Mines Physique 1 MP 2005

Thème de l'épreuve Tensions et compressions dans les corps en rotation
Principaux outils utilisés statique des fluides, forces d'inertie, dynamique du solide, thermodynamique

Corrigé

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, ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AIËRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DESTELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2005 PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière MP (Durée de l'épreuve : 3 heures) Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, EN STIM, INT, TPE-EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE 1 -MP L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, comporte 5 pages. - Si, au cours del'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. 0 Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. A . Notations : vecteur ----> V (on pourra écrire V) ; vecteur unitaire de la coordonnée c : c. TEN SION S ET COMPRESSION S DANS DES CORPS EN ROTATION I. Fluide en rotation Un réservoir cylindrique de rayon R, de hauteur H, est rempli complètemenfpar un fluide de masse volumique ,uO au repos. Le réservoir tourne à une vitesse angulaire constante co autour de l'axe vertical (Oz) du cylindre; il entraîne le fluide dans son mouvement. On se place en régime permanent. On note g l'intensité du champ de pesanteur et r la distance à l'axe de rotation. Les phénomènes ne dépendront explicitement que de la variable radiale r. Cl» 1 --Montrer que la pression p(r) satisfait l'équation différentielle, notée [1], %£ : w2r,u(r). r On précisera le phénomène décrit par cette équation--et le référentiel dans lequel elle s'applique. Est--il légitime de ne pas tenir compte de la dépendance de p selon la cote z ? Fig. 1 : cylindre en rotation Cl 2 -- Le fluide est un gaz parfait d'équation d'état p(r) : k--BZ ,u(r), où m la masse d'une m molécule de fluide et kB la constante de Boltzmann. Ce gaz est en équilibre thermique. Trouver la loi de la distribution de la pression ; cette loi est déterminée ici à une constante multiplicative près, qui est déterminée dans la question qui vient. E] 3 --- En exprimant la conservation de la masse, et en notant Po la pression au repos, établir et commenter la relation __ ___--___ 2 2k,.T [mw2R2] [ ] \_-V--____JEURXp "'--"'-- --l Fluide incompressible D 4 On suppose dans cette question que la masse volumique #0 est constante, ce que l'on exprime en disant que le fluide est incompressible. Quelle est, sous cette hypothèse, la nou- velle loi de la distribution de la pression ? Peut--on déterminer la constante d'intégration ? Fluide compressible Cl 5 -- On abandonne l'hypothèse d'incompressibilité. On adopte comme équation d'état du fluide, liant la masse volumique à la pression, l'équation ,u : ,u0[1+ Xo(P' PC)], où )(0 est une constante. Vérifier que ;(0 n'est autre que le coefficient de compressibilité isotherme du fluide, )(T, àla pression PO : 10 = )(T (PO). Û 6 ----On suppose que 8= Zo(P_Po) vérifie |8|<<1. Intégrer alors l'équation [l] de la question 1 et montrer qu'au premier ordre en 8 la masse volumique dépend de r selon la loi w2 ,u(r)= flo[1+lo( 2'"° r2+KIl. D 7 --Déterminer la constante K en exprimant la conservation de la masse et donner l'expression complète de la distribution de pression. Tracer l'allure du graphe de p(r) pour 0 5 r S R. Le résultat obtenu serait--il valable pour un fluide incompressible ? E] 8 -- Montrer que la condition de validité du calcul, c'est--à--dire loi?" PO|<< 1, est équi- valente à l'inégalité 10 ,uoa)2R2 << 1. E] 9 ---- Le fluide est de l'eau de masse volumique ,u0 =103 kg.m"3 . La vitesse de rotation du réservoir est &) = 100 rad.s", son rayon est R=1m ; la pression au repos est PO =105 Pa et satisfait la relation )(0 u0c2 =1 ; sa valeur numérique est eau la vitesse du son dans l'eau, c eau ' ceau =1450 ms". L'hypothèse |8|<<1 est--elle valide ? Comparer la vitesse maximale 1) des molécules