Mines Physique 1 MP 2003

Thème de l'épreuve Étude thermodynamique de la surface de la Lune
Principaux outils utilisés rayonnement et conduction thermiques, corps noir
Mots clefs atmosphère de la Lune, température, rayonnement du corps noir

Corrigé

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURS DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière MP (Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé) Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, TPE-EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : Physique 1 --- Filière MP L 'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, comporte 6 pages. 0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. 0 Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera pertinent, même lors-- que l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. La surface de la Lune On se propose d'étudier deux aspects de la surface lunaire : la température de surface et le sol. Ces deux parties sont indépendantes entre elles. Dans tout le problème, étoile et planètes seront considérées comme des sphères en équilibre thermique, et qui se comportent comme des corps noirs. 0 Important : on trouvera en pages 5 et 6 un ensemble de données relatives à ce pro- blème ; ces données complètent (ou, à l'occasion, répètent) celles de l'énoncé. Quelques-- unes de ces données pourront servir plusieurs fois ; - d'autres n'ont de valeur qu'informative. Quand l'énoncé ne les indique pas, il appartient aux candidats de repérer et d'utiliser les données utiles pour la résolution de certaines questions. 0 Les questions numérotées avec un astérisque (par exemple, D 4*) sont de type essen-- tiellement qualitatif ; elles demandent peu de calculs, voire pas du tout. Partie I Températures de surface Température terrestre . Un modèle bien fluste D 1 -- On modélise la surface de la Terre par une coquille sphérique de température uni-- forme, en équilibre thermodynamique : puissance absorbée et puissance émise sont égales. Soit PS la puissance totale émise par le Soleil. Exprimer & en fonction du rayon solaire RS et de la température solaire T S. Exprimer, en fonction de PS, la puissance Po reçue par la Terre, à la distance DST du Soleil, supposé ponctuel. Exprimer alors la température de sur-- face de la Terre, 7} . D 2 ---- En réalité, la puissance absorbée par la surface de la Terre n'est qu'une fraction de la puissance du rayonnement solaire incident : la surface terrestre réfléchit la fraction A,, nommée albe'do, de ce rayonnement. L'albédo moyen de la Terre est égal à 0,35, ce qui signifie que 65 % du rayonnement solaire incident est absorbé. Etablir l'expression suivante de la température de surface de la Terre : 2 Tt = --R--S-- (l'--Ar)1s4- 2DST Cl 3 ---- Calculer alors la valeur numérique de T, ; ne pas s'offusquer de la valeur trouvée à partir de ce premier modèle. 0 Influence de l'atmosphère terrestre L'atmosphère joue un rôle essentiel dans le bilan thermique terrestre. Désormais, on enten-- dra par « Terre » la planète proprement dite, de rayon RT, entourée d'une pellicule sphérique de gaz, qui constitue l'atmosphère. L'atmosphère est modélisée par une couche d'épaisseur e << RT et de température uniforme Ta ; elle absorbe la fraction a du rayonnement solaire non réfléchi ; elle absorbe aussi la totalité du rayonnement du corps noir émis par la surface de la Terre. La Terre absorbe la totalité du rayonnement émis par l'atmosphère vers celle--ci (Fig. 1). Solaire, absorbé Solaire, absorbé Rayonné par par la Terre par l'atmosphère la Terre Atmosphérique, vers le ciel Atmosphérique, vers la Terre Fig. 1 : un bilan des rayonnements E] 4* -- À quoi pourrait être due la différence d'absorption de l'atmosphère pour les rayon-- nements solaire et terrestre '? Cl 5 -- Soit E' la température superficielle moyenne de la Terre calculée en tenant compte de l'influence de l'atmosphère. Exprimer R , puissance solaire absorbée par la surface terres-- tre; exprimer P2, puissance rayonnée par l'atmosphère vers la Terre. Effectuer un bilan thermique pour l'atmosphère. En déduire la relation TT" : (2 -- a)Tf' . Cl 6 -- Application numérique : calculer E' pour a= 0,35 (l'égalité et : AT est fortuite). C] 7 ---- Montrer que la