e3a Physique et Chimie MP 2025

SESSION 2025

MP9PC

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP
____________________

PHYSIQUE-CHIMIE
Durée : 4 heures
____________________
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
·

·
·

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction 
de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, 
mais exclusivement pour les schémas
et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

______________________________________________________________________________

Les calculatrices sont autorisées.

· Tout résultat donné dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, 
même s'il n'a
pas été démontré par le ou la candidat(e).
· Les explications des phénomènes étudiés interviennent dans l'évaluation au 
même
titre que les développements analytiques et les applications numériques.
· Les résultats numériques exprimés sans unité ou avec une unité fausse ne sont 
pas
comptabilisés.

1/13

Suivi médical d'un spationaute
Au cours de leur formation, ainsi que lors des vols qu'ils effectuent, les 
spationautes subissent
différents examens médicaux. Nous allons, dans ce sujet, étudier différents 
phénomènes
physico-chimiques en relation avec certains de ces examens médicaux.
Les données utiles à la résolution du sujet (valeurs numériques, formulaire et 
formulaire
python) sont regroupées dans l'annexe à la fin de l'énoncé.

Partie 1 - Se peser sur Terre et dans l'espace
Dans cette partie, nous allons étudier la pesanteur sur Terre et dans la 
station spatiale
internationale, puis expliquer comment un spationaute peut se peser en 
impesanteur (ou
apesanteur).
Dans toute cette partie, nous allons considérer que le référentiel géocentrique 
est galiléen et
nous appellerons O le centre de la Terre.
A) La pesanteur sur Terre
Q1.
Définir le référentiel géocentrique et le référentiel terrestre. Décrire le 
mouvement du
référentiel terrestre par rapport au référentiel géocentrique.
Q2.
On considère maintenant le référentiel
géocentrique galiléen. Le poids d'un objet M
de masse m situé à la surface de la Terre est
défini dans le référentiel terrestre comme la
somme de la force gravitationnelle et de la
force d'inertie d'entraînement.
Donner l'expression de ces deux forces en
introduisant notamment  la vitesse de
rotation propre de la Terre, RT le rayon de la
Terre, G la constante de gravitation, MT la
masse de la Terre, m celle de l'objet étudié et
 la latitude du point considéré (voir figure 1).
Q3.
À la latitude de Paris ( = + 49°),
calculer la valeur numérique des deux forces
pour une personne pesant m = 75 kg.
Commenter.

Pôle Nord
H
O
Axe des
Pôles

M

Plan de
l'Équateur

Pôle Sud
Figure 1 - Vue en coupe de la Terre

Q4.
Proposer une méthode simple utilisant la mesure de l'élongation d'un ressort de 
raideur
k connue pour mesurer la masse d'un objet sur Terre. Faire un schéma explicatif 
et établir la
formule permettant de déterminer la masse de l'objet à partir de l'élongation 
du ressort.
B) La pesanteur dans la Station Spatiale Internationale (ISS)
Sur le site internet de la Cité de l'Espace (www.cite-espace.com), on lit « 
Totalisant
actuellement un peu plus de 400 tonnes orbitant à environ 400 km d'altitude à 
la vitesse de
28 000 km/h, l'ISS est la plus grande structure jamais assemblée dans l'espace 
et elle héberge
des laboratoires pour y mener des expériences scientifiques impossibles à 
réaliser sur Terre. »
Q5.
Déterminer l'expression de la vitesse d'un satellite comme l'ISS, de centre 
d'inertie S
et de masse MS tournant autour de la Terre à l'altitude h. On assimilera le 
satellite à un point
matériel en orbite circulaire.
2/13

