Mines Physique 1 MP 2000

Thème de l'épreuve Modulation et démodulation de signaux radiophoniques
Principaux outils utilisés électrocinétique, amplificateur opérationnel, diagrammes de Bode

Corrigé

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A 00 PHYS. I ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÊES, ÉCOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUT'IQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNÏCATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLECOMMUMCATIONS DE BRETAGNE, ECOLE POLYT'ECHNÏQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2000 PREMIÈRE _ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière MP (Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'emploi de la calculette est autorisé) Sujet mis à disposition du concours ENSAE (Statistique), INT, TPE--EIPV Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE ] -MP L'én0ncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, comporte 4 pages. - Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. 0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s'il n'a pas été démontré. . Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. DÉMODULATION DE SIGNAUX MODULÉS EN AMPLITUDE Il est fréquent qu'un signal se présente sous une forme inadaptée à sa transmission ou à son traitement. La modulation est le procédé permettant de transposer les caractéristiques de ce signal dans des domaines où la propagation ou le traitement sont possibles. La démodula-- tion est l'opération inverse. Les méthodes de modulation se sont élaborées à partir d'une onde sinusoïdale pure, appelée porteuse. La modulation consiste à faire en sorte que l'amplitude, ou la phase (ou les deux) varient proportionnellement au signal de départ, appelé signal modulanl. Le résultat s'appelle signal modulé. La modulation d'amplitude appartient à la classe des modulations dites linéaires et il en existe plusieurs variantes. Celle qui fait l'objet de ce problème est la plus populaire, c'est la double bande avec porteuse. Détection d'enveloppe À partir d'un signal e(t) = E cos(Q t) et d'une porteuse haute fréquence p(t) = S sin(coJ) ( wo >> 0), on génère le signal modulé s(t) : S [1 + ke(t )]sin(oeot), porteur de l'information initiale, et qui sera transmis. 1/4 Tournez la page S.V.P. DEMOD ULA TION DE SIGNA UX MOD ULES EN AMPLI T UDE D 1 -- Pourquoi est-il nécessaire d'utiliser une modulation pour la transmission de signaux radiophoniques ? Quels procédés de modulation sont-ils couramment utilisés ? Quels sont les avantages ou les inconvénients des uns par rapport aux autres ? D 2 -- On définit le taux de modulation par m = kE . Représenter le signal modulé en amplitude s(t) dans les deux cas m < 1 et m > 1. Préciser les valeurs remarquables prises par s(t). :| 3 -- En déduire qu'une détection d 'enveloppe peut restituer l'information e(t) à une condition que l'on précisera. :! 4 -- Représenter la décomposition spectrale du signal s(t). :| 5 -- Reprendre la question précédente lorsque l'infonnafion à transmettre e(t) possède un spectre fréquentiel continu, analogue à celui de la figure 1. Amplitude s(t) C V... R ! | T ' L Pulsation ! ! | > CÙmin CÙmax Fig. 1 : spectre continu Fig. 2 : circuit de filtrage :] 6 -- Justifier le nom de détecteur de crête donné au circuit de la figure 2. 3 7 -- En supposant de nouveau e(t) = E cos(Qt), écrire la double inégalité à laquelle doit satisfaire le produit RC pour que la sortie v(t) restitue l'information e(t). On se placera dans le cas où une détection d'enveloppe permet la restitution de e(t). Représenter l'allure des signaux s( t) et v(t). Cl 8 -- Que devient la double inégalité précédente lorsque le spectre de e( t) contient des pulsations comprises entre 0 et a)max ? D 9 -- Quelles limites voyez--vous à ce genre de détection ? Boucle à verrouillage de phase . 1 4 - _-- â Le Signal s(t) : ô[l + ke(t)] sm(a%t), . Mulüplieur , avec e(t) = E cos(Q t) est modulé en ampli- s(t) ' ...) tude. Le circuit multiplieur délivre la tension eo(t) % u(t) : Ks(t)eo(t), où e0(t) : E0 sin(coot) V,;Z % désigne un signal d'amplitude constante E0 Fjg_ 3 _- multiplieur de même fréquencef0 = cao/Zn: 1 MHz que celle de la porteuse. Vis-à--vis de la sortie, le multiplieur (fig. 3) se comporte comme un générateur de tension d'impédance interne nulle. Cl 10 -- Exprimer u(t) et préciser les différentes composantes de son spectre 2/4 Physique 1 ; année 2 000 ; filière MP :| 11 -- Comment peut--on conserver les informations sur l'amplitude de la porteuse et sur la pulsation Q? :| 12 -- Quelle est l'utilité de conserver une image de l'amplitude de la porteuse ? :] 13 -- Le circuit multiplieur alimente le filtre de la figure 4, où l'amplificateur opéra- tionnel est supposé parfait. Justifier, dans un montage réel, le rôle de la résistance 3R/2. Cl 14 -- Déterminer la fonction de transfert du filtre en régime sinusoïdal permanent. Préciser la nature du filtrage effectué ainsi que l'ordre du filtre. Ecrivant la fonction de trans- . V H , . . fert sous la forme canonique fi_ : Ü = _--°----2--, on prec1sera les expressrons des . 