Mines Physique 1 MP 2001

Thème de l'épreuve De la Terre à la Lune: le tir du boulet de Barbicane
Principaux outils utilisés interaction gravitationnelle, mécanique du point, thermodynamique

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A2001PHYS. MPI ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÊES, ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AERONAUTIOUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNIÇATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIÛNS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2001 PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière MP (Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé) Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, TPE--EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : Physique 1 --- Filière MP Cet énoncé comporte 7 pages de texte. 0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d' énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il est amené à prendre. 0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé. 0 Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera pertinent, même lors- que l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. . Par convention typographique, les vecteurs sont en gras et leur norme en italique : "V" = DE LA TERRE A LA LUNE Une odyssée problématique de l'espace Certaines affirmations des oeuvres de Jules VERNE traduisent de façon romanesque des données scientifiques, ou des hypothèses d'une grande modernité. Dans cette épreuve, on s'intéresse à quel- ques--unes des péripéties du roman De la Terre à la Lune Où, à l'initiative de son président BARBICANE, se forge et se réalise au sein du Gun Club de Baltimore le projet d'envoyer un objet sur la Lune, à l'aide d'un canon.. L'épreuve comprend plusieurs parties indépendantes les unes des autres, et que l'on pourra traiter dans l'ordre de son choix. Dans ce problème, exprimer signifie donner l'expression littérale et calculer signifie donner la valeur numérique. Dans tout le problème, on néglige la rotation propre de la Terre et celle de la Lune. La Lune est supposée suivre une orbite circulaire autour du centre de la Terre. Principales notations et valeurs numériques (voir d'autres valeurs en fin d'énoncé) Rayon de l'orbite de la Lune autour du centre de la Terre d = 384000 km. Intensité du champ de pesanteur terrestre g = 9, 81 m.s"2 Constante de gravitation G = 6,67 X 10"11 N . m2 . kg"2. Masse de la Terre MT : 5,97 ><1024 kg. Tournez la page S.V.P. masse de la Lune m = O, 0735 >< 1024 kg (on adoptera la valeur : --5-- = 82 = à) r rayon de la Terre RT : 6378 km ' rayon de la Lune r : 1736,6 km Dans la suite du problème, on pourra introduire les périodes de révolution TT(Æ) dans le champ gravitationnel de la Terre, à la distance ! du centre de la Terre et T L(z) période de révolution dans le champ gravitationnel de la Lune, à la distance 2 du centre de la Lune. A. Préliminaires D 1 -- Exprimer g en fonction de G, MT et RT. Exprimer TT (d), période du mouve- . . . . R ment lunaire autour de la Terre en fonction de G, M T et d, puis en fonction de g, RT et ----L. Calculer T T (d). B. En négligeant la gravitation lunaire Dans cette partie, on néglige l'attraction lunaire. Un boulet de masse ,u est envoyé de la dx surface terrestre vers l'espace. On note x sa distance au centre de la Terre et V: --57 sa vitesse'. Le boulet est lancé à la verticale ; on suppose la trajectoire rectiligne et le boulet soumis uniquement à l'attraction terrestre. D 2 -- Exprimer l'énergie mécanique totale du boulet en fonction de g, x et RT. D 3 ---- Exprimer et calculer en fonction de g et de R, la vitesse de libération V,, , vitesse initiale minimale nécessaire pour atteindre l'infini. Cl 4 --- Exprimer et calculer en fonction deg, RT etD la vitesse initiale minimale V(D) nécessaire pour atteindre un point D situé à la distance D du centre de la Terre. Vérifier le résultat pour D : RT et pour D infini. D 5 ---- Exprimer la conservation de l'énergie mécanique du boulet avec la condition