Centrale Physique et Chimie 2 MP 2025

2025

Physique-chimie 2
MP
4 heures

Calculatrice autorisée

Faire l'image d'une exoplanète
La détection des exoplanètes, planètes situées en dehors de notre système 
solaire, constitue l'un des domaines les
plus fascinants et dynamiques de l'astronomie moderne. Depuis la découverte de 
la première exoplanète en 1995,
les scientifiques en ont identifié des milliers d'autres, révélant une 
diversité de mondes au-delà de notre imagination.
Grâce à des techniques avancées ­ telles que la méthode des transits, la 
méthode des vitesses radiales ou encore
l'imagerie directe ­, les astronomes peuvent détecter et étudier ces lointaines 
planètes pour chercher à comprendre
leur composition, leur atmosphère et leur potentiel d'habitabilité.
Dans ce sujet, on étudie la possibilité d'obtenir une image détaillée d'une 
exoplanète située à une distance de 100 annéeslumière du Soleil. Développer 
tout le formalisme nécessaire à la reconstruction d'une image complexe sort du 
cadre de
ce sujet et on se ramène à une situation simplifiée : on considère deux points 
à la surface de l'exoplanète et on cherche
à les distinguer ou à mesurer la distance qui les sépare.
Le problème comporte 3 parties indépendantes. Un formulaire et les données sont 
regroupés en fin d'énoncé. Un
document réponse est à rendre avec la copie.

Partie A ­ Utilisation du phénomènes d'interférences
En 2022, la collaboration Event Horizon Telescope a réussi à construire une 
image dans le domaine des ondes radios
du trou noir situé au centre de notre galaxie à l'aide du phénomène 
d'interférences. Dans cette partie, on détermine s'il
est possible d'appliquer cette méthode pour obtenir l'image d'une exoplanète à 
partir d'une situation modèle simplifiée
(la construction véritable d'une image à partir d'un ensemble de figures 
d'interférences n'est pas traitée).

I ­ Principe de la mesure sur un système équivalent
On illustre ici le principe de la mesure en analysant une expérience mettant en 
jeu les fentes d'Young. Le montage
expérimental est représenté sur la figure 1. Il est constitué des éléments 
suivants :
­ deux sources ponctuelles SA et SB , incohérentes, séparées d'une distance d, 
qui émettent des ondes lumineuses
monochromatiques de même amplitude à la longueur d'onde 0 ;
­ une lentille convergente L1 , de centre O1 , de distance focale f1 ;
­ des fentes T1 et T2 de largeur notée , perpendiculaires au plan de la figure, 
dont les centres sont éloignés d'une
distance a.
­ une lentille convergente notée L2 , de distance focale f2 .
­ un écran, situé dans le plan focal image de la lentille L2 .
lentille L1

fentes d'Young

lentille L2

x

SA
d

M

T1

2

a

- 2

O1

T2

z

O2

SB
f1

f2
Figure 1
1 / 12

Les sources SA et SB sont situées dans le plan focal objet de la lentille L1 . 
On note  l'angle positif (SB O1 SA ). Soit M
un point d'abscisse x situé sur l'écran (voir figure 1). On admet que 
l'ordonnée y ne joue ici aucun rôle et on suppose
que tous les angles d'incidence sont petits.
Pour commencer, on considère que seule la source SA émet de la lumière (on ne 
prend pas en compte la source SB ).
On note tot la différence de marche au point M entre les rayons passant par 
chaque fente d'Young :
tot = (SA T2 M ) - (SA T1 M ) .
On la décompose en deux parties :

tot = source + 

où source est la différence de marche introduite en amont des trous d'Young et  
celle introduite en aval :
source = (SA T2 ) - (SA T1 )

et

 = (T2 M ) - (T1 M ) .

Q1. Établir l'expression de source en fonction de a et   1.
On suppose que SA émet un signal de la forme s(t) = s0 cos (t), où s0 est une 
constante réelle positive et  la
pulsation de l'onde lumineuse.
Q2. Exprimer le signal s1 (t) reçu au point M pour l'onde qui est passée par T1 
, ainsi que le signal s2 (t) reçu au
point M pour l'onde qui est passée par T2 , en fonction de s0 , , t, k = 2
0 , (SA T1 M ) et (SA T2 M ). On négligera
la décroissance d'amplitude de l'onde liée à la propagation.
On appelle I(M ) l'intensité du signal mesuré au point M (notée également I()).
Q3. Donner l'expression de I à l'aide de s1 et s2 et éventuellement d'autres 
grandeurs. Déduire de celle-ci la relation
i

h  
.
I() = 2I0 1 + cos k a + 
2
On tient désormais compte de la présence de la source SB , en plus de celle de 
la source SA .
Q4. Indiquer, avec justification, si les signaux issus de SA interfèrent avec 
ceux issus de SB . Montrer que l'intensité
détectée au point M se met sous la forme

