Mines Physique 1 MP 2004

Thème de l'épreuve La plongée sous-marine
Principaux outils utilisés thermodynamique, hydrostatique, diffusion de matière
Mots clefs plongée, compresseur

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,

'

DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY, .
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé)
Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, 
TPE-EIVP

.Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
Physique 1 -- Filière MP

L'én0nce' de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, 
comporte 5 pages. '

° Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est amené

à prendre.

° Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions 
ultérieures.

° Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera 
pertinent, même lors--
que I'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces 
initiatives ainsi que

des qualités de rédaction de la copie. - »

LA PLONGÉE SOUS--MARINE

Si la plongée sous-marine apporte desjoies multiples, elle présente aussi des 
dangers, liés
aux aspects physiologiques et anatomiques du corps humain.

1 Plongée libre (sans bouteille)

L'eau Où le plongeur évolue est considérée comme un liquide homogène et 
incompressible,
de masse volumique p= 1,0x103kg.m°3, en équilibre dans le champ de pesanteur g 
uni--

forme, avec g= 9,81m.s"2. _La surface libre de l'eau (cote Z: O) est en contact 
avec

l'atmosphère, de pression constante P... = 1,013X 105 Pa.

Cl 1 -- Déterminer, littéralement et numériquement, la pression p(z)

de l'eau en un point de cote z; tracer le graphe de p(z).

Cl 2 --- On assimile l'air contenu dans les poumons du plongeur à un
gaz parfait ; cet air est caractérisé par une pression p(z) identique

à celle de l'eau à la cote 2, un volume V(z) (capacité pulmonaire)

variable (la cage thoracique se déforme sous l'effet de la pression),
et enfin par une température T,, constante et indépendante de la

profondeur. Calculer la capacité pulmonaire du plongeur à une cote z sachant 
que celui--ci,
avant de plonger, gonfle ses poumons à leur capacité maximale VM puis bloque sa 
respira--