ini- tiale v(0)= V(D). Le résultat se lit comme une équation différentielle. Poser dans cette équation x(t) : Dsinz[w(t)] et trouver la solution sous la forme t = T, (D)f(w). Exprimer la valeur initiale % : w(0) en fonction de RT et de D. Dans la suite, on utilisera la fonction 1 2 x(w)=w--,sin(zw) [x(w)=--3--w'pourlwl«x). Cl 6 --- Exprimer, en fonction de % et de TT (D), le temps T(D) mis pour atteindre le point D. D 7 -- La destination du boulet a beau être la surface lunaire, on lance ce dernier avec la vitesse initiale V(d), comme'si l'on voulait lui faire atteindre le centre de la Lune avec une ' Le symbole v est la lettre « v », en italique (comme dans voir) et non pas le v (nu) grec. Page 2 sur 7. vitesse nulle. Établir alors l'expression approchée suivante de la durée T, du trajet : 1 3 »«=W) 1--f-(f-r- -i (fil-- d Calculer T,. Exprimer et calCuler la vitesse du boulet au point d'impact sur la Lune. D 8 ----Il n'est évidemment pas question de pointer le canon vers la Lune! En s'appuyant sur la question 7, exprimer et calculer l'angle 9, que doit faire, au moment du tir, l'axe Terre-Lune avec la ligne de tir, supposée verticale. Jules VERNE donne 6, : 64°. C. Avec la gravitation lunaire Problème statique : position d'équilibre d'un point sur l'axe Terre--Lune D 9 --- Exprimer et calculer en fonction de d, MT et de la masse m de la Lune, la posi-- tion du point d 'équigravitê E situé sur l'axe Terre--Lune (fig. 1). On note "; sa distance au centre de la Terre. Montrer que, si le boulet atteint ce point, il atteint la Lune. BARBICANE considère que Fig. 1 : notations pour le système Terre--Lune ce point est un point d'équilibre du système Terre-Lune ; est--ce vrai, d'un point de vue dynamique ? D 10 -- On veut une expression de la vitesse V (EUR), tenant compte de l'attraction lunaire, et donc plus précise que celle que l'on obtiendrait, à la question 4, pour D = EUR. BARBICANE affirme : Avant une demi--heure, je veux avoir trouvé la formule demandée . .. Effectivement, il propose peu après la formule suivante, donnant la vitesse v à la distance x du centre de la Terre, pour une vitesse initiale vo : Le résultat de BARBICANE est-il correct '? L'ingénieur NICHOLL l'identifie comme « l'intégrale de l'équation des forces vives ». Donner une interprétation plus moderne, indi- quer l'ordre de grandeur de chacun des termes. Exprimer et calculer V(EUR) nécessaire pour atteindre le point d'équigravité. D 11 -- Le modèle de la sphère d'influence (SI) stipule que pour RT 5 x <Ç, seule intervient l'attraction terrestre ; au-delà, seule intervient l'attraction lunaire. La sphère cen- trée sur la Terre et de rayon EUR est la sphère d'influence de la Terre par rapport à la Lune. Une sonde spatiale est dans la sphère d'influence de la Terre par rapport au Soleil si la force gra-- Tournez la page S.V.P. Page 3 sur 7. vitationnelle de la Terre est plus importante que celle du Soleil. Calculer le rayon de la sphère d'influence de la Terre par rapport au Soleil ; la masse du Soleil est de 2,0 x1030 kg et la distance moyenne de la Terre au Soleil est de 1,5><108 km. Selon ce modèle, la Lune serait--elle un astéroïde terrestre ou solaire '? Cl 12 --- On maintient cependant le modèle SI de la question 11... La vitesse initiale du boulet est maintenant V(ê). Sans faire le calcul, et en s'appuyant sur les résultats précédents, indiquer comment l'on pourrait exprimer dans ces conditions la durée 72 du trajet Terre- Lune. Il sera utile de considérer l'invariance des équations de la mécanique par renversement du temps, t --> --t. D. Résistance de l'air Un modèle fruste Û13-- On néglige la pesanteur terrestre. On note Y (Y =20 km) l'épaisseur de l'atmosphère, u(u= 104 kg) la masse du boulet, vo sa vitesse initiale, Vy sa vitesse au sommet de l'atmosphère, et R : --kvv (k = 0,1 kg.m") la force de résistance de l'air. Cette , . . - . V force est opposee a la Vitesse et sa norme est R : kv2. Exprimer et calculer le rapport --'--'--. Vo , ' . VY 2 ' . . , , . Comparer votre resultat a celui de