Centrale Physique et Chimie 2 MP 2020

Thème de l'épreuve Proxima du Centaure
Principaux outils utilisés cinétique chimique, thermodynamique, optique géométrique, optique ondulatoire, électromagnétisme, mécanique
Mots clefs ozone, atmosphère, troposphère, stratosphère, proxima du centaure, cinétique, parallaxe, trous d'Young, effet de peau, effet Doppler, Kepler, exoplanète

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


Physique-chimie 2

F
MP
CONCOURS CENTRALE-SUPÉLEC 4 heures Calculatrice autorisée

2020

Proxima du Centaure

Ce problème est une invitation à regarder vers les étoiles, et tout 
particulièrement l'étoile la plus proche de la
planète Terre après le Soleil : Proxima du Centaure aussi appelée Proxima 
C'entauri.

Il est constitué de 4 parties totalement indépendantes. La première partie 
étudie une caractéristique de l'atmo-
sphère terrestre qui a permis le développement de la vie sur Terre et peut-être 
un jour sur une exoplanète. La
deuxième partie est relative à l'observation de Proxima du Centaure et à la 
détermination de sa distance et de
sa taille. La troisième partie s'intéresse à un vaisseau capable de rejoindre 
Proxima du Centaure et d'explorer
une exoplanète dont la découverte fait l'objet de la dernière partie.

Certaines questions peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part du 
candidat. Leur énoncé est repéré
par une barre en marge. Il est alors demandé d'expliciter clairement la 
démarche, les choix et de les illustrer,
le cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise d'initiative et 
tient compte du temps nécessaire à la
résolution de ces questions.

Certaines données numériques sont regroupées en fin d'énoncé ; d'autres 
relèvent de l'initiative du candidat.

I Ozone et atmosphère

I.A --- De l'importance de l'ozone

La figure 1 présente la répartition de l'ozone (0;) dans l'atmosphère 
terrestre. Sa concentration varie avec
l'altitude, le maximum se situe entre 30 et 35 km d'altitude avec une moyenne 
de 8 molécules d'ozone pour un
million de molécules d'atmosphère.

Température (°C)
120 100 80 60 40 20 0 20 40 60 80

100

thermosphère
80
7
pe,
dy,
Æ 60 mésosphère
a
d
TD
le
z 40 O,
20 stratosphère
troposphère
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ozone (partie par million)
Figure 1 Répartition de l'ozone et température aux latitudes moyennes dans 
l'atmosphère terrestre

La figure 2 montre le flux solaire ultra-violet reçu au sommet de l'atmosphère 
et le flux résiduel à la surface de
la Terre. La différence est due à l'absorption du rayonnement ultra-violet par 
la couche d'ozone. Le graphique
précise l'absorption moyenne pour chaque bande du rayonnement ultra-violet.

2020-02-17 19:06:53 Page 1/8 CEE

nm!)

--A
10 radiation au sommet de l'atmosphère

"
4 106

= radiation à la surface
-- de la Terre

5 10 8

&

8

4 10710 UVe, 100% UVa, 50%
Fe

200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350

Longueur d'onde (nm)
avec indication de l'absorption moyenne pour chaque bande UV

Figure 2 Absorption du rayonnement solaire par la couche d'ozone -- d'après 
NASA Ozone Watch

Q 1. Justifier que les rayonnements présentés sur le graphique de la figure 2 
correspondent à des rayonne-
ments ultra-violet. Pourquoi les rayonnements ultra-violets sont-ils qualifiés 
de rayonnements ionisants ?

Q 2. Expliquer l'importance de la couche d'ozone dans la protection de la vie 
terrestre.

I.B ---  Atome et molécule de l'oxygène

Q 3. Donner la configuration électronique de l'oxygène dans son état 
fondamental.

Q 4. Proposer une représentation de Lewis pour la molécule de dioxygène.

