Mines Physique 1 MP 2006

Thème de l'épreuve Ondes électromagnétiques: morceaux choisis
Principaux outils utilisés lois de Descartes, ondes électromagnétiques, optique interférentielle, dipôle rayonnant

Corrigé

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2006 PREMIERE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière MP ' (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage de la calculette est autorisé Sujet mis à disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE 1 --MP ' L'énoncé de cette épreuve comporte 9 pages. - Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. 0 Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques qui vous semble- ront pertinents. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES : MORCEAUX CHOISIS L'épreuve est constituée de deux parties indépendantes ; elle concerne d'abord la propagation d'ondes électromagnétiques dans une fibre optique ( domaine infrarouge proche}, ensuite la pro- duction de rayonnement électromagnétique par une antenne ou par un réseau d'antennes (micro-ondes, de fréquences comprises entre 300 MHz et 300 GHz environ). Dans tout le problème, emprimer signifie donner l'eoepression littérale et calculer signifie donner la valeur numérique. Données générales : 80 permittivité diélectrique du vide, 80 % 8, 84 >< 10"12 F.m"1 ,u0 perméabilité magnétique du vide, ,uO : 47r >< 10"7 H.m_l % 1,26 x1(Ï6 H.m"1 c vitesse de la lumière dans le vide, c w 3 >< 108 m.s"1 (EO/Jocz : l). Prêlimînaîre Ü 1 -- Quelle est, exprimée en longueur d'onde, la bande spectrale des micro--ondes ? Quel phy-- sicien fut le premier à. produire expérimentalement et détecter des ondes électromagnétiques de fréquence de l'ordre du GHz, en 1887, confirmant ainsi la théorie de J. O. Maxwell? À quel domaine de longueur d'ondes le rayonnement proche infrarouge appartient-il ? I ---- Guidage par fibre optique On considère (Fig. 1) un guide d'ondes diélectrique constitué de deux cylindres concentriques de section circulaire, et constitués l'un et l'autre de matériau isolant (la silice). L'indice de réfraction de la partie Fig. 1 -- Guide d'ondes diélectrique. centrale, appelée coeur, est noté n1 (cet indice n'est pas nécessairement uniforme) ; l'indice de la partie périphérique, appelée gaine, est noté 112, avec 112 < n1 ', l'indice de gaine est uniforme. Le milieu extérieur est l'air, assimilé au vide et . . , C donc d'indice égal à 1. On note f la fréquence des ondes, &) leur pulsation et À =----- leur f longueur d'onde dans le vide. I -- 1 Fibre optique à saut d'indice Dans une fibre a saut d'indice, le coeur (de diamè-- tre a) et la gaine sont des milieux homogènes : n] et 172 sont uniformes. On note z la direction géné-- rale de propagation (Fig. 2). Fig. 2 - Fibre & saut d'indice. L'indice de _ _ coeur est noté n, et l'indice de gaine n2_ D 2 -- Montrer que le rayon lum1neux est gu1de dans le coeur (c'est--à--dire qu'il n'en sort pas) si 9 est supérieur a une certaine valeur, HL, que l'on exprimera en fonction de 111 et de n,. Calculer 9L pour une fibre d'indice de coeur 111 = 1,456 entourée d'une gaine d'indice n2 : 1,410. Ü 3 ---- On note !' l'angle d'entrée du rayon à l'extérieur de la fibre (Fig. 2). Exprimer, en fonc-- tion de A = n1 ---- 172 (A << n,) et n,, la valeur maximale de il (notée i ) pour que le guidage max soit assuré dans la fibre. Calculer sin(imax) (appelée ouverture numérique). Introduction auoe questions 4 à 8 La condition 9 > & est nécessaire mais non suffisante pour rendre compte du détail de la propagation dans la fibre. Anticipons sur les résultats de l'approche ondulatoire en introdui-- sant, de manière empirique à. ce stade, une phase associée aux rayons1 : les ondes planes asso-- 1 Des travaux relativement récents justifient cette procédure, qui semble paradoxale. ciées aux rayons totalement