dans le réservoir à la vitesse du son. lTlilX Cl 10 -- Soit CGP la vitesse du son dans un gaz parfait (GP) de masse moléculaire m ; cette vitesse vérifie donc, à la température T, la relation )(TuâPcâP : 1. Calculer XT pour le gaz parfait ; établir la relation mcâP : kBT et montrer que l'approximation vmax << CGP appli-- quée au gaz parfait conduit à loi de distribution de pression trouvée à la question 4. Expli-- quer la formulation, paradoxale pour un gaz : le gaz parfait est incompressible. II. Rotation d'une barre rigide Une barre solide OA, de longueur au repos L0 et de section 5 constante et très petite devant Lä a une masse linéique 2.0. Cette barre tourne autour d'un axe vertical avec la vitesse angulaire constante &) (Fig. ZA et ZB). Fig. ZA Fig. 213 On appelle T(r) la tension de la barre au point P à une distance r de l'axe de rotation ; cette grandeur représente l'action du reste de la barre sur la longueur OP. D 11 -- En considérant un bilan de forces, établir qu'en régime permanent la mesure de T(r) sur l'axe radial, notée T (qui n'est plus une température !), vérifie dT "E'-;: --ÀOE2ï [3]. Barre rigide On suppose que la barre est rigide, c'est-à--dire que  : ÀO est constant. Cl 12 -- L'extrémité A est libre, l'extrémité O est fixe (fig ZA). Déterminer l'évolution de la tension, notée T1 (r), le long de la barre. D 13 -- L'extrémité O est libre, l'extrémité A est fixée à un mur vertical tournant à la vitesse angulaire &) (fig ZB). Exprimer la nouvelle tension, notée T2(r). CI 14 -- Les deux extrémités sont attachées au mécanisme assurant la rotation, de sorte que la longueur de la barre est constante, égale à LO. Peut--on déterminer la constante d'intégration dans l'équation [ 3 ] de la question 11 ? On pourra se reporter à la question 4. Barre déformable On abandonne maintenant l'hypothèse de rigidité. On adopte pour la barre l'équation d'état T À(r)=À{l--- (£)), où E est une constante appelée module de rigidité et s la section 3 constante de la barre (le module de rigidité de la barre rigide des questions 12 à 14 est T(f) SE infini). Dans la pratique, l'inégalité 8'( r) : << 1 est vérifiée pour les corps solides. T r ( ) . Le sE résultat sera mis sous la forme T(r)=f(r)+ K', où K ' est la constante d'intégration, indéterminée à ce stade, et f (r) une fonction à déterminer, sous la condition f (0) = 0 . E] 15 -- Intégrer l'équation [3] et donner le résultat au premier ordre en £'(r)= Cl 16 -- Déterminer la constante K ' en exprimant la conservation de la masse. En déduire que la loi de répartition de la tension T(r) est indépendante du module de rigidité. En quel point de la barre cette tension est-elle nulle ? III. Rotation à vitesse angulaire variable Une cheminée verticale est modélisée par un cylin-- dre homogène de masse M, de longueur D et de rayon très petit devant D. Pour une raison quel-- conque, l'équilibre de la cheminée est détruit; 'cette dernière amorce une rotation autour de sa base dans le plan vertical (0, x, y). On appelle 6 l'angle de la cheminée avec la verticale. On étudie le mouvement de la cheminée dans le repère RG en projection sur la base mobile de coordonnées polaires û, &, où û est porté par l'axe de la che- minée, @ est perpendiculaire à il dans le sens de rotation de l'angle 9 et G est le centre de masse de .;, . .;< 3333 la cheminée. Les moments d'inertie en G autour de l'axe 62 et en 0 autour de l'axe Oz sont respec- . 