Q 5. Proposer une représentation de Lewis de la molécule d'ozone sachant 
qu'elle n'est pas cyclique.

e 128 pm

Figure 3 Schématisation d'une molécule
d'ozone où chaque sphère représente un atome
d'oxygène

Q 6. La molécule d'ozone a la structure spatiale présentée sur la figure 3. 
Justifier l'existence d'un moment
dipolaire et le représenter sur un schéma de la molécule.
IC ---  Thermodynamique de la formation de l'ozone

Nous étudions l'équilibre

Ô O (2) -- 2 Os(a)

Q 7. Calculer la constante de cet équilibre à 25 °C à l'aide des données 
fournies en fin d'énoncé.
Q 8. Calculer la pression partielle en ozone dans l'atmosphère terrestre au 
niveau du sol.
Q 9. Dans quel sens est déplacé cet équilibre lorsqu'on s'élève dans la 
troposphère ? Que peut-on en dire

dans la stratosphère ? Un raisonnement qualitatif argumenté est attendu.

I.D --- Cinétique de la formation de l'ozone

Le mécanisme de la production de l'ozone stratosphérique a été élucidé dès 1930 
par le géophysicien britannique
Sydney Chapman. Pour fabriquer cette molécule constituée de trois atomes 
d'oxygène, il faut des atomes d'oxy-
gène libres. Aux longueurs d'onde inférieures à 240 nm, le rayonnement 
ultra-violet peut dissocier les molécules
de dioxygène O, suivant la réaction (1.1).

O, = 0° + O° (L.1)
Cette première partie du mécanisme est rapide sous l'effet du rayonnement 
ultra-violet et conduit à un équilibre
de constante X°..
La seconde partie du mécanisme (1.2) est une réaction simple qui obéit à la loi 
de van't Hoff en cinétique : les

ordres partiels dans l'expression de la vitesse de réaction sont les 
coefficients stoechiométriques de la réaction.
On note k la constante cinétique de cette réaction.

k

2020-02-17 19:06:53 Page 2/8 CJEXES
Q 10. Expliquer qualitativement que la concentration en ozone dans l'atmosphère 
présente un maximum à
une altitude particulière, comme le montre la figure 1.

Q 11.  Exprimer la pression partielle en radical O° en fonction de la pression 
partielle en dioxygène et de la
constante À.

Q 12. Quel est l'ordre de la vitesse de formation de O, par rapport à la 
pression partielle en dioxygène ?

II Découverte de Proxima du Centaure

IT. À --- Première observation de l'étoile

L'étoile Proxima Centauri a été découverte en 1915 par l'astronome britannique 
Robert Innes, alors directeur

de l'observatoire de l'Union à Johannesburg en Afrique du Sud. C'est une étoile 
de type naine rouge, de masse

My = 2,44x10%kg et de rayon Ry = 9,81 x 10*km. Elle est située à D = 3,99 x 
10!*km soit 4,22 années-lumière

du Soleil.

Dans la suite du sujet, toutes les applications numériques seront faites à la 
longueur d'onde moyenne du visible

Àçps = 600 nm.

Q 13. Justifier, par un argument d'ordre de grandeur, que la distance entre la 
Terre et Proxima du Centaure

peut être approximée à 4,22 années-lumière.

Pour voir l'étoile Proxima Centauri, un instrument d'optique est utilisé. Il 
est modélisé dans la suite par deux

lentilles :

-- une lentille convergente L, objectif, de centre optique O,, de foyer 
principal objet F,, de foyer principal
image F! et de distance focale image f = 8m;

-- une lentille divergente L, de projection, de centre optique O,, de foyer 
principal objet F,, de foyer principal
image F° et de distance focale image f, = -0,02 m.

Si le point objet À et le point image 4' sont conjugués par la lentille Z de 
focale f" et de centre O, d'après la
Formule de Descartes on a

1 1 1
OA OA ff!
et le grandissement transversal est
_ AB  OÀ'
7 AB O4

L'instrument d'optique est pointé vers l'étoile Proxima Centauri.

Q 14. Où est située l'image de l'étoile par la lentille L,, appelée image 
intermédiaire À,B, ? Illustrer cette
situation par un schéma.

Q 15. Déterminer l'expression de la taille de cette image intermédiaire A,B, 
(non algébrique) en fonction
du rayon À}, de l'étoile et des caractéristiques de la lentille objectif ZL..