tion. On donne 2 = --10 m et VM : 7>< 10'3 m3 . On définit le poids apparent du plongeur (et l'on nomme flottabilité) comme la résultante de la poussée d'Archimède et des forces de pesanteur. Comment varie la flottabilité lorsque la profondeur augmente '? diminue--t--elle ou augmente--t--elle ? E] 3 -- Afin de faciliter leur descente lors des premiers mètres, les plongeurs utilisent souvent un lest, plaque de plomb de volume négligeable, accrochée à une ceinture et facilement lar- gable. Ce lest ne doit pas être trop lourd car un surlestage peut inciter à descendre à une pro-- fondeur excessive, On appelle m la masse du plongeur, V * (z) le Volume de son corps et V}, le volume de son corps hors celui de la cage thoracique, de sorte que V * (2): VO +.V(z). Quelle masse m, de lest choisir si l'on adopte comme règle de sécurité le fait que le plon-- geur doit avoir une flottabilité nulle à la profondeur de 5 mètres '? Application numérique : V}, = O, 077 m3 et m = 80 kg . Il Plongée avec bouteille et détendeur Remplissage de la bouteille Afin d'effectuer le remplissage d'une bouteille à parois indéformables, de volume V,,, on utilise un compres- seur constitué (Fig. 2) d'un cylindre, de deux soupapes S et S' et d'un piston, mobile sans frottement entre les positions extrêmes AA' et BB'. Lors de l'aller (phase d'aspiration) la soupape S est ouverte alors que S' est fermée ; on a alors admission de l'air atmosphérique dans le cylindre à la pression P... . Lors du retour (phase de compression), l'air dans le cylindre est comprimé, de la pression Pa à la pression P,, ; la soupape S est fermée alors que la soupape S' s'ouvre dès que la pression dans le cylindre devient supérieure à celle de la bouteille P,, . Quand le piston est en AA', le volume limité par le piston et la section CC' est V...... ; quand le piston est en BB', ce volume est égal à Vmax . Les transformations de l'air sont isothermes (les températu- res dans le cylindre et dans la bouteille sont identiques, égales à la température T,, de l'atmosphère) ; les transformations sont quasi-stati ques ; l'air est toujoursconsidéré comme un gaz parfait. Fig. 2 : Compresseur Cl 4 -- La pompe n'ayant pas encore fonctionné, l'état initial du système est le suivant : ' Bouteille : pression P,, = P... , température T ,, = I:, . ° Cylindre : pression P...... , température T ... position du piston AA'- Le piston fait un aller et un retour. Déterminer la pression P,, à l'intérieur de la bouteille à la fin de cette transformation ; en déduire, sous l'hypothèse V... << V,,, la variation An du nombre de moles contenues dans la bouteille. Application numérique : V}, =5x10"3 m3 , V...in =2><10"5 m3, Vmax =2xlO" m3, T,=293 K et R=8,311.mol"'.K"'. Cl 5 --- Le compresseur ayant fonctionné, on considère qu'à un instant t donné, la soupape S est ouverte alors que la soupape S' est fermée ; l'état du système est alors le suivant : ° Bouteille : pression P,, = p , température T ,, = 72, . ° Cylindre : pression P... , température T a, position du piston AA'- Le piston fait un aller-retour ; déterminer le volume d'air V' dans le cylindre lorsque la sou- pape S' s'ouvre, puis, en fonction de p, V,,, P..., V... et Vmax , la pression p' dans la bou-- teille à la fin de cette opération. En déduire, en fonction des mêmes grandeurs, la variation Ap de la pression à l'intérieur de la bouteille. Déterminer la pression maximale pmax que l'on peut obtenir par ce procédé et interpréter le résultat obtenu. E] 6 -- Calculer Ap et pmax pour p =0,2><107 Pa, et en conservant les données numériques antérieures. Cl 7 -- On considère l'instant t de la question 5, l'état du système étant identique. Le "piston 1 , fait a allers-retours par seconde, la durée de chaque aller-retour est notée At (A! = ;) . Eta-- d blir l'équation différentielle liant p et 'ai:-- (on assimilera % à --(£-). D 8 -- Le compresseur ayant démarré à l'instant t= 0, les conditions initiales étant celles qui ont été définies à la question 4, déterminer la pression p(t) à un instant t quelconque. Vh ocVmin retours par seconde, calculer le temps T au bout duquel la pression p dans la bouteille est égale à 0,5><107 Pa. Compte-tenu de l'inégalité V... <<107 Pa , p.=4,0><105 Pa, V,, =5><10'3 m3, T, =293 K et T,=288 K. Cl 10 -- La respiration du plongeur est périodique, de fréquence f. Sous la pression locale p(z) et à la température T,, le volume moyen de l'air inspiré au cours de chaque cycle (avant d'être ensuite rejeté à l'extérieur) est QQ ; calculer le temps At,(z)au bout duquel le détendeur se bloque ; pour simplifier les calculs on admettra que le temps de descente du plongeur à la profondeur z est négligeable, que ce dernier se maintient tout le temps Ats(z) à la profondeur z et que le volume [20 ne dépend pas de la profondeur. Application numérique : Z: --20 m, QO= 2,0><10"3 m', ]: 0,2 s"' et Z,: 288 K. D 11 ---- Comparer At_.