e3a Physique et Chimie MP 2021

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2021 EUR y MP9PC

NES
e3a

POLYTECH

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

PHYSIQUE-CHIMIE

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

e _ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence
des résultats.

e Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées.

Ce problème est constitué de trois parties indépendantes.

Remarques préliminaires importantes

1. Ilest rappelé aux candidat(e)s que les explications des phénomènes étudiés 
interviennent
dans la notation au même titre que les développements analytiques et les 
applications nu-
mériques.

2. Tout résultat fourni par l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, 
même s'il n'a pas été
démontré par le(la) candidat(e).

3. Les questions comportant le verbe " calculer " demandent une application 
numérique. Les
résultats exprimés sans unité ne seront pas comptabilisés.

Les données utiles sont fournies en page 13.

1/13
Mission prolongée pour la sonde Juno

Introduction

Jupiter est la planète la plus volumineuse du système solaire et fait partie 
des planètes « géantes
gazeuses ». Compte tenu du rôle central de la planète géante dans la formation 
du système so-
laire, celle-ci intrigue toujours les scientifiques puisque de nombreuses 
questions concernant sa
formation restent sans réponse. En particulier, deux scénarios s'affrontent sur 
la manière dont
la planète Jupiter s'est constituée :

e premier scénario : la planète s'est formée en deux temps - accrétion * des 
matériaux situés
dans son voisinage jusqu'à former un noyau solide représentant une dizaine de 
masses
terrestres puis effondrement gravitationnel de la masse de gaz et de poussière 
entourant la
planète;

e second scénario: celui-ci repose sur le seul effondrement gravitationnel d'un 
nuage de gaz
et de poussières mais nécessite la présence d'une nébuleuse originelle de plus 
grande taille
que celle retenue dans les scénarios de formation du système solaire.

La sonde Juno a pour objectif principal de résoudre ce dilemme en collectant 
des données per-
mettant de reconstituer l'histoire de la formation de la planète géante et son 
évolution.

Antenne moyen gain ti
F È Antenne grand gain

Propulseurs onentation
FE montés sur colonnes (x 4)

Instrument JADE Electron pes Senseur stellaire (x2)}

a

"E
Instrument JEDI (x3)
+8

/ Antennes ",

Capot de la tuyère propuiseur principal ; instrument MWR un S Antennes 
instrument

Figure 1 - Présentation de la sonde Juno - D'après Wikipedia

Partie I - Les caractéristiques de Jupiter

I.1 - Observer Jupiter depuis la Terre

C'est en janvier 1610, à l'aide d'une très modeste lunette astronomique, que 
Galilée se rendit
compte de la présence de quatre points lumineux à proximité de la planète 
géante. En notant
soigneusement leurs positions, plusieurs soirs de suite, il s'aperçut que ces 
quatre points étaient
mobiles et comprit qu'ils tournaient autour de la planète. Galilée venait de 
découvrir les quatre
satellites principaux de Jupiter.

1. processus d'agglomération

2/13
Le tableau 1 regroupe certaines données concernant ces satellites dont les 
orbites sont quasi
circulaires :

Satellite Distance moyenne au centre de Jupiter Période de révolution sidérale

lo 4,218-10° km 1,769 jour
Europe 6,714: 10° km 3,551 jours
Ganymède 1,070: 10° km 7,155 jours
Callisto 1,883 : 10° km 16,689 jours

Tableau 1 - Données concernant les principaux satellites de Jupiter

QI. Énoncer la troisième loi de Kepler, puis estimer la masse de Jupiter en 
précisant la mé-
thode utilisée. Comparer cette valeur à celle fournie en fin de sujet.

Q2. Calculer la masse volumique moyenne de cette planète.

Pour un observateur terrestre, Jupiter est vue sous un angle & qui varie 
suivant la distance Terre-
Jupiter. Les orbites de la Terre et de Jupiter sont assimilées à des cercles 
ayant pour centre le
Soleil, contenus dans un même plan, de rayons respectifs d- et d, et décrits 
dans le même sens.
La planète Jupiter est modélisée en première approximation par une sphère de 
rayon R;.