Id () = Id,0 1 + (a,) cos (k)
où la fonction , appelée facteur de cohérence, est donnée par :

ka
(a,) = cos 
.
2
Q5. Tracer l'allure de Id () en fonction de  dans le cas où le facteur de 
cohérence vaut 1, puis dans le cas où le
facteur de cohérence est nul.
L'expérience étudiée a été conduite en utilisant l'écran d'un smartphone pour 
réaliser les deux sources. Le montage
expérimental est représenté sur la figure 2. La lentille L2 et l'écran sont 
respectivement l'objectif et le capteur CCD
d'un appareil photographique numérique réglé à l'infini.
écran du smartphone
SA

lentille L1

fentes d'Young
T1

objectif

x

M
z

SB

T2

capteur CCD
Appareil photographique

Figure 2

2 / 12

La figure 3 précise la nature de l'image utilisée sur l'écran du
smartphone : ce qui apparaît en blanc sur la figure correspond
à du noir sur l'image réelle, tandis que les traits épais noirs correspondent à 
deux traits lumineux qui jouent le rôle de sources
de lumière de longueur d'onde 0 .
En analysant les résultats de l'expérience, il est possible de déterminer 
l'angle . La figure 4 montre une partie de l'image
donnée par le capteur, ainsi que le profil d'intensité lumineuse
correspondant, tracé en fonction de 0 , où  est la différence
de marche introduite précédemment. Les paramètres sont les
suivants : a = 200 µm, 0 = 650 nm, f1 = 80 cm, f2 = 5,6 cm.

d

SB

SA

Figure 3 ­ Schéma de l'image utilisée sur
l'écran du smartphone (pas à l'échelle).

-4

-2

0

2

4

-4

-2

0
/0

2

4

Intensite lumineuse (u.a.)

120
100
80
60
40
20
0

Figure 4 ­ Image du dessus : photographie de la figure d'interférences obtenue 
avec les fentes d'Young.
Figure de dessous : profil d'intensité lumineuse pour la figure d'interférences.
L'axe des abscisses est le même pour les deux figures.
Q6. Calculer numériquement ka
2 pour cette expérience.
La lumière émise par la source n'est pas monochromatique : on peut considérer 
que l'incertitude-type sur 0 est
u (0 ) = 30 nm.
Q7. En déduire l'incertitude-type sur ka
2 .
On définit le contraste par :
C=

Imax - Imin
Imax + Imin

où Imax est l'intensité lumineuse maximale au centre de la figure 
d'interférences et Imin l'intensité lumineuse sur les
deux minimums qui encadrent la zone centrale d'intensité maximale.
Q8. Déterminer la valeur numérique du contraste pour cette figure 
d'interférences.
En changeant a et 0 , il est possible de mesurer le contraste pour d'autres 
valeurs de ka
2 . La figure sur le document
ka
réponse montre ses variations en fonction de 2 .
Q9. Ajouter votre point de mesure avec son incertitude-type sur le document 
réponse. L'incertitude-type sur le
contraste sera prise égale à 10 % de sa valeur.
Le contraste C est relié au facteur de cohérence  (introduit à la question Q4) 
par C = ||. Selon le modèle développé
précédemment, on s'attend à observer pour C un comportement régi par la 
relation :

ka
C = cos 
.
2
3 / 12

On considère donc la fonction

ka
ka
7 C0 cos 
2
2

et on cherche les valeurs des paramètres C0 et  qui minimisent l'écart entre 
les points expérimentaux et les valeurs
prises par cette fonction aux mêmes abscisses, un peu comme on le ferait pour 
une régression linéaire. Par ce procédé
d'ajustement, on obtient les valeurs avec incertitudes-types suivantes :
C0 = 0,421
 = 6,36 × 10-4 rad

;
;

u (C0 ) = 0,010
u () = 1,1 × 10-5 rad .

Q10. Expliquer en quelques lignes comment on peut obtenir les 
incertitudes-types sur les paramètres C0 et  en
exploitant les incertitudes-types sur les données expérimentales.
Q11. En déduire la valeur numérique de d avec son incertitude-type u(d).
On peut procéder à une mesure plus directe de la distance entre les deux 
sources. Pour cela, on part du montage
étudié ci-dessus, puis on enlève les fentes d'Young. La figure 5 montre une 
partie de l'image qui est alors enregistrée
par le capteur, ainsi que le profil d'intensité lumineuse correspondant, tracé 
en fonction de x.

Intensite lumineuse (u.a.)