réfléchis interférent. Seuls certains angles d'inclinaison satisfont une condition de phase qui construit une interférence identique tout le long de l'axe de propa-- gation ; ils correspondent aux modes guidés. Considérons (Fig. \ 3) la direction de propagation parallèle à AB et à CD et le plan d'onde (n) relatif à cette direction. Pour qu'il y ait propagation, il faut que les champs correspondant a cette Fig. 3 -- Rayons et plan d'onde. direction soient en phase. D 4 -- On ne tient pas compte de l'éventuel déphasage introduit par la réflexion sur l'interface coeur / gaine. Montrer alors que le déphasage ça entre l'amplitude de l'onde en P et l'onde en P' a s'exprime par ça = 472' n1 ÎCOS (9). o Ü 5 --- En déduire l'existence de modes de propagation, valeurs discrètes de 9 notées 9," où m est un entier, pour lesquelles la propagation est possible. Exprimer le nombre N M de modes possibles, en fonction de n,, 112, a et À. L'entier m est appelé l'ordre du mode. D 6 -- Le diamètre de coeur 61 étant donné, démontrer l'existence d'une fréquence de coupure pour le mode d'ordre m. Préciser le comportement fréquentiel du dispositif. D 7 ---- Le mode fondamental correspond, par définition, à m = O. Exprimer, puis calculer pour /l = 1,5 >< l()'6 m la valeur maximale que peut prendre a pour que seul ce mode se pr0page. On dit alors que la fibre est monomode. D 8 ---- Soit L la longueur de la fibre. Exprimer la différence AT de temps de parcours de l'entrée à la sortie, entre le trajet de durée minimale (@ = O) et le trajet maximal (@ = Q). Donner l'expression approchée de AT en fonction seulement de L, A et C. On convient que le débit maximal de la fibre, R'aut est l'inverse de AT . Calculer Rsaut (bits par seconde). max 9 max Introduction à la partie I ---- 2 Dans les fibres optiques utilisées en télécommunications, un mes- sage (Fig. 4) est constitué d'une succession de signaux (on dit quelquefois impulsions) binaires (présence, [0] ou absence [l]) de durée égale, 5. Le débit numérique maximal, exprimé en signaux 1 t." d . , , . Rsau "' =--. Divers phenomenes distordent max 5 les impulsions qui se propagent, ce qui entrave la reconstitution de l'information. On améliore Fig. 4 -- Le signal 010. par seconde, est alors la situation en utilisant une fibre dite. & gradient d'indice. L'indice de réfraction est continu a l'intérieur de ce genre de fibre1 ; il varie dans le coeur avec la distance r à l'axe 02 et il est constant dans la gaine (r _>_ a), avec la valeur n,. L'indice dans le coeur (Fig. 5), est modélisé, pour F(£), où F a est monotone croissante sur [0,1], avec F (O) = O. 2 2 14Ï.Ç.ÏÎ2. OSrSa, par n(r)=n1 2 "! Fig. 5 -- Un profil d'indice, F(u) : if. I -- 2 Fibre optique à gradient d'indice Cl 9 -- On admet que la loi de Descartes est applicable de pro-- che en proche, c'est--à--dire que n (r) sin [9 (r)] est constant. Un rayon lumineux entre dans la fibre au centre de la face Face d'entrée de la fibre d'entrée, avec un angle externe Fig. 6 -- En A, représentation de l'angle externe d'entrée dans la fibre, i, et de l'angle interne, 90 ; en B, représentation de la loi de Descartes dans un plan méridien et pour deux: dioptres plans l'intérieur de la fibre vers les r_ situés en r et en r + dr. ' d'incidence i ; il se dirige à croissant avec un angle interne 90 au point (2 = 0+ , r = 0 ), de sorte que sin(i) = n1 COS(ÛO_). Montrer que ce rayon se propage dans un plan et que l'équation différentielle donnant sa trajectoire dans la fibre s'écrit 1+(ËÏ) =--------"2(r' ' [1]. dz nf sin2 90 Ü 10 ---- Quelle est la valeur de F (1) ? Retrouver l'expression de l'ouverture numérique (cf. question 3), à partir de l'équation différentielle ... et de l'expression générale de l'indice. Ü 11 ---- En considérant le portrait de phase associé à ..., montrer que la tra-- /\/ jectoire des