<-- E Figure 2 - Définition de l'angle a Q3. Calculer l'angle maximal &,,,, (en radians) sous lequel Jupiter est vue depuis la Terre. Q4. Cette situation est la plus favorable à l'observation et porte le nom d'opposition de Jupi- ter. À l'aide des données fournies, évaluer la période de révolution sidérale T; de Jupiter ainsi que la durée s'écoulant entre deux oppositions de celle-ci. Une lunette astronomique est un système optique centré constitué d'un objectif et d'un oculaire. L'objectif est assimilé à une lentille mince convergente de centre optique O,, de distance focale f/ = 100 cm et de diamètre D.. L'oculaire est une lentille mince convergente de centre optique O,, de distance focale A = 10 cm et de diamètre D,.. (Z7) (Lo) À À 0; O0; (4) Y Y Figure 3 - Lunette astronomique L'objectif donne d'un objet éloigné une image réelle appelée image objective. Cette dernière est observée au moyen de l'oculaire. 3/13 Q5. À quelle condition l'oeil d'un observateur, supposé sans défaut, n'accommode-t-il pas (ne se fatigue pas) ? En déduire la position relative de l'objectif et de l'oculaire dans ce cas de figure. Ce système optique possède-t-il des foyers ? Comment se nomme un tel système optique ? Q6. Rappeler les conditions de Gauss. Reproduire la figure 3, sans respecter les échelles, et compléter la marche du rayon incident d'angle «à avec l'axe optique en faisant clairement apparaître les traits de construction. Indiquer l'angle a" sous lequel est vue la planète à travers l'instrument sous ces mêmes conditions. / a Q7. Déterminer le grossissement de la lunette G = -- en fonction de f} et de f, et calculer a celui-ci. Jupiter pourra-t-elle être discernée correctement avec une telle lunette ? I.2 - La trajectoire de la sonde Juno S'échapper de la Terre Une des prouesses technologiques du siècle dernier a été de pouvoir s'échapper de la surface de la Terre afin d'envoyer hommes, satellites et instruments de mesure hors de l'atmosphère. Lancée en 2011 depuis la Terre, la sonde Juno restera en orbite autour de Jupiter jusqu'au mois de juillet 2021. Pour libérer un objet M de masse m de l'attraction gravitationnelle terrestre, on comprend qu'il est nécessaire de le " lancer " vers l'espace avec une vitesse suffisamment importante. La vitesse de libération de la Terre v, est précisément la vitesse minimale, évaluée dans le référentiel géo- centrique supposé galiléen, avec laquelle on doit lancer l'objet pour qu'il" s'échappe ". Q8. En appliquant le théorème de l'énergie mécanique à l'objet M entre l'instant initial (M à la surface de la Terre) et l'instant final (M à l'infini), déterminer la vitesse de libération en tenant compte de l'accélération de la pesanteur g supposée constante à la surface de la Terre. Calculer numériquement 1. Caractéristiques de la trajectoire La sonde Juno devait, en tout, effectuer 36 révolutions complètes autour de Jupiter et achever sa mission en février 2018 mais un problème de moteur a contraint les ingénieurs à la laisser sur une orbite elliptique de 53 jours. On assimile la sonde Juno à un point matériel P de masse m soumis uniquement à la force d'in- teraction gravitationnelle exercée par Jupiter de masse M,. En outre, le centre O de Jupiter est supposé immobile dans le référentiel héliocentrique supposé galiléen et la sonde est repérée par ---- le vecteur position r = OP. Q9. Dans quelle circonstance est-il légitime de supposer que le centre de Jupiter est immobile ? Justifier alors l'approximation galiléenne du référentiel jupiterocentrique. Q10. En appliquant le théorème du moment cinétique dans le référentiel jupiterocentrique, vue >? -- --
montrer que le moment cinétique Lo pyx = Tr Am vP/4 est constant au cours du 
temps.
Conclure que le mouvement de la sonde est plan. Définir ce plan.

4/13
Il est donc plus judicieux de travailler en coordonnées cylindriques plutôt 
qu'en coordonnées
sphériques. De plus, on choisit O comme étant l'origine du système de 
coordonnées cylindriques.
Ce système de coordonnées est illustré sur la figure 4.

U
Û --
V À \ 7 u (O) U,
7 P
r ,7
z) ... à 6
NY > X
O

Figure 4 - Paramétrage cylindrique

? . . .,e -- . -- >
Q11. Déterminer les expressions du vecteur position r et du vecteur vitesse 
v}/4 dans la base
. --> --
polaire (u,., Up ).

------ >
-- -- Lo,p,z

Q12. On définit le vecteur C par C = . En exprimant C dans la base cylindrique 
or-

o . --> -- -- 2 dû
thonormée directe (u, » Up, u,), montrer que 7 dt est une constante du 
mouvement que

) . . > --
l'on exprimera en fonction de C = C -u,.

Q13. Déterminer l'énergie mécanique de la sonde et montrer qu'elle se met sous 
la forme :

1 mC' mM
Ep = Em = 7 MF) + Uer(r) avec Ur) 272 -- - Z (1)

Justifier que &,, se conserve.

Q14. Tracer l'allure de U,s(r) et discuter les trajectoires possibles de la 
sonde en fonction de 6,
On distinguera en particulier les états qualifiés de liés de ceux dits de 
diffusion.

Q15. En utilisant les données, déterminer le demi-grand axe a de l'orbite 
elliptique de la sonde.
Exprimer, sans justifier, &, en fonction de a. En déduire une première équation 
liant la
distance minimale r,,,, la distance maximale r,,.,, et a. Montrer également que 
ri, et fnax
vérifient la relation suivante :

mC°
Fmin /max 7 © (2)
m

Ces deux relations permettent de déterminer r,,i, et na, Ce que l'on ne demande 
pas.