Q 16. La lentille de projection L,, divergente, sert à faire de l'image 
intermédiaire À, B, une image définitive
A' B", réelle, non inversée et agrandie d'un facteur 4. Calculer la distance 
O,O, pour respecter ces contraintes.
Q 17.  Illustrer par un schéma la position de A,B,, de AB" et de L, (sans 
représenter L,).

Q 18. En 1915, l'image définitive ÀA'B" de l'étoile se formait sur une plaque 
photographique de dimension
24 mm x 36 mm, composée de cristaux de 10 1m de chlorure d'argent, précipité 
blanc qui noircit à la lumière.
L'image définitive de l'étoile Proxima Centauri est-elle vue comme ponctuelle 
ou étendue sur la plaque photo ?
Q 19. À l'occasion du centenaire de la découverte de Proxima du Centaure, en 
2015, la photo de l'étoile a été
reprise avec l'instrument d'optique de l'époque mais la plaque photographique a 
été remplacée par un capteur
CCD (Charge Coupled Device) de 100 millions de pixels, de taille identique à la 
plaque photo originelle. L'image
définitive de l'étoile Proxima Centauri est-elle vue comme ponctuelle ou 
étendue sur le capteur photosensible ?
L'efficacité quantique QE d'un capteur CCD donne le taux de transformation de 
la lumière en charge, soit la
probabilité qu'un photon incident donne « naissance » à un électron dans le 
capteur. Pour la longueur d'onde
étudiée, cette sensibilité quantique QE est de 30%.

Q 20. Sachant que la puissance surfacique reçue sur Terre par le Soleil dans le 
visible est de 600 W:m * et
que la lentille d'entrée de l'instrument est de diamètre D, = 50 cm, de combien 
d'électrons sera composé le
signal résultant de l'étoile pour une exposition de 12 minutes du capteur ? 
Quelle est la charge produite par le
capteur ?

Q 21. La diffraction par la lentille d'entrée L, est-elle gênante pour les 
observations ?

ITI.B --- Mesure de la distance entre la Terre et l'étoile
La parallaxe est l'effet du changement de position de l'observateur sur ce 
qu'il perçoit.

La parallaxe annuelle est, par définition, l'angle qui mesure le déplacement, 
au cours de l'année, de la position
apparente, perçue depuis la Terre, d'une étoile proche par rapport aux étoiles 
lointaines (figure 4).

2020-02-17 19:06:53 Page 3/8 FO) 8y-Nc-sA
étoiles lointaines

Figure 4 Schéma explicatif de la mesure de parallaxe solaire

Sur la figure 4, deux instants d'observation sont représentés par O, et O:.

Le satellite Hipparcos (High Precision Parallaxe Collection Satellite) a mesuré 
la parallaxe de P£ = 1545
millisecondes d'arc pour Proxima Centauri.

Q 22. Calculer, à partir de cette valeur de la parallaxe Pr, la distance 
séparant l'étoile Proxima Centauri
du système solaire et comparer à la valeur donnée au début de cette partie.

Q 23. Pourquoi la distance entre la Terre et le Soleil varie-t-elle au cours de 
l'année ?

IT.C --- Mesure du rayon de l'étoile

En 2002, le VLT (Very Large Telescope) utilisa l'interférométrie pour mesurer 
le diamètre angulaire de Proxima
Centauri: à = 1,02 + 0,08 milliseconde d'arc. Connaissant sa distance, obtenue 
par la méthode de la parallaxe,
il est alors possible de déterminer son rayon.

II.C.1) L'étoile est d'abord supposée ponctuelle et l'instrument d'optique est 
pointée sur elle. L'étoile se
situe à l'infini sur l'axe optique de l'instrument, elle est repérée par son 
centre $. Le dispositif d'interférométrie
est modélisé par deux trous d'Young de taille identique, respectivement en 7) 
et T,, séparés d'une distance a
réglable. Ce dispositif est placé devant la lentille convergente L, de 
l'instrument d'optique. Pour simplifier, on
ne tiendra pas compte dans cette partie de la seconde lentille Z, et les 
observations sont donc effectuées dans
le plan de l'image intermédiaire. Un point M dans ce plan est repéré par son 
abscisse x (figure 5).