rayons, r(z), est une fonction périodique de Z. D 12 ---- Dans une fibre à. gradient d'indice de longueur L, la différence de temps de parcours 2 1 n -- n L . entre le trajet minimal et le trajet maximal est AT ' = --2--n1 (--l----À] --. Déduire de cette rela-- n[ c 1 En réalité, il est constant par morceaux autour de l'axe de révolution. Rgrad.ind. max R saut tion le débit numérique maximal (cf. question 8). Exprimer et calculer FIN DE CETTE PARTIE II ---- Antennes rayonnantes Un dipôle élémentaire variable d;(t) = [(lp (l)] üz, placé en O, parallèle à. Oz (Fig. 7), rayonne à grande distance un champ électromagnétique dont la composante électrique est notée 1 dÿ(t -- r / c) 47Z8062 r dË(M,I) : sin(9) ila , _... ...--0 avec OM = r et "a et uz vecteurs unitaires associés aux coor-- Fig. 7' Dip0'e rayonnant. données 9 et z ; dÿ désigne la dérivée seconde de dp par rapport au temps. Il --- 1 Rayonnement à grande distance E] 13 --- Définir la zone de rayonnement et rappeler les hypothèses conduisant à l'expression ci-- dessus du champ rayonné. D 14 -- Une antenne (Fig. 8) est constituée d'une tige métallique rectiligne fine, de longueur 2L, parcourue par le courant I(Z,t) = 10 f(z) COS(Cz)Ï), où la fonction f est indéterminée a ce stade. On note [(2, t) = îRe [__I_(Z, t)]. Exprimer dj? (l' ) dérivée temporelle du moment dipolaire Fig. 8 -- Antenne filaire ; AB = 2L. ' ' élémentaire associé à l'élément dz d'antenne placé en P (dans le cas du probleme, ?" >>L !). (O? = Z) , en fonction de [(z, t) et de dz. Ü 15 ---- On s'intéresse au champ rayonné à grande distance par cette antenne, avec notamment r >> L. On adopte la notation complexe standard. Montrer que le déphasage entre le champ élémentaire dËÎ(M,I) produit en M par le dipôle d; placé en P, et le champ dËâ(M,-t) pro-- Z 0) duit en M par le dipôle placé en O est, à l'ordre le plus bas en --, (0 = ---- Z COSÛ . I" C D 16 -- En déduire l'expression, sous forme d'une intégrale faisant intervenir f (2), du champ Ë(M,I) produit à grande distance par l'antenne entière. Identifier ainsi une onde sphérique. Introduction à la partie II -- 2 On s'intéresse aux antennes demi--onde, ainsi nommées parce que leur longueur 2L est égale à 1 c la demi--longueur d'onde du rayonnement qu'elles émettent : 2L = --Â , où Â = 27r--. 2 60 II -- 2 Antenne dipolaire Ü 17 --On choisit (cf. question 14) f(z) : cos (7z --Z--) : cos(27z --Z--). 2L Â F'9- 9 " Antenne demi'onde " Montrer que, dans ces conditions, schéma et réalisation. 1 ] cos ËÏ cos (H)] E(M,t)=-- ---°----------_--------sin w(t--£) ua, 27rEUR06 r srn(9) c 7r _ coslî--cos(9)] ... l --I-'-'-- ----2------explïiæ(t -- LH ua. qui correspond, en notation complexe, à. _E_(M,t) = _ 275800 r sm(9) C D 18 -- Rappeler la structure de l'onde rayonnée à grande distance et justifier de ce fait la rela-- 1 tion Ë(M,t) = ---- "', AË(M,t), où ür est le vecteur unitaire radial (_Ë a son sens usuel). Don-- _ C ner l'expression du vecteur de Poynting fi. E] 19 ---- On rappelle que l'aire d'une portion de sphère de rayon r et d'extensions angulaires (d 9,dç0) autour de (9,ç0) (Fig. 10) 4 est dS=r'°'sin(6)d9dça; sachant que L"Sin3(6)dÛ=--3., établir l'expression suivante de la puissance moyenne totale rayonnée par l'antenne demi--onde :! 2 7Ï Fig. 10 - Aire élémentaire 1 12 COS îCOS(9) A 12 découpée sur une sphère. P : _Q_ ___--___ d9 : __0__ r 47æo c sin(9) 47Z'80 c ' 0 7: 7Z' cos2 [--2-- cos (Q)] U 20 -- Calculer l'intégrale A = _ (167 à. l'aide de votre calculette (ne pas sm(9) 0 chercher sa forme explicite) ; vérifier votre calcul en vous aidant de la Fig. 11, qui représente l'approximation cos {% cos(9)] % 0,95 sin2 (6). D 21 -Oalculer la résistance d'antenne, 'R, définie par la relation P = --l--ÎRIO2 . r 2 D 22 ----On note  de l'amplitude du vecteur de Poynting (cette grandeur a : la valeur moyenne