Mines Physique 1 MP 2007

Thème de l'épreuve Satellites de communication
Principaux outils utilisés mécanique, induction, ondes électromagnétiques
Mots clefs satellite, ionosphère, dynamo

Corrigé

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A 2007 PHYS. I MP ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2007 PREMIERE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière MP (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage de la calculatrice est autorisé Sujet mis à disposition des concours : EN SAE (Statistique), EN STIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE ] --MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages. 0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. 0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s'il n'a pas été démontré. . Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. Notations : vecteur --> À (gras) ; norme du vecteur Y --> V(italique) ; vecteur unitaire --> â. Dans toute l'épreuve, exprimer signifie << donner l'expression littérale » et calculer signifie << donner la valeur numérique ». SATELLITES DE TÉLÉCOMMUNICATION On se propose d'étudier quelques aspects du fonctionnement de satellites de télécommunica- tion en orbite autour de la Terre. Sauf mention contraire, on considérera que la Terre est une sphère homogène de rayon RT et de centre O, immobile dans l'espace, sans rotation propre. À la fin de cet énoncé (page 7), sont regroupées des valeurs de grandeurs physiques et un formulaire utilisables dans cette épreuve. I SATELLITES SUR ORBITE CIRCULAIRE D 1 -- Un satellite de masse M5 est en orbite circulaire de centre 0, a une altitude h de l'ordre de quelques centaines de kilomètres (orbite basse). Établir la relation entre la période Physique 1 2007 : filière MP. de révolution T et h. Exprimer de même la relation entre la vitesse \) = HYH et h. D 2 -- Soient EC et Ep l'énergie cinétique du satellite et son énergie potentielle dans le champ de gravitation de la Terre ; établir le << théorème du viriel >> : 2EÇ + Ep = 0 . D 3 -- À chaque position P du satellite correspond un point Q sur la Terre a la verticale de ce point. L'ensemble des points Q définit la trace de la trajectoire. Pour un observateur situé en Q, la durée de visibilité T d'un satellite est l'intervalle de temps entre son apparition sur l'horizon {point A de la Fig. 1) et sa disparition sous l'horizon {point B). Exprimer T en fonction de h, G, M T et RT. Calculer T pour h = 8 >< 105 m. D 4 -- Calculer T / T . Pour les besoins Fig. 1 : Satellite P, point Q et ligne des horizons AB. de la téléphonie mobile» on place Sur Le plan orbital représenté est dit polaire (la ligne des Orbloes P0131Ï65 (C eSt'a'dloe des pôles est N 'SNS '). L 'angle est dit aneillaire. C0noenues dans un plan méfldlên terrestre) un ensemble de satellites, identiques, appelé << train de satellites >>. Ces satellites sont disposés régulièrement sur leur orbite polaire commune, à l'altitude de 800 km. Calculer le nombre minimal de satellites nécessaires pour former un << train >> afin que tous les points au sol, dans le même plan méri- dien que l'orbite, voient au moins un satellite atout instant. Combien d'orbites polaires de ce type faut-il pour couvrir la surface de la Terre, c'est a dire pour que chaque point de la surface terrestre voie au moins un satellite à tout instant ? Com- bien doit-on disposer de satellites en tout ? D 5 -- Dans cette question, on prend en compte la rotation de la Terre. Calculer la période et l'altitude d'un satellite placé sur orbite géostationnaire. La notion de durée de visibilité garde-t-elle, dans ce cas, un sens ? Quels sont les avantages et les inconvénients d'un satellite géostationnaire comparé au train de la question 4 ? D 6 -- La Terre est entourée d'une atmosphère qui s'oppose au mouvement du satellite. La force de frottement Ï'a créée par l'atmosphère est proportionnelle au carré de la vitesse v du satellite et elle s'exprime par fa = --05 Ms VÏ' , où a a une valeur positive, constante dans cette question. Déterminer la dimension de a. Écrire le théorème de l'énergie cinétique en supposant que le théorème du viriel établi