L.3 - La structure interne de Jupiter

Électrostatique et gravitation universelle

P
On notera dans toute la suite la constante de la gravitation uni- 7 °
verselle dont la valeur numérique est fournie en fin de sujet. On s'in- Pa
> ,
téresse maintenant au champ gravitationnel G(P) créé en P par une UT
distribution de masse. O

Figure 5 -- Paramétrage

5/13
--
Une distribution de masse volumique p crée un champ gravitationnel G (supposé 
stationnaire)
qui satisfait les équations locales suivantes :

--

divG =--4r 40 et rotG=0. (3)

Q16. Comment s'exprime la force de gravitation exercée par une distribution de 
masse sur un
----

point matériel P de masse m en fonction du champ de gravitation G(P)?

Q17. Dresser une analogie entre les équations (3) et celles de 
l'électrostatique. Quelle est la
différence fondamentale entre l'électrostatique et la gravitation ?

Q18. Le potentiel gravitationnel & est pour G l'analogue de ce qu'est le 
potentiel électrosta-
tique V pour le champ électrostatique. Laquelle des deux équations précédentes 
(3) per-
--

met d'assurer l'existence d'un potentiel gravitationnel & pour le champ de 
gravitation G ?
--

Écrire l'équation existant entre & et G , au signe près. En déduire que le 
potentiel gravita-
tionnel satisfait l'équation de Poisson et préciser alors le choix du signe 
effectué :

A=47%o. (4)

> -->
Q19. Enoncer le théorème de Gauss liant le champ électrostatique E à la 
distribution volu-
mique de charge 0. En s'appuyant sur l'analogie établie entre l'électrostatique 
et la gra-

--
vitation, montrer que le champ gravitationnel G créé par une distribution de 
masse vo-
lumique o satisfait la relation 5, M, étant la masse contenue à l'intérieur de 
la surface
fermée },,

f G(M)-dSy=--A4r M. (5)

MEY

Distribution sphérique de masse non homogène

En étudiant les variations du champ de gravitation de Jupiter, la sonde Juno 
fournira des indica-
tions sur la distribution des masses à l'intérieur de la planète, l'incidence 
sur celle-ci du dépla-
cement de son atmosphère et du mouvement de marée généré par ses lunes.

De manière générale, les planètes géantes possèdent :
e un noyau d'éléments lourds;
e une enveloppe d'hydrogène et d'hélium ;
e au-delà d'une pression donnée, l'hydrogène devient métallique.

H, moléculaire

D

glaces planétaires
+ noyau silicates/fer

4 000 GPa

Figure 6 - Structure interne de Jupiter - (J. Heyvaerts - Astrophysique)

6/13
On étudie ici quelques propriétés du champ de gravitation d'une distribution 
sphérique de masse
non-homogène de rayon R. On associe un système de coordonnées sphériques à 
cette distri-
bution dont le centre O est à l'origine du système. On notera (u,, Up, üy) la 
base de vecteurs
associée.

On suppose que la masse volumique o(r)ne dépend que de la coordonnée radiale r.

Q20. Justifer très précisément que le champ de gravitation est nécessairement 
de la forme
----
G(M) = ---G(r) ü,, où G(r) est la norme du champ de gravitation.

Q21. On note Mr) la masse contenue dans la boule de rayon r. Montrer alors que :

Me | arro(r')dr'. (6)
0

Q22. En utilisant le théorème de Gauss pour la gravitation, déterminer dans le 
cas de ce modèle
G(r) pour r > R. On rappelle que M, est la masse de Jupiter que l'on définira à 
l'aide
de Mr). Tracer le graphe de r ----- G(r) pour r > R. Donner l'expression du 
potentiel
sravitationnel &(r) dont dérive le champ de gravitation pour r > R en le 
prenant nul à
l'infini.

Dans le référentiel jupiterocentrique supposé galiléen, Jupiter est animée d'un 
mouvement de
rotation supposé uniforme autour de l'axe polaire (02), la période associée à 
ce mouvement
de rotation valant T4 = 0,41 jour terrestre. Chaque volume élémentaire dr de 
l'atmosphère de
Jupiter, de centre P immobile dans le référentiel lié à Jupiter et de masse d m 
possède donc, dans
ce référentiel, un mouvement de rotation circulaire uniforme de vitesse 
angulaire w,,4. L'origine
du repère est choisie au centre de Jupiter qui présente une symétrie de 
révolution autour de l'axe
passant par les pôles (Oz) (mais qui n'est plus supposée sphérique).

Q23. Exprimer, en fonction de ses deux coordonnées sphériques r et 0 et de w,4, 
le vecteur
accélération du centre P du volume élémentaire d7 dans le référentiel 
jupiterocentrique.

Q24. Jupiter possède la forme d'un ellipsoïde de révolution. Le rayon polaire 
possède la valeur
R> = 6,68: 10° km et le rayon équatorial possède la valeur Rk = 7,15:10* km. 
Comment
expliquer simplement la forme de cette planète ?