dans le temps Fig. 11 - La fonction cos[ncos(H)/2] en trait plein et son approximation en pointillés. L'abscisse est en degrés. sans doute été introduite à la question 19) et <">tmax sa valeur maximale par rapport aux variables angulaires. Le diagramme de rayonnement (on dit aussi bien l'indicatrice) est défini ici comme le graphe, en coordonnées polaires (p,9) de la fonction ...) : <Î--ÏÎ" !,max . Tracer sommairement le diagramme de rayonnement de l'antenne demi-- onde. Vérifier que le maximum de puissance est émis dans le plan xOy normal à. l'antenne. II --- 3 Réseaux d'antennes dipolaires On étudie un réseau de N antennes A0, A., ..., AN--l , identiques à l'antenne dipolaire de la partie Il - 2 et centrées sur Oy aux points d'ordonnées yP : pa, avec 0 _<_ p 5 N -- l. Les courants alimentant chacune _ , _ des antennes sont sinusoïdaux de pulsation &) ; ils se Fig. 12 -- Reseau d'antennes demi--onde espacées de « a » 3...-- Oy, Le récepteur distinguent les uns des autres par leurs amplitudes et EUR3t en M (73 EUR"); dans le plan 170 y. leurs déphasages respectifs. On s'intéresse au rayon-- 2 res (r,çp). On suppose réalisées les inégalités r >> Â (Â : 4L) et r >> Na. 72' . . nement dans le plan xOy (@ = ----j, dont les points M sont repérés par leurs coordonnées polai-- Les parties Il -- 3 -- 1 et Il ---- 3 ---- 2 sont indépendantes. . Il -- 3 - ] Modulation de phase Le système électronique d'alimentation fournit à A p le courant _I£ : I0 expi (cat --- pl/I ) , où 10 et {,il sont des réels constants. Les puissances moyennes émises par chaque antenne sont donc identiques. On pose K = 50-- et CD : W -- Ka sin (ça) . c __ Ü 23 --Exprimer le champ E rayonné par A0 en _M(r,ç0) dans le plan æOy, puis l'expression _() . a "" , A . au premier ordre en ---- du champ _Ë_p rayonne au meme pomt par A p . l' _ D 24 --- En déduire le champ E total rayonne en M par le réseau, en fonction de F o ' N et l//._ La Fig. 13 illustre quelques aspects du résultat. =:& "Il II Il" III--. ... , \ :' ". ; f " IIIIIIIIIIII l!llæltl ---150 ---100 ----50 0 50 100 150 Fig. 13 -- Quelques résultats relatifs à un réseau de sis: 1 antennes espacées de a = --ÿ:Â. (A) Puissances moyennes (normalisées à l'unité) par unité d'angle solide dans le plan oeOy, en fonction de ça (en degrés}. {B) Diagrammes de rayonnement correspondants. ( C) Agrandissement de la partie en pointillés de (B), pour tj! : O. __> D 25 --Justifier que l'amplitude,E(OE), de E n'a de sens que pour l// -- Ka S @ 5 l// + Ka. Admettant que . CP '. . '. l'amplitude du champ est maximale lorsque sm (Î) : O, établir que ce max1mum est atteint . . . l// a . , . pour des angles polaires ç0m sat1sfaoeant --2----îsm(çam) : m, ou m est un nombre ent1er. - 7Z' Ü 26 ---- Calculer l'amplitude maximale du champ ; comment la largeur du pic principal, qui correspond a m = 0 varie-t--il avec N ? D 27 ---- Comment, dans le cas général, le diagramme de rayonnement se déforme-t--il avec N i 2 (nombre, nature et répartition des lobes ...)? On pourra ne considérer que le cas 61: (espacement demi--onde). La Fig. 14 pourra guider vos réponses. mn.-"I'm * ||--=Lulnm {EHÆEEI [Il !... I-IllI-l !_IIII II"".- !_IÆH_I --1OÛ -- 5G 5" 100150 "20 Fig. 14 -- À gauche, puissances moyennes pour un réseau de 20 antennes en fonction de ça ( en degrés}. À droite vue agrandie au voisinage de ça = O. Trait plein : N = 6 et traits pointillés N=20. . III-- 3-- 2Modulation d'amplitude: le réseau binomial :::: _w , D 28 -- Posons z : exp[iKa sin(a)] _ Am.--___"fl: et considérons le polynôme _ ' "__" PN (z) = (1 + z)N puis le carré du "ËEh' module RN (ça) = |PN (z)!2 . Montrer _ "'--Akÿ' que, si le rapport _'_'_ est suffisam-- "_..." Â ' "'Il--"'"...-- rnent petit et que si le courant ali-- Ka =1t , x x 'w' " mentant AP eSt --1 -o.5 @ 0.5 1 ' N ! . Fig.. 15 -- Indicatrice d'un réseau binomial de sia: antennes. Ip : ------------IO exp(zwt), ---- p!(N -- p)! alors le diagramme de rayonnement est une fonct10n decro1ssante de ça pour 0 < ça < --2--, qu1 ne s'annule pas sur cet intervalle. D 29 Ê- Selon quel(s) critère(s) préfèrera--t--on tel ou tel type de modulation ? Fin de cette partie Fin de l'épreuve