(Li)
A
S' 7
eee Ta
= x M
a/2 Ce L
S ---- D _ ZE. _ Lo ee... iT a ----
EUR : FE'
: 1
ï
Lo
4

Figure 5 Schéma du dispositif d'interférométrie
pour la mesure du rayon de l'étoile Proxima Centauri

Q 24. Faire un schéma des deux rayons lumineux passant par 71 et 7, qui 
convergent vers le point M.
Représenter la différence de marche entre ces deux rayons sur ce schéma.

Q 25. Établir l'expression de l'ordre d'interférence ps(M), produit par la 
source S'au point M.

Q 26. Décrire alors la figure d'interférences.

Q 27. En notant 1, l'intensité moyenne, donner, sans démonstration, 
l'expression de l'intensité lumineuse
I(M) dans le plan d'observation.

II.C.2) L'étoile est à présent modélisée comme une source étendue vue sous un 
diamètre angulaire a. On
considère un autre point source $" à la périphérie de l'étoile (figure 5).

Q 28. Faire un schéma des deux rayons lumineux issus de $", passant par T° et 
T, et qui convergent vers le
point M. Représenter la différence de marche entre ces deux rayons sur ce 
schéma.

Q 29. Établir l'expression de l'ordre d'interférence ps (M) produit par la 
source S' au point M.

Q 30. En déduire l'expression de la plus petite valeur de a qui conduit au 
brouillage de la figure d'interférence
produite par les deux sources incohérentes S'et S".

Q 31. Faire l'application numérique et commenter.

Q 32. Expliquer qualitativement pourquoi le raisonnement précédent, utilisant 
deux sources ponctuelles l'une
située au centre et l'autre sur le bord apparent de l'étoile, rend compte des 
observations obtenues avec l'objet
étendu qu'est la véritable étoile.

2020-02-17 19:06:53 Page 4/8 FO) 8y-Nc-sA
IIT Voyager vers Proxima du Centaure

Pour accomplir un voyage hypothétique vers Proxima du Centaure, on envisage un 
vaisseau à voile solaire,
propulsé grâce à la réflexion du rayonnement électromagnétique du Soleil sur la 
voile. Plus la voile est grande
et réfléchissante, plus grande est la force de propulsion.

Une onde plane progressive monochromatique, se propageant selon ü.,. depuis les 
x < 0, arrive sur la voile solaire, métal de conductivité réelle +, assimilée dans un premier temps à un demi espace infini x > 0 (dénommé dans
la suite approximation espace infini).

L'onde incidente dans le demi espace vide des x < 0 s'écrit, en notation complexe, E = E exp(j(wt -- kx))ü 1 U et arrive en x = Ü sur un métal de conductivité 7. Q 33.  Rappeler sans démonstration l'équation dont le champ électrique est solution dans le vide. En déduire la relation de dispersion liant k et w en fonction de la célérité c de l'onde. Comment qualifier la propagation de cette onde ? Q 34. Établir l'expression du champ magnétique associé à cette onde incidente. Q 35. Déterminer l'expression de la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting associé à cette onde incidente. Cette onde incidente donne naissance à l'interface avec la voile solaire à : -- une onde réfléchie (se propageant selon --%, dans l'espace x < 0) de la forme E,=r£E, exp(j(wt + kx))ü, : -- une onde transmise (se propageant selon +ü,. dans l'espace æ > 0) de la forme

-->

E =tE, exp(j(wt -- k x))ü,,.

Dans le métal (demi espace x > 0), le champ électrique de l'onde transmise 
vérifie l'équation différentielle

_ 0E, OE,
AE, -- CRETE + HOË0 542 (IIL.1)

Q 36. Proposer une simplification de l'équation (IIL.1) pour une onde, dans le 
domaine du visible ou de
l'infrarouge, se propageant dans l'or de conductivité + = 45 x 10% S:m {.

