Centrale Physique et Chimie 2 MP 2019

Thème de l'épreuve Capture d'empreintes digitales. Stockage de déchets radioactifs.
Principaux outils utilisés optique géométrique, électromagnétisme, physique quantique, diffusion thermique, oxydoréduction
Mots clefs réflexion totale, résolution, effet tunnel, coefficients de transmission et de réflexion, flux conducto convectif, verre R7T7, déchets nucléaires, fugacité, dioxygène, cérium

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


Physique-chimie 2
MP

4 heures Calculatrice autorisée

2019

Les deux parties de ce sujet sont indépendantes. Certaines valeurs numériques 
sont regroupées en fin d'énoncé.
Certaines questions peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part du 
candidat. Leur énoncé est repéré
par une barre en marge. Il est alors demandé d'expliciter clairement la 
démarche, les choix et de les illustrer,
le cas échéant, par un schéma. Toute démarche engagée, même non aboutie, et 
toute prise d'initiative seront
valorisées. Le barème prend en compte le temps nécessaire à la résolution de 
ces questions.

I Capture d'empreintes digitales par réflexion totale frustrée

Il existe différentes technologies de capteurs d'empreinte digitale, c'est-
à-dire de dispositifs permettant d'obtenir une image numérisée d'une
empreinte digitale, le plus souvent à des fins d'identification. Certaines
de ces technologies sont embarquées dans des smartphones. La techno-
logie dite « capteur optique d'empreinte digitale » est très employée,
elle repose sur le phénomène de réflexion totale frustrée qui est l'objet
de cette étude.

Le doigt est posé à plat sur l'hypoténuse d'un prisme droit isocèle taillé
dans un verre d'indice optique noté n. Il est éclairé par une diode laser
de longueur d'onde À, dans le vide. L'image de l'empreinte digitale
à travers un système optique est formée sur un capteur CCD puis
numérisée. La figure 2 décrit le schéma de principe de ce dispositif.

Figure 1 Capteur d'empreinte digi-
tale (Wikimedia, Rachmaninoff, 2009-10-21)

2 |
/ Système optique

CCD
À À
LSI| CPU RAM || Port série
EE
LED

Figure 2 Principe d'un capteur optique d'empreinte digitale

En première approche, le système optique se résume à la traversée d'un dioptre 
(D) et d'une lentille convergente
(£) (figure 3). Si À est un point objet de l'empreinte digitale, alors on note 
À, l'image de À à travers le dioptre
(2) et À' celle de À; à travers la lentille (£) :

(2) (£) ,
A----> À, -- A.

On définit également les longueurs algébriques suivantes :
D; = A;4', D = AA;, p=OÀ;, p' = OA.

Les sous-parties I.A.1 et I.A.2 sont indépendantes du reste du problème. La 
sous-partie I.A.3 introduit la
suite. Les sous-parties [.B et [.C sont liées par une analogie qu'on souhaite 
établir entre deux situations, l'une
se présentant en physique quantique et l'autre en optique ondulatoire. 
Néanmoins, en dehors des questions
développant l'analogie, les sous-parties sont conçues de manière relativement 
autonomes.

2019-05-13 08:40:06 Page 1/12 CEE
(£) CCD

axe optique

écran
D

Figure 3 Schéma optique

IA --- Optique géométrique
I.A.1) Conception du système optique

L'objectif ici est de choisir la distance focale f' de la lentille et sa 
position, par exemple en déterminant p'. À
cet effet, on donne n = 1,5, L = 3 cm, D = 10 cm et le grandissement 
transversal 7 = p"/p du système optique.

Q 1. Montrer que, dans les conditions de Gauss, la relation de conjugaison 
entre À et À; par le dioptre

plan formé par la face de sortie du prisme s'écrit HA, = -- HA.
n

verre indice n Î La air indice 1

Figure 4

Q 2. Exprimer p et p" en fonction de D, et de y. Déterminer alors f" en 
fonction de D, et de 7 à l'aide de