à la question 2 reste applicable en présence de fa . Établir l'équation différentielle vérifiée par h. D 7 -- Un satellite placé sur une orbite d'altitude 800 km subit une diminution d'altitude d'environ lm par révolution; sa vitesse est, en norme, très peu affectée au bout d'une révolution. En déduire une estimation au premier ordre de a (ne pas s'étonner de la petitesse Physique 1 2007 : filière MP. extrême du résultat !). Calculer, avec la même approximation, ce qu'il advient de l'altitude au bout de 10 ans de fonctionnement du satellite. Comparer à la solution exacte. Le fait d'avoir une augmentation de la vitesse en présence d'une force opposée au mouvement est-il paradoxal ? D 8 -- En réalité, les frottements dépendent de la densité de l'atmosphère et donc de l'altitude. Dans un certain domaine d'altitudes, & varie selon la loi a(h) = hLfl , où )/ et ,6' sont positifs. Le même satellite que celui de la question 7 (perdant 1 mètre par révolution pour h = 800 km) perd, à l'altitude de 400 km, 2 mètres par révolution. Calculer yet ,B. Il STABILISATION DE L'ATTITUDE D'UN SATELLITE SUR SON ORBITE PAR GRADIENT DE GRAVITE La méthode de stabilisation d'attitude par gradient de gravité a été mise en oeuvre pour les satellites artificiels afin qu'ils présentent vers la Terre toujours le même côté. Elle Il y ne requiert aucune ressource d'énergie , , embarquée. Le principe de cette méthode ' 9 a été établi par Lagrange, au XVIIème, afin X' d'expliquer pourquoi la Lune présente toujours la même face vers la Terre. Modèle : le satellite est constitué de deux S points matériels M1 et M2 de masses 1"0 r 2 identiques m = %MS reliés par une tige Qt rigide de masse nulle et de longueur 2]. Le barycentre S du satellite décrit autour de la Terre une orbite circulaire de rayon @ = RT + h (! << rg). Le référentiel géo- centrique (R) lié au repère (Oxyz) est supposé galiléen. Le plan orbital est Oxy. Le référentiel (R') défini par le repère (Ox 'y 'z) lié au satellite tourne autour de O ><10'6 T. À tout instant, le satellite est stabilisé en position 9: 0. Les points M1 et M2 sont reliés entre eux par un câble conducteur isolé par une gaine en téflon. D 17 -- Tracer l'allure des lignes de champ à l'extérieur de la Terre. Comment est dirigé le champ sur un cercle de centre O et de rayon R (R > RT) dans le plan équatorial ? D 18 -- Montrer que, lorsque le satellite se déplace dans le champ magnétique équatorial de la Terre, une f.e.m d'induction eM apparait entre M1 et M2 Exprimer eM en fonction de RT, h, B et l, ainsi que de constantes que l'on précisera. Calculer eM dans les cas l : 10m et l = 10 km. D 19-- Le circuit est fermé par les ions de l'ionosphère ; un courant d'intensité ] = 0,44 A circule dans le câble. Exprimer la force de Laplace exercée sur le câble, long de 10 m. Quelle est, dans le référentiel géocentrique, la puissance de cette force ? D 20 -- En conservant cette valeur d'intensité, quelle est alors la puissance pour l = 10 km ? D 21 -- Comment la force de Laplace affecte-t-elle le mouvement du satellite ? On pourra comparer l'intensité de cette force a celle de la force de frottement des questions 6 et 7. D 22 -- Grâce à des batteries chargées par des panneaux solaires, la puissance disponible est de l'ordre de 500 W. On suppose que l = 10 m. Quelles sont les conséquences de cette cir- culation de courant sur le mouvement du satellite ? Dans quel sens doit-on faire circuler le courant pour permettre au satellite de se placer sur une orbite plus haute ? Combien de temps serait alors nécessaire pour une élévation d'orbite de 500 m ? D 23 -- Comparer les résultats obtenus dans la question précédente avec ceux obtenus dans le cas h = 400 km. D 24 --Dans le Journal << Pour la Science >> de septembre 2004 (n0 323) était évoqué un satellite composé de deux cabines reliées par un fil conducteur rigide. Commenter les phra- ses suivantes publiées dans ce numéro: « En équipant de longs câbles les satellites et les sondes spatiales, les astrophysiciens espèrent produire a bon compte de l énergie électrique, un moyen de propulsion ainsi qu 'une forme de gravité artificielle. Dans cette technique, un