60 a) _ 1 + 2105 -- -- ---7 CD a) 0 C coefficients H 0 et a ainsi que celle de la pulsation caractéristique ca,. 1 D 15 --On impose 06 =T et 2 une atténuation de 80 dB à 2%. Justifier le choix de cette fréquence et calculer n, &)c etR lorsque C = l nF et fo = cao/Zn: 1 MHz. ? CI 16 --Commenter la valeur v(t) numérique obtenue pour (oc. ] CI 17 --Représenter le diagramme de Bode associé à la fonction de trans- fert _P_I (module et phase). Fig- 4 --' Circuit defiltrage D 18 --Représenter les signaux e(t) et v(t) pour des taux de modulation m respectivement inférieurs et supérieurs à 1. Comparer les signaux obtenus à la sortie du filtre avec ceux que l'on obtiendrait avec une simple détection d'enveloppe. Lors de la réception du signal modulé en amplitude, il est nécessaire de produire le signal e0(t). Cette opération, qui s'appelle reconstitution de porteuse, repose sur l'emploi d'une boucle à verrouillage de phase (fig. 5, page 4) comprenant les éléments suivants : 0 un multiplieur identique à celui de la figure 3, de sortie vd (t), 0 un filtre passe-bas noté F dont la transmittance vaut 1 pour tous les signaux de fré- quence très inférieure à ]Ç,, et de sortie vs(l), . un oscillateur contrôlé en tension (OCT), délivrant un signal sinusoïdal vs(t) d'amplitude constante E,, de pulsation a), proportionnelle à la tension de sortie du filtre F : CÛS : CÙO + IQV{. La boucle est verrouillée lorsque la fréquence du signal incident est égale à celle du signal de sortie de l'oseillateur OCT. 3/4 Tournez la page S.V.P. DÉMODULATION DE SI GNAUX MOD ULÉS EN AWLITUDE D 19 -- Pour des tensions ve t) = E sin (mot + (pc) et vs(t) = Es cos (wot+ (ps), et en suppo- sant que les dérivées temporelles de que et (ps sont très inférieures à a)... montrer que la tension de sortie du filtre F s'écrit v/t) = Kf sin (% -- (ps). Préciser l'expression de K}. Cl 20 -- Lorsque la boucle est verrouillée, quelle particularité présente la phase de la sortie par rapport à celle de l'entrée ? Ve (! ) Multiplieur _ Vd(') _ Filtre F _ Vf(î) -"Î Vs(t ) * fi: E J % Fig. 5 : circuit de reconstitution de porteuse Cl 21 -- Quelle relation simple lie v/t) a (pc et (ps pour un régime proche du ver- rouillage ? Quel intérêt voyez-vous au verrouillage de phase ? D 22 --Le signal vc(t) est modulé en amplitude : ve(t) = E(l + m coth) sin( (got). Expri- mer la tension de commande de l'OCT en supposant le régime proche du verrouillage. En déduire l'équation différentielle vérifiée par (ps. Cl 23 --En déduire que le signal de sortie de l'OCT se fixe rapidement à la valeur vs(t) = Es cos coût, qu'il y ait ou non une modulation d'amplitude sur la porteuse. D 24 -- L'oscillateur contrôlé en tension alimente un filtre introduisant un déphasage (p et une atténuation A à la fréquence jf). Quelle doit être la valeur de (p pour obtenir le signal eo(t) introduit au début de la deuxième partie du problème ? D 25 -- Quelle est l'influence de l'atténuation introduite par ce dernier filtre ? Cl 26 -- Proposer un schéma synoptique complet du " détecteur synchrone " et conclure sur son intérêt. FIN DE CE PROBLÈME FIN DE L'ÉPREUVE 4/4

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 Mines Physique 1 MP 2000 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jean-David Picon (École Polytechnique) ; il a été relu par Nancy Loosemore (ENS Lyon) et Matthieu Lefrançois (ENS Lyon). L'épreuve, consacrée à l'électronique, se compose de deux parties indépendantes. Toutes deux portent sur la modulation en amplitude des signaux radiophoniques, et plus particulièrement sur la reconstitution du signal original à partir du signal modulé. Dans la première partie, on étudie un montage simplifié permettant, dans des conditions que l'on détermine, la reconstitution de l'enveloppe du signal modulé ; ce montage s'apparente en fait davantage à un montage de principe qu'à un montage réel. Dans la seconde partie, on reprend le même objectif, mais en s'appuyant sur un montage plus évolué, comprenant des composants comme un amplificateur opérationnel, et utilisant la contre-réaction. Indications 1 Quelle est la relation entre la taille d'une antenne et la longueur d'onde du signal à capter ? 3 Quelle différence existe-t-il entre les deux situations évoquées en présence de bruit et d'autres pertubations ? 