1 1 t1vement JG =E MD2 et Jo : -5 MD2. La liaison pivot en O est parfaite. Y Fig. 3 : la cheminée s 'écroule Cl 17 -- Déterminer, par application du théorème du moment cinétique en O, l'équation d'évolution de l'angle 9. D 18 -- Retrouver cette équation par un raisonnement énergétique. CI 19 -- Exprimer, en fonction de l'angle 9, les composantes R,, et R,, de la réaction du sol en O en projection sur il et sur v. D 20 -- Pour quelle valeur de 9 la cheminée décolle-t--elle du sol ? En réalité, une cheminée peut se briser au cours de sa chute. L'étude suivante va préciser les contraintes subies par la cheminée pendant sa chute. Une longueur OP = d de cheminée subit l'action du sol en O, l'action de son poids ainsi que l'action du reste de la cheminée sur elle--- même, en P. Cette action assure la rigidité de la cheminée. Le contact en P n'est pas ponc-- tuel. L'action du reste de la cheminée sur la longueur et est modélisée par une force S de composantes Su et S,, et un couple C porté par l'axe horizontal Oz. CI 21 -- En appliquant le principe fondamental de la dynamique à la longueurd de cheminée, exprimer S, en fonction de M, g, 9, d et D. La grandeur S', est appelée eflort de cisaillement. Tracer qualitativement le graphe donnant S, en fonction du rapport 5 (6 est donné). CI 22 -- Si la cheminée perd sa rigidité, elle s'effrite. Elle aura tendance à s'effriter au point où l'effort de cisaillement Sv est le plus important ; quel est ce point ? D 23 ---- Montrer que le théorème du moment cinétique en O, appliqué à la longueur d de cheminée conduit à l'expression suivante du moment (noté C) du couple C : 1 d 2 C=----Mgd ----1 sin9. 4 D Cl 24 -- Si ce couple est supérieur au couple maximum que peut subir la cheminée, celle-ci se brise. En quel point la cheminée se brisera--t--elle ? Commenter à ce sujet les deux photogra-- phies ci-dessous. FIN DE CE PROBLÈME FIN DE L'ÉPREUVE

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 Mines Physique 1 MP 2005 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Ahmed Youssef (ENS Cachan) et David Chapot (Professeur agrégé). Ce sujet propose une étude de la tension et de la compression que subissent des corps solides ou des fluides en rotation. Les notions clés utilisées sont la statique des fluides et la mécanique du solide indéformable ou déformable. Notons que, bien que cette dernière ne figure pas au programme des classes préparatoires, on peut résoudre ce problème avec les connaissances du programme. · La première partie du problème est consacrée à l'étude d'un fluide en rotation, et se résout en utilisant les théorèmes de statique des fluides. Dans l'ensemble, elle ne présente pas de difficulté particulière, même si certaines questions qui exigent une interprétation physique sont plus délicates. · La deuxième partie traite du cas d'une barre rigide en rotation et fait appel à la mécanique du solide indéformable. Deux questions relèvent de la mécanique du solide déformable, mais l'énoncé fournit tous les éléments pour les résoudre. Un lien est établi avec certains résultats de la première partie. · La troisième partie porte sur l'étude d'un solide en rotation à vitesse variable. Elle fait appel aux théorèmes généraux de la mécanique du solide, et elle permet entre autres de montrer comment une cheminée peut se briser pendant sa chute. Dans l'ensemble, ce sujet est intéressant car il marie des études théoriques et des applications concrètes : il s'achève par la localisation du point de rupture préférentiel d'une cheminée qui tombe sous la force du vent. La plupart des questions sont guidées et ne présentent pas de difficulté majeure ; en particulier, les calculs sont le plus souvent courts. Certaines questions qualitatives, qui font appel au sens physique, sont cependant sensiblement plus difficiles. Indications 1 Écrire la relation fondamentale de la statique des fluides dans le référentiel tournant, sans oublier de tenir compte des forces d'inertie. 2 Intégrer l'équation différentielle par séparation des variables. 5 On utilisera de préférence l'expression de la compressibilité isotherme en fonction de la masse volumique 1 µ T = µ p T plutôt que celle en fonction du volume 1 T = - V V p T 7 Montrer que 0 n'intervient pas dans l'expression de p(r). On prendra garde à distinguer le cas 0 = 0. 10 Il y a une erreur d'énoncé dans cette question : la vitesse du son dans un gaz parfait vérifie : T µGP cGP 2 = 1 (la relation proposée n'est pas homogène). Le champ de pression obtenu ne s'identifie pas exactement à celui de la question 4 (contrairement à ce qu'indique l'énoncé) ; comparer au résultat de la question 7. 