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

-60

-40

-20

0
x (µm)

20

40

60

80

90

60

30

0
-80

Figure 5 ­ Image du dessus : photographie obtenue lorsqu'on enlève les fentes 
d'Young.
Figure de dessous : profil d'intensité lumineuse de la photographie.
Les axes des abscisses sont les mêmes pour les deux parties.
Q12. Déterminer une autre valeur numérique de d à partir de cette expérience, 
en proposant une estimation d'incertitude associée. Comparer à la valeur 
obtenue à la question Q11. Discuter à l'aide d'un critère quantitatif
l'accord des deux résultats.
On a montré qu'il est possible de déterminer une caractéristique des sources 
lumineuses (leur distance) en étudiant
une figure d'interférences. La reconstruction d'une image plus complexe se fait 
également en mesurant et en exploitant
la fonction de contraste.

II ­ Interférences à deux télescopes
On transpose la situation modèle abordée dans la section précédente à 
l'expérience telle qu'elle peut être réalisée
en astronomie. On considère deux télescopes séparés d'une distance a et pointés 
vers la même direction. Une source
ponctuelle A0 se trouve à l'infini, dans une direction faisant un angle 2 avec 
l'axe des télescopes (figure 6, représentée
avec un angle positif). On suppose ||  1. On note 0 la longueur d'onde 
considérée dans l'onde émise par la source
ponctuelle.
Des rayons lumineux issus de la source sont captés par chaque télescope. Ils 
sont ensuite guidés par des fibres optiques
jusqu'à un unique détecteur sur lequel ils sont combinés et interfèrent. Sur la 
fibre optique issue du télescope 2, un
dispositif permettant d'ajouter une différence de marche variable, appelée 
ligne à retard, est installé.
Le chemin optique entre l'entrée du télescope 1 (notée T1 sur la figure 6) et 
le détecteur est égal à L.
Le chemin optique entre l'entrée du télescope 2 (notée T2 sur la figure 6) et 
le détecteur est égal à L + r , où r est
variable.
4 / 12

2

télescope 1

T1

point A0

détecteur

a

2

télescope 2

T2

ligne à retard
Figure 6
Q13. Établir l'expression de la différence de marche totale entre un rayon 
passant dans le télescope 2 et un rayon
passant dans le télescope 1 en fonction de , a et r . Comparer au résultat de 
la question Q1 et commenter.
En suivant une démarche similaire à celle conduite précédemment, on peut 
montrer que la résolution angulaire res de
ces deux télescopes, c'est-à-dire ici l'angle minimal qui doit séparer deux 
points proches pour qu'ils soient correctement
discernés, est telle que :
res k a = 
où k = 2
0 .

Dans le cadre du projet LIFE (Large Interferometer For Exoplanets), des 
scientifiques espèrent envoyer dans l'espace
des télescopes dans le but d'observer des exoplanètes en utilisant la technique 
d'interférométrie dans le domaine de
l'infrarouge (on choisit ici 0 = 5 µm). La distance entre les télescopes pourra 
atteindre 1 km.
Q14. Déterminer la résolution angulaire que l'on peut ainsi obtenir avec ces 
télescopes. En déduire la résolution spatiale
(en kilomètres) que l'on peut espérer atteindre pour une exoplanète située à 
une distance de 100 années-lumière.
Commenter.

Partie B ­ Utilisation d'une lentille gravitationnelle
Dans cette partie, on étudie la possibilité d'utiliser le Soleil comme lentille 
gravitationnelle pour former l'image d'une
exoplanète. Il s'agit d'un projet exploratoire, proposé par Slava Turyshev 
(NASA Jet Propulsion Laboratory) et ses
collaborateurs, qui a été sélectionné par la NASA pour son aspect prometteur 
[1].
Un astre massif tel qu'une étoile ou un trou noir crée un champ gravitationnel 
et courbe l'espace-temps selon les lois
de la relativité générale. La présence de l'astre conduit à une déviation de la 
lumière ­ qui suit un chemin optimal
(géodésique) dans l'espace-temps ­ et par suite au phénomène de lentille 
gravitationnelle.
Considérons un point A0 d'une exoplanète situé à l'infini, derrière le Soleil 
de centre S. Il émet des rayons lumineux
parallèles à l'axe optique défini comme la droite passant par A0 et S. On admet 
que ces rayons sont déviés par le Soleil
d'un angle :
2 rsch
=
b
2 G Ms
où rsch = c2 est le rayon de Schwarzschild du Soleil et b le paramètre d'impact 
du rayon lumineux, c'est-à-dire sa
distance à l'axe optique. Suite à sa déviation, ce rayon intersecte l'axe 
optique en un point Fb . La courbure des rayons
due au Soleil est très faible : ainsi, il est possible de modéliser le rayon 
lumineux par deux demi-droites, comme sur le
schéma de la figure 7 (qui n'est évidemment pas à l'échelle). Le Soleil y est 
représenté par un cercle et son centre par
le point S.
Pour un rayon lumineux rasant le Soleil (tracé en gris épais), on peut 
considérer que b = Rs , avec Rs le rayon du
Soleil. On note F0 le point d'intersection de ce rayon avec l'axe optique et on 
l'appelle foyer image gravitationnel du
Soleil.
point A0 de l'exoplanète, à l'infini