Re --R
On définit l'aplatissement relatif & par EUR = Re Du fait de l'aplatissement de 
Jupiter, le po-
E

l;

tentiel gravitationnel à grande distance a pour expression, avec K = où 1; est 
le moment

2
TJ
d'inertie diamétral qu'aurait Jupiter, de masse M; et de rayon R;, sans 
rotation propre (donc sans

le phénomène d'aplatissement),

2
P(r ,0)=-- 4 +R) (3 cos? 01) (7)

On donne la valeur du moment d'inertie diamétral d'une boule pleine, de rayon R 
et masse vo-

8T +
lumique uniforme 0 : 1 = 15 o R".

7/13
Q25. Si Jupiter était assimilable en l'absence de rotation propre à une boule 
pleine, homogène,
de masse volumique uniforme évaluée à la question Q2, quelle devrait être la 
valeur de la
I; ?
M;R;

constante K --

Q26. L'étude du champ de gravitation par la sonde Juno permettra l'estimation 
de la constante
K. En quoi la connaissance de K est-elle intéressante ?

Les couches supérieures de l'atmosphère de Jupiter sont riches en hélium et 
dihydrogène ga-
zeux. On considère alors une région de l'atmosphère de Jupiter à une 
température T. Soit dN le
nombre d'entités (atomes ou molécules) de masse m dont le module de la vitesse 
est compris
entre v, et v,+dv,. On suppose une distribution telle que :

dN m 3/2 m v?
-- = | ------ -- L 4 2 d -- d . 6
N rs) exp |" ru; du, = f{v)dv, ê)

Q27. Calculer la valeur de v, qui rend f(v,) maximale. On l'appelle vitesse la 
plus probable
d'agitation thermique et on la note v,.

Q28. Expliquer alors pourquoi, contrairement à l'atmosphère terrestre, 
l'atmosphère de Jupiter
peut être riche en dihydrogène ou hélium. On pourra comparer les valeurs des 
vitesses de
libération de la Terre et de Jupiter.

Partie II - Électronique embarquée dans la sonde

Juno comporte huit ensembles d'instruments comprenant en tout 29 capteurs ainsi 
qu'une ca-
méra. Ces instruments comprennent entre autres un radiomètre à micro-ondes 
destiné à sonder
les couches inférieures de l'atmosphère de la planète, un magnétomètre chargé 
de mesurer les
champs magnétiques interne et externe et un instrument de mesure du champ de 
gravitation par
ondes radio. La plus grande partie de l'électronique permettant aux instruments 
scientifiques
de fonctionner est confinée dans le compartiment blindé où se trouvent 
notamment les calcu-
lateurs et les centrales à inertie.

II. 1 - Traitement thermique de cartes électroniques

Conduction thermique dans une plaque Milieu I : Milieu 2 :
T,, T;,

Une plaque plane de conductivité thermique À, d'épaisseur e et

normale à l'axe (O x), sépare deux milieux dont la température est --| ----,
. 2 . Û e

constante et uniforme. La surface de la plaque est notée S. Le mi-

lieu occupant la région x < 0 est à la température T,, alors que le milieu 2, remplissant la région x > e, est à la température T;. On

se place en régime stationnaire. Figure 7 - Paramétrage

Q29. À l'aide d'un bilan d'énergie effectué sur un système à préciser, 
déterminer la température
T(x) qui règne dans la plaque en fonction des données ci-dessus.

Q30. Calculer la puissance thermique ?,_,, transférée depuis le milieu 1 vers 
le milieu 2 à travers
la plaque.

8/13
Q31. Après avoir effectué une analogie précise avec l'électrocinétique, montrer 
que l'expres-
sion obtenue à la question précédente permet de définir une résistance 
thermique R}, et
l'exprimer en fonction de À, e ets.

Assemblages multi-cartes

Une des étapes de la fabrication des cartes supportant les circuits 
électroniques intégrés consiste
à les enduire d'une résine époxy qui durcit à température élevée et sous forte 
pression. Pour cela,
on assemble les cartes enduites de résine en piles, chacune étant séparée des 
autres par une
plaque métallique.

Toutes les cartes sont planes, ont la même épaisseur e, et une conductivité 
thermique À,. Les
plaques métalliques de séparation, planes elles aussi, ont une épaisseur e, et 
une conductivité
thermique À. Les cartes et les plaques ont une même aire de contact notée S.

L'ensemble ainsi obtenu, constitué d'un grand nombre de couches (N > 1) 
d'épaisseur totale L,
est placé entre deux supports qui permettent à la fois de chauffer l'empilement 
et de soumettre
la pile de cartes à la pression élevée nécessaire au durcissement de la résine.

La figure 8 représente le cas de N = 6 empilements plaque-carte + 1 carte.

Support À X

Carte ------= TT 12

Plaque OT
métallique
--+ Ô

+ - L/2

Support

Figure 8 - Assemblage multi-cartes

On admettra que la résine époxy ne joue aucun rôle dans les transferts et 
bilans thermiques. Sauf
indication contraire, on néglige tout transfert thermique se produisant par les 
faces latérales des
plaques et des cartes. De plus, on suppose que tous les contacts thermiques 
sont parfaits : la
température est continue dans l'empilement.