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Mines Physique 1 MP 2006 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Rémy Hervé (ENS Lyon) ; il a été relu par Vincent Fourmond (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Ce sujet propose l'étude de phénomènes électromagnétiques associés à la transmission d'informations à l'aide de fibres optiques et d'antennes. La première partie est consacrée à l'étude de la propagation d'ondes dans une fibre optique. Après une analyse relativement traditionnelle d'une fibre à saut d'indice destinée à introduire les notions clefs abordées par le problème, on compare ces premiers résultats à ceux obtenus pour une fibre à gradient d'indice où la lumière se propage en courbe (de la même façon que pour un mirage). Il s'agit d'une bonne occasion de s'initier à la question très actuelle du transport de l'information par fibres optiques et des débits qu'il permet d'atteindre, par exemple dans le cadre de son application aux télécommunications. Cette partie ne présente pas de grandes difficultés, mais elle nécessite une bonne maîtrise des calculs géométriques, très fréquents en optique, et des lois de SnellDescartes au passage d'une interface. La seconde partie porte sur l'étude d'antennes. Dans un premier temps, on retrouve les résultats pour l'onde émise par une antenne seule, pour considérer ensuite une collection d'antennes disposées en réseau. Cette analyse permet de réviser et d'approfondir le cours sur le dipôle oscillant et les antennes, et de découvrir un autre aspect de l'optique interférentielle. Il s'agit donc essentiellement de questions de cours, mais sur l'un des points les plus techniques du programme. L'énoncé est suffisamment bien posé pour permettre d'avancer et de retrouver des résultats dès lors qu'on ne se laisse par impressionner par des formules assez complexes. Il est toutefois requis, tout au long du problème, d'avoir une bonne connaissance de l'optique interférentielle, des propriétés des ondes et des approximations que l'on peut y associer. Enfin, comme pour la première partie, une bonne maîtrise des calculs géométriques est indispensable pour plusieurs questions. En résumé, ce sujet traite de façon intéressante des questions proches des sciences et techniques actuelles. Il ne présente pas de difficulté majeure, mais il est peut-être un peu trop long pour pouvoir être traité dans le temps imparti. Toutefois, l'énoncé souffre d'ambiguïtés et d'erreurs qui ont certainement perturbé nombre de candidats. Indications Partie I 4 Considérer le cas particulier où P est en B. En déduire ensuite le cas général. Attention, il y a une faute de frappe dans la formule : il faut lire au lieu de 0 . 5 L'écart de phase entre P et P doit être = 2 m (m entier). Penser à l'inégalité vérifiée par pour que l'onde soit guidée. 6 Se rappeler que L < < /2 . 7 Utiliser le résultat de la question 5. 8 Pour le trajet maximal, décomposer le chemin en allers-retours entre les parois de la fibre. En déterminer alors le nombre qu'il est nécessaire d'effectuer pour parcourir toute sa longueur. Attention, il ne faut pas calculer Rsaut max mais l'exprimer. 9 Utiliser les lois de Snell-Descartes et les symétries du système pour démontrer que la propagation a lieu dans un plan. 10 L'ouverture numérique correspond à l'ensemble des rayons guidés, c'est-à-dire aux rayons qui n'atteignent jamais le domaine r > a où n(r) = n2 . 