b

Rs
F0

S
Soleil

Figure 7
5 / 12

Fb

z

Q15. Exprimer la distance SFb en fonction de rsch et b. Calculer numériquement 
z0 = SF0 . On exprimera cette
distance en unités astronomiques et on la comparera au rayon de l'orbite de 
Neptune, qui est de 30 unités
astronomiques.
Q16. Analyser la possibilité, pour un observateur situé entre S et Fb , 
d'exploiter l'effet de lentille gravitationnelle
pour voir le point A0 .
On décrit ce phénomène de déviation de la lumière comme une lentille 
gravitationnelle.
Q17. Comparer le devenir de rayons venant de l'infini, parallèles à l'axe 
optique, lorsqu'ils sont déviés par :
­ une lentille mince en verre, utilisée en optique géométrique ;
­ une lentille gravitationnelle.
Il est conseillé d'illustrer votre réponse à l'aide de schémas.
Un des intérêts principaux de cette lentille gravitationnelle est le grand 
pouvoir de résolution qu'elle permet d'obtenir,
c'est-à-dire une grande capacité à distinguer des détails. Les questions qui 
suivent ont pour but de déterminer la distance
minimale entre deux points de la surface d'une exoplanète que l'on peut 
discerner grâce à une lentille gravitationnelle.
On suppose que l'exoplanète se trouve à une distance de 100 années-lumières. On 
se place au point F1 tel que
SF1 = 600 au. Une image A1 de A0 se forme en ce point. On considère un deuxième 
point B0 , situé à la surface
de l'exoplanète, hors de l'axe optique. La lentille gravitationnelle solaire 
forme une image B1 de B0 dans le plan
perpendiculaire à l'axe optique passant par A0 (voir figure 8a). On admet que 
les points B0 , S et B1 sont alignés.
point B0

600 unités astronomiques
A1

z
S

point A0

B1

Distance à l'axe optique, [m]
(a)

(b) Adaptée de [2].

Figure 8
Q18. Exprimer la distance A1 B1 en fonction de A0 B0 , SA0 et SA1 .
En pratique, la lumière issue de A0 ne converge pas exactement vers A1 : on 
observe un étalement de la lumière au
voisinage de ce point. La figure 8b montre l'intensité lumineuse en fonction de 
la distance à l'axe optique (l'ordonnée
indique « Amplification » qu'on assimile à l'intensité lumineuse dans l'étude 
menée ici). On admet que la lumière issue
de B0 s'étale avec le même profil d'intensité lumineuse autour du point B1 .
Q19. Proposer, à l'aide de la courbe figure 8b, une valeur numérique pour min , 
valeur minimale de la distance A1 B1
telle que les taches centrales des intensités lumineuses autour de A1 et B1 ne 
se superposent pas.
Q20. Déterminer la valeur numérique de A0 B0 correspondant à A1 B1 = min . 
Commenter.
Les images formées par cette lentille gravitationnelle solaire sont trop 
grandes pour être acquises d'un coup. Une sonde
mesurerait donc point par point l'image.
On considère une sonde qui collecte de la lumière issue du point A0 avec un 
télescope. Sur la figure 9, le schéma 9a
représente la situation. La figure 9b est une illustration de l'image 
constituée par le télescope : la lumière qui a été
déviée par la lentille gravitationnelle forme autour du Soleil un cercle qu'on 
appelle anneau d'Einstein.
On note D le diamètre du télescope et z la distance entre le centre du Soleil 
et l'entrée du télescope. En première
approximation, le télescope capte tous les rayons qui ont un paramètre d'impact 
compris entre b et b + D.
Q21. Discuter la modification de l'anneau d'Einstein lorsque la sonde s'éloigne 
du Soleil.
6 / 12

z
b+D

b
S

Télescope

point A0
(a)

(b) Adaptée de [3].