Afin d'étudier de façon simplifiée les transferts thermiques, on cherche à 
représenter le système
feuilleté décrit précédemment comme un milieu homogène. On veut alors 
déterminer les carac-
téristiques de ce milieu équivalent.

Q32. On considère que les transferts thermiques s'effectuent seulement selon la 
direction (O x).
Déterminer la résistance thermique R, d'une épaisseur L de matériau, de surface 
$,
constituée d'une carte seule en plus de N © 1 empilements plaque-carte. En 
déduire
que l'empilement est équivalent à une épaisseur e d'un matériau homogène de 
section S
dont on exprimera la conductivité thermique À en fonction de À,, À, e, et &.

9/13
Q33. Vérifier la pertinence du résultat précédent sur les deux cas particuliers 
suivants :
e premier Cas : À, =  ;
e deuxième cas : e, & e, et À, et À, étant du même ordre de grandeur.

IL.2 - Structure cristalline du germanium

Le germanium est un métalloïde utilisé dans la conception des composants 
électroniques insé-
rés dans la sonde Juno. Il cristallise dans le système diamant de paramètre a = 
5,66:10 ' nm
pour laquelle la structure hôte est une structure cubique faces centrées et un 
site tétraédrique
sur deux est occupé par un atome de germanium.

Q34. Dessiner la maille conventionnelle du cristal de germanium. En déduire la 
coordinence
d'un atome de germanium.

Q35. Déterminer la compacité de cette structure.

Q36. Évaluer la masse volumique du germanium en kg-m *.

Partie IIT - Vers des accumulateurs électrochimiques de nouvelle technologie

III.1 - Accumulateur à base de lithium et de sodium

La sonde Juno possède deux accumulateurs lithium-ion d'une capacité de 55 Ah 
chacun et per-
mettant de stocker l'énergie électrique délivrée par des panneaux 
photovoltaïques. L'un des in-
térêts du lithium (numéro atomique Z =3) est sa faible masse volumique.

R
+ Rs =
Cathode EÉlectrolyte Anode
non aqueux
Li'
© =--
Li
. Graph
raphilte
LiCoO,; P
Li,,CoO, + x Li +xe --LiCoO, LiC;, -- Li +C;+e

Figure 9 - Schéma de fonctionnement de l'accumulateur lithium-ion

On fournit pour cette partie à 298 K:

e Potentiels standards en V:
Li /Li,, :--3,0V Na'/Na; :--2,7V H°/H:g) : 0,0 V

RT .

e Produit ionique de l'eau : K, =1:10

10/13
Pour répondre à certaines questions suivantes, on s'appuiera sur le document 1.

Q37. Quel intérêt y aurait-il à remplacer les électrodes à base de lithium par 
des électrodes à
base de sodium ?

Q38. Donner la configuration électronique d'un atome de lithium dans son état 
fondamental.
Comment justifier la valeur très basse du potentiel standard E;., Lis ? Quelle 
autre pro-
priété intéressante du lithium cela reflète-t-il ?

Document 1 - Batteries Sodium - Ion

La start-up française Tiamat va commencer la production de petites séries de 
ses batteries
sodium-ion. Alternative aux classiques batteries lithium-ion, cette technologie 
s'avère aussi,
pour de nombreuses applications, moins polluante et plus performante.

À l'heure où les prix Nobel récompensent les concepteurs des piles lithium-ion, 
la recherche
poursuit ses efforts pour faire encore mieux. Notamment en s'affranchissant du 
lithium dont
l'exploitation, le recyclage et la toxicité posent des problèmes éthiques et 
environnementaux.
Ainsi, les laboratoires du réseau sur le stockage électrochimique de l'énergie 
du CNRS et du
CEA ont développé une nouvelle génération de batteries à charge ultra-rapide à 
base de so-
dium. Depuis les premiers prototypes industriels présentés fin 2015, la 
technologie a bien pro-
eressé. À présent, c'est Tiamat, une start-up amiénoise créée fin 2017, qui 
poursuit le dévelop-
pement, l''industrialisation et la commercialisation de ces batteries.

Concept et performances : les cellules de batterie sodium-ion fonctionnent sur 
le même
principe que les batteries lithium-ion. Au fur et à mesure des cycles de charge 
et de décharge,
les ions sodium se déplacent d'une électrode à l'autre dans un milieu liquide. 
Ce qui change,
ce sont les performances. Tiamat annonce ainsi une charge bien plus rapide : 5 
minutes au
lieu de 4 h et une durée de vie de l'ordre de 10 ans (4 000 cycles 
d'utilisation).

Si ces batteries ne sont pas compétitives en termes de densité d'énergie 
électrique (quan-
tité d'énergie stockée par kilogramme), elles sont idéales pour des 
applications nécessitant
une forte puissance et une charge rapide comme les vélos, les scooters et les 
trottinettes élec-
triques, pour les robots industriels et l'outillage ou encore pour le stockage 
de l'électricité sur
les réseaux.