câble conducteur est relié a deux cabines en orbite autour de la Terre. Le câble de cet engin spatial échange de la quantité de mouvement avec la planète par l'intermédiaire de son champ magnétique. » On pourra effectuer une approche comparative quantitative en sachant que le contrôle d'attitude d'un satellite s'effectue souvent avec des fusées << vemier >> dont la poussée est de l'ordre de 0,1 N, et que les modifications d'orbite sont effectuées par d'autres fusées << vemier >> dont la poussée est de l'ordre de 50 N. IV COMMUNICATIONS SPATIALES Le satellite communique avec la Terre en émettant ou recevant des ondes électromagnéti- ques. Ces ondes traversent l'atmosphère, assimilée ici au vide, à l'exception d'une couche appelée ionosphère située environ a partir de l'altitude z,- = 100 km de la Terre. L'ionosphère est constituée d'un gaz sous très faible pression et partiellement ionisé par le rayonnement Physique 1 2007 : filière MP. solaire, encore appelé plasma ionosphérique. Ce plasma contient donc des ions positifs de charge +6 et de masse M et des électrons de charge --6 et de masse me. L'ionosphère étant électriquement neutre, ions positifs et électrons ont même densité particulaire n. On étudie la possibilité de propagation selon une verticale locale (Fig. 4) d'une onde élec- tromagnétique monochromatique plane progressive décrite par les champs E et B : E : EO ei(oet--kz)ûx B _ i(oet--kZ)A -- BO @ uy , , , , . . , . 00 avec wreel et constant. On admettra qu etant donne les conditions expérimentales, ; % c . D 25 -- Exprimer la force de Lorentz z exercée sur les charges. Dans quelle _:la_ condition peut-on négliger la contri- bution du champ magnétique devant E celle du champ électrique ? . h h' ' B Ionosphere Dans cette ypot ese, exprmrer en notation complexe la vitesse V 6 prise par un électron ; exprimer de même la vitesse Vi prise par un ion. On admet que l'amplitude des mouvements de l'électron est très petite devant la lon- gueur d'onde du rayonnement. En @? } déduire la densité de courant j qui ? Terre . . . . apparait dans le plasma. Simplifier cette expression en tenant compte de Figure 4 : schéma de l'ionosphèoe. la relation M,-- >> me. D 26 --Écrire les équations de Max- well dans le plasma. En déduire l'équation aux dérivées partielles vérifiée par le champ Ë , 1 Puis l'expression de k2 en fonction de 0) et des données. On introduira C =Î. On 50 flo 2 ne posera ou?, = . m 80 D 27 -- Discuter suivant la valeur de a) la possibilité de propagation de l'onde a travers le plasma. On montrera que l'ionosphère se comporte comme un filtre passe-haut dont on don- nera la fréquence de coupure fC_ D 28 -- Dans le cas où la propagation est possible, donner la relation de dispersion, la vitesse de phase va la vitesse de groupe vg_ Le milieu est-il dispersif ? Tracer les graphes de % et vg en fonction de a) et donner une relation simple entre % et vg. Physique 1 2007 : filière MP. D 29 -- La densité particulaire est n = 2.1010 m'. Comparer cette densité avec celle du cui- vre, que l'on évaluera en admettant par exemple que chaque atome du cristal de cuivre métal fournit un électron libre. Donner le domaine de fréquences qui permet de communiquer avec le satellite. D 30 -- On considère un canal de communication entre un satellite placé à une altitude de 800 km et un observateur terrestre tel que le satellite soit exactement a sa verticale. La fré- quence de ce canal est 1 GHz. Quel sera le retard induit par l'ionosphère en supposant que celle-ci est homogène entre 100 km et 300 km d'altitude (on considérera dans ce problème que l'atmosphère comprise entre 0 km et 100 km d'altitude a un indice égal à l, et qu'au dessus de 300 km, la propagation s'effectue dans le vide) ? Comment se modifie ce retard lorsque la densité particulaire passe de la valeur de no : 2.1010 m'3 {valeur typique de nuit) a nl : 5 1011 m'3 {valeur typique de jour), et en supposant que l'extension de l'ionosphère ne varie pas entre le jour et la nuit ? FIN DU PROBLÈME DONNÉES PHYSIQUES constante de gravitation G = 6,67 10'11 m'.kg".s'2 rayon de la Terre RT : 6400 km masse de la Terre MT : 6,0 1024 kg masse du satellite MS : 2,0 103 kg perméabilité du vide ... = 47c.10'7 H.m" vitesse de la lumière c = 3.108 m.s'1 masse de l'électronme : 0,91.10'30 kg charge élémentaire @ : 1,6.10'19 C FORMULAIRE _) rot(1ît) = grîi(div) -- Â FIN DE L'ÉPREUVE

