Mines Physique 1 MP 2009

Thème de l'épreuve À propos de Heinrich Olbers
Principaux outils utilisés mécanique du point, transferts thermiques, statique des fluides
Mots clefs comète, ellipse, facteur de Boltzmann, loi de Planck, température de la Terre, luminosité du ciel, loi de Hubble, effet Doppler-Fizeau, rayonnement diffus cosmologique

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Rapport du jury

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ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT­ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2009 PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE Filiere MP (Duree de l'epreuve: 3 heures) L'usage de la calculatrice est autorise Sujet mis a disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE­EIVP, Cycle international Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page de la copie : PHYSIQUE I -- MP. L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages. ­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il est invite a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura ete amene a prendre. ­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des considerations numeriques) qui vous sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. Le bareme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie. A PROPOS DE HEINRICH OLBERS L'astronome allemand H EINRICH W. M. O LBERS (1758--1840) decouvrit les asteroides Pallas et Vesta en 1802 et en 1807 ; en 1831, il realisa la premiere observation de la comete qui porte son nom (13P/Olbers). Les caracteristiques orbitales de cette comete ont ete determinees initialement par C. F. G AUSS et F. B ESSEL. Elle a ete observee pour la derniere fois lors de son passage au perihelie (distance minimale au Soleil) le 10 janvier 1956. Certaines proprietes de cette comete sont examinees dans la Partie I. O LBERS a aussi etudie le paradoxe qui porte aujourd'hui son nom : si l'univers contient une multitude d'etoiles distribuees a peu pres regulierement, un observateur terrestre qui observe le ciel dans une direction arbitraire devrait toujours voir au moins une etoile, aussi lointaine soit-elle ; tout point du ciel devrait donc sembler brillant, de jour comme de nuit. Certains aspects de cette affirmation paradoxale seront discutes dans la partie II. Les vecteurs sont notes en caracteres gras : v, F et leurs normes en italique kvk = v, kFk = F. Dans le systeme de coordonnees spheriques (r, , ) et dans la base orthonormee (er , e , e ), on rappelle f 1f 1 f dx er + la derivee d'une fonction x(t). que grad f (r, , ) = e + e . On note x = r r r sin dt A PROPOS DE HEINRICH OLBERS I. -- La comete 13P/Olbers Les parties I.A et I.B de ce probleme peuvent etre abordees independamment. I.A. -- Mouvements cometaires On etudie dans cette partie le mouvement d'un corps ponctuel M de masse m, soumis a l'action d'un centre attracteur fixe a l'origine O des coordonnees d'un referentiel galileen R. On posera r = kOMk. L'action de ce centre attracteur est decrite par une force unique F = -m · gradU(r), ou U est une fonction supposee connue. On note aussi v la vitesse de M dans R, LO = m OM v, L = kLO k > 0 et C = L/m 1 -- Montrer que le mouvement de M est plan. On choisira d'appeler (Oxy) ce plan, oriente par la convention LO = L ez ; l'etude du mouvement de M dans (Oxy) s'effectuera en coordonnees polaires (r, ). 2 -- On note E = m l'energie mecanique de M. Exprimer en fonction de r, C, r et U(r). Le point M est en fait le centre d'une comete spherique et homogene se deplacant dans le champ de gravitation du Soleil (de masse M ). Pour tout le reste de la partie I.A, on adopte l'expression U(r) = -K/r ou K est une constante, et l'on se place dans le referentiel supposee galileen dans lequel le Soleil est fixe, homogene et spherique. De plus, on neglige l'influence des tous les autres corps du systeme solaire. 3 -- Exprimer K en fonction de la constante de la gravitation universelle G et de la masse du Soleil M . 