Q 37.  Exprimer le vecteur d'onde complexe kE, en fonction d'une longueur à 
dont on donnera l'expression
et la signification.

Q 38. Proposer une épaisseur raisonnable pour la voile solaire afin que 
l'approximation espace infini puisse
être conservée. Sachant que la masse volumique de l'or est p = 19,3 g-cm *, 
estimer la masse d'une voile solaire
de surface 100 m*.

vide métal vide

Figure 6

La figure 6 représente l'évolution spatiale de la norme du vecteur de Poynting 
moyen pour une voile pour laquelle
l'approximation espace infini n'est plus vérifiée. À est le coefficient de 
réflexion en énergie de la voile.

Q 39. Commenter cette figure. À quel phénomène la situation étudiée est-elle 
analogue ?

Q 40. En utilisant le modèle corpusculaire de la lumière, proposer une 
expression de la force qui s'exerce sur
la voile en fonction, entre autres paramètres, de la puissance 
électromagnétique moyenne incidente par unité
de surface et de À, coefficient de réflexion en énergie de la voile. Évaluer 
l'ordre de grandeur de cette force à

proximité de la Terre où la puissance surfacique du rayonnement solaire est 
d'environ 1000 W:m°*.

2020-02-17 19:06:53 Page 5/8 FO) 8y-Nc-sA
IV Une exoplanète : Proxima Centauri b

Le 24 août 2016, l'observatoire européen austral annonce en conférence de 
presse la découverte de Proxima
Centauri b, une planète « super Terre » rocheuse de masse M, d'environ 1,3 
masse terrestre, en orbite à une
distance de 7 millions de kilomètres de Proxima Centauri (soit dans la zone 
habitable). Cette exo-planète a été
détectée, de manière indirecte, par la méthode des vitesses radiales.

Figure 7 Schéma représentant l'étoile Æ et la planète P en rotation
autour du point @, centre de masse du système {étoile + planète} :
le point Fest un point utilisé pour étudier le mouvement de E et P
autour de G

IV.A - Étude du mouvement du système {étoile + planète}

La détection de la planète repose sur le fait que le centre de masse G du 
système {étoile + planète} n'est pas
confondu avec le centre de l'étoile. L'étoile Æ et la planète P tournent toutes 
les deux autour du centre de masse
G du système complet (figure 7).

Le centre de masse G est défini par l'une des deux relations

(Mp + Mh)AG = MR AË+ MAP pour tout point À

Toutes les forces autres que la force d'interaction gravitationnelle entre la 
planète et l'étoile sont négligées. On
suppose que le référentiel d'étude, de centre G dont les 3 axes pointent vers 
trois étoiles lointaines est galiléen.

Q 41. Établir la relation GP= ----E__ EP, Contrôler la pertinence de cette 
expression en étudiant des
M 5 + Mp

cas limites.

On note pour la suite À = EPet |f| = r.

Q 42. En appliquant le principe fondamental de la dynamique à la planète P dans 
le référentiel d'étude,

établir l'équation différentielle vérifiée par r.

On considère le point F défini par r -- GF. Ce point est en mouvement 
circulaire, de période T\ autour de G.

Q 43. Établir la relation

r _ G(Ms+M

T2 AT?
Quel nom porte cette loi ?

Q 44.  Justifier que Æ a un mouvement circulaire uniforme autour de G et 
établir l'expression de sa vitesse
de révolution en fonction de M}, M, r et T

2020-02-17 19:06:53 Page 6/8 FO) 8y-Nc-sA
IV.B --- Résultats ayant conduit à la découverte de la planète Proxima Centauri 
b

Dans le cas le plus favorable à l'observation, la Terre est dans le plan des 
trajectoires de E et P (figure 7),
l'étoile Æ possède alors un mouvement apparent oscillant et la mesure de sa 
composante V de vitesse selon l'axe
de visée depuis la Terre est possible par effet Doppler-Fizeau, qui entraine un 
décalage des raies spectrales de
l'étoile par rapport à leur position mesurée sur Terre, selon la relation