Vérifier la vitesse annoncée pour l'ISS dans cet article de la Cité de l'Espace.
On utilisera par la suite la valeur proposée de 28.10 3 km/h.
Quelle est la période de révolution de l'ISS autour de la Terre ?
On va maintenant étudier un spationaute, assimilé à un point matériel M de 
masse m, dans le
référentiel lié à la station spatiale internationale (ISS).
Le mouvement du référentiel lié à l'ISS est en rotation uniforme dans le 
référentiel
géocentrique supposé galiléen. En effet, la grande coupole de verre, d'où les 
spationautes
prennent des photos de la Terre, est toujours dirigée vers la Terre.
Q6.
Dans le référentiel de l'ISS, le spationaute de masse m = 75 kg, toujours 
assimilé à son
centre de gravité M, « flotte » sans bouger ni toucher les parois. Il est donc 
soumis uniquement
à la force gravitationnelle et à la force d'inertie d'entraînement.
Donner l'expression de ces forces en faisant intervenir notamment les points O 
(centre de la
Terre), S et M, et en fonction de G, MT, m, RT et de r = OM.
Faire l'application numérique de la somme de ces deux forces dans le cas où le 
spationaute
est situé au centre de gravité S de la station spatiale et justifier que le 
spationaute est en
impesanteur (ou apesanteur) dans la station spatiale.
C) Se peser dans la station spatiale
Comme les spationautes ont une activité physique beaucoup plus faible que sur 
Terre à cause
de l'impesanteur, ils ont tendance à perdre de la masse musculaire, et même de 
la masse
osseuse. Il est donc important de les peser régulièrement pour faire un suivi 
de cette perte de
masse.
Q7.
Expliquer pourquoi la méthode proposée à la question Q4 ne peut pas convenir 
pour
peser un spationaute dans l'ISS.
z
Q8.
La solution qui a été retenue pour
M (m)
peser les spationautes en impesanteur est
d'utiliser les oscillations d'un ressort.
Le spationaute M de masse m2 s'accroche
à un dispositif appelé BMMD (voir figure
2.a) de masse mobile m1 = 12,43 kg. Ce
(k, l0)
dispositif inclut aussi un ressort de raideur
k, et on peut le modéliser comme sur la
figure 2b, où m désigne la masse du
dispositif et du spationaute. On négligera
les frottements.
Figure 2.a
Figure 2.b
Déterminer la relation entre la période
Spationaute sur le BMMD
Modélisation
propre et la masse m.
(Body Mass Measurement
Device)
Q9.
Si la période d'oscillation pour le
dispositif à vide vaut T1 = 0,82 s et celle avec le spationaute qui s'y 
accroche vaut T = 2,15 s,
déterminer la formule littérale, puis la valeur numérique de la masse m2 du 
spationaute qui se
pèse.
Q10. L'utilisation du BMMD exige du spationaute qu'il se maintienne fortement à 
la barre,
que ses pieds et ses genoux soient coincés et son menton collé à la planche.
Expliquer pourquoi.

3/13

Partie 2 - Test d'effort et dosage de l'acide lactique
A) CEVIS, le vélo de l'ISS
Pour éviter que les muscles ne s'atrophient trop, les spationautes sont 
contraints de faire 2h
de sport par jour, par exemple du vélo d'appartement nommé CEVIS (Cycle 
Ergometer with
Vibration Isolation and Stabilization System).
Un des dispositifs pouvant permettre d'apporter un couple de freinage au vélo 
est l'induction.
Nous allons étudier un dispositif simplifié de freinage par induction.
Dans ce dispositif simplifié, les pédales entraînent une roue. Sur la face 
extérieure de cette
roue sont placées à intervalles réguliers des spires carrées qui passent 
chacune leur tour
devant un solénoïde alimenté par un courant continu.
Nous allons faire une modélisation unidimensionnelle de ce dispositif.
Nous allons d'abord étudier le champ magnétique créé par un solénoïde de 
section carrée.
a
(Az)
a I

L
Figure 3 - Schéma du solénoïde

a

A

M

(Az)