Figure 9
Un autre intérêt principal de la lentille gravitationnelle est qu'elle amplifie 
la lumière reçue. On peut le mettre en
évidence à l'aide d'un calcul simple. On définit le facteur d'amplification de 
cette lentille par :
µ=

puissance lumineuse issue de A0 collectée par le télescope avec la lentille 
gravitationnelle
.
puissance lumineuse issue de A0 collectée par le télescope sans la lentille 
gravitationnelle

8b
Q22. Justifier que µ =
. Calculer numériquement µ pour un télescope situé en F0 (donc pour b = Rs ) et 
D = 1,0 m.
D
Commenter.

Partie C ­ Propulsion de la sonde
Il est nécessaire, pour exploiter le phénomène de lentille gravitationnelle 
produit par le Soleil, d'envoyer une sonde
à grande distance de la Terre. La propulsion de ce véhicule sur une trajectoire 
adaptée constitue un véritable défi
technique ! Les auteurs qui portent le projet suggèrent l'utilisation d'une 
voile solaire. Dans cette partie, on étudie la
dynamique particulière d'une sonde munie de ce moyen de propulsion.

I ­ Pression de radiation
On étudie une voile solaire plane, de surface S, parfaitement réfléchissante et 
se trouvant dans le vide. On introduit un axe (Ox)
perpendiculaire au plan de la voile. Une onde lumineuse, de longueur d'onde  et 
de puissance par unité de surface Is (mesurée
dans un plan perpendiculaire au faisceau) arrive sur la voile avec
un angle  par rapport à la normale (figure 10). On souhaite calculer la 
pression de radiation subie par la voile en adoptant un point
de vue corpusculaire.
Q23. Rappeler l'expression de l'énergie et l'expression de la norme
de la quantité de mouvement d'un photon associé à cette
onde lumineuse en fonction de  et de constantes fondamentales.

onde réfléchie
voile solaire

O

#"
S

x

onde incidente
Figure 10

Q24. Exprimer le nombre N de photons qui se réfléchissent sur la voile pendant 
une durée t en fonction de Is , ,
c, h, , S et t.
Q25. Montrer que la force exercée par les photons sur la voile s'identifie à 
une force de pression, associée à une pression
de radiation pr d'expression :
2 Is cos2 
pr =
.
c
En 2010, les scientifiques de l'agence spatiale japonaise (JAXA) ont envoyé 
dans l'espace un démonstrateur de voile
solaire, nommé IKAROS. L'étude de la trajectoire du vaisseau a montré que la 
voile de surface 173 m2 a subi une force
de 1,12 mN en raison de la pression de radiation exercée par le Soleil (Is = 
1,36 kW · m-2 et  = 0 dans les conditions
de l'expérience) [4].
Q26. Comparer le résultat obtenu à la question précédente avec le résultat de 
cette expérience. Commenter.

7 / 12

II ­ Voile solaire orthogonale au rayonnement solaire
Dans cette partie, on veut estimer la surface de la voile solaire nécessaire 
pour envoyer une sonde à l'infini par rapport
au Soleil. On considère une sonde de masse m = 50 kg que l'on assimile à un 
point matériel M en orbite circulaire
de rayon RT autour du Soleil. L'étude est conduite dans le référentiel 
héliocentrique, considéré comme galiléen. On
note à présent O le centre du Soleil dont la masse est Ms . La sonde s'est 
suffisamment éloignée de la Terre pour
ne pas tenir compte de son interaction gravitationnelle et elle n'a pas encore 
déployé sa voile solaire : elle est donc
soumise uniquement à l'interaction gravitationnelle du Soleil. On admet que le 
mouvement est plan et on note (Oz)
l'axe perpendiculaire au plan de la trajectoire. On repère la position de la 
sonde par les coordonnées polaires (r, ) de
centre O. On note T la pulsation du mouvement de la sonde.
Q27. Montrer que :

RT3 T2 = G Ms .

Rappeler le nom de cette loi. Déduire l'expression de la vitesse vT de la sonde 
sur son orbite, en fonction de G,
Ms et RT .
À l'instant t = 0, la sonde déploie une voile solaire de surface S. On suppose 
tout d'abord que la voile est orientée
perpendiculairement au rayonnement solaire. Conformément à l'étude menée à la 
partie précédente, elle est alors
soumise à une force supplémentaire d'expression
R2
#"
Fr = pT 2T S e#"r
r
avec pT = 8,0 × 10-6 Pa la pression de radiation au niveau de l'orbite 
terrestre. On admet que le mouvement reste
plan.
Q28. Montrer que le moment cinétique Lz de la sonde par rapport à l'axe (Oz) se 
conserve. Montrer que la grandeur
C = |Lmz | vérifie la relation C = r2  .
Q29. Déterminer l'expression de l'énergie potentielle associée à la somme de la 
force gravitationnelle et de la force
due à la pression de radiation subies par la sonde, en fonction de G, Ms , m, 
pT , RT , S et r. On prendra une
énergie potentielle nulle à l'infini.
Q30. Montrer que l'énergie mécanique de la sonde se met sous la forme
Em =