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 Mines Physique 1 MP 2007 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Julien Dumont (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Olivier Frantz (Professeur agrégé) et Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE). Ce sujet porte sur différents aspects de la physique des satellites de communication et fait principalement appel à la mécanique du point et à l'électromagnétisme. Le problème est constitué de quatre parties de longueur et de difficulté comparables : · La première s'intéresse au déploiement d'un réseau de satellites à orbite circulaire et à des résultats classiques concernant ces satellites. Cette partie utilise principalement des outils de mécanique de première année. · La deuxième, plus originale, étudie l'orientation d'un modèle de satellite constitué de deux masses. Cette étude s'appuie sur la dynamique en référentiel non galiléen et constitue un bon rappel sur les forces d'inertie. La dernière question posait néanmoins des problèmes comme nous le verrons plus loin. · La troisième partie porte sur l'utilisation du champ magnétique terrestre comme source d'énergie pour le satellite, grâce aux phénomènes d'induction. · Enfin la quatrième partie, assez classique, porte sur la propagation d'ondes électromagnétiques dans l'ionosphère ; elle nécessite une solide connaissance du cours correspondant. Ce sujet est de difficulté moyenne, mais il est très long et nécessite de bons réflexes sur des parties du cours très différentes et parfois oubliées, car vues en première année. Il constitue un bon entraînement pour les révisions. Indications Partie I 3 Relier la durée de visibilité à l'angle balayé par le satellite et la vitesse de ce même satellite. Pour cela, un schéma et une étude géométrique sont utiles. 6 Comment s'exprime le travail de la force de frottement pour une petite variation de l'angle ? Exprimer alors le théorème de l'énergie cinétique pour ce petit angle, sans oublier la force gravitationnelle. 7 Considérer d'abord que la vitesse est constante pour intégrer l'équation trouvée à la question 6. Intégrer ensuite directement l'équation avec la méthode de séparation des variables. Calculer l'écart relatif entre les deux méthodes et conclure. Partie II - - 10 L'énoncé ne précise pas que - r1 = OM1 . Faire bien attention, tout au long de cette partie, aux différents vecteurs que l'on utilise. 11 Montrer que le moment des forces d'inertie d'entraînement est lui aussi nul. Pour calculer simplement les produits vectoriels, décomposer un vecteur bien choisi avec la relation de Chasles, en essayant de faire apparaître des vecteurs formant un angle entre eux. 13 Chercher les angles qui annulent la force. Établir alors les équations différentielles pour un petit angle autour de chaque position d'équilibre et étudier leurs solutions. 15 Faire un développement limité à l'ordre deux de r1 et r2 , en portant particulièrement attention au traitement du terme d'ordre deux. On rappelle que (1 + ) = 1 + + ( - 1) 2 + o (2 ) 2 16 Cette question comporte une erreur d'énoncé. La résoudre dans le référentiel tournant, et non dans le référentiel géocentrique. Partie III 17 L'angle défini dans le texte n'est pas le même que précédemment, mais représente ici la colatitude. Dans le plan équatorial, ce champ magnétique est dirigé . suivant - u z 21 Interpréter le signe de la puissance. On demande de comparer l'intensité des forces et non leur puissance. Partie IV 29 Exprimer la densité volumique d'électrons en fonction de la masse molaire et de la masse volumique du cuivre. Pour l'application numérique, donner une estimation de ces deux grandeurs. 