(z)au temps At,(O) mis par le détendeur pour se bloquer si le plongeur reste en surface, où 2: 0 et T : Ta. 111 Un exemple de danger, l'accident de décompression Lors d'une plongée, le détendeur équilibre la pression de l'air inhalé dans les poumons avec celle de l'eau environnante. Cet air est principalement composé d'oxygène (21 %) et d'azote (78 %). L'azote est un gaz diluant qui, au cours de la descente, se dissout par diffusion dans le sang puis dans les tissus. À température constante et à saturation, la quantité de gaz dis- sous dans un liquide est proportionnelle à la pression exercée par ce gaz sur le liquide (loi de Henry) ; la quantité d'azote qui se dissout dans l'organisme d'un plongeur augmente donc avec la profondeur. Ce phénomène engendre des problèmes lorsque le plongeur remonte trop vite à la surface : l'azote dissous, sous l'effet de la diminution de la pression, reprend sa forme gazeuse. Des bulles apparaissent alors dans l'organisme du plongeur. Dans 90 % des cas, les accidents de décompression sont localisés dans les articulations, particulièrement au niveau des tissus cartilagineux. Une hypothèse couramment admise (dite hypothèse de Hem- pleman) est que ces accidents surviennent lorsque la masse d'azote stockée dans les cartila-- ges dépasse une valeur critique. Cl 12 -- Le cartilage n'étant pas irrigué par le sang, les M01éC"le échanges d'azote entre sang et cartilage ont lieu uni-- de N2 quement par diffusion, supposée unidirectionnelle, sui-- vant Ox (Fig. 3). La concentration d'azote C(x, !) dans Fig. 3 : stockage d'azote le cartilage d'épaisseur [ (O S x S L) est supposée régie . . . ÔC x,t 82C x,t par l'équation de duffusron ------â------)----D----a--(3--)=O, [ x" où la constante D est le coefficientde diffusion. On cherche, pour cette équation, des solu- tions de la forme C(x,t)= K + ](x)g(z'), où K est une constante. Déterminer les équations différentielles vérifiées par /(x) et g(t). On introduira dans ces équations une constante q homogène à l'inverse d'une longueur (et qui n'intervient, à ce stade, que par son carré). D 13 ---- Montrer que, q étant fixé, la solution physiquement acceptable de l'équation de dif- fusion, Cq(x, l'), peut s'écrire Cq(x, t) : K] + [Ac, cos(qx)+ Bq sin(qx)]exp(--Dfit). \___5f__--_--_J =E,(x,t) CI 14 --- Le plongeur atteint la cote 2 au temps t= 0, puis reste à cette profondeur ; le temps mis pour atteindre cette cote est négligeable. On note C,.(z) la concentration en azote du sang du plongeur à la profondeur 2. Déterminer les valeurs autorisées de q et les expressions de K,], A,] et B,], les conditions aux limites étant Cq(0, t) : Cq(L, t) : C,.(z). Cl 15 -- Imposons à présent à la solution de l'équation de diffusion la forme C(x,t)=K+Zlfl(x,1), ] où E{(x, t), introduit dans l'équation de la question 13, est une fonction périodique de la variable x. Quelle est la période spatiale de cette fonction '? Déterminer alors l'expression de C(x,t) à la profondeur 2. On notera Co la concentration à saturation, homogène et à l'air libre, de l'azote dans le sang et on utilisera la condition ini-- tiale C(x,o)= Co. Rappel : 27r Si f(t)=AO+Z[Ancos(/zwot)+Bnsin(nwoz)l, Bn=%Lnf(u)sin(noeor)du T=ÊU_ 0 n:l FIN DE L'ÉPREUVE Les détendeurs modernes comportent en réalité deux étages : le premier étage est la pièce métallique sur la bouteille, qui abaisse la pression de celle de la bouteille (200 bars en début de plongée)jusqu'à 50--30 bars. Le deuxième étage est dans la bouche. Il équilibre la pression avec la pression ambiante respirée par le plongeur. C'est ainsi un détendeur "à la demande" : quand le plongeur aspire, une membrane est tirée par dépression, ce qui libère l'air dans étage amont, etc. Cette membrane revient ensuite en place, ce qui empêche le "débit continu" et donc un gaspillage d'air. Le problème présente l'ancien système "avec réserve" qui n'est plus guère utilisé de nosjours.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 1 MP 2004 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Langlois (ENS Lyon) ; il a été relu par
Jean-Luc Robert (ESPCI) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Ce sujet traite de quelques problèmes physiques posés par la plongée 
sous-marine :
équilibre mécanique du plongeur, remplissage et fonctionnement d'une bouteille 
d'air
comprimé, accidents de décompression.
Dans la première partie, on étudie la flottabilité du plongeur en apnée, en 
faisant
appel à l'hydrostatique. La deuxième partie aborde le principe de 
fonctionnement du
compresseur utilisé pour remplir les bouteilles, et celui du détendeur. Enfin, 
la dernière partie est une étude de la diffusion de l'azote dans les tissus 
humains.
Le sujet est très court : la clarté de la rédaction n'en est que plus 
importante.
Les deux premières parties sont très abordables et ne font appel qu'à des 
notions
élémentaires de thermodynamique. Seule la dernière partie, consistant à résoudre
l'équation de la diffusion à une dimension, et dont les questions sont assez 
laconiques,
présente quelques difficultés.
La dernière question en particulier, où l'on résout l'équation de la diffusion 
pour
une condition initiale discontinue, tranche avec le reste du sujet. En effet, 
elle est rédigée de manière ambiguë et guide très peu le candidat. Elle 
nécessite beaucoup de soin
dans la rédaction, et en particulier une bonne maîtrise du cours de 
mathématiques
sur les séries de Fourier.