Les premières cellules fabriquées par Tiamat se présentaient sous le format 
industriel stan-
dard «18650 », comme les batteries lithium-ion, c'est-à-dire un cylindre de 1,8 
cm de diamètre
sur 6,5 cm de haut. D'autres formats de cellules ont été testés depuis comme 
des piles boutons.
Par ailleurs, en plus de se passer du lithium, ces batteries permettent aussi 
de s'affranchir de
l'utilisation du cobalt présent dans les batteries lithium-ion, dont 
l'exploitation et l'utilisation
posent aussi des problèmes sociaux et environnementaux.

(Jean-Marie Tarascon, Collège de France)

11/13
Certains électrolytes peuvent contenir de l'eau. Les questions suivantes se 
proposent de compa-
rer les comportements du lithium et du sodium dans l'eau.

On fournit dans la figure 10 les courbes intensité-potentiel à pH = 7,0 
maintenu constant :

Na, Na'
Lis) Li

2(g) H,0 He) H,0

sur Li sur Na

Figure 10 - Courbes intensité-potentiel à pH = 7,0

Q39. Écrire les équations du lithium métal et du sodium métal avec l'eau en 
milieu acide. On
précise que le nombre stæoechiométrique du métal alcalin sera égal à 2. 
Déterminer les va-
leurs des constantes d'équilibre associées à ces équations à 298 K. Que peut-on 
en déduire
a priori ?

Q40. Lequel de ces deux métaux apparaît finalement le plus réactif ? Une 
comparaison des pro-
priétés thermodynamiques et cinétiques est attendue.

III.2 - Accumulateur à base de soufre

Les générateurs de nouvelle génération peuvent également être du type 
lithium-soufre ou sodium-
soufre. On s'intéresse à une étape de la production de soufre industriel.

Q41. Donner un schéma de Lewis des molécules SO, et SO:.

Q42. Calculer l'enthalpie standard de réaction À,H" et l'entropie standard de 
réaction A,S"° à
298 K associées à la réaction d'équation :

2 SO:(g) + O9) --= 2 SO; (g) (9)

Rappeler en quoi consiste l'approximation d'Ellingham. Donner dans le cadre de 
cette
approximation l'expression de À,G° en fonction de T.

Q43. Toutes choses égales par ailleurs, l'augmentation de la température 
favorise-t-elle la pro-
duction de trioxyde de soufre SO:,,, ?

Q44. Donner l'expression de la constante d'équilibre K°(T') en fonction des 
fractions molaires,
de la pression totale notée P et de la pression standard P° associée à 
l'écriture de l'équa-
tion 9.

Q45. Toutes choses égales par ailleurs, l'augmentation de la pression totale 
favorise-t-elle la
production de trioxyde de soufre SO: ?

Q46. En tant qu'ingénieur(e) des procédés physico-chimiques, quel(s) choix 
industriel(s)
seriez-vous amené(e) à faire afin d'optimiser la production de SO:;,, ? 
Expliciter les com-
promis cinétiques, thermodynamiques et financiers en prenant en compte les 
résultats
précédents concernant l'influence de la température et de la pression.

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Conclusion

Depuis son arrivée dans le voisinage de Jupiter, Juno a permis de confirmer 
l'affaiblissement de la
grande tache rouge et sa probable disparition d'ici quelques dizaines d'années. 
Elle a également
révélé l'existence de gigantesques orages aux pôles de la planète et délivre 
des centaines d'images
de la géante gazeuse.

Document 2 - Données

Notations et valeurs numériques

Constante d'Avogadro ............................ N1=6,02:10* mol |
Masses molaires (en g:mol *) ..................... Mu = 1,0; Me = 4,0; Me = 72,6
Numéros atomiques .............................. Z(O)=8etZ(S)=16
Constante de Boltzmann ......................... kz =1,38-10 JK !
Constante de la gravitation universelle ........... G=6,67-10  m°kg ':s *
Accélération de la pesanteur terrestre ............ g =9,8mes *

Pouvoir de résolution de l'oeil .................... Eco = 1,5"

Conversion ..................eesesesesese..e.... 1° = 60' (minutes d'angle)
Masse de la Terre ................................. Mr =6,0:10" kg

Masse de Jupiter .................................. M, =1,97-10"" kg

Rayon de la Terre ................................. Rr =6,4:10° km

Rayon de Jupiter .................................. R, =7,0:10" km

Rayon de l'orbite terrestre ........................ dr = 1,50: 10° km

Rayon de l'orbite de Jupiter ....................... d; = 7,80: 10° km

Période de révolution sidérale de la Terre ......... Tr = 365,25 jours

Données thermodynamiques à 298 K :
Enthalpie standard de formation À -H° et entropie molaire standardS,,

Oxg  SOxg  SOs(g)
AFH°(enkJ-mol )| +  --296,8 --395,7
S" (enJ-K -mol ) | 205,0 248,1 256,7

Une formule d'analyse vectorielle

On considère le champ scalaire suivant : f : R°-- R. Alors : Af = div (grad Î |

Opérateur gradient en coordonnées sphériques

L & À

Or
2 10f
grad f = r 20

1 ôf

r sin 2p) A(ur,ug,uÿ)

FIN

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



e3a Physique et Chimie MP 2021 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (professeur en CPGE) et Alexandre
Herault (professeur en CPGE) ; il a été relu par Julien Dumont (professeur en 
CPGE),
Tom Morel (professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (professeur en CPGE).