BARBICANE :----- : î.Eta1t-1l coherent de negltger la V0 pesanteur ? Un modèle moins fruste La résistance de l'air dépend de la densité de ce dernier et par suite de l'altitude y au-- dessus de la surface terrestre. Selon un modèle standard d'atmosphère, la masse volumique de l'air suit la loi OE(y) = OE(O) exp(--qy). Nous adopterons l'expression R= Av2 exp(--qy), avec A = 0,6 kg.m'1 (correspondant à la masse volumique au sol de w(0) = 1,255 kg.m'3 ) et q = 1,4 X 10"4 m". Pour le calcul de Vy, on continue de négliger la pesanteur. D 14 ---- Exprimer la vitesse du boulet en fonction de y. Quelle doit être la vitesse à la sortie du canon pour que le boulet atteigne la vitesse de libération V,, (cf. question 3) à la sortie de l'atmosphère terrestre ? D 15 -- Dans ces conditions, exprimer et estimer un ordre de grandeur de l'échauffement du boulet si un pourcentage n = 5 % du travail de la force résistante est transformé en énergie thermique. Exprimée en J .kg"'.K" la capacité thermique massique du boulet dépend de sa température T selon la loi c(T) : 5 x 10"2 T . Cl 16 -- Une méthode de protection contre cet échauffement consiste à recouvrir le boulet d'un matériau réfractaire (« bouclier protecteur »), capable de se vaporiser en absor- bant une grande quantité d'énergie : c'est le phénomène d'ablation. Justifier que, pendant le temps dt, la variation de masse dm du bouclier protecteur est Âdm : --nRvd t, où Il est la chaleur massique d 'ablation du matériau ; typiquement, À : 25 >< 106 J .kg" . Page 4 sur 7. Écrire le système différentiel reliant à l'instant t et à l'altitude y, la masse m et la vitesse v du boulet. Remarque : L" intégration du système différentiel ci--dessus, qui n'est absolument pas demandée, montre que, à la sortie de l'atmosphère, le boulet aura perdu une fraction importante de sa masse ini-- tiale, peut--être de l'ordre du tiers. E. Canon et poudre %////////////////////M Le canon (fig. 2) est cylindrique à base %» -- _____ 1ïî'3ï.':î.îïfîîääïäï:£..@îä .fîî , une longueur X , sa masse volum1que est ÆÆWW p =2 >< 103 kg.rÏ1". L'explosion produit un gaz de masse molaire Ma =20 g, à la température T. On note R la constante des gaz parfaits, R: 8, 311 K". X Fig. 2 : canon, poudre et « boulet » (cf question 21 ) D 17 --- En admettant que la masse du gaz est égale à celle de la poudre, exprimer le nombre N de moles gazeuses en fonction de p, Ma, S 'eth. D 18-- On tente l'hypothèse que le gaz est parfait et que son évolution est isotherme. Écrire alors l'équation du mouvement du boulet (de masse #) et exprimer la relation entre X et X0 pour que la vitesse de sortie du boulet ait une valeur Wdonnée. D 19 -- Quelle relation doit relier X0 et la longueur totale du canon, X, pour que cette ÊV... nr.--104 kg et T = 2000 K; dernière soit minimale '? Application numérique : W = 2 calculer X et X0. D 20 -- Reprendre les deux questions précédentes, sous l'hypothèse d'une évolution polytr0pique d'un gaz parfait, _où pression P et volume V sont liés par PV" =C'°. Pour l'application numérique, on prendra a = 2,0. Avec un modèle légèrement différent, les résultats de BARBICANE sont X = 297 m et X() = 66 m. [:| 21 -- Le boulet dans le canon est en réalité une capsule cylindro--conique à l'intérieur de laquelle trois explorateurs de l'espace et deux chiens ont pris place. Le parcours d'accélération est X,, =X --Xo =230 111. On définit l'accélération moyenne comme l'accélération constante a qui donne à la sortie du canon la vitesse vo = 17000 m.s"l . Calcu-- ler a. À titre documentaire, la plus grande accélération à laquelle un être humain standard puisse résister est amax :... g ; peut--on espérer des dispositifs ou des équipements permet-- tant de survivre à l'effarante accélération a ? F. Retour sur la sphère d'influence Selon les considérations de la question Il, la Lune devrait être un satellite du Soleil. On cherche donc une meilleure partition de l'espace que" celle que l'on peut déduire en s'appuyant sur le point d'équigravité. Tournez la page S.V.P. Page 5 sur 