température de l'atmosphère]... est égale à T, . Température lunaire . Température de la surface ensoleillée L'albédo moyen de la Lune,AL, est égal à 0,073 : 92,7 % du flux solaire est absorbé par le sol. On suppose l'albédo uniforme sur toute la surface éclairée. D 8 ---- Exprimer et calculer la valeur numérique de la température de surface de la Lune, T L,So,e,-, , en ne tenant compte que du rayonnement solaire. D 9* --- L'hypothèse d'une température uniforme pour la Lune n'est pas conforme à la réalité : la surface lunaire présente de gros écarts de température. Représenter sur un schéma la position, par rapport au Soleil, de la zone de températures les plus élevées. Cl 10--- Effectuer un bilan thermique pour une surface élémentaire de cette zone et en déduire T L...... , la température maximale à la surface de la Lune. La valeur expérimentale est de l'ordre de 120°C. . Le « clair de Terre ». Lorsque l'axe Soleil-Lune est perpendiculaire à l'axe Lune-Terre, on cherche à déterminer la température superficielle de la Lune en un point M éclairé uniquement par la Terre. Ce point reçoit le rayonnement de deux corps noirs de nature différente, celui du Soleil, réfléchi par la Terre, et celui de l'atmosphère terrestre. D 11 --- Evaluer la puissance surfacique de chacun de ces rayonnements. D 12 -- Déterminer la température maximale à la surface de la Lune uniquement éclairée par la Terre : ]}LTem. D 13* -- Comment serait modifiée la température d'un point M' situé dans la zone éclairée par le Soleil si l'on tenait compte également du rayOnnement terrestre '? E] 14* -- Un instrument situé à la surface de la Lune détecte un rayonnement visible et un rayonnement infrarouge. Indiquer le domaine de longueurs d'onde caractéristique de chacun de ces rayonnements. Le résultat sera donné en micromètres. Cl 15* ---- À quel domaine de longueurs d'onde appartient le rayonnement thermique émis par la Lune '? quelle est l'origine du rayonnement visible provenant de la Lune ? 0 Influence de la radioactivité . . . . 238 40 . La Lune contient des roches rad10act1ves, essentiellement U et K. La puissance volumique moyenne libérée par les roches lunaires, pL , a été évaluée à 10" 8 W.m"3 . D 16 --- Exprimer la température superficielle de la Lune, T L, Roches, pour les zones à l'ombre du Soleil et de la Terre et en ne tenant compte que de l'apport énergétique radioactif. Cl 17 * -- La radioactivité modifie--t-elle de façon significative la température dans les zones très éclairées ? Partie II Le sol lunaire Modélisations Le sol lunaire est bombardé et réduit en poussière par les météorites et le vent solaire, cons-- titué essentiellement de protons et d'électrons. La composition du sol lunaire est proche de celle des silicates, dont quelques caractéristiques physiques sont indiquées pages 5 et 6. La couche supérieure, très fine, est représentée par un empilement compact de sphères de sili-- cates, de rayon RS,--, et de température uniforme (Fig. 2). Le contact entre les sphères est supposé ponctuel. On note c la distance verticale minimale entre deux sphères en positions semblables : c =2J; RS,--, zl,633Rsü. Dans une telle structure compacte, le volume occupé par les sphères est de l'ordre de 74 % du volume de l'empilement. D 18* --- Justifier qu'avec un tel modèle les échanges thermiques entre les sphères soient limités au rayonnement. D 19* -- L'empilement précédent est maintenant modélisé par un ensemble de plans parallèles opaques, placés dans le vide, séparés par la distance c/2. Que pensez--vous de ce modèle '? Fig. 2 : Le plan inférieur de l'empilement compact est Ü 20 _ On suppose que l'écart de tem-- constitué de sphères dont les centres sont notés A. Une , ' , . , . perature AT d un plan a l autre est tres couche identique de sphères, dont les centres sont à ! 