L

Figure 4 ­ Vue en coupe du solénoïde

On considère un solénoïde, représenté sur les figures 3 et 4, dont la longueur 
vaut L et de
section carrée de côté a avec L >> a. Ce solénoïde est constitué en tout de N 
spires

parcourues par le courant d'intensité I et on pose  = le nombre de spires par 
unité de

longueur. L'axe du solénoïde est confondu avec l'axe (Az).
On admet que le champ magnétique est nul à l'extérieur du solénoïde.
Q11. À partir du modèle du solénoïde infini, montrer que le champ magnétique 
peut s'écrire
 () = (, ) 

 , puis déterminer l'expression du champ magnétique à l'intérieur du

 , B0 étant une constante à exprimer en fonction des
solénoïde, sous la forme 
 () = 0 
caractéristiques du circuit notamment.

Si on travaille en face d'un solénoïde
fini réel (longueur L, section carrée
de côté a), on considère que le
champ magnétique est nul sauf dans
la zone grisée de surface a2
représentée sur la figure 5, où le
0 = 0 
champ magnétique vaut 
 .

a

a

0

(Az)

Figure 5 - Champ magnétique en face du solénoïde

Q12. On étudie maintenant une spire carrée de côté a, qui passe à la vitesse 0 
= 0 

imposée en face du solénoïde réel. Elle entre puis sort de la zone grisée des 
figures 5 et 6.
On étudie d'abord la phase où la spire entre dans le champ magnétique : la 
partie avant de la
spire (EF) est donc dans la zone grisée et la partie arrière (CD) est dans une 
zone de champ
nul (voir figure 6).
4/13

On considère qu'à t = 0, la partie avant (EF) de la spire est en x = 0, 
c'est-à-dire que la spire
commence juste à entrer dans la zone grisée.
Expliquer qualitativement pourquoi il apparaît une intensité i dans la spire, 
dont le sens sera
choisi comme sur la figure 6.
x
La spire ayant une résistance interne R, déterminer cette
intensité i pendant toute la phase où la spire entre dans la
0

zone grisée, en fonction de v0 notamment. On négligera
l'auto-inductance de la spire et son champ propre.

0

Q13. En déduire qu'il s'exerce une force constante sur
la spire pendant cette phase d'entrée dans la zone grisée,
dont on donnera l'expression en fonction de B0, a, R et de
v0.
Justifier qualitativement le sens de cette force.

x=0

Q14. De la même façon, montrer que la force exercée
sur la spire pendant la phase de sortie de la zone grisée
(c'est-à-dire quand la partie arrière de la spire (CD) est

Figure 6 - Spire entrant dans la
zone de champ non nul

F
i

E

a
D

C

2 2

dans la zone grisée et la partie avant (EF) dans une zone de champ nul) vaut  = 
- 0

Q15. On étudie maintenant une succession de spires toutes
identiques, séparées de la distance a, qui passent devant le
 (voir figure 7).
solénoïde à la vitesse 0 = 0 
Quel est l'avantage de choisir une distance a entre les spires ?

Spire j

Q16. Déterminer la puissance dissipée par le système de
freinage.
Comment varie cette puissance en fonction de la vitesse v0 ?

Q17. Pourquoi est-il intéressant d'un point de vue sportif que
la puissance augmente quand la vitesse augmente ?

Spire j + 1
i

0

0

0 
 .
a

0

a

a

Figure 7 - Succession des
spires
B) Métabolisme aérobie et anaérobie
Lorsqu'on fournit un effort peu intense, le glucose (C6H12O6) est oxydé en 
dioxyde de carbone
(CO2) par le dioxygène (O2) dissous dans le sang, c'est le métabolisme aérobie 
du glucose.
Q18. Déterminer les coefficients stoechiométriques ,  et  de l'équation 
d'oxydation du
glucose ci-dessous :
C6H12O6(aq) +  O2(g) =  CO2(g) +  H2O(l)
Q19. Déterminer l'expression, puis calculer l'enthalpie standard de cette 
réaction, supposée
indépendante de la température.
La réaction est-elle endothermique ou exothermique ? Commenter.
Q20. Quel est le volume d'air à 21 % de dioxygène (considéré comme un gaz 
parfait à la
pression P = 1,0 bar et la température T = 293 K) nécessaire pour produire les 
2,5.103 kJ
consommés pendant une heure de sport ? Quelle est dans ce cas la masse de 
glucose
consommée ?
5/13