11 Les symétries de l'équation 9, qui donne les trajectoires dans l'espace des phases, permettent de n'étudier que le domaine r > 0 et dr/dz > 0 du portrait de phase. Partie II - - 15 Exprimer d E P en fonction de d E O pour identifier le terme de phase, puis le calculer à l'ordre le plus bas en z/r . 16 Une onde sphérique est une onde dont les surfaces équiphases sont des sphères concentriques. 18 Dans le vide, les ondes sphériques sont localement planes. - 19 Introduire la valeur moyenne de sur une période T Z - 1 T- h it = dt T 0 22 Utiliser l'approximation de la question 20. 23 Prendre l'expression du champ obtenue à la question 17 pour = /2 . . Attention, - u /2 = -- u z 24 Il est plus simple de calculer d'abord le champ complexe. 26 Pour déterminer la largeur du pic, chercher le premier zéro de la fonction. Ici encore, il s'agit d'exprimer et non de calculer. 28 Il semble y avoir ici une erreur d'énoncé. Pour répondre à cette question, supposer qu'il y a N + 1 antennes numérotées de 0 à N. Prendre garde à la conjugaison complexe dans les dérivations ! 29 Discuter les propriétés de directivité et d'intensité des ondes générées. Ondes électromagnétiques : morceaux choisis Préliminaire 1 La bande spectrale des micro-ondes s'étend de 3 mm à 1 m tandis que le proche infrarouge va de 800 nm à 5 µm. Par ailleurs, c'est Heinrich Hertz qui, en 1887, a pour la première fois produit et détecté des ondes gigahertz. I. Guidage par fibre optique 1. Fibre optique à saut d'indice 2 Après avoir pénétré dans la fibre, le rayon se propage jusqu'à rencontrer l'interface coeur/gaine en r = a avec un angle d'incidence . D'après les lois de Snell-Descartes, il est alors en partie réfléchi dans le coeur avec le même angle et en partie transmis dans la gaine avec un angle vérifiant n1 sin = n2 sin Or, comme n2 < n1 , il existe un angle L au-delà duquel n1 sin > n2 Dans ce cas, il n'existe plus d'angle solution de l'équation précédente. Ainsi, pour un angle d'incidence > L , il n'y a pas de rayon transmis dans la gaine : le rayon incident est réfléchi totalement dans le coeur où il se propage jusqu'à rencontrer de nouveau une interface coeur/gaine qu'il aborde sous le même angle et où il est, par conséquent, également entièrement réfléchi. Le rayon est donc guidé dans le coeur. L'angle d'incidence critique L est donné par le cas limite n1 sin L = n2 donc par sin L = n2 n1 Pour n1 = 1, 456 et n2 = 1, 410, on trouve L = 1, 319 rad = 75, 6 3 À l'entrée de la fibre, les lois de Snell-Descartes donnent sin i = n1 sin r puisque le milieu extérieur a l'indice du vide. Par ailleurs, on déduit l'angle r de l'angle par la relation r + + /2 = , soit r = - 2 La première relation devient alors p sin i = n1 cos = n1 1 - sin2 D'après la question précédente, le guidage a lieu si > L , donc si sin i < sin imax p sin imax = n1 1 - sin2 L s n2 2 = n1 1 - 2 n1 sin imax = n1 2 - n2 2 avec Soit, en utilisant = n1 - n2 et en ne gardant que le terme d'ordre le plus bas en , imax = Arcsin 2 n1 L'ouverture numérique vaut alors sin imax = 0, 367 4 Dans un premier temps, considérons le cas particulier où P est en B et notons \ et E le projeté orthogonal de B sur la droite (AC). Le triangle BCE l'angle CBP étant rectangle en E, on en déduit BC = BE a = cos [ cos EBC B D P A C E Par ailleurs, comme (BP ) est un plan d'onde, il est orthogonal au rayon lumineux. Ainsi, BCP est rectangle en P , d'où CP = BC sin = a sin cos \ est droit, ce qui conduit à De même, ABP 2 + = 2 cos (2 ) a = 2 a cos - cos cos On trouve alors pour l'écart de phase, noté 0 pour ce cas particulier, Il en résulte CP = a BC + CP a = 4 n1 cos On peut à présent déduire le cas général de ce cas particulier. En effet, on peut décomposer l'expression de la phase correspondant au cas général pour faire apparaître explicitement les points B et P0 du cas précédent, ce qui donne 0 = 2 n1 = 2 n1 PB + BC + CP0 - P0 P PB - P0 P = 0 + 2 n1