30 Calculer le temps mis pour traverser l'ionosphère, et le temps mis pour traverser un domaine vide de même épaisseur. I. Satellites sur orbite circulaire 1 Désignons par P la position du satellite, puis utilisons le système de coordonnées , - - cylindriques P(r, , z) et la base locale (- u r u , uz ). Dans cette base, et puisque le satellite reste à la distance (RT + h) du centre de la Terre, on peut écrire - - OP = (R + h) - u soit v = (R + h) - u T r T - - (R + h) 2 - et a = (RT + h) - u u T r On considère le système constitué par le satellite soumis à la seule attraction de la Terre, dans le référentiel géocentrique considéré comme galiléen. La force gravitationnelle de la Terre sur le satellite a pour expression - G MT MS - u FG = - r (RT + h)2 et - pour obtenir Projetons alors le principe fondamental de la dynamique sur - u u r G MT MS = MS (RT + h) 2 (RT + h)2 et MS (RT + h) = 0 L'accélération angulaire est nulle, étant ainsi une constante qui vaut = 2/T par définition de la vitesse angulaire. En élevant cette constante au carré et en la substituant dans la première équation, on obtient 4 2 4 2 G MT 2 = 2 qui donne = 2 T T (RT + h)3 et finalement (RT + h)3 G MT = 2 T 4 2 On retrouve ainsi la troisième loi de Kepler dans le cas d'un mouvement circulaire. que 2 = G M /(R + h)3 , ce qui On remarque également dans la projection sur - u r T T permet d'obtenir le module de la vitesse r G MT v = (RT + h) = (RT + h) (RT + h)3 r G MT soit v= (RT + h) 2 Calculons séparément l'énergie cinétique et l'énergie potentielle de pesanteur. 1 1 G MT MS G MT MS Ec = MS v 2 = et Ep = - 2 2 (RT + h) (RT + h) On en déduit immédiatement le théorème du viriel 2 Ec + Ep = 0 L'appellation théorème du viriel désigne un théorème bien plus général, qui exprime la valeur moyenne de l'énergie cinétique d'un système de points matériels en interaction. La situation de la question 2 ne constitue qu'un cas très particulier d'application de ce théorème. Historiquement, il a été introduit par Clausius lors de ses études sur la théorie cinétique des gaz et il est régulièrement utilisé dans des domaines aussi variés que la thermodynamique, la mécanique quantique ou encore l'astrophysique. B 3 Pour déterminer le temps , il suffit de déterminer l'angle 2 balayé par le satellite, puis de le diviser par la vitesse angulaire calculée à la question 1. On a P Q OQ RT cos = = OA RT + h ce qui conduit à soit = O A 2 2 (RT + h)3/2 Arccos = G MT RT RT + h = 9, 2.102 s 4 La période T pour une altitude de 800 km vaut, d'après la question 1, 2 (RT + h)3/2 T= GMT On obtient alors T = Arccos RT RT + h = 6, 6 Pour pouvoir être constamment en vue d'un satellite sur une orbite polaire fixée, il faut donc au minimum un train de 7 satellites, et 7 orbites polaires pour couvrir l'ensemble de la surface terrestre, soit 49 satellites en tout. 5 Un satellite est en orbite géostationnaire s'il apparaît immobile dans le référentiel terrestre pour un observateur lui-même immobile sur Terre. Une orbite géostationnaire est forcément située dans le plan équatorial de la Terre, sa période étant alors T = 24 h À l'aide de la relation établie à la question 1, on constate que cela correspond à r 2 3 G MT T RT + h = , = 42.103 km 2 4 soit une altitude h = 36.103 km Puisque l'on est toujours en vue d'un même satellite, la notion de durée de visibilité n'a plus de sens. L'emploi de la formule obtenue dans la question précédente montre qu'un satellite couvre un angle d'environ 163, trois satellites suffisent donc pour couvrir l'orbite équatoriale complète et leur suivi est facile. Cependant, un satellite géostationnaire ne pourra pas couvrir toute la surface du globe, car, comme on vient de le voir, les zones situées au-dessus d'environ 81 de latitude (et en dessous de -81 ) ne seront pas couvertes, ce qui constitue un inconvénient. De plus, en cas de panne ou de défaut d'un satellite, une communication ne pourra plus être assurée, jusqu'à remplacement du satellite ; dans le cas d'un train, cela sera impossible uniquement durant la durée de visibilité du satellite défectueux, il y aura donc une certaine continuité de transmission. Enfin, les émetteurs en relation avec un satellite géostationnaire ont besoin de plus d'énergie pour envoyer leur signal, puisque ce satellite est situé plus loin ; c'est également le cas du satellite, mais c'est moins gênant puisqu'il est équipé de panneaux solaires.