Si l'effort est plus intense, le dioxygène n'est plus disponible en quantité 
suffisante par le sang,
et le muscle utilise un métabolisme anaérobie avec formation d'acide lactique 
(C3H6O3),
éventuellement en parallèle du métabolisme aérobie.
Le bilan de la transformation chimique associée au métabolisme anaérobie peut 
être exprimé
par l'équation de réaction suivante :
C6H12O6(aq) = 2 C3H6O3(aq)
Q21. Comparer l'énergie produite par l'utilisation d'une mole de glucose 
suivant le
métabolisme aérobie d'une part et le métabolisme anaérobie d'autre part.
Commenter.
C) Acide lactique dans le sang
Le sang est considéré dans cette sous-partie comme une solution aqueuse dont le 
pH est
imposé par le couple acidobasique H2CO3/HCO3 , de pKa1 = 6,4.
Dans les conditions habituelles, le pH du sang vaut 7,4 et la concentration 
totale, définie par
Ct = [H2CO3] + [HCO3 ], vaut Ct,0 = 0,0275 mol.L-1.
Le pH du sang doit rester en toutes circonstances entre 7,3 et 7,5, sous peine 
de détruire
certaines cellules du sang et, à terme, de causer la mort.
Q22. Déterminer les concentrations en H2CO3 et en HCO3- dans le sang dans les 
conditions
habituelles.
Lors d'un effort intense, il se forme de l'acide lactique C3H6O3 (noté ici HLa) 
dans le muscle,
qui est ensuite éliminé dans le sang. L'accumulation d'acide lactique dans le 
muscle est à
l'origine des crampes.
La base conjuguée de l'acide lactique est l'ion lactate noté La -. Le pKa du 
couple est
pKa2 = 3,9.
En passant dans le sang, l'acide lactique réagit avec les ions HCO3-.
Q23. Faire un diagramme de prédominance dans lequel apparaissent les différentes
espèces mises en jeu (H2CO3, HCO3-, HLa, La-).
Écrire l'équation de la réaction de l'acide lactique avec l'ion HCO3-.
On supposera que c'est la seule réaction qui a lieu.
Exprimer et calculer la constante d'équilibre. On considèrera que la réaction 
est quasi-totale
pour la suite des calculs. Qu'en pensez-vous a priori ?
Q24. Calculer le pH après un effort qui a porté la concentration initiale 
d'acide lactique dans
le sang à C0' = 2,0.10-3 mol.L-1.
L'hypothèse de la réaction suffisamment avancée est-elle justifiée a posteriori 
?
Commenter la valeur du pH.
Il existe en fait un mécanisme, lié à la respiration, qui permet de ramener le 
pH dans la zone
viable.
D) Titrage de l'acide lactique
Nous souhaitons dans cette sous-partie mesurer la concentration de l'acide 
lactique C3H6O3
(noté HLa) dans le sang par un titrage pH-métrique.
Après l'effort, un volume de V0 = 5,0 mL de sang est prélevé. L'acide lactique 
en est extrait par
une méthode qu'on n'étudiera pas.
6/13

Cet acide est dissous dans l'eau pour obtenir une solution S de volume V = 50,0 
mL.
Cette solution S est titrée par une solution S1 de soude (Na+(aq) + HO-(aq)) de 
concentration
C1 = 1,00.10-3 mol.L-1.
Q25. Écrire l'équation de la réaction de titrage.
Exprimer et calculer la constante d'équilibre. Que peut-on en déduire ?
Faire un schéma annoté du montage à réaliser.