Ce sujet s'intéresse à Jupiter et à la sonde Juno, dont la mission est l'étude 
de
cette planète. Il se compose de deux parties de physique et d'une partie de 
chimie.
· La première partie débute par la détermination de la masse de Jupiter en
utilisant sa période orbitale autour du Soleil. Il s'ensuit une estimation de
son diamètre apparent lorsqu'elle est au plus proche de la Terre. Vient alors
une étude du mouvement de la sonde Juno : après avoir retrouvé la vitesse de
libération de la Terre, on s'intéresse au mouvement orbital de Juno autour de
Jupiter. Les propriétés des mouvements à force centrale sont alors retrouvées.
Il s'agit ensuite d'exprimer le champ et le potentiel gravitationnels de Jupiter
en prenant en compte sa répartition de masse non uniforme et la déformation
de la surface de la planète due à sa rotation propre. Enfin, une explication à 
la
présence importante d'hélium et de dihydrogène dans les couches externes de
Jupiter est développée.
· La deuxième partie porte sur la conduction thermique dans un assemblage de
cartes électroniques équipant la sonde Juno. Grâce à une association en série
des résistances thermiques des cartes, on montre que l'assemblage se comporte
comme un milieu homogène, dont la conductivité équivalente est étudiée dans
deux cas limites. Quelques questions très simples de cristallographie sur la
maille diamant du germanium, présent dans les cartes électroniques, terminent
cette partie.
· La troisième et dernière partie étudie les accumulateurs électrochimiques qui
ont pour but de stocker l'énergie récupérée par les panneaux solaires de la 
sonde.
On s'intéresse dans un premier temps à la réduction de l'eau par les métaux
alcalins lithium et sodium. Les points de vue thermodynamique et cinétique,
grâce aux courbes courant-potentiel, sont abordés. Dans un deuxième temps,
la thermodynamique de la synthèse du trioxyde de soufre est étudiée. En 
particulier, les différents paramètres de déplacement d'équilibre sont 
présentés afin
d'optimiser la synthèse.
Cet énoncé traite d'éléments du cours des deux années de classe préparatoire.
Il s'agit d'une association de plusieurs exercices, ce qui permet de réviser 
des chapitres
de manière ciblée.

Indications
Partie I
2 Le volume d'une boule de rayon R s'écrit 4 R3 /3.
3 C'est lorsque Jupiter et la Terre sont les plus proches que l'angle  est 
maximal.
Dans ce cas, la distance Terre-Jupiter est égale à dJ -dT . Utiliser la 
trigonométrie
pour relier , RJ et dJ - dT .
4 D'une part, exprimer l'angle dont la Terre a tourné, d'autre part celui dont 
Jupiter
a tourné, en prenant comme instant initial une opposition. Quelle relation 
existet-il entre ces deux angles lors de l'opposition suivante ?
7 Construire la marche du rayon passant par le foyer objet F01 de la lentille 
(L1 ).
8 Exprimer g en fonction de G , MT et RT . Traduire la conservation de l'énergie
mécanique juste après le lancer depuis le sol terrestre et à l'infini (en se 
plaçant
à la limite où la vitesse à l'infini est nulle).

-
12 Le vecteur C est défini en fin de question.
15 Remarquer que lorsque r est extrémal, r = 0. Traduire la conservation de 
l'énergie
mécanique pour établir que rmin et rmax sont solutions de
mC2
=0
2E m
18 Utiliser la formule d'analyse vectorielle fournie.
-
23 Introduire le projeté orthogonal H de P sur l'axe de rotation. 
L'accélération 
a
-

-
2
du point P s'écrit a =  sid HP.
24 Exprimer la force d'inertie d'entraînement dans le référentiel jovien (en 
supposant
le référentiel jupitérocentrique galiléen).
u2 - 2a u -

25 D'après l'énoncé,

IJ =

8
RJ 5
15

Il suffit alors de remplacer dans K.
2
27 Poser  = m/(2 kB T) et g(u) = u2 e -u . Chercher les extrema de g.
Partie II
30 La puissance thermique P12 est aussi appelée « flux thermique ». Elle 
s'obtient
avec la loi de Fourier et la formule
P12 = - jS
34 La coordinence est le nombre de premiers voisins.
35 Utiliser le contact entre atomes sur le quart de la diagonale de la maille.
Partie III

39 Plus E est faible plus le réducteur est fort. Discuter de la stabilité de 
l'oxydant Li+ grâce à sa structure électronique.
40 Le point de fonctionnement correspond au potentiel pour lequel les intensités
anodique et cathodique sont égales en valeur absolue.
43 Utiliser la relation de Van 't Hoff et le signe de r H .
44 Il faut se placer à l'équilibre, ce que l'énoncé ne précise pas.
45 K ne dépend que T ! Regarder l'influence d'une augmentation de P sur le 
quotient
réactionnel et conclure sur l'évolution du système à partir d'un état 
d'équilibre.

