6 Tournez la page S.V.P. Transports planetaires 16 -- Expliquer comment la montee du systeme le long du fil peut affecter la verticalite du cable au cours de sa montee. Proposer un moyen technique de remedier a ce probleme. Dans toute la suite de cette partie, on supposera que le fil reste parfaitement immobile, vertical, tendu et on negligera la ou les forces susceptibles d'affecter la verticalite du fil. 17 -- L'angle de rotation du cylindre de droite est note , compte positivement comme indique - sur la figure 4, le vecteur vitesse angulaire de ce cylindre est donc = - uby . On prend = 0 pour z = 0. Etablir la relation entre et z. 18 -- Etablir l'expression litterale du moment 0 que doit exercer le moteur agissant sur ce cylindre pour assurer la montee pendant la premiere phase (acceleree) du mouvement en fonction de m, Rc , g et a. Effectuer l'application numerique. 19 -- Donner l'expression litterale de la valeur minimale de la constante de raideur k du ressort assurant le roulement sans glissement du cylindre de droite sur le fil pendant la premiere phase (acceleree) du mouvement. Effectuer l'application numerique. 20 -- Justifier par un calcul numerique que la montee du systeme n'affecte pas sensiblement la tension du fil dans la premiere phase. FIN DE LA PARTIE II FIN DE L'EPREUVE Page 6/6

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 Mines Physique 1 MP 2011 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Vincent Freulon (ENS Ulm) et Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE). Ce sujet s'intéresse à deux procédés de transport qui s'appuient sur la gravitation et les forces d'inertie, pour réduire les coûts ou les temps de parcours. · Un projet de métro circulaire, creusé à l'intérieur de la Terre, fait l'objet de la première partie. Après une rapide étude d'un tunnel rectiligne reliant directement deux points de la surface, on aborde un tunnel circulaire (creusé à une profondeur correspondant à la moitié du rayon terrestre), unique, relié à différents canaux rectilignes qui le connectent à la surface. Si les temps de parcours obtenus sont extrêmement intéressants, puisque le dispositif peut relier deux points quelconques de la surface de la Terre en moins d'une heure, il va sans dire que les difficultés techniques d'un tel dispositif sont colossales voire insurmontables ; cependant, seul le problème des déblais est évoqué. · Dans la seconde partie, on s'intéresse à un dispositif imaginé dans les années 60 et popularisé par A. Clarke, auteur de science-fiction : l'ascenseur orbital. Il s'agit d'utiliser la rotation de la Terre pour stabiliser un long câble, solidement arrimé à l'équateur. Une fois ce câble en place, une cabine, analogue à une cabine d'ascenseur, permet de « monter jusqu'à l'orbite géostationnaire » pour un coût très réduit. Si ce projet a des défenseurs et apparaît plus réaliste que le premier, il reste d'importantes difficultés, aujourd'hui non entièrement résolues, à la mise en oeuvre effective d'un tel dispositif. Ce sujet, qui traite exclusivement de mécanique, était en grande partie commun avec celui de la filière PSI. Il n'est pas particulièrement long ni difficile. Toutefois, on peut regretter qu'il présente des inexactitudes ou des coquilles qui ont pu être déstabilisantes le jour du concours. Indications Partie I 3 Utiliser une méthode énergétique. 4 Traduire la conservation de l'énergie mécanique. 6 La vitesse est continue en H1 . 9 L'énoncé n'est pas clair sur : il s'agit simplement de la masse volumique (ni de la densité, sans dimension ; ni de la densité volumique de masse, dénomination pour le moins « originale »...). Partie II 12 Faire un bilan des forces s'exerçant sur un tronçon élémentaire de câble en équilibre dans le référentiel terrestre, qui est non galiléen. 13 Ne pas tenir compte du renvoi sur la question 8 (scorie d'une version précédente de l'énoncé ?). Le module d'Young caractérise la rigidité d'un matériau (horsdu du où est la variation programme). La tension T peut être liée à par : T = S dr dr relative de longueur du câble. 14 Utiliser la continuité de la vitesse lors du passage de la première phase du mouvement à la seconde. 15 Comparer l'interaction gravitationnelle et la force d'inertie centrifuge. 16 La force d'inertie de Coriolis est-elle nulle ? 17 Écrire la relation de non glissement du cylindre et intégrer la relation obtenue en tenant compte des conditions initiales. 