1 1 1
la formule de conjugaison de Descartes : -- -- -- = --.
pp
Q 3. On souhaite déterminer la condition portant sur la distance focale f" 
d'une lentille convergente si

l'on veut former l'image réelle sur un écran situé à une distance D, d'un objet 
réel. En remarquant qu'il faut
7 < 0 pour obtenir une image réelle d'un objet réel, montrer que le rapport D. /f" est inférieurement borné. En déduire l'inégalité vérifiée par f". Q 4. Applications numériques. On suppose + = --2. À quelle distance place-t-on la lentille devant l'écran et quelle est sa focale ? Q 5. On souhaite avoir une image la plus agrandie possible (|| maximal), mais sans augmenter l'encom- brement du dispositif, ce qui impose de ne pas augmenter la longueur D,. Dans quel sens faut-il faire varier f" ? En pratique, quelle limitation rencontre-t-on ? I.A.2) Résolution de l'image Dans cette sous-partie, on fait abstraction du prisme, on considère que l'empreinte est positionnée en À, au lieu de À. Une empreinte digitale est faite de sillons de profondeur moyenne e -- 30 yum et dont deux crêtes voisines parallèles sont distantes de à -- 100 pm. On note [, la largeur d'un pixel (considéré comme étant de forme carrée) du capteur CCD. On cherche à obtenir l'image des crêtes du sillon sur le capteur CCD : la lentille conjugue le plan des crêtes, où se situe A,, à l'écran CCD (figure 5). Sur la figure 6, les points M7,, M, et M, détaillent le motif de l'empreinte et leurs images respectives M, , M, ct M, détaillent l'image de l'empreinte. On remarque que le point M, ne se forme pas tout à fait sur la surface du CCD, les rayons lumineux délimités par la monture de la lentille viennent former une petite tâche circulaire de diamètre ©. On note p" la distance entre la lentille et la surface du CCD et [p| avec p < 0, la distance entre la lentille et le plan formé par les points objets M, et M,. On note alors y = p' /p le grandissement entre les couples de points conjugués (M,,M) et (M3,M,). On a y = --2. Q 6. À quelle condition sur a et sur |. peut-on distinguer deux crêtes successives ? Quelle taille de pixel recommandez-vous ? 2019-05-13 08:40:06 Page 2/12 (C)EATETSS | (£) image À empreinte DA, | | | Y | | WT lt... esse see PE EEE »| | Figure 6 Formation de l'image d'un sillon d'empreinte digitale Q 7. On note d le diamètre de la monture de la lentille (£). Montrer que d -- yd=, dans l'approxima- P tion e & |p|. En notant e" la distance de M, à la surface du capteur CCD, on pourra montrer e" & ve. Q 8. On voudrait que seules les crêtes soient nettes sur l'image et donc que les creux apparaissent flous. Pour cela, il faudrait que le diamètre @ de la tache excède la distance M}M,. Quelle inégalité doit alors vérifier le diamètre d de la monture ? Montrer, en argumentant sur les ordres de grandeur, que c'est contraire au respect des conditions de Gauss. L.A.3) Réflexion totale Un montage simple avec une lentille ne permet donc pas de capturer facilement les empreintes digitales de sorte que seules les crêtes apparaissent sur l'image. On reprend donc le dispositif complet, incluant le prisme. Q 9. Énoncer soigneusement les lois de Snell-Descartes. Q 10. Définir la réflexion totale et en donner les conditions. Q 11. Étant donné la position de l'empreinte digitale, si on s'en tient strictement à l'énoncé des lois de Descartes, peut-on éclairer le doigt, afin de former son image sur le capteur CCD ? On rappelle que n = 1,5. Dans le montage proposé, la lentille permettra d'obtenir l'image du doigt sur l'écran du CCD. Néanmoins, il faut aborder l'optique ondulatoire pour comprendre comment le doigt est éclairé au travers du prisme. I.B --- Passage d'une onde électromagnétique sur un dioptre L.B.1) Relation de dispersion Q 12.  Rappeler les équations de Maxwell dans une région vide de courant et de charge. En déduire l'équation de propagation d'une onde électromagnétique, sa relation de dispersion, sa vitesse de phase. Le vide est-il dispersif ? Q 13. On admet que dans un milieu linéaire, homogène, isotrope et parfaitement transparent, tout se passe comme si l'on remplaçait dans la relation de dispersion précédente la permittivité du vide EUR, par la grandeur nn, appelée permittivité du milieu, où n est l'indice optique du milieu (n est un réel supérieur à 1). On rappelle que la valeur de l'indice optique d'un matériau varie avec la longueur d'onde À, dans le vide. En déduire la nouvelle relation de dispersion et l'expression de la vitesse de phase. Le milieu est-il dispersif ? I.B.2) Coefficients de réflexion et de transmission On considère une onde électromagnétique monochromatique incidente polarisée rectilignement selon la direction -- . . / , T _ -- -- . _ -- T é, et se propageant dans la direction donnée par son vecteur d'onde k; = k;,é, + k;,6,. On note à, = (EUR,,k;) l'angle d'incidence de cette onde sur le dioptre plan d'équation z = 0. Le champ électrique s'écrit -- E;(M,t) = Ejé,exp(--j(wt--k;-F)) où Fr =OM. 2019-05-13 08:40:06 Page 3/12 (C)EATETSS On note k, = w/c, le module de son vecteur d'onde dans le vide. Au passage du dioptre, cette onde donne naissance : ---- À une onde réfléchie E, = rEgé, exp(--j(wt -- k. r)), -- à une onde transmise (onde réfractée) E, -- tEje, exp(--j(wt -- k, -7)), où r et { sont des nombres complexes appelées coefficients de réflexion et de transmission en amplitude. À L k, _ SE, Ë, T e k,. | À / 2 à. . à O Z > Cr
E,;
e --
k, .
-- Cz
e e e e e y
verre indice ñn | air indice 1