1
m r2 + Ep,eff (r)
2

et exprimer l'énergie potentielle effective Ep,eff en fonction de G, Ms , m, pT 
, RT , S, C et r.
Q31. Montrer que l'énergie potentielle effective admet un extremum si S est 
inférieure à une valeur limite Slim . Tracer
alors, sans justification, l'allure de l'énergie potentielle effective en 
fonction de r dans le cas où S < Slim . Donner enfin, sans justification, la nature de la trajectoire de la sonde selon la valeur de son énergie mécanique. Pour simplifier l'étude, on suppose que la sonde doit avoir suffisamment d'énergie pour atteindre l'infini. Q32. Exprimer l'énergie mécanique de la sonde juste après l'ouverture de la voile solaire. Expliciter la condition sur cette énergie mécanique pour que la sonde puisse atteindre l'infini. En déduire la surface minimale de la voile de la sonde. En réalité, le mouvement de la sonde avec sa voile est plus complexe que ce qui a été étudié ici. La taille de la surface de la voile trouvée à la question précédente est cependant une bonne estimation de sa taille réelle. III ­ Influence de l'orientation de la voile sur le mouvement e#" On reprend l'étude précédente dans le référentiel héliocentrique supposé galiléen, mais on s'intéresse maintenant à la situation où la voile a une orientation quelconque. On repère toujours la position de la sonde (notée M sur le schéma figure 11 où la voile est représentée) par les coordonnées polaires centrées sur le Soleil noté O. On note #" u le vecteur normal à la voile solaire et  l'angle (e#"r ; #" u ) ( est compris entre -/2 et +/2). Les conditions initiales sont r(t = 0) = RT , (t = 0) = 0, r(t = 0) = 0 et (t = 0) = T , où T a été introduit dans la section II. 8 / 12 #" u M O Figure 11 e#"r La force de pression de radiation subie par la sonde sur la voile de surface S s'écrit maintenant R2 #" Fr = pT 2T cos2 () S #" u r avec pT = 8,0 × 10-6 Pa la pression de radiation au niveau de l'orbite terrestre. On veut étudier la dynamique de la sonde sur une durée de 5 mois par une démarche de résolution numérique. On introduit le vecteur position adimensionné #" (de norme ) et le temps adimensionné  définis par : # " OM = RT #" et = T t . Q33. Montrer que l'équation du mouvement se met sous la forme d2 #" 1 = - 2 e#"r + 2 cos2  #" u. d 2 On exprimera la constante réelle positive  en fonction des paramètres du problème. Proposer une signification physique pour . Q34. Montrer que l'équation différentielle trouvée à la question précédente peut se réécrire sous la forme d'un système d d de quatre équations différentielles du premier ordre portant sur les grandeurs , , d et d . Des lignes de code Python sont présentées figure 12. L'objectif est d'avoir un script permettant de calculer, pour 5 différentes valeurs de , la valeur finale de  après avoir simulé le mouvement de la sonde entre  = 0 et  = 2 × 12 , ce qui correspond à la durée de 5 mois visée. La fonction odeint du module scipy.integrate, pour laquelle des informations sont fournies en annexe, est utilisée pour résoudre le système d'équations différentielles trouvé à la question Q34. Cette fonction odeint appelle une fonction voile_solaire_beta non définie dans le script de la figure 12. d d et d . En déduire la liste à fournir à la ligne 7 du code de Q35. Déterminer les valeurs à  = 0 des grandeurs , , d la figure 12. Q36. Proposer un code pour la fonction voile_solaire_beta en respectant la syntaxe attendue par la fonction odeint. 1 2 import numpy as np import s c i p y . i n t e g r a t e 3 # Val e u r numé r i q u e du c o e f f i c i e n t e t a eta = 0.41 6 # Conditions i n i t i a l e s pour [ rho , t h e t a , d rho /d tau , d t h e t a /d tau ] 7 cond_init = [ . . . ] # I n c o m p l e t ( v o i r q u e s t i o n Q35 ) 8 # Tableau ( a r r a y ) c o n t e n a n t l e s i n s t a n t s pour l e s q u e l s on veut r é s o u d r e l ' é q u a t i o n 9 array_temps = np . l i n s p a c e ( 0 , 2  np . p i  5 / 1 2 , num=5001) 10 # Nombre de v a l e u r s pour b e t a 11 n_valeurs_beta = 361 12 # Tableau ( a r r a y ) c o n t e n a n t l e s v a l e u r s de b e t a ( en d e g r é s ) 13 # pour l e s q u e l l e s on veut r é s o u d r e l ' é q u a t i o n du mouvement 