'à--pic _ des points de type B, est superposée à ce plan. Les centres pet1t devant la température de ces plans. des sphères de la troisième couche sont en sites de type A, La puissance surfacique émise à et ainsi de suite (empilement de type ABAB ...). _ l'équilibre thermodynamique par un corps de température T est P = 0'T4, où 0' est la constante de Stefan. Exprimer à l'aide de ces hypothèses le flux thermique J Q qui se propage de plan en plan dans la direction perpen- diculaire à ces derniers. Montrer que l'on peut caractériser le milieu ainsi modélisé par un coefficient de conductivité thermique dépendant de la température de la forme /1(T ): A(RS,,,a)T" ; trouver la valeur de n et l'expression de A. E] 21 -- La dimension des grains de poussière est, en ordre de grandeur, RS,-, z100 um; comparer l'ordre de grandeur de Â(T ) obtenu avec ce modèle avec la valeur expérimentale de la conductivité des silicates : KS,-, z1,11 W.K'1 .m'l _ D 22 -- Comparer la densité d et la capacité calorifique massique c de la couche supérieure avec ds,--, et CS,--[. D 23* ---- Il est généralement admis que ce sont les couches les plus profondes qui ont les caractéristiques physiques les plus voisines de celles des modèles ci-dessus. Pourquoi ? Influence de l'impact des météorites On admet que les météorites heurtant la surface lunaire ont même composition que le sol lunaire. On rappelle que le référentiel de Copernic, ou référentiel héliocentrique, est lié au centre de masse du système solaire et que ses axes pointent vers des étoiles réputées fixes. Le référentiel de Copernic est supposé galiléen. D 24 -- Vérifier que la vitesse d'impact d'une météorite frappant la surface lunaire et de vitesse négligeable dans le référentiel de Copernic est de l'ordre de 3 x 104 m.s'1 . Cl 25 -- Montrer que l'impact d'une météorite de masse 111! peut dégager une énergie suffi-- sante pour porter à l'état liquide une masse m2 de la surface de la Lune. Déterminer puis calculer le rapport mz/m1. E] 26* --- La solidification du matériau en fusion n'est pas sans effet sur la nature des trans- ferts thermiques ultérieurs. Vers quelle valeur se rapproche alors la conductivité thermique calculée précédemment ? Fin du problème Données numériques (avec une précision variable) Soleil - Rayon RS z 7><105 km 0 Température de surface T 5 % 5800 K 2 . L'angle solide sous lequel on voit la Terre depuis le Soleil est 7z----2T ST . Rayon terrestre RT z 6,38x 103 km 0 Distance Terre-Soleil DST x 1,5 >< 108 km 0 Masse terrestre MT z6><1024 kg . Albédo AT z0,35 . Rayon lunaire RL = 1740 km 0 Masse lunaire M L = 7, 7 >< 1022 kg . Distance Terre-Lune DLT % 3,84 x 105 km 0 Période du mouvement circulaire autour de la Terre PTL z27,25 jours (en restant dans le plan de l'orbite terrestre) . Période de rotation propre de la LunePL : PTL % 27,25 jours. La Lune présente ainsi toujours la même face à la Terre. Silicates . Densité ds,--, oe 2,51 . Conductivité thermique K S,--, x 1,11 W.K"'.m"1 . Capacité calorifique massique CS,--[ z 860 J .kg"1 K"1 0 Ordre de grandeur du rayon RS,--, z 100 um . Température de fusion du silicate T [ x 1500 K . Chaleur latente de fusion L f z 130 kJ .kg"1 » Constantes physiques . Célérité de la lumière dans le vide c z 3 >< 108 ms"1 , . Constante de la gravitation G x 6,67 ><10'11 m3 .kg".s'2 h . Constante de Planck hz6,63><10'34 J.s ( =-2-- ::10"34 J.s) 7z . Constante de Boltzmann kB z 1,38 >< 10"23 J .K°1 . Charge électrique élémentaire e = 1,6 >< 10"19 C 0 Masse de l'électron me z9,11 >< ..."31 kg ' Constante de Stefan o*= 5,7 >< 10"8 W .m"2.K"4 . Nombre d'Avogadro N A z 6,02 >< 1023 . Permittivité du vide 80 _z 8,85 >< IO"12 F.m"' . Constante des gaz parfaits R = N AkB x 8,31 ] .mol'1 .K'1 Données physiques _ U"... .Il%=- Loi de rayonnement du corps noir (loi de Planck) L'exitance M (en W.m'2) d'une source est la puissance totale qu'elle émet par unité de surface, toutes directions et toutes longueurs d'onde confondues. La loi de Stefan stipule que l'exitance d'un corps noir augmente comme la qua-- trième puissance de sa température: M=0'T". L'exitance spectrale M(À) est la puis-- sance émise à la température T par l'unité de surface du corps noir dans l'intervalle spectral [1,1 +dÀ] : dM= M(Â)dÀ . 1 1 Son expression est M(À)=2flhc2îg----r--. L'exitance spectrale est maximale c exp{ ) -- kB T  pour la longueur d'onde Â... liée à la température par la relation A : À...T : 2898 K. pm. On a 27rh02 (Â...)5T5 P À 1 f _ d , .... 050115 x =-- ; a 1 ure Cl- EURSSUS I'C l'ê-- A5 « { hC Âm) _  g p donc M(À)= "! t 1 f t' =--------=--------------. seneaonc10nmAx MÀ) x5 {{hc] 1 ex --- Formule mathématique div [grad(f)]= Af .