4 -- A quelle condition sur le mouvement de M verifie-t-il rmin 6 r 6 rmax < avec rmin 6= rmax ? Les constantes rmin et rmax sont respectivement appelees perihelie et aphelie de la trajectoire. On suppose desormais que la condition de la question 4 est verifiee. L'origine des instants (t = 0) et des angles polaires ( = 0) sera choisie de sorte que r(t = 0) = rmin , (t = 0) = 0. rmax + rmin et 5 -- Exprimer et C en fonction de K, rmin et rmax puis en fonction de K, a = 2 rmax rmin p= . a 6 -- Quelle est, sans demonstration, la nature de la trajectoire de M ? Indiquer en justifiant votre rmax - rmin reponse, la signification physique des parametres a, p et e = ? Representer la trajectoire rmax + rmin de M en precisant les points et dimensions remarquables. 7 -- On etudie la partie de la trajectoire pour laquelle 0 < < . Quel est alors le signe de r ? Exprimer r en fonction de , K, C et r. Montrer que la duree de parcours de rmin a r( ) le long de cette trajectoire s'ecrit r Z r a r( ) p dr = K rmin a2 e2 - (r - a)2 8 -- On effectue le changement de variable r = a(1 - e cos ). L'angle est appele anomalie excentrique. Exprimer la duree du trajet du mobile M depuis l'instant initial jusqu'a sa position actuelle reperee par , en fonction de , e, a et K puis de , e et de la periode T du mouvement de M. Quel est le nom de la relation qui lie T , K et a ? On considere que la trajectoire de la Terre autour du Soleil est circulaire, de rayon a0 = 1 UA (unite astronomique) et de periode T0 = 1 annee = 365, 25 jours. Les caracteristiques orbitales, assez stables, de la comete 13P/Olbers sont les suivantes : excentricite e = 0, 930 ; distance au Soleil au perihelie rmin = 1, 18 UA. On admettra que les relations ( ) et r( ) se generalisent a tout point de la trajectoire de cette comete. 9 -- A quelle date la comete reviendra-t-elle pour la prochaine fois au perihelie ? A quelle date la comete se trouvera-t-elle la prochaine fois a la distance r = 26, 06 UA du Soleil ? Page 2/7 Physique I, annee 2009 -- filiere MP Comete Ikeya-Zhang photographiee en 2002 a l'observatoire de Haute-Provence. I.B. -- La queue de la comete En 1811, O LBERS proposa pour la premiere fois une theorie quantitative pour expliquer la formation de la queue des cometes, en imaginant que les particules qui la composent sont soumises a une force repulsive d'origine electrique variant comme le carre de l'inverse de la distance au Soleil. On connait aujourd'hui le mecanisme de formation de la queue de la comete, en particulier si elle est formee de poussieres solides. S2 C1 C2 C3 S1 Les poussieres sont entrainees par un flux de particules (le vent solaire) emises par le Soleil et se deplacant a une vitesse de l'ordre de 400 km · s-1 . On etudie pour simplifier (cf. ci-dessus) une comete se deplacant en ligne droite a la vitesse de 30 km · s-1 ; la droite en traits pleins designe la trajectoire de la comete, et les traits pointilles la direction du vent solaire. 10 -- En justifiant votre reponse, indiquer si le Soleil est dispose du cote S1 ou du cote S2 sur la figure ci-dessus. 11 -- En justifiant tout autant la reponse et sur cette meme figure, la comete se deplace-t-elle dans le sens C1 C2 C3 ou dans le sens C3 C2 C1 ? Calculer l'angle entre la direction Soleil­comete et la direction moyenne de la queue de la comete. FIN DE LA PARTIE I Page 3/7 Tournez la page S.V.P. A PROPOS DE HEINRICH OLBERS II. -- Le paradoxe d'Olbers Les parties II.A, II.B et II.D de ce probleme peuvent etre abordees de maniere independante, a condition eventuellement d'admettre les resultats donnes par l'enonce s'ils n'ont pas pu etre etablis. II.A. -- Equilibre thermique et rayonnement On etudie un gaz parfait en equilibre thermique a la temperature T (uniforme) dans un champ de forces exterieures ; la force F exercee sur une molecule du gaz de masse m est F = mG, ou le champ de forces G = -gradU derive du potentiel U. On note R la constante molaire des gaz parfaits, NA la constante d'AVOGADRO, M = NA m la masse molaire du gaz et k = R/NA la constante de B OLTZMANN. La pression dans le gaz est notee P. z 12 -- On considere un volume elementaire de ce gaz, d'extension suffisamment faible pour que l'on puisse considerer le champ de gravitation G = -Gez z + dz constant sur ce volume. Ce volume sera constitue d'un cylindre de gaz, compris entre les altitudes z et z + dz, de section S et de hauteur dz, en equilibre G mecanique sous l'action du champ de forces G et des forces de pression. Exprimer la derivee dP/dz en fonction de G, P, T , m et k. z 13 -- En