14 array_beta = np . l i n s p a c e ( -90 , 9 0 , num=n_valeurs_beta , e n d p o i n t=True ) 15 # Tableau i n i t i a l e m e n t r e m p l i de z é r o s dans l e q u e l on va s t o c k e r 16 # l a v a l e u r f i n a l e de rho pour chaque v a l e u r de b e t a 17 a r r a y _ r h o f i n a l = np . z e r o s ( n_valeurs_beta ) 4 5 18 # On b o u c l e s u r l e s v a l e u r s de b e t a f o r i in range ( n_valeurs_beta ) : 21 b e t a = np . p i  array_beta [ i ] / 180 22 # On r é s o u t l e s y s t ème d ' é q u a t i o n s d i f f é r e n t i e l l e s 23 sol = scipy . integrate . odeint ( 24 v o i l e _ s o l a i r e _ b e t a , c o n d _ i n i t , array_temps , a r g s =( eta , b e t a ) 25 ) 26 # On e n r e g i s t r e l a d e r n i è r e v a l e u r de rho dans l e t a b l e a u a r r a y _ r h o f i n a l 27 a r r a y _ r h o f i n a l [ i ] = s o l [ -1 , 0 ] 19 20 Figure 12 ­ Script Python (incomplet) de simulation. 9 / 12 La résolution numérique, réalisée avec un script complété, permet d'obtenir la figure 13 qui donne la représentation de l'évolution de la valeur finale f de , après 5 mois de voyage de la sonde, en fonction de l'angle . 2,0 f 1,5 Q37. Expliquer pourquoi f = 1 lorsque  = -90 et  = 90 . 1,0 Q38. En utilisant le résultat de cette simulation, déterminer la valeur optimale de , notée e , pour que la sonde s'éloigne le plus loin possible du Soleil, ainsi que la valeur optimale de , notée a , pour que la sonde s'approche le plus possible du Soleil au bout de 5 mois. -90 -60 -30 0 30 (degres) 60 90 Figure 13 IV ­ Trajectoire proposée Il se trouve que, pour atteindre le foyer image gravitationnel du Soleil le plus vite possible avec une voile solaire, il est nécessaire de commencer par se rapprocher du Soleil. Ainsi, on réalise la simulation suivante : partant d'une orbite circulaire de rayon RT , on déploie la voile solaire avec un angle a (défini à la question Q38). La sonde se rapproche alors du Soleil. Lorsqu'elle arrive à une distance rchangement donnée de l'astre, on change l'orientation de la voile et on prend  = e (voir question Q38). La sonde tend alors à s'éloigner du Soleil. On arrête la simulation lorsque la sonde atteint une distance de 500 unités astronomiques de l'astre et on regarde le temps qu'elle a mis pour y arriver. On recommence la simulation plusieurs fois en changeant la valeur de la distance rchangement et, pour chaque simulation, on relève la distance minimale entre la sonde et le Soleil, ainsi que le temps mis pour atteindre 500 unités astronomiques. La partie gauche de la figure 14 montre un exemple de telle trajectoire au voisinage du Soleil. La partie droite montre le temps mis pour atteindre une distance de 500 unités astronomiques en fonction de la distance minimale d'approche du Soleil. 60 1,0 55 temps (annees) y (au) 0,5 0,0 -0,5 -1,0 50 45 40 35 -1 0 x (au) 1 0,00 0,05 0,10 0,15 rmin (au) 0,20 Figure 14 ­ À gauche : trajectoire de la sonde munie de la voile solaire autour du Soleil à l'origine du repère (point noir) ; le cercle en pointillés montre la trajectoire de la Terre. À droite : temps en années mis par la sonde pour atteindre une distance de 500 unités astronomiques en fonction de la distance minimale d'approche du Soleil (notée rmin ). Les données sont issues de simulations. Q39. Expliquer qualitativement pourquoi commencer à se rapprocher du Soleil conduit à une diminution du temps mis pour s'en éloigner. Aucun calcul n'est attendu pour répondre à cette question. Des contraintes thermiques limitent l'utilisation de la voile : elle n'est pas parfaitement réfléchissante et absorbe une petite partie du rayonnement, ce qui conduit à son échauffement. Sa température ne doit pas trop augmenter, sous peine de dégradation de son matériau : la température maximale acceptable est Tmax = 700 K. La puissance radiative absorbée par la voile solaire, toujours de surface S et d'inclinaison décrite par l'angle  introduit précédemment, est supposée égale à R2 Pabs =  Is 2T S cos r où  = 0,1, Is = 1,4 kW · m-2 , RT = 1,0 au et r est la distance de la sonde au Soleil. 