7. Formulafions générales On considère (fig. 3) 11 objets ponctuels en interaction gravitationnelle, de masses res-- pectives m; et de positions R,-- par rapport à un point d'accélération nulle dans le. référentiel d'R, F" mfm-. galiléen. L'équation du mouvement de l'objet iest m, dt2 '=G 2 r,}, avec " j=l,j$i rê y r... = R . ----R, , le vecteur r,-j pointe vers l'objet << j ». On nomme « 1 » l'objet de référence (parexemple la Terre) et l'on étudie le mouvement de l'objet « i » (par exemple le boulet) autour de l'objet « 1 >>. La trajec-- toire de l'objet étudié est perturbée par la présence des objets « j » (par exemple la Lune) ; il s'agit d'évaluer cette perturba-- \ 0 tion. Fig. 3 _- notatibm D 22 --- Le système considéré est constitué de la Terre (M,,RT), de la Lune (m,RL) et du boulet B(,u,RB). En considérant les trois équations vectorielles du mouvement, établir et commenter l'équation, donnée ci-dessous, du mouvement du boulet par rapport à la Terre (les notations sont trans-- parentes). Cette équation montre la perturbation de la Lune, notée PL, sur une trajectoire géocentrique. r r LB - YZ 3 +. 3 - (fm) (fn) __ ,-------------1 \.___.'f--------------J AT PL CI 23 -- Établir l'équation du mouvement du boulet par rapport à la Lune sous la forme , 75 ___-__" l2124-Les rapports ------'ÂI ___-_!II ___-"_| =-fi"---l -" ..."--_| Ü----Ël 0.92 1.5 1.25 calibrent les perturbations relatives d'un astre sur l'autre. Revenant à la situa-- tion particulière où Terre, boulet et Lune sont alignés, exprimer pT et p,_ en fonc-- . x t1on de u=-â et de 8= __r_n__ ; la fig. 4 montre \IMT ). Que valent ces rapports au 0.75 0.5 0.25- Fig. 4 : pL (en trait plein) et pT (en tirete') en fonction de u = x/d l'allure des résultats. Vérifier la relation pT (u, 8 2)= pL(lu --- u,--:--2- point d'équigravité ? Page 6 sur 7. Critère de Lagrange pour le problème à trois corps Cl 25 -- Selon LAGRANGE, la séparatrice (surface de part et d'autre de laquelle, pour le mouvement du mobile, on néglige l'influence de l'un des deux astres) est déterminée par l'équation pT = pL. TÏSSERAND a montré que la séparatrice est sphéroïdale et que, dans le cas du système Terre-Lune, le rayon de la sphère d'influence de la Lune est - 2 5 r, (L) = (--5--] d. Considérant la figure 3, le résultat de TISSERAND est--il vérifié ? T Quelques données supplémentaires (à confronter, éventuellement, à vos résultats) _ V.,, (km.s"') Période orbitale (jour) Période rotation Gout) Fin du problème Fin de l'épreuve Page 7 sur 7.

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 Mines Physique 1 MP 2001 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jean-Julien Fleck (ENS Ulm), Olivier Choffrut (Mines de Paris) et Stéphane Ravier (ENS Lyon) ; il a été relu par Yannick Alméras (professeur en CPGE). Ce sujet traite de la modélisation théorique et des difficultés pratiques posées par l'ouvrage « De la Terre à la Lune » de Jules Verne. Il se subdivise en six parties largement indépendantes : · la partie A sert de préliminaire ; · la partie B modélise le trajet d'un boulet tiré vers la Lune en négligeant l'influence de celle-ci ; · la partie C introduit l'effet de la Lune et le modèle de la sphère d'influence ; · la partie D modélise l'influence de l'atmosphère terrestre sur le boulet ; · la partie E étudie le canon permettant de tirer le boulet ; · la partie F tente une légère approche du problème à trois corps. Ce sujet, bien que calculatoire par endroits, reste très intéressant et montre notamment les cohérences et incohérences de morceaux choisis de l'oeuvre de Jules Verne. Il est amusant de constater qu'un autre ouvrage de Jules Verne, « Voyage au centre de la Terre », a inspiré un sujet du même type tombé au même concours en 1995 (option P , deuxième épreuve). La relation fondamentale de la dynamique, la conservation de l'énergie et quelques aspects de la thermodynamique sont utilisés pour répondre aux questions posées. Indications 3 Utiliser la conservation de l'énergie mécanique, sachant que l'on néglige la rotation de la Terre et l'attraction des autres astres. 