12 La tension est nulle à l'extrémité libre de la barre. 19 Appliquer le théorème de la résultante cinétique à la cheminée. 20 La cheminée décolle a priori si Rx s'annule et change de signe. L'énoncé suggère de considérer simplement l'annulation de Rx : y a-t-il vraiment décollage ? 23 Le couple C zb correspond au moment en P des actions de flexion. I. Fluide en rotation 1 Afin de pouvoir utiliser la relation fondamentale de la statique des fluides, on se place dans le référentiel tournant, lié au réservoir, où le fluide est au repos. De façon générale, elle s'écrit -- - grad p = fV - où fV est la résultante des forces volumiques qui s'exercent sur le fluide. Dans le référentiel tournant, le fluide est soumis à la pesanteur et aux forces d'inertie. · Pour un volume élémentaire de fluide de volume d , de masse dm = µ d , le poids s'écrit - - dp = dm g - = µ g d d'où l'expression de la force volumique de pesanteur µ - g. · Pour ce même volume élémentaire, les forces d'inertie se réduisent à la force d'inertie d'entraînement (la force de Coriolis est nulle car le fluide est au repos dans ce référentiel). En notant - ae l'accélération d'entraînement, on a - - - df = -dm a avec a = 2 - r i,e soit e e - df i,e = µ 2 - r d - Avec la notation r = r rb, la force d'inertie volumique est donc µ 2 r rb. La relation fondamentale de la statique des fluides s'écrit finalement -- grad p = -µ g zb + µ 2 r rb b zb), il vient En projetant sur les vecteurs de base des coordonnées cylindriques (b r , , 1 p p p = µ 2 r =0 = -µ g r r z L'énoncé suggère que la pression ne dépend que de la variable r. Sous cette hypothèse, la première équation devient dp = µ(r) 2 r dr où l'on a fait apparaître explicitement que la masse volumique peut a priori ne pas être uniforme. Pour pouvoir négliger la dépendance de la pression par rapport à z, il faut que la variation de celle-ci sur une hauteur H soit très inférieure à la variation de pression sur le rayon R. Plus précisément, si l'on tient compte de la pesanteur, on a p(r, z) = p1 (r) + p2 (z) dp1 dp2 = µ 2 r et = -µ g dr dz L'ordre de grandeur de la variation de pression sur une droite verticale s'écrit Pz µ g H avec alors que sur une droite perpendiculaire à l'axe, on a Pr µ 2 R2 La condition à vérifier pour négliger les variations de pression avec z est donc Pz Pr soit g H 2 R2 Notons que pour conduire ce calcul, on a supposé que µ varie peu sur l'ensemble du récipient. Cette hypothèse est compatible avec celles faites dans la suite du problème (fluide peu compressible ou incompressible). Terminons cette remarque en notant que, avec les données numériques de la question 9, la condition précédente devient H 1 km, ce qui justifie l'approximation. Ceci justifie aussi le fait de ne pas considérer les variations de g avec z. 2 L'équation obtenue dans la question précédente relie la pression et la masse volumique qui ne sont pas connues. L'équation d'état proposée fournit une deuxième relation pour déterminer ces deux variables : p(r) = kB T µ(r) m soit µ(r) = m p(r) kB T Il s'agit simplement de l'écriture locale de l'équation P V = n R T. Avec cette relation, l'équation [1] devient dp m 2 = r p(r) dr kB T Par séparation des variables p et r, on obtient m 2 dp = r dr p kB T qui s'intègre immédiatement en p(r) = A exp m 2 r2 2 kB T où A est une constante d'intégration. 3 Pour déterminer A, l'énoncé suggère d'utiliser la conservation de la masse. Pour cela, commençons par établir l'expression de la masse volumique à l'aide de l'équation d'état m m m 2 r2 µ(r) = p(r) soit µ(r) = A exp kB T kB T 2 kB T Calculons ensuite la masse totale de fluide de deux façons. Au repos, la masse volumique du fluide est uniforme et vaut µ0 ; le volume de fluide valant R2 H, la masse de fluide M s'écrit donc M = R2 H µ0 Quand le fluide est en rotation, ZZZ M= µ d soit avec Z M = 2H d = r dr d dz R r µ(r) dr 0