Figure 8 - Courbe de titrage de l'acide lactique
On a tracé l'évolution du pH mesuré en fonction du volume de soude versé pour 
déterminer le
volume à l'équivalence et la concentration d'acide lactique dans le sang.
Q26. Déterminer la concentration C d'acide lactique dans la solution S, puis la 
concentration
C0 d'acide lactique dans le sang prélevé.
La concentration maximale recommandée dans l'organisme est de 200 mg/L ; 
au-delà, on
parle d'acidose lactique.
Le patient est-il en acidose lactique ?
Q27. On suit en parallèle le titrage par colorimétrie.
Parmi les indicateurs colorés ci-dessous, le(s)quel(s) peut-on utiliser pour 
suivre le titrage ?
Justifier.
Indicateur coloré
Teinte acide
Teinte basique
Zone de virage

Rouge congo
bleu
rouge
3,5 - 4,5

Rouge de phénol
jaune
rouge
6,8 ­ 7,8

7/13

Thymolphtaléine
incolore
bleu
9,0 ­ 10,0

E) Élimination de l'acide lactique du sang
Après un effort intense, la concentration d'acide lactique C3H6O3 (noté HLa) 
dans le sang, qui
a beaucoup augmenté pendant l'effort, diminue progressivement pendant la phase 
de
récupération.
Lors d'une récupération dite « active », quand le sportif poursuit un effort 
modéré, la diminution
est plus rapide.
Dans certaines conditions, on a pu obtenir ce tableau de concentrations en 
acide lactique au
cours du temps :
t (en min)
0
8,0
16,0
-1
3,0
1,1
0,40
[HLa] en mmol.L
On veut déterminer l'ordre de la réaction de dégradation de l'acide lactique :
HLa  Produits
Q28. En supposant que la réaction est d'ordre 1, déterminer l'expression de 
l'évolution de
[HLa] en fonction du temps. En utilisant les valeurs à t = 0 et t = 8,0 min du 
tableau ci-dessus,
déterminer la concentration [HLa] à t = 16,0 min, dans le cas où la réaction 
est d'ordre 1.
Les mesures sont-elles compatibles avec une réaction d'ordre 1 ?
Dans d'autres conditions, l'évolution de la concentration d'acide lactique HLa 
suit une loi
différente qui n'admet pas d'ordre.
On considère que la concentration (notée C) d'acide lactique vérifie l'équation 
différentielle
suivante :

= -. () - .  2 () + . Les coefficients ,  et  dépendent de l'activité

physique pendant la phase de récupération et sont supposés connus et 
enregistrés dans le
script.
On veut résoudre numériquement cette équation différentielle en utilisant la 
méthode d'Euler
explicite.
Q29. On découpe l'intervalle de temps de durée Dt, sur lequel on veut résoudre 
l'équation,
en N intervalles de longueur p.
Écrire le script Python permettant de définir p connaissant Dt et N, puis la 
liste de type list (ou
le tableau de type np.ndarray) L_t dont les éléments sont les dates des 
instants où la
concentration va être calculée.
Q30. Si on note Ci la concentration d'acide lactique à l'instant de date ti, 
déterminer
l'expression de Ci+1 en fonction de Ci, p = ti+1 ­ ti, et des coefficients ,  
et .
Q31. Écrire un script Python utilisant la méthode d'Euler explicite et 
permettant de définir la
liste L_C dont les éléments sont les concentrations Ci aux différentes dates 
des éléments de
la liste L_t. On utilisera les variables C0 (concentration initiale), alpha (), 
beta () et gamma
() qu'on supposera précédemment définies.

8/13

Partie 3 - Ostéodensitométrie
En impesanteur et pour des raisons non encore élucidées, les os se 
déminéralisent, c'est-àdire qu'ils perdent de la masse et deviennent plus 
fragiles, un peu comme les os des
personnes âgées.
Pour surveiller cette perte de masse, on réalise des ostéodensitométries.
Il s'agit d'examens non invasifs qui consistent à réaliser deux radiographies 
pour deux
longueurs d'onde de rayons X différentes.
Nous allons commencer par étudier la propagation d'une onde radio dans le vide, 
puis dans
un os assimilé à un conducteur ohmique. Nous verrons enfin comment appliquer 
ces résultats
à l'ostéodensitométrie.
Dans toute cette partie, le nombre complexe de partie imaginaire positive dont 
le carré est -1
sera noté  ( 2 = -1).
A) Propagation d'une onde électromagnétique dans le vide

Q32.