deduire une equation differentielle reliant P et U, avec comme parametres m, k et T . Montrer enfin qu'a l'equilibre thermique, la densite parti E culaire dans le gaz (n : nombre de molecules par unite de volume) verifie n = n0 exp - , ou n0 kT est une constante, et E = mU est l'energie potentielle d'une molecule dans le champ U. b b Nous admettrons dans la suite la generalite de ce resultat : le nombre de molecules d'energie E dans une assemblee de molecules a l'equilibre thermique a la temperature T est proportionnel a exp (-E/kT ). On decrit maintenant un corps solide en equilibre thermique a la temperature T . Les atomes formant ce corps sont, dans ce modele, repartis en deux populations, a raison de n1 atomes par unite de volume a l'energie E1 et n2 atomes par unite de volume a l'energie E2 , avec E2 > E1 . Ce solide absorbe et emet en permanence un rayonnement electromagnetique, que l'on decrira ici comme une assemblee de particules (photons) ; on ne s'interesse ici qu'aux photons de frequences voisines de = (E2 - E1 )/h (ou h est la constante de P LANCK) susceptibles d'etre absorbes ou emis lors des transitions entre les deux niveaux d'energie. Selon un modele propose par E INSTEIN, les processus d'emission et d'absorption des photons par le solide se compensent et sont regis par les equations differentielles dn1 dn2 =- = A( )n2 + [-B( )n1 +C( )n2 ] u ( , T ) dt dt ou u ( , T ) represente la densite volumique spectrale d'energie electromagnetique : si l'on note n ( , T ) le nombre de photons par unite de volume et par unite de frequence, on a alors la relation u ( , T ) = h n ( , T ) ; les grandeurs positives A( ), B( ) et C( ), appelees coefficients d'E INSTEIN, ne dependent que de la frequence . On suppose finalement que lim n1 = lim n2 = no . T + T + 14 -- Quelles sont les unites SI de mesure et la signification physique des grandeurs u (T ), A( ), B( ) et C( ) ? 15 -- Determiner l'expression du rapport n2 /n1 a l'equilibre. En utilisant la relation etablie a la question 13, montrer que l'on peut trouver 2 fonctions F( ) et H( ) telles que u ( , T ) = -1 h F( ) exp - H( ) . On exprimera F( ) et H( ) en fonction de A( ), B( ) et C( ). kT Page 4/7 Physique I, annee 2009 -- filiere MP II.B. -- Loi de Planck La loi dite de P LANCK donne les expressions de la densite volumique spectrale d'energie u du rayonnement a l'equilibre thermique, et du flux surfacique spectral j emis a la surface d'un corps noir : 8 h 3 2 h 3 et j ( , T ) = u ( , T ) = h h c3 exp c2 exp -1 -1 kT kT ou c est la vitesse de la lumiere dans le vide. 16 -- Montrer que la loi de P LANCK est compatible avec les resultats de la question 15. Determiner les rapports C( )/B( ) et A( )/B( ). 17 -- Montrer que le flux surfacique total j rayonne par un corps noir se met sous la forme j = T ; On justifiera soigneusement la valeur de et on exprimera la constante en fonction de R -1 k, h, c et de l'integrale I = 0 e-x x3 [1 - e-x ] dx. 18 -- En utilisant la relation |z| < 1 , (1 - z)-1 = zn , exprimer I en fonction de certaines n=0 valeurs des fonctions d'E ULER et de R IEMANN, on rappelle que x R , (x) = Z e-t t x-1 dt , (x + 1) = x(x) et (x) = 0 1 nx . n=1 On peut calculer (1) = 1, (4) = 4 /90, et mesurer k = 1, 38 × 10-23 J.K-1 , h = 6, 62 × 10-34 J.s, c = 3, 00 × 108 m.s-1 , determiner la valeur numerique de . Quel est le nom de cette constante ? II.C. -- Le ciel est clair, le jour. . . On etudie ici un modele simplifie d'univers illimite, les etoiles etant toutes assimilees a des spheres de meme rayon R , de meme temperature de surface T , dont le rayonnement est regi par la loi de P LANCK affirmee a la partie II.B. Ces etoiles sont reparties statistiquement de maniere quasi-uniforme a raison de n etoiles par unite de volume (n R3 1) dans tout l'univers, considere comme une sphere de grand rayon R et de centre O. L'espace compris entre les etoiles est vide. On considere une planete spherique, de centre O, de rayon R p , disposee au voisinage d'une des etoiles ci-dessus (appelee etoile locale) et a beaucoup plus grande distance de toutes les autres etoiles de l'univers. La distance d entre le centre de la planete et celui de son etoile locale verifie d R > R p . On neglige toute presence d'atmosphere autour de la planete, et on fait