Publié dans les Annales des Concours

Mission prolongée pour la sonde Juno
I. Les caractéristiques de Jupiter
1 D'après la troisième loi de Kepler, pour les planètes du Système solaire, le 
carré
de leur période de révolution sur le cube du demi-grand axe de leur trajectoire 
autour du Soleil est égal à une constante indépendante de la planète.
Notons T la période d'un satellite de Jupiter et a le demi-grand axe de sa
trajectoire autour de la planète. Transposée aux satellites de Jupiter, la 
troisième
loi de Kepler donne
4 2
T2
=
a3
G MJ
Ainsi,

MJ =

a3
4 2
× 2
G
T

À l'aide du tableau (1), on obtient
Io

Europe

Ganymède

Callisto

a (m)

4,22.108

6,71.108

1,07.109

1,88.109

T (s)

1,53.105

3,07.105

6,18.105

1,44.106

4 2
a3
× 2 (kg)
G
T

1,90.1027

1,90.1027

1,90.1027

1,90.1027

MJ = 1,90.1027 kg

Par conséquent

On constate un écart systématique de 7.1025 kg avec la valeur fournie.
C'est en fait la valeur fournie qui est fausse. La masse de Jupiter est estimée
actuellement à 1,90.1027 kg.
2 Assimilons Jupiter à une boule de rayon RJ à répartition de masse uniforme, de
masse volumique J . Dans ce cas,
4
RJ 3 J
MJ =
3
d'où

J =

3 MJ
3 × 1,90.1027
3
-3
3 = 4 × (7,0.107 )3 = 1,3.10 kg.m
4 RJ

Cette valeur, assez faible, suggère que la boule de rayon RJ , modélisant 
Jupiter, n'est pas constituée que de roches. Elle contient également une 
quantité
non négligeable de gaz. C'est pour cette raison que l'on dit que Jupiter est
une planète gazeuse.
3 L'angle  sous lequel Jupiter est vu depuis la Terre est maximal lorsque la 
distance
Terre-Jupiter est minimale. C'est le cas lorsque le Soleil, la Terre et Jupiter 
sont
alignés comme sur la figure suivante :
dJ - dT
dT
Jupiter
Soleil
Terre
max
2RJ
dJ

2RJ
dJ - dT
2 × 7,0.107
=
(7,8 - 1,5).1011

max =

Alors

max = 2,2.10-4 rad
On s'est placé d'emblée dans l'approximation tan  ' , ce qui est légitime
puisque tan  ' 10-4 rad qui est petit devant 1 rad.
4 Appliquons la troisième loi de Kepler pour Jupiter et la Terre,
dT 3
dJ 3
2 =
TT
TJ 2
 3/2
dJ
TT
TJ =
dT

7,80
TT
=
1,50
= 11,9 TT

donc

TJ = 4,33.103 jours
Supposons Jupiter et la Terre en opposition à l'instant initial. Notons  
l'instant
suivant auquel les deux planètes sont de nouveau en opposition. Durant  , le 
rayon
vecteur de la Terre a balayé l'angle T tel que
2
T =

TT
Pendant ce temps, le rayon vecteur de Jupiter balaie l'angle J tel que
2

J =
TJ
L'instant  correspond à la plus petite valeur entière de n vérifiant

soit

T = J + 2 n

1
1
-
 =n
TT
TJ

Pour n = 0, on retrouve qu'à l'instant initial, il y a opposition. L'opposition 
suivante
est obtenue pour n = 1, c'est-à-dire
=

11,9
TJ TT
=
TT = 399 jours
TJ - TT
11,9 - 1

On peut également utiliser un raisonnement semblable à celui de Zénon pour
présenter le paradoxe d'Achille et la tortue. Lorsque la Terre a effectué une
révolution complète (pendant la durée TT ), le rayon vecteur de Jupiter a
tourné de TT /11,9. Pour « rattraper » Jupiter, le rayon vecteur de la Terre
doit donc encore balayer l'angle TT /11,9, mais pendant la durée correspondante 
le rayon vecteur de Jupiter a tourné de TT /(11,9)2 , que le rayon vecteur
de la Terre doit encore rattraper, et ainsi de suite :

P
TT
TT
1
TT
TT
 = TT +
+
×
+ ... =
=
n
11,9 11,9 11,9
1 - 1/11,9
n=0 (11,9)
qui redonne le même résultat.