Écrire les équations de Maxwell dans le vide, en précisant leurs noms.

Q33. En déduire l'équation d'onde vérifiée par le champ électrique . Quel nom 
donne-t-on
à cette équation ?
En déduire la relation de dispersion pour une onde électromagnétique dont le 
champ électrique
s'écrit en coordonnées cartésiennes (, ) = 0 exp(( - )) 
 .
Suivant quelle direction se propage cette onde ? Quelle est sa polarisation ?
Q34. Les rayons X utilisés dans l'ostéodensitométrie ont une énergie de 40 et 
70 keV.
Déterminer l'énergie en J des rayons de 40 keV, puis leur fréquence et leur 
longueur d'onde.
B) Propagation d'une onde électromagnétique dans un conducteur ohmique,
épaisseur de peau
On considère un conducteur ohmique dans lequel se propage une onde 
électromagnétique.
Ce conducteur ohmique est localement neutre (sa charge volumique  est nulle), 
mais il est
parcouru par des courants de densité volumique  =  (loi d'Ohm), où  est la 
conductivité
électrique du matériau.

Q35. Écrire les équations de Maxwell dans le conducteur ohmique.
On va travailler en régime lentement variable (aussi appelé ARQS). Quel terme 
des équations
de Maxwell est alors négligé dans le conducteur ohmique ?
Q36. En déduire l'équation d'onde vérifiée par le champ électrique dans le 
conducteur
ohmique. Préciser le nom de ce type d'équation.
Q37. On considère une onde électromagnétique sinusoïdale dont le champ 
électrique
s'écrit :  (, ) = 0 exp (( - )) 
 , avec un vecteur d'onde k complexe.

Déterminer l'expression de k2 en fonction de la pulsation  notamment.
Déterminer k1 la partie réelle de k et k2 sa partie imaginaire, sachant que k1 
est positive.
Introduire l'épaisseur de peau  et donner son expression en fonction de la 
pulsation
notamment.
Q38. Donner l'expression du vecteur de Poynting  en fonction des champs 
électrique et
magnétique. Donner la signification physique de sa moyenne  () =  (, ).
On ne demande pas de la calculer.
9/13

C) Application à l'ostéodensitométrie
On note 0 la puissance entrant dans le conducteur ohmique en x = 0 et  la 
puissance
transmise par le conducteur ohmique de longueur L.

2.
On peut montrer que ln( 0 ) =  , où  est l'épaisseur de peau vue à la question 
Q37.

Dans les os, l'épaisseur de peau  dépend de la longueur d'onde  et de la 
densité osseuse
.
Pour le rayonnement d'énergie 1 = 40 keV, 1 =

1

et pour le rayonnement d'énergie

2 = 70 keV, 2 = , où 1 et 2 sont des constantes connues des radiologues.
2

On travaille avec un os dont l'épaisseur traversée par le rayonnement, 
déterminée par un autre
moyen, est notée L.

Q39. La puissance incidente P0 est la même pour les deux longueurs d'onde, mais 
elle est
inconnue. On mesure la puissance qui traverse l'os PLi, avec i = 1 ou 2.
Proposer une méthode permettant de déterminer la densité osseuse  à partir des 
mesures
de PL1, PL2, ainsi que de 1, 2 et L déterminées par d'autres moyens.