18 Exprimer la force de contact tangentielle à partir du théorème de la résultante dynamique, puis appliquer le théorème du moment cinétique barycentrique au cylindre. Attention à l'orientation de u cy . 19 Utiliser les lois de Coulomb pour lier, à la limite de glissement, les composantes normale et tangentielle de la force de contact entre le câble et la cabine. 20 Comparer la réaction tangentielle et la tension au niveau du sol TE . Transports planétaires I. Le métro gravitationnel I.A Étude préliminaire 1 La répartition de masse, à l'origine du champ gravitationnel - g , est à symétrie sphérique. Ainsi, tout plan contenant O et P est plan de symétrie de cette distribution, donc le champ gravitationnel, qui est un vecteur polaire, est dans l'intersection de tous ces plans, soit - g = g(r, , ) u cr . L'invariance par rotation autour de n'importe quel diamètre implique que la norme de - g ne dépend ni de , ni de . Finalement, - g (P) = g(r) u cr Considérons une sphère S de centre O et de rayon r comme surface de Gauss. Le théorème de Gauss gravitationnel indique ZZ - - g · d S = -4GM int S - où Mint est la masse contenue ZàZ l'intérieur de S . Or, d S est selon u cr donc - - g · d S = 4r2 g(r) S 4 µ r3 3 T 4 d'où 4r2 g(r) = -4G µT r3 3 Avec la définition de , on en déduit Par ailleurs, Mint = g(r) = - 2 r Rappelons que, si le théorème de Gauss est vérifié sans condition, il permet de déterminer un champ seulement si la distribution (de masse ou de charges) présente des symétries suffisantes. En effet, il faut pouvoir trouver une surface sur laquelle le calcul du flux du champ est simple. En début d'épreuve, vérifier tout ce que l'on écrit n'est pas du temps perdu. Ici, le signe du résultat est important : le champ gravitationnel est attractif en toute circonstance. - 2 La force gravitationnelle Fg , s'exerçant sur un point matériel de masse m situé en P, est donnée par - Fg = m - g (P) = -m 2 r u cr Le travail élémentaire W s'écrit - - 1 2 2 2 W = Fg · d = -m r dr = -d m r 2 - Ainsi, la force Fg dérive d'une énergie potentielle définie par Ep (r) = 1 m 2 r2 + Ep0 2 Procédons à une analyse dimensionnelle avec les notations usuelles : [Ep ] = M.[]2 .L2 Or, [Ep ] = M.L2 .T-2 Ainsi, [] = T-1 On pouvait vérifier facilement que est une pulsation : en effet, g(r) est une accélération et g(r) = - 2 r, avec r une longueur. I.B Le tunnel droit 3 On étudie le point matériel P de masse m dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen. Compte tenu des hypothèses, puisque P n'est soumis qu'à l'attraction gravitationnelle de la Terre, P est en évolution conservative donc son énergie mécanique est constante. Puisque P est en translation rectiligne, son énergie cinétique est Ec = 1 mx2 2 On en déduit l'énergie mécanique Em : 1 1 mx2 + m 2 r2 + Ep0 2 2 2 2 2 et ici, r = h + x . En dérivant cette relation par rapport au temps, il vient m x x + 2 x = 0 Em = Ec + Ep = Comme x(t) n'est pas toujours nul, on peut simplifier et obtenir l'équation différentielle recherchée : x + 2 x = 0 L'énoncé indique que l'on ne prend en compte que la force gravitationnelle ; c'est une erreur. La trajectoire rectiligne et ne passant pas par O ne peut pas être expliquée en prenant en compte cette seule force et ce, pour une raison simple : cette force est radiale, donc la seule trajectoire rectiligne compatible serait selon un rayon terrestre, ce qui n'est pas le cas. Il y a nécessairement d'autres forces pour assurer cette trajectoire. On peut penser à un système de lévitation pour éviter tout contact (analogue à ce qui est utilisé pour le Maglev, train japonais à lévitation magnétique). Comme elle ne travaille pas, elle n'intervient pas dans l'approche énergétique (ni dans l'équation du mouvement) ; pour autant, elle ne peut pas être oubliée. En toute rigueur, pour pouvoir simplifier par x, il faudrait se limiter à des intervalles de temps où la vitesse ne s'annule pas. La vitesse s'annulant à des instants précis (de façon discrète), on montre en fait que, si l'on raccorde par continuité les différentes solutions obtenues sur chaque intervalle, on retrouve bien la solution de l'équation du mouvement, prise cette fois sur toute la durée souhaitée. C'est pour cela qu'en pratique, on peut simplifier par le terme de vitesse dans l'obtention énergétique de l'équation du mouvement.