Jobs = Jem ... V

Jen C

OÙ fem EURt Jobs représentent respectivement la fréquence à l'émission et la 
fréquence observée sur Terre.
Le professeur Bouchy de l'observatoire astronomique de Provence propose, en 
2005, dans son intervention sur
les exoplanètes la formule suivante pour le décalage Doppler lors de la 
détection indirecte d'exoplanètes par la

méthode des vitesses radiales

Jobs -- Jem _ (re) Mhsini 1
fem T (Mp + M)? cv1-- e2

où M, et M} sont respectivement les masses de la planète et de l'étoile, T'la 
période de la planète, e l'excentricité
de l'orbite et 2? l'angle entre la ligne de visée et la perpendiculaire au plan 
orbital du système. L'excentricité e
vérifie 0 < e < 1, avec e = 0 pour une orbite circulaire. Q 45. En utilisant les résultats de la sous-partie précédente (IV.A), établir une formule analogue à la formule proposée par le professeur Bouchy. Commenter les différences. Q 46.  Connaissant la masse de Proxima centauri, My = 2,44 X 10*° kg déterminée grâce à l'analyse de son rayonnement, exploiter les données expérimentales de la figure 8 pour déterminer la masse de la planète Proxima Centauri b. 20 l Î I I I I Ï -- 15 | _- 10 ju À À | DT OT J KL N RV (km/hour) ©O | SL ÿ à --10 + 7 --15 --- --20 © | | | | | | | | | 20 30 40 50 60 70 80 90 Days since 1 Jan 2016 Figure 8 Variations de la vitesse radiale de l'étoile Proxima Centauri au cours du premier tri- mestre 2016 -- Source : European Southern Observatory, Guillem Anglada-Escudé CIEL 2020-02-17 19:06:53 Page 7/8 Données Perméabilité magnétique du vide Permittivité diélectrique du vide Charge élémentaire Constante d'Avogadro Constante de Boltzmann Constante des gaz parfaits Constante de Planck Vitesse de la lumière dans le vide Constante universelle de la gravitation Masse de l'électron Masse du proton Rayon moyen de la Terre Distance Terre-Soleil Masse de la Terre Rayon du Soleil Masse du Soleil Masse volumique de l'eau pure à 10 °C Énergie de l'atome d'hydrogène dans son état fondamental Numéro atomique de l'oxygène Masse molaire atomique de l'oxygène Enthalpie molaire standard de formation de O, Entropie molaire standard de O, Entropie molaire standard de O: lo = 47 x 107 H-m En = 8,854 x 10 {2 Fm ! e = 1,602 x 10 © C N 1 = 6,02 x 107 mol ! kp = 1,381 x 10  J-K°! R = 8.314J.K !'mol | h = 6.626 x 10 % J.s c = 3,00 x 10° ms ! G = 6,674 x 10 !! m°kg Les 2 m, = 9,109 x 10 "1 kg m, = 1,673 X 10777 kg Rr = 6,38 x 10% m Drs = 1,50 x 105 km My = 5,97 X 10% kg Re = 6,96 x 10$ m Ms = 1,99 x 10° kg p = 1,00 x 10° kg-m * --13,6 eV 8 16,0 g-mol 141,9 kJ:mol-* (à 298 K) 205 J-K"-mol-" (à 298 K) 239 J-K'-mol =" (à 298 K) ee eFINee.e 2020-02-17 19:06:53 Page 8/8 CIEL

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique et Chimie 2 MP 2020 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Alexandre Herault (professeur en CPGE) et Steve
Arnefaux (professeur en CPGE) ; il a été relu par Augustin Long (professeur en
CPGE), Vincent Freulon (professeur en CPGE) et Tom Morel (professeur en CPGE).