Partie 4 - Électrocardiogramme

L'électrocardiogramme permet un suivi du fonctionnement cardiaque par le simple 
port
d'électrodes collées à la peau. Les candidats spationautes doivent faire un
électrocardiogramme pour vérifier que leur coeur ne possède pas de défaut, ce 
qui pourrait
être mortel dans des conditions aussi extrêmes que les décollages ou les 
atterrissages.
Mais ils subissent aussi cet examen dans la station spatiale pour étudier les 
réactions du coeur
à l'impesanteur. Le coeur a tendance à s'atrophier, comme les autres muscles en 
impesanteur,
ce qui rend le retour à la vie terrestre difficile pour des spationautes 
incapables de se tenir
debout.
Nous allons d'abord étudier le fonctionnement électrique des nerfs, puis 
appliquer le modèle
du dipôle électrostatique à l'électrocardiogramme.
A) Fonctionnement électrique d'un nerf

Liquide extérieur
Membrane

Axone

M

a

b
Axoplasme
Figure 9.a - Schéma d'un neurone

Figure 9.b - Schéma d'un axone

Un neurone est une cellule complexe dont nous allons étudier une partie, 
l'axone, ou fibre
nerveuse, qui conduit le signal nerveux électrique dans le corps humain.
On modélise un axone par un cylindre infiniment long d'axe (, 
 ), de rayon intérieur a. Il est
constitué d'une membrane d'épaisseur b et de permittivité électrique relative r 
et d'un
axoplasme à l'intérieur de cette membrane (voir figure 9.b).

10/13

L'axoplasme est au potentiel VA, tandis que le liquide extérieur est au 
potentiel VE. La face
intérieure de la membrane porte une charge de densité surfacique  uniforme. On 
ne
s'intéresse pas à la charge de la face extérieure.
On travaille en régime stationnaire.
On utilise la base locale (
 , 
 , 
 ) en coordonnées cylindriques (r, , z).
On admet que les calculs de champs dans la membrane sont identiques à ceux du 
vide, à ceci
près qu'il faut remplacer la permittivité du vide 0 par 0 r, où r est la 
permittivité relative de la
membrane.
Q40. Montrer que le champ électrique  () dans la membrane ne dépend que de r et 
qu'il
est porté par le vecteur directeur 
 .
En appliquant le théorème de Gauss, déterminer l'expression de () en fonction 
de , 0 r,
 .
a, r et de 
Q41. Quelle est la relation liant le champ électrostatique  () et le potentiel 
V(M) ?
Déterminer l'expression du potentiel V(M) en fonction de , 0 r, a, r et de VA.
  (- )
.
En déduire que la charge surfacique  peut s'écrire  = 0  +
 ln(  )

Q42. En utilisant la relation a >> b, simplifier l'écriture de la charge 
surfacique  en fonction
de 0 r, b, VE et de VA, puis montrer qu'on peut écrire la norme du champ 
électrique sous la
 -
forme () = |   |.

Quelle est la charge Q portée par la face intérieure d'une longueur L de 
membrane ?

Q43. En utilisant la relation Q = C(VA ­ VE), déterminer l'expression de la 
capacité de la
membrane pour une longueur L, puis sa capacité par unité de surface de membrane 
cm.
On trouve dans la littérature médicale cm = 1.10-2 F.m-2.
Vérifier que cette valeur est compatible avec l'expression littérale trouvée 
plus haut.
Sachant que VA ­ VE = - 60 mV, déterminer numériquement  et le champ électrique 
()
dans la membrane.
Figure 10 - Différence de
VA ­ VE
En réalité, ce potentiel et cette
(mV)
potentiel VA ­ VE en fonction
répartition
des
charges
du temps lors de la
correspondent à une situation où
propagation d'un signal
l'axone est au repos. Quand un
électrique
influx nerveux se propage, le
potentiel change suivant des
mécanismes biologiques que
nous n'expliquerons pas (voir
figure 10). On appelle le signal
correspondant
« potentiel
d'action ».
Lorsque le coeur bat, il y a un
potentiel d'action qui se propage
temps (ms)
dans le coeur. Par conséquent,
on peut considérer qu'une partie du coeur est chargée positivement et une autre 
partie
négativement. Cela ressemble à un dipôle électrostatique. Cette modélisation 
très simple
permet en fait d'expliquer de façon satisfaisante les électrocardiogrammes.