Indications
Partie II
4 La quantité d'air dans l'ensemble « cylindre + bouteille » reste constante 
pendant
la compression.
5 On ne peut plus comprimer l'air du cylindre si V 6 Vmin .
dp

8 Résoudre d'abord l'équation sans second membre
= -Vmin
p(t).
dt
Vb + Vmin
Chercher ensuite une solution particulière constante.
9 Appliquer deux fois la loi des gaz parfaits.
10 Calculer la quantité d'air inspirée en un temps dt puis intégrer.

Partie III
12 Diviser l'équation de diffusion en f et g par f (x)g(t).
Rappel : si pour tous x et t, F(x) = G(t), alors F(x) = G(t) = Cte .
15 Montrer que K = Cs et pour tout q 6= 0, Aq = 0.
Prolonger C(x, 0) en une fonction créneau 2L-périodique, centrée en Cs (z).
Décomposer ce créneau en série de Fourier à l'aide de la formule donnée par
l'énoncé. Celle-ci comporte une faute de frappe : il faut lire
Z
2
f (u) sin(n0 u)du
Bn =
T (T)
Identifier ensuite les coefficients de Fourier avec les termes Bq recherchés.

I.

Plongée libre (sans bouteille)

1 Utilisons l'équation de la statique des fluides
--

grad p = --
g
En projetant cette relation sur la base cartésienne, comme l'axe (Oz) est 
orienté selon
la verticale ascendante, on obtient

p

=0

x

z(m)

p
=0
 1

5 
y

0

p(atm)
 p = -g
z
-10

On déduit des deux premières équations que
p ne dépend que de z, et en intégrant la troisième entre z = 0 et z < 0, il vient p(z) = -gz + Patm = -9, 81 . 103 × z + 1, 01 . 105 Pa -50 L'énoncé est incohérent dans le nombre de chiffres significatifs donnés pour les applications numériques : la valeur de Patm est donnée avec quatre chiffres significatifs, g avec trois alors que  n'en a que deux. Plus loin dans l'énoncé, les volumes sont donnés avec un seul chiffre significatif ! Normalement, dans une situation où les données numériques sont connues avec des précisions différentes, on doit calculer avec le nombre de chiffres significatifs le plus faible. Ce qui veut dire qu'en toute rigueur, on devrait donner des applications numériques à deux chiffres dans cette première partie et un seul dans la deuxième. Ce n'est pas raisonnable. En fait, force est de constater que l'énoncé est totalement laxiste sur ce point comme malheureusement beaucoup de sujets de concours. Que faire dans une telle situation ? Choisir deux ou trois chiffres significatifs et s'y tenir tout au long de l'énoncé. Nous choisissons d'en donner trois. 2 Le plongeur bloque sa respiration : la quantité d'air contenue dans ses poumons reste constante. Or la température est également constante, de sorte que la loi des gaz parfaits donne p V = nRTi = Cte On a donc p(z) V(z) = Patm VM soit, en utilisant le résultat de la question précédente, V(z) = Application numérique : Patm VM Patm - gz V(-10 m) = 3, 56 L On constate que si la profondeur (-z) augmente, la capacité pulmonaire du plongeur V(z) diminue ; son volume total diminue donc également. La masse volumique de l'eau étant uniforme, la poussée d'Archimède  = gVtot subie par le plongeur varie comme son volume. Elle diminue donc si la profondeur augmente, alors que le poids du plongeur reste le même. Par conséquent, la flottabilité diminue quand la profondeur augmente. 3 Le volume du lest étant négligeable, le plongeur subit une poussée d'Archimède - = - (V0 + V(z)) - g - P = (m + m1 ) - g et son poids est La flottabilité est nulle en z0 si le poids et la poussée d'Archimède s'équilibrent, c'est-à-dire si : - - - P +  (z0 ) = 0 ou encore d'où II. m + m1 =  (V0 + V(z0 )) Patm VM m1 =  V0 + - m = 1, 72 kg Patm - gz0 Plongée avec bouteille et détendeur Remplissage de la bouteille 4 Le mouvement aller du piston remplit le cylindre d'air à la pression Patm . À la fin de ce premier mouvement, le système contient donc un volume d'air Vmax +Vb à la pression Patm . Lors de la compression (retour du piston), la température est constante et la quantité d'air dans le système également (la soupape S étant fermée). On peut alors écrire pV = nRTa = Cte . À la fin du cycle, la soupape S' est ouverte : l'air est maintenant contenu dans le volume Vmin + Vb et il est à la pression Pb . Il vient donc Pb (Vmin + Vb ) = Patm (Vmax + Vb ) soit Pb = Patm Vmax + Vb Vmin + Vb En faisant l'hypothèse Vmin  Vb , le résultat précédent se simplifie : Vmax Pb = Patm 1 + = 1, 42 . 105 Pa Vb Or, d'où n = n = (Pb - Patm )Vb RTa Patm Vmax = 8, 32 . 10-2 mol RTa