5 Faire le bilan d'énergie entre les positions x et x = D pour qu'intervienne V(D). Il faut séparer les variables et intégrer pour faire apparaître la fonction f (). 7 Il faut effectuer soigneusement des approximations successives compte tenu de RT /d 1 et r/d 1. Le comportement de la fonction Arcsin au voisinage de 1- pour des angles inférieurs à /2 est utile : Arcsin (1 - ) - 2 avec 0 < 1 2 9 Que représente physiquement le centre d'équigravité pour un objet de masse quelconque ? 10 Écrire la conservation de l'énergie mécanique entre RT et x < d quelconque. 11 Raisonner par analogie avec la question 10. 13 Utiliser le théorème de l'énergie cinétique. 14 La méthode de calcul est la même que pour la question 13. 15 On peut négliger a priori la température initiale du boulet devant sa température finale. 16 Faire attention aux signes. 19 Il faut minimiser la fonction X(X0 ). 20 Même démarche que pour les deux questions précédentes. 22 Écrire la relation fondamentale de la dynamique pour la Terre et le boulet. 23 Raisonner par analogie formelle avec la question 22. A. Préliminaires 1 On se place dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. On lui attache un repère de centre OT , le centre de la Terre. Soit un objet de masse µ, repéré depuis OT --- . Il n'est soumis qu'à son poids dû à la force attractive de la par - r = O M = r- u T r Terre. Si l'objet est placé à la surface de la Terre, on a G MT - = µ- -µ u g r RT 2 Or - g = -g - u r d'où g= G MT RT 2 La Lune suit une orbite circulaire de rayon d autour de la Terre. Son accélération radiale vaut, par conséquent, 2 v - ar = - - ur = - 2 d - u r d La relation fondamentale de la dynamique appliquée à la Lune de masse m donne alors G MT - G MT m- ar = -m u soit -m 2 d = -m r d2 d2 Or = d'où 2 TT (d) TT (d) = 2 s d3 G MT G MT = g RT 2 Comme on a aussi TT (d) = 2 s RT g d RT 3 Application numérique : TT (d) = 2, 37.106 s 27, 4 jours Ce résultat est en accord avec la valeur de 27, 32 jours donnée par l'énoncé, l'hypothèse d'une orbite lunaire circulaire étant justifiée par la faible excentricité de sa trajectoire réelle (e = 0, 055). Par ailleurs, on peut noter que l'on retrouve la loi de Kepler, à savoir T2 /a3 = Cte où a est le demi-grand axe de l'orbite considérée (ici, d = a). B. En négligeant la gravitation lunaire 2 L'énergie mécanique E du boulet de masse µ se décompose en énergie cinétique et énergie potentielle d'interaction terrestre, et s'écrit donc dans le référentiel géocentrique E = Ec + Ep 2 1 dx G MT -µ E= µ 2 dt x G MT = g RT 2 Comme on a E= 1 µ 2 dx dt 2 -µ g RT 2 x 3 En l'absence de forces extérieures et intérieures non conservatives, l'énergie mécanique du boulet se conserve. En particulier, entre les situations x = RT et x tendant vers l'infini : E(RT ) = E() avec E() = Ec () + Ep () = Ec () puisque l'énergie potentielle est nulle à l'infini par convention. Supposons que l'on communique la vitesse v(RT ) au boulet au niveau de la surface terrestre, en x = RT ; alors la conservation de l'énergie mécanique donne 1 µ v 2 (RT ) - µ g RT = Ec () 2 Comme l'énergie cinétique est nécessairement positive ou nulle, on en déduit v > V = 2 g RT = 11, 19 km.s-1 La vitesse de libération correspond à une vitesse du boulet nulle à l'infini et sa valeur est en accord avec celle donnée par l'énoncé. Il faut faire bien attention aux notations de l'énoncé qui peuvent paraître déroutantes : V ne désigne pas une vitesse limite mais bien une vitesse à communiquer au boulet en x = RT pour qu'il s'échappe. Dans la question suivante, V(D) ne désigne pas non plus la vitesse en x = D mais bel et bien la vitesse minimale à donner en x = RT pour atteindre D. Les V sont donc des valeurs particulières de v(RT ). 4 Dans le référentiel géocentrique, la conservation de l'énergie mécanique du boulet entre x = RT et x = D s'écrit : E(RT ) = E(D) d'où 1 1 g RT 2 µ v 2 (RT ) - µ g RT = µ v 2 (D) - µ 2 2 D 1 1 1 1 1 1 µ v 2 (RT ) = µ v 2 (D) + µ g RT 2 - > µ g RT 2 - 2 2 RT D RT D