Le sujet s'intéresse à l'étoile la plus proche du Soleil : Proxima du Centaure. 
Il est
composé de 4 parties totalement indépendantes.
· La première partie traite de la chimie de l'ozone. On écrit des structures de
Lewis pour le dioxygène et pour l'ozone, puis on s'intéresse à la 
thermodynamique de l'équilibre entre ces espèces, pour finir par une étude 
rapide de la
cinétique de la production d'ozone.
· La deuxième partie est dédiée à l'optique. Elle commence avec la découverte de
l'étoile par son observation avec un instrument d'optique. La deuxième 
souspartie est très courte et permet de remonter à la distance entre le Soleil 
et
l'étoile en introduisant la parallaxe. La dernière sous-partie est consacrée à 
la
mesure du rayon de l'étoile grâce à un interféromètre de trous d'Young.
· La troisième partie s'intéresse à l'élaboration d'un vaisseau à voile solaire
propulsé grâce à la réflexion du rayonnement électromagnétique. Elle permet de
tester ses connaissances sur la propagation des ondes électromagnétiques dans
le vide et dans les métaux.
· La dernière partie, consacrée à la mécanique, présente une des techniques de
détection des exoplanètes en introduisant le problème à deux corps. Elle permet
également de comprendre la mesure de la masse minimale d'une exoplanète par
effet Doppler.
Le thème de ce problème est intéressant et invite les étudiants à la réflexion 
concernant l'espace et les étoiles. De longueur raisonnable, avec de nombreuses 
notions de
1re et 2e année, le sujet est largement abordable et permet de tester rapidement
ses connaissances en chimie, optique, électromagnétisme et mécanique. Le 
problème
comporte également deux questions ouvertes qui peuvent servir d'entraînement.

Indications
Partie I
6 Les atomes d'oxygène terminaux sont en réalité équivalents et portent tous 
deux
une moitié de la charge négative.
7 Relier la constante d'équilibre à r G .
8 La pression atmosphérique au sol est voisine de 1 bar. L'air contient 20 % de 
O2 .
9 On peut considérer les effets de T, de P et de xO3 sur l'équilibre.
10 Lorsque l'on s'enfonce dans l'atmosphère la couche absorbe le rayonnement UV.
12 Utiliser la relation de la question 11 pour écrire la vitesse de formation 
de O3 .
Partie II
17 Penser à calculer O1 O2 pour savoir où placer l'objet A1 B1 .
18 Utiliser le résultat de la question 15 pour déterminer la taille de l'image 
A0 B0 sur
le capteur.
20 Faire l'hypothèse que la puissance surfacique M émise par les deux astres est
identique. En déduire la puissance surfacique reçue sur Terre par l'étoile et 
déterminer le nombre de photons entrant dans l'appareil optique.
1
30 La première condition de brouillage s'écrit |p| = m + , m  N.
2
32 De nouveau, penser aux conditions de brouillage dans le cas de deux sources
ponctuelles et dans le cas d'une source large.
Partie III
36 Comparer les ordres de grandeur des deux termes de droite de l'équation 
(III.1)
de l'énoncé.
-

38 On peut considérer que le champ Et a totalement disparu à partir de x = 10 .
40 La quantité de mouvement du système {voile + photon} se conserve et d'après 
le
principe fondamental de la dynamique appliqué à la paroi :
-

-

p paroi
F =
t
Pour simplifier, les chocs sont considérés comme élastiques.
Partie IV
41 Évaluer la relation du centre de masse pour un point P.
42 Appliquer le principe fondamental de la dynamique à P et utiliser la relation
démontrée à la question précédente.
44 Montrer que le point F décrit un mouvement circulaire uniforme. Relier 
ensuite
-
-
le vecteur GE au vecteur 
r.
46 Considérer MP  ME puis vérifier l'hypothèse.

Proxima du Centaure
I. Ozone et atmosphère
1 Les rayonnements ultraviolets ont des longueurs d'onde plus petites que les 
rayonnements visibles qui se situent entre 400 et 800 nm environ. La figure 2 
présente des
longueurs d'onde entre 200 et 350 nm, ce qui correspond bien à l'ultraviolet.
L'énergie des rayonnements ultraviolets est suffisante pour arracher des 
électrons
aux atomes, les transformant ainsi en ions : on parle de rayonnement ionisant.
L'ordre de grandeur de l'énergie mise en jeu est
6,626 · 10-34 × 3,00 · 108
hc
 6,6 · 10-19 J  4 eV
=