10 / 12 Par ailleurs, la voile émet un rayonnement thermique avec un flux thermique surfacique qui dépend de sa température T selon la loi ray =   T 4 où  = 0,8 et  est la constante de Stefan-Boltzmann. Q40. Proposer une estimation du temps minimal envisageable pour qu'une sonde atteigne une distance de 500 unités astronomiques du Soleil, compte tenu des contraintes thermiques et dans les conditions des simulations présentées à la figure 14. On explicitera soigneusement la démarche suivie avec les éventuels choix effectués. Données et formulaire Données numériques Célérité de la lumière dans le vide Année-lumière (al) Unité astronomique (au) Masse du Soleil Rayon du Soleil c = 3,00 × 108 m · s-1 1,00 al = 9,46 × 1015 m 1,00 au = 1,50 × 1011 m Ms = 1,99 × 1030 kg Rs = 6,96 × 108 m Constante de gravitation universelle Constante de Planck Constante de Stefan-Boltzmann G = 6,67 × 10-11 m3 · kg-1 · s-2 h = 6,63 × 10-34 kg · m2 · s-1 = 5,67 × 10-8 W · m-2 · K-4 Remarque : l'unité astronomique (symbole au) est une unité couramment utilisée en astronomie qui correspond approximativement à la distance entre la Terre et le Soleil. Formulaire cos a + cos b = 2 cos a+b 2 cos a-b 2 Informations sur la fonction odeint La fonction odeint de SciPy (disponible dans le module scipy.integrate) est couramment utilisée pour la résolution dy numérique d'un système d'équations différentielles ordinaires qui s'écrit sous la forme = f (y,t, . . . ) où l'inconnue y dt dy peut être un vecteur (cas du sujet). La syntaxe de base pour la résolution numérique de l'équation = f (y,t,a,b) où dt a et b sont deux paramètres supplémentaires de la fonction f est la suivante : 1 sol = scipy . integrate . odeint ( func , y0 , t , args =( a , b ) ) Les principaux paramètres sont : ­ func : fonction Python qui effectue le calcul numérique de la fonction f du système différentiel. Elle prend comme arguments, dans cet ordre : · y : liste ou tableau NumPy de flottants correspondant à y, · tc : flottant correspondant à une valeur tc de t, · a : flottant qui représente le premier paramètre supplémentaire a de la fonction f , · b : flottant qui représente le second paramètre supplémentaire b de la fonction f ; ­ y0 : liste ou tableau NumPy contenant la condition initiale pour y relative à l'inconnue y du système différentiel ; ­ t : tableau NumPy définissant les valeurs de la variable t pour lesquelles on souhaite obtenir les valeurs numériques pour l'inconnue y du système différentiel ; ­ args (optionnel) : tuple contenant des paramètres supplémentaires à transmettre à la fonction func. Par exemple, ici, les deux paramètres a et b sont passés à la fonction func. La fonction odeint renvoie un tableau de flottants de taille Nt × Ny , où Nt est le nombre d'éléments du tableau t et Ny est le nombre d'éléments du tableau y0. Il contient les valeurs des solutions pour les valeurs de t contenues dans le tableau t. 11 / 12 [1] Henry Helvajian et al. « Mission Architecture to Reach and Operate at the Focal Region of the Solar Gravitational Lens ». In : Journal of Spacecraft and Rockets 60.3 (2023), p. 829-847. [2] Slava G Turyshev et Viktor T Toth. « Diffraction of electromagnetic waves in the gravitational field of the Sun ». In : Physical Review D 96.2 (2017), p. 024008. [3] Slava G Turyshev et al. « Direct multipixel imaging and spectroscopy of an exoplanet with a solar gravity lens mission ». In : arXiv preprint arXiv :2002.11871 (2020). [4] Yuichi Tsuda et al. « Achievement of IKAROS--Japanese deep space solar sail demonstration mission ». In : Acta Astronautica 82.2 (2013), p. 183-188. Fin 12 / 12 P078 - 30 avril 2025 - 14:15:51 c b e a Références Numéro de place Numéro dinscription Signature Nom Prénom Épreuve : Physique-chimie 2 Ne rien porter sur cette feuille avant davoir complètement rempli lentête Feuille Document réponse Les candidats doivent rendre ce document réponse avec leur copie, même s'ils ne l'ont pas utilisé / Ne rien écrire dans la partie barrée Question Q8 Ajustement Donnees experimentales 0,5 Contraste 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 0 1 × 103 2 × 103 ka/2 (rad) 3 × 103 4 × 103 Figure 1 ­ Évolution du contraste en fonction de ka/2 pour l'expérience des fentes d'Young, où k est le vecteur d'onde et a la distance entre les deux fentes.