l'hypothese que cette derniere montre toujours la meme face a l'etoile locale. Pour les applications numeriques, on adoptera les valeurs relatives au couple Soleil-Terre : T = 5 700 K, R = 750 000 km, d = 150 × 106 km. 19 -- Dans un premier modele, on ne tient compte que de l'etoile locale. On considere d'une part que la face eclairee de la planete est a temperature uniforme Te et d'autre part que cette planete emet un rayonnement conforme a la loi de P LANCK. Determiner l'expression et la valeur numerique de Te en regime permanent. Quelle est, dans ce modele, la temperature de la face non eclairee ? P 20 -- On etudie maintenant un modele ou la temperature de la partie eclairee de la planete n'est pas uniforme ; un point P de la face eclairee est z caracterise par l'angle fait par le rayon vecteur CP mene depuis le centre C C de la planete avec la direction d'eclairement. Determiner, a l'equilibre radiatif local, l'expression de la temperature T ( ) d'un point de la face eclairee en fonction deZZ T , R , d et . On definit la temperature moyenne de la planete 1 T (P)dS, l'integrale etant etendue a toute la surface S de la planete. Determiner l'expar T = S pression et la valeur numerique de T . Page 5/7 Tournez la page S.V.P. A PROPOS DE HEINRICH OLBERS 21 -- Ce modele vous parait-il satisfaisant pour decrire la temperature de surface de la Terre ? Comment proposeriez-vous de l'ameliorer ? On adopte enfin un modele plus complet, destine a rendre compte des echanges thermiques entre les differentes parties adjacentes de la surface de la planete. Celle-ci est decrite comme une couche spherique de rayon R p , de faible epaisseur e R p , conductrice thermique avec la conductivite thermique constante. En regime permanent, la temperature de sa surface T ( ) ne depend que de l'angle . 22 -- Rappeler et justifier qualitativement la loi de F OURIER de la conduction thermique. En deduire que la temperature T ( ) verifie l'equation differentielle dT 1 d sin + Z 4 ( ) - T 4 ( ) = 0 sin d d on exprimera la constante en fonction des donnees du problemes et la fonction Z( ) en fonction de T , R et d pour 0 6 6 . On ne cherchera pas a resoudre cette equation differentielle. II.D. -- . . . et la nuit ? Dans les modeles developpes ci-dessus, la temperature des planetes sur leur face sombre apparait comme tres faible ; elles ne sont en effet eclairees que par « cette obscure clarte qui tombe des etoiles » (C ORNEILLE). Nous allons estimer, avec O LBERS, que la quantite de lumiere recue ainsi est pourtant a priori loin d'etre negligeable. Dans cette partie, on etudie une planete isolee, sans etoile locale, et donc plongee dans une nuit perpetuelle : la surface de la planete n'est eclairee que par un ciel nocturne. Revenant au modele presente au debut de la partie II.C, on suppose les etoiles reparties uniformement a raison de n par unite de volume, a une distance variable r du centre C de la planete, spherique de rayon R p . On rappelle que r varie de r0 > R p a R r0 . Une etoile r Le rayonnement de chaque etoile est isotrope Planete (le schema n'est pas a l'echelle) 2R p 23 -- Exprimer le nombre dN d'etoiles comprises entre deux spheres de centre C et de rayon r et r +dr. En deduire la puissance thermique recue par la planete de la part de ces etoiles. On negligera ici tout phenomene d'absorption ou d'ombre : les etoiles ne s'occultent pas. En deduire que la puissance totale recue par la planete s'ecrit P = R , ou on exprimera en fonction de la constante des questions 17 et 18 ainsi que de T , R , R p et n . 24 -- Le paradoxe de la nuit noire ou paradoxe d'Olbers peut etre exprimee ainsi : « si l'univers est infini, le rayonnement provenant des etoiles l'est aussi et le ciel de nuit devrait etre clair ; si par contre l'univers est fini, il n'est pas stable et s'effondrera. » Expliquer brievement la nature de l'instabilite evoquee ici. Page 6/7 Physique I, annee 2009 -- filiere MP Le paradoxe de la nuit noire ne se presente plus dans le cadre des modeles d'univers modernes (en particulier dans le modele cosmologique standard, ou « big bang »). Dans ce modele, l'univers est fini et une etoile quelconque situee a la distance r de la planete de l'observateur s'eloigne de celui-ci radialement a la vitesse V = H0 · r, ou H0 = 2, 5 × 10-18 s-1 est la constante de H UBBLE. On sait aussi, en supposant valide la cinematique classique non relativiste, que la longueur d'onde a apparente de la lumiere recue de la part d'une etoile qui emet de la lumiere a la longueur d'onde est a = (1 +V /c), ou c = 3, 0 × 108 m · s-1 est la vitesse de la lumiere : c'est l'effet D OPPLER F IZEAU. 