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 Mines Physique 1 MP 2003 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Nicolas Caudal (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (ENS Lyon). Ce problème aborde différents aspects de la thermodynamique lunaire. Il est de longueur raisonnable. De nombreuses questions qualitatives font appel au sens physique du candidat. · La première partie est consacrée à l'étude des transferts thermiques par rayonnement entre le Soleil, la Terre et la Lune. Elle repose essentiellement sur l'écriture de bilans radiatifs à l'équilibre thermodynamique. · Dans la seconde partie, on envisage le comportement thermodynamique du sol lunaire. Là encore, des questions qualitatives nécessitent une bonne compréhension physique des phénomènes mis en jeu. Dans l'ensemble, l'énoncé est clair et progressif et les questions sont très abordables. Cela en fait un bon problème d'application en thermodynamique. Indications Première partie 1 Calculer P0 grâce à l'angle solide sous lequel la Terre est vue depuis le Soleil. 4 L'atmosphère est un milieu dispersif. 5 Considérer que seule une fraction (1 - AT ) du rayonnement solaire P0 est reçue par l'atmosphère terrestre. Effectuer un bilan thermique pour la Terre puis pour l'atmosphère et éliminer Ta dans ces bilans. Ne pas oublier que l'atmosphère rayonne aussi vers l'espace et relier très simplement cette puissance rayonnée vers l'espace à la puissance P2 rayonnée vers la Terre. 7 Trouver Ta à l'aide de l'un des bilans de la question 5. 8 Faire une simple analogie avec la question 2 en considérant que la distance séparant la Lune du Soleil est sensiblement égale à la distance séparant la Terre du Soleil. 10 L'angle solide sous lequel est vu cette surface élémentaire est d = dS/DST2 . Reprendre alors le raisonnement de la question 8. 11 L'angle solide sous lequel est vu cette surface élémentaire est d = dS/DLT2 . Utiliser l'albedo terrestre AT . 12 Ne pas oublier l'albedo lunaire AL . 13 Comparer TL,Terre et TL,max . 16 Évaluer la puissance totale libérée par les roches lunaires puis la fraction transférée à une surface élémentaire dS. 17 Comparer TL,Roches et TL,max . Deuxième partie 19 Justifier que le modèle surévalue les transferts thermiques par rayonnement. 20 Considérer un plan inférieur à T et un plan supérieur à T + T. Évaluer le gradient de température. Effectuer le bilan des transferts thermiques radiatifs entre les deux plans au premier ordre et comparer avec la loi de Fourier. 22 La capacité calorifique d'une phase condensée est indépendante du volume qu'elle occupe. 24 Décomposer le mouvement de la surface lunaire dans le référentiel de Copernic en trois sous-mouvements et évaluer les vitesses associées. 25 Appliquer Ec + U = Wext + Q au système {Lune + météorite}, supposé isolé pendant l'impact, avec U = H dans le vide. Supposer que la Lune est beaucoup plus massive que la météorite et que la température initiale du sol lunaire vaut au moins TL,Roches trouvée à la question 16. I. Températures de surface 1 En utilisant l'exitance M = TS4 du Soleil, la puissance PS émise par le Soleil sur toute sa surface extérieure 4RS2 est PS = 4RS2 TS4 La Terre reçoit une fraction de rayonnement solaire égale à l'angle solide sous lequel la Terre est vue depuis le Soleil divisé par 4 d'où RT2 /DST2 P0 = PS 4 2 RT soit P0 = PS 2DST La réponse proposée utilise la notion d'angle solide introduite par l'énoncé dans les données numériques relatives au Soleil. Une manière équivalente de procéder consiste à dire qu'à la distance DST RT à laquelle se trouve la Terre, la puissance PS est rayonnée sur une sphère de surface 4DST2 où le disque terrestre occupe une surface RT2 . Ainsi P0 = RT2 PS 4DST2 et on parvient au même résultat. La puissance totale PT émise par la Terre sur sa surface extérieure 4RT2 est PT = 4RT2 TT4 L'équilibre thermodynamique de la Terre impose que la puissance P0 reçue est égale à la puissance PT émise. Il vient, en remplaçant PS dans l'expression de P0 , 2 RT RS 4 TS4 = 4RT2 TT4 2DST TT4 d'où = RS 2DST 2 TS4 Dans les calculs effectués dans ce problème, les températures apparaissent généralement à la puissance 4. On conserve donc la puissance dans l'expression littérale des résultats. 2 Seule une fraction (1 - AT ) de la puissance P0 reçue est effectivement absorbée par la Terre. L'équilibre thermodynamique de la Terre impose donc que (1 - AT )P0 égale la puissance PT émise. Il vient donc, comme précédemment, 2 RT RS 4(1 - AT ) TS4 = 4RT2 TT4 2DST soit TT4 = (1 - AT ) RS 2DST 2 TS4 3 Application numérique : TT = 252 K 4 Les températures de surface de la Terre et du Soleil étant très différentes, les rayonnements terrestre et solaire ne se font pas aux mêmes longueurs d'onde. Or, l'atmosphère est un milieu dispersif, c'est-à-dire qui se comporte différemment suivant la longueur d'onde du rayonnement qui s'y propage. Il est donc normal que l'absorption de ces rayonnements diffère. En utilisant les températures de surface TS et TT du Soleil et de la Terre comme on le fait ensuite pour la Lune à la question 15, on trouve que les longueurs d'onde m du maximum de l'exitance spectrale pour le Soleil et pour la Terre sont respectivement 0, 5 µm et 11, 5 µm. Le Soleil rayonne donc dans le visible et la Terre dans l'infrarouge. 5 La Terre entourée de son atmosphère reçoit une puissance (1 - AT )P0 du Soleil qui est sensiblement égale à celle calculée à la question 2 puisque e RT . Du fait de l'absorption atmosphérique, seule une fraction (1 - ) de (1 - AT )P0 est reçue par la Terre elle-même. On trouve donc P1 = (1 - )(1 - AT )P0 soit P1 = 4(1 - )(1 - AT ) RT RS 2DST 2 TS4 La question et le schéma qui l'accompagne n'expliquent pas clairement le rôle dans ces échanges de l'albédo, c'est-à-dire de la réflexion par la Terre et son atmosphère du rayonnement solaire. Afin de parvenir au résultat demandé, on suppose que cette réflexion se fait avant la traversée de l'atmosphère, par exemple sur les hautes couches de la couverture nuageuse. En appliquant la loi de Stefan à l'atmosphère, considérée comme un corps noir à part entière, la puissance P2 rayonnée vers la Terre par l'atmosphère à partir de sa surface intérieure 4RT2 est P2 = 4RT2 Ta4 La puissance P2 est totalement absorbée par la Terre. L'équilibre thermique de la Terre impose que la puissance totale absorbée P1 + P2 égale la puissance rayonnée sur toute sa surface 4RT2 vers l'atmosphère. Ainsi 4 P1 + P2 = 4RT2 TT soit et 4(1 - )(1 - AT ) RT RS 2DST (1 - )(1 - AT ) 2 4 TS4 + 4RT2 Ta4 = 4RT2 TT RS 2DST 2 4 TS4 + Ta4 = TT En identifiant l'expression de TT4 dans cette égalité, il vient 4 (1 - )TT4 + Ta4 = TT (1)