300 · 10-9
On retrouve bien l'ordre de grandeur des énergies d'ionisation : quelques 
électronvolts.
E=

Comme E = hc/, l'énergie augmente lorsque la longueur d'onde diminue.
Les rayons ultraviolets sont donc plus énergétiques que la lumière visible.
Les rayons X puis gamma, le sont encore plus.
2 On constate sur la figure 2 que la couche d'ozone absorbe les rayons 
ultraviolets lorsque la longueur d'onde diminue (c'est-à-dire lorsque l'énergie 
augmente).
L'absorption moyenne des UVa est de 50 %, celle des UVb, plus énergétiques, de
90 % et les UVc, encore plus énergétiques, sont totalement absorbés. Plus 
l'énergie
est grande, plus le rayonnement est ionisant, ce qui est nocif pour la santé. 
La couche
d'ozone permet la vie terrestre car elle absorbe les rayonnements UV les plus
énergétiques.
3 D'après les règles de Klechkowski, Hund et Pauli, la configuration 
électronique
de l'oxygène dans son état fondamental est
1s2 2s2 2p4

O(Z = 8) :

4 La représentation de Lewis du dioxygène est

O

O

5 La représentation de Lewis de l'ozone est

O

O
O

6 La molécule d'ozone est polaire car le barycentre des charges positives n'est
pas confondu avec celui des charges négatives.
La représentation de Lewis donnée à la question précédente n'est en fait pas
suffisante pour décrire la molécule d'ozone. Celle-ci présente en effet une 
délocalisation électronique qui partage la charge négative entre les deux 
atomes d'oxygène
terminaux, qui sont en réalité équivalents. Le moment dipolaire est dirigé 
selon la
bissectrice de l'angle entre les liaisons.

-
µ

Publié dans les Annales des Concours

La délocalisation se traduit par l'équivalence des atomes d'oxygène
terminaux. On peut représenter l'ozone comme suit :

O

O

O

Si l'on ne prenait pas en compte cette délocalisation, notion qui n'est
pas au programme de la filière MP, on orienterait le moment dipolaire le long
de la liaison O-O qui porte les atomes chargés dans la représentation de la
question précédente. Cette réponse devait sûrement être acceptée.
7 On considère l'équilibre
3 O2(g) = 2 O3(g)
D'après la loi de Hess,
r H = 2 f H (O3(g) ) - 3 f H (O2(g) ) = 2 × 141,9 - 0 = 283,8 kJ.mol-1
r S = 2 Sm (O3(g) ) - 3 Sm (O2(g) )

Par définition,
AN:

r S = 2 × 239 - 3 × 205 = -137 J.K-1 .mol-1
r G = r H - T r S

Comme

il vient, à 298 K, r G = 283,8 + 298 × 0,137 = 324,6 kJ.mol-1
La constante d'équilibre est, par définition,

-r G
-324,6 · 103
K = exp
= exp
= 1,25 · 10-57
RT
8,314 × 298
La formation de l'ozone à partir du dioxygène est très défavorisée 
thermodynamiquement à 298 K, heureusement vu notre nécessité de respirer et le
caractère nocif de l'ozone en grande quantité !
8 À l'équilibre, on a
p(O3 )2 P
= K
p(O2 )3
En considérant que la pression atmosphérique au niveau du sol est de l'ordre de 
1 bar
et que l'air contient 20 % de dioxygène, on a alors p(O2 ) = 0,2 bar. Il vient 
ainsi
r
r
p(O2 )3 K
0,23 × 1,25 · 10-57
p(O3 ) =
=
 3 · 10-30 bar

P
1
9 Lorsque l'on s'élève dans la troposphère, la température et la pression 
atmosphérique diminuent. D'après la loi de Van't Hoff,
d ln K
 r H
=
>0
dT
RT2
donc K (T) diminue lorsque T diminue : la baisse de température a tendance à
déplacer l'équilibre vers la gauche. Par ailleurs, la pression totale diminue 
elle aussi.
Le quotient réactionnel s'écrit
Q=

x2O3 P
p(O3 )2 P
=
p(O2 )3
x3O2 P