25 -- En utilisant la loi de P LANCK donnee en II.B, montrer que la longueur d'onde m correspondant au maximum d'emission de rayonnement d'energie thermique d'un corps solide a la temperature T , verifie la relation m = µ /T . On exprimera la constante µ en fonction de h, k, c et x solution non nulle de l'equation 3 - x = 3e-x . Comment s'appelle cette loi ? 26 -- En utilisant la loi precedente et en supposant valide la cinematique classique non relativiste, determiner la temperature apparente Ta d'une etoile situee a la distance r de l'observateur. Faire l'application numerique pour une etoile semblable au Soleil, mais situee a dix milliards d'anneeslumiere de la Terre (une annee-lumiere est la distance parcourue dans le vide par la lumiere pendant une annee). 27 -- En considerant toujours la cinematique classique non relativiste, montrer que l'effet D OPPLER F IZEAU permet de lever le paradoxe d'O LBERS dans un univers infini. On donne n 10-57 m-3 ainsi que le flux surfacique moyen recu du Soleil sur la Terre j 1 kW.m-2 . 28 -- Le modele du « big bang » prevoit que l'univers est age d'environ 13,7 milliards d'annees. Montrer que dans le cadre de ce modele et sans meme considerer l'effet D OPPLER -F IZEAU, le paradoxe d'O LBERS ne tient plus. On notera Rth la distance maximale de l'etoile observable dans le cadre du modele du « big bang ». 29 -- La longueur d'onde du maximum du rayonnement thermique du Soleil est = 520 nm. Les processus physiques les plus anciens observes, et donc les plus lointains, sont associes au rayonnement diffus cosmologique. Ce rayonnement a une temperature apparente Ta = 2, 7 K. Quelle est la longueur d'onde apparente a associee au maximum d'emission du rayonnement diffus cosmologique ? Dans quel domaine spectral se situe-t-elle ? Savez-vous quand et par qui ce rayonnement a ete decouvert ? FIN DE LA PARTIE II FIN DE L'EPREUVE Page 7/7

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 Mines Physique 1 MP 2009 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Antoine Bréhier (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Clothilde Heyrendt (Professeur en CPGE) et Vincent Freulon (ENS Ulm). Ce problème s'intéresse au mouvement d'une comète observée au XIXe siècle par l'astronome allemand Heinrich Olbers et au paradoxe qui porte son nom, selon lequel le ciel devrait être aussi brillant la nuit que le jour. · La première partie porte sur le mouvement d'un point matériel soumis à une force centrale, d'abord dans le cas général puis dans le cas particulier de la force de gravitation ; on détermine alors les caractéristiques de la trajectoire elliptique de la comète 13P/Olbers. Cette partie se conclut par deux questions qualitatives concernant la queue de la comète. · Dans la seconde partie, on introduit un modèle décrivant les processus d'émission et d'absorption des photons par les solides, dont on vérifie qu'il est compatible avec la loi de Planck du rayonnement du corps noir. Partant de cette dernière, on établit la loi de Stefan, que l'on utilise ensuite dans le cadre d'un modèle simplifié de l'univers pour arriver au paradoxe d'Olbers. Enfin, un modèle plus réaliste permet de lever ce paradoxe. Les principaux thèmes abordés par ce sujet sont la mécanique de première année et le rayonnement d'équilibre thermique. Si certains passages sont proches du cours, les informations fournies par l'énoncé permettent d'évaluer la capacité des candidats à répondre à des questions plus originales. Comme le rappelle le jury du concours dans son rapport, « le programme (...) est celui des deux années de classes préparatoires. (...) Travailler le cours sur les mouvements à force centrale ne consiste pas à entrer un long formulaire dans la mémoire de sa calculatrice. La seule chose à connaître est l'énoncé des lois de Kepler et l'équation d'une conique en coordonnées polaires. Tout se retrouve à partir de là. » Indications Partie I 1 Le point matériel M est soumis à une force centrale : pour montrer que son mouvement est plan, il suffit d'appliquer le théorème du moment cinétique. 