11/13

B) Réalisation et exploitation d'un électrocardiogramme
Dans notre modèle simplifié, le muscle cardiaque se comporte comme un dipôle 
électrique qui
varie suffisamment lentement pour qu'on puisse utiliser les formules de la 
statique.
 =  par un dipôle électrostatique
On rappelle que le potentiel créé au point M de position 
placé en O de moment dipolaire électrique  s'écrit  () =

.

40  3

.

Un électrocardiogramme est un tracé contenant 12 lignes
correspondant à la mesure de 12 tensions mesurées entre
différentes électrodes situées sur le corps humain. Nous n'allons
nous intéresser qu'à une de ces mesures de tension, entre deux
électrodes placées l'une au poignet gauche (G) et l'autre au poignet
droit (D). On mesure alors la tension U 1 = VG ­ VD en fonction du
temps.
Le coeur O où est situé le dipôle étudié est à égale distance d des
électrodes d = OG = OD (voir figure 11).
Q44.

En utilisant la formule  () =

.

40  3

donnée plus haut,

G

D
O

Figure 11 - Position des
électrodes

montrer que U1 est proportionnelle à la projection du dipôle
 entre D et G. On notera K la constante de
électrostatique du coeur sur la direction 
proportionnalité, qu'on exprimera en fonction de 0, d et de DG, la distance 
entre G et D.
Q45. Le tableau ci-dessous représente le dipôle électrique du coeur à 
différents instants ti
successifs pendant un cycle cardiaque (un point représente un dipôle nul).
 en bas à droite.
On précise l'orientation du vecteur 
t0

t1

t2

t3

t4

t5

t6

t7

t9

t10

t11

t12

t13

t14

t15

t16

t8

Figure 12 - Évolution du dipôle électrique cardiaque en fonction du temps (avec 
ti < ti+1) Auquel de ces 4 graphes (représentant la tension en fonction du temps) l'enregistrement peutil correspondre ? a b c d Figure 13 - 4 des 12 enregistrements d'un ECG Les différents enregistrements de l'électrocardiogramme permettent de mettre en évidence la présence ou l'absence de certains défauts cardiaques et ainsi de faire un suivi à distance des spationautes. 12/13 Annexe Constantes fondamentales Constante de gravitation : G = 6,67.10-11 m3.kg-1.s-2 Permittivité électrique du vide : 0 = 8,85.10-12 F.m-1 Constante de Planck : h = 6,63.10-34 J.s Célérité de la lumière dans le vide : c = 3,00.108 m.s-1 Constante des gaz parfaits : R = 8,314 J.K-1.mol-1 Charge de l'électron : e = 1,60.10-19 C Grandeurs physiques utiles Rayon de la Terre : RT = 6,4.106 m Masse de la Terre : MT = 6,0.1024 kg Vitesse de rotation propre de la Terre :  = 7,3.10-5 rad.s-1 Rayon intérieur d'un axone : a = 5,0 µm Épaisseur de la membrane de l'axone : b = 7,0 nm Permittivité relative de la membrane : r = 8,0 Enthalpies standard de formation à 25 °C Glucose Dioxyde de Espèce C6H12O6(aq) carbone CO2(g) -393 fH° (kJ.mol-1) -1273 Masses molaires Atome Masse molaire (g.mol-1) H 1 C 12 Acide lactique C3H6O3(aq) -673 Eau H2O(l) -285 N 14 O 16 Na 23 Couples acidobasiques et pKa à 25 °C H2CO3/HCO3pKa1 = 6,4 pKa2 = 3,9 HLa/ LaProduit ionique de l'eau à 25 °C pKe = 14 Analyse vectorielle ( ) - ) = Formule du double produit vectoriel : ( Gradient en coordonnées cylindriques :  ( ) = + FIN DE L'ÉPREUVE 13/13 1 +