4 Écrire le produit des sinus sous la forme d'une somme. 6 Considérer la valeur de v dans les deux cas : diode passante et diode bloquée. Que se passe-t-il si la diode se bloque pour des valeurs de s proches de la crête ? 7 La détection sera d'autant meilleure que la diode se bloque pour des valeurs de s proches de la crête, mais il faut que l'amortissement soit suffisant pour forcer v à suivre s. 10 Écrire le produit des sinusoïdes sous la forme d'une somme. 13 Que valent i+ , i- , V+ et V- pour un A.O. réel ? 14 Appliquer le théorème de Millman. 15 Quel est le but du filtre ? 16 Montrer que la valeur de c est cohérente. 19 Décomposer vf en une somme de signaux de fréquence donnée et raisonner sur 0 les ordres de grandeur de ces fréquences par rapport à f0 = . 2 20 Utiliser la définition du verrouillage. 21 Montrer que e et s sont proches. 22 Écrire de deux manières différentes la valeur de s . 23 Résoudre l'équation précédente. 25 Dans quel régime fonctionne l'AO ? Détection d'enveloppe 1 Il y a deux raisons principales à la modulation des signaux radiophoniques. Les deux sont liées au domaine de fréquence qu'ils recouvrent, c'est-à-dire les basses fréquences. Si l'on devait émettre directement les signaux radiophoniques, comme l'air est peu transparent aux basses fréquences, ceux-ci seraient très atténués. De plus, la taille d'une antenne doit être de l'ordre de la demi-longueur d'onde du signal à détecter, ce qui correspondrait dans notre cas à des antennes gigantesques : par exemple, à un signal de fréquence 10 Hz, correspond une antenne de 15 km. L'idée est donc de translater les signaux basse-fréquence qui nous intéressent dans le domaine des hautes fréquences. Il existe essentiellement deux méthodes : la modulation de fréquence ou FM et la modulation d'amplitude, AM sur nos radios. Cette dernière est l'objet du problème. La première, quant à elle, se divise en réalité en deux catégories : la modulation de phase et la modulation de fréquence proprement dite. Si l'on considère un signal e(t) à transmettre et une porteuse de la forme s(t) = S sin 0 t, alors on obtient, après modulation, s(t) = S sin (0 t + ) avec e(t) pour la modulation de phase, et de (t) pour la modulation de fréquence. dt L'avantage principal de la modulation de fréquence est que l'on garde un signal d'intensité constante, mais sa portée est moins grande (environ 50 km pour les ondes radios). 2 Par définition, on a s(t) = S(1 + m cos t) sin 0 t On en déduit les représentations de s, respectivement, dans les deux cas m 1 et m 1. s(t) 0 0 s(t) On peut alors remarquer que le signal reçu après transmission, c'est-à-dire s(t), prend (2p + 1) pour tout instant tp , défini par tp = , une valeur intéressante c'est-à-dire 20 e(t) à une constante près. En effet, pour tout p entier, on a s(tp ) = (-1)p (1 + ke(tp )) 3 Par définition, une détection idéale de l'enveloppe de s nous fournit le signal e à des facteurs constants près. Toutefois, dans la pratique, du bruit ou des pertes d'information vont modifier le signal lors de la détection, ce qui rend les deux situations précédentes très différentes. Ainsi, dans le cas m 1, la contribution de e au signal s est très faible (car ke 1) et par conséquent, on ne saura pas, lors de la réception, la distinguer du bruit. En revanche, dans le cas m 1, e est prépondérant. On se placera donc de préférence dans le cas m 1. 4 On veut obtenir les contributions relatives de chaque fréquence au signal s. L'idée est donc d'exprimer le signal sous la forme de la somme de ses harmoniques pour voir lesquelles sont non nulles. Dans notre cas, en utilisant les règles usuelles de la trigonométrie, on trouve s(t) = S m 2 sin (0 - )t + sin 0 t + m sin (0 + )t 2 Par conséquent, on obtient comme spectre pour s =(0 - ; 0 ; 0 + ) La méthode rigoureuse pour obtenir le spectre de s consiste à déterminer sa transformée de Fourier, définie par Z + 1 se() = e-jt s(t) dt 2 - Ainsi se() représente le poids de la fréquence dans s. Si l'on remarque que pour la transformée de Fourier d'une exponentielle complexe, on a Z + 1 e-jt ejt dt = ( - ) 2 - où est la fonction de Dirac ((x) = 0 si x 6= 0 et (0) = +). On peut alors déterminer facilement se si l'on décompose d'abord s en une somme d'exponentielles complexes. On obtient finalement pour se, en ne conservant que les contributions des fréquences positives, à un facteur de normalisation K près m m se() = K ( - (0 - )) + ( - 0 ) + ( - (0 + )) 2 2 D'où la représentation graphique suivante, où sont représentés en unités arbitraires les poids relatifs des différentes fréquences de s, dans le cas m < 2 par exemple.