2 Exprimer le moment cinétique à l'aide des coordonnées polaires pour relier C à . 4 Introduire l'énergie potentielle effective pour déterminer la nature du mouvement de M en fonction de la valeur de . 5 et C sont des constantes : écrire leurs expressions en r = rmin et r = rmax puis combiner les quatre équations ainsi obtenues pour obtenir le résultat demandé. 7 Une fois établie l'expression de r, utiliser dt = dr/r pour exprimer dt et intégrer cette relation. Partie II 14 Utiliser l'analyse dimensionnelle des équations différentielles du modèle d'Einstein pour déterminer les unités SI de mesure de A(), B() et C(). 15 À l'équilibre, les densités atomiques n1 et n2 sont constantes, ce qui permet de simplifier les équations du modèle d'Einstein. 17 Le flux surfacique total j(T) s'obtient par intégration du flux spectral j (, T) sur l'ensemble des fréquences. 22 Pour établir l'équation différentielle demandée, effectuer un bilan thermique prenant en compte les rayonnements thermiques émis et incident ainsi que la conduction thermique. Penser à distinguer deux cas selon que l'on considère le côté de la planète en regard de l'étoile locale ou le côté non éclairé. 27 Reprendre le calcul de la question 23 en tenant compte de l'effet Doppler-Fizeau et comparer le flux surfacique reçu de l'ensemble des étoiles, sans étoile locale, au flux surfacique reçu du Soleil. I. La comète 13P/Olbers I.A Mouvements cométaires 1 Le point matériel M est soumis à la force -- - F = -m grad U(r) Comme la fonction U ne dépend que de r, son gradient s'exprime -- dU - grad U(r) = er dr - dU - et il vient F = -m er dr Appliquons le théorème du moment cinétique en O, dans le référentiel R, au corps ponctuel M - P- dLO = MO,ext dt - P- où LO et MO,ext sont respectivement le moment cinétique en O de M et la somme des moments en O des forces extérieures agissant sur M. Le point matériel M n'étant - soumis qu'à la force F , la résultante des moments en O vaut P- -- - - MO,ext = OM F = 0 -- - puisque les vecteurs OM et F sont colinéaires. On a ainsi - dLO - = 0 dt et le moment cinétique en O de M est constant. Or, ce moment cinétique est défini par - -- L = m OM - v O -- - où v est la vitesse de M dans R. Par conséquent, le vecteur position - r = OM est - perpendiculaire au vecteur constant LO . On en déduit que la trajectoire de M est - contenue dans le plan perpendiculaire à LO et passant par O, c'est-à-dire que Le mouvement de M est plan. Le point où l'on applique le théorème du moment cinétique doit être fixe dans le référentiel d'étude, ce qui est bien le cas pour le point O dans R. Le jury précise que « de nombreux candidats calculent le moment cinétique en supposant que la vitesse s'écrit - v = r - e + r - e r Ils ne se rendent pas compte que cela revient déjà à supposer que le mouvement est plan (...) et ils ne prouvent rien. » 2 L'énergie mécanique de M s'exprime E = Ec + Ep où Ec et Ep sont respectivement l'énergie cinétique et l'énergie potentielle de M. Or, l'énergie cinétique de M vaut par définition 1 Ec = m v 2 2 Afin d'exprimer Ec en fonction de r, C et r, écrivons - v en coordonnées polaires - v = r - e + r - e r 1 m(r2 + r2 2 ) 2 et il reste à exprimer en fonction (entre autres) de C, qui est défini par - L C= avec L = k LO k m Il vient Ec = L étant constant, C est une constante. On l'appelle « constante des aires » car 1 -- dA C = kOM - vk= 2 2 dt représente la vitesse aréolaire (en m2 .s-1 ) de M, c'est-à-dire l'aire dA balayée -- par le rayon vecteur - r = OM pendant un intervalle de temps élémentaire dt. Ce résultat constitue la loi des aires (deuxième loi de Kepler). -- OM(t + dt) - v dt O -- OM(t) - Or, d'après la définition de LO , on a - -- LO = m OM - v = mr- er (r - er + r - e ) - 2 - L = m r e O z - Il vient alors, puisque LO = L - ez , L = m r2 d'où et on obtient ainsi et 2 = Ec = C = r2 C2 r4 1 C2 m r2 + 2 2 r - Calculons ensuite l'énergie potentielle de M. Une force F dérivant d'une énergie potentielle Ep vérifie la relation -- - F = - grad Ep Or, on a ici Ainsi, -- -- - F = -m grad U(r) = - grad [m U(r)] Ep = m U(r) à une constante additive près, que l'on choisit nulle.