Figure 7 Réflexion et réfraction d'une
onde électromagnétique sur un dioptre

De même, on note k, = k,.,6, -- kEUR. et k, = k,,.6, + k,.6..
Enfin, on admet que les champs électriques et magnétiques sont continus à la 
traversée de ce dioptre.

Q 14. Montrer que, en tout point du dioptre,
exp(ik;st) +rexp(jk,,t) = Éexp(jkt) (L.1)

Q 15. En déduire une relation notée (1.2) entre r ct t.
Q 16. On admet que (L.1) conduit à l'égalité k,, = k
portant sur les angles 2., à et t9.

rx = k,,. En déduire les deux relations de Descartes

Q 17. À partir de l'étude du champ magnétique, trouver une deuxième équation 
notée (1.3) reliant r et £.

° \ 7 . . à 1 V \ , / k.. . '
La solution du système d'équation conduit à r -- ct 4 = ----, où l'on a posé v 
-- --<, qui est éven- l+z l+z iz tucllement un nombre complexe. Nous reviendrons sur ces coefficients dans la sous-partie [.C. Néanmoins, on remarque immédiatement qu'on n'a jamais & = 0, même dans le cas d'une réflexion totale. Il y a toujours une onde électromagnétique transmise. Dans la suite de cette sous-partie, nous nous intéressons à la forme que prend cette onde transmise. Q 18.  Expliciter les composantes du vecteur d'onde k, en fonction de n, k et 41. Q 19. En remarquant que k?. -- k° -- k. exprimer k?. en fonction de n, k, et ?,. En déduire l'expression de k,. (on distinguera deux cas). Écrire le champ électrique transmis complexe dans les deux cas (sans chercher à expliciter {). Q 20. Quelle est la forme de l'onde transmise dans le cas d'une réflexion totale ? Comment la qualifie- t-on ? Exprimer la longueur typique, notée 0, de pénétration de cette onde dans la direction EUR. Expliquer qualitativement pourquoi il n'y pas, en moyenne, de puissance propagée dans la direction EUR.. IC --- Barrière de potentiel et effet tunnel en physique quantique. Analogie avec la réflexion totale frustrée En physique quantique, c'est la description ondulatoire de la matière qui permet d'expliquer l'effet tunnel. En effet, là où une particule décrite dans le cadre de la mécanique classique est arrêtée au pied d'une barrière de potentiel, une particule décrite dans le cadre de la physique quantique voit sa fonction d'onde « déborder » légèrement dans la barrière de potentiel sous forme d'onde évanescente. De la même manière, là où l'optique géométrique interdit à un rayon lumineux de franchir un dioptre en situation de réflexion totale, l'optique ondulatoire montre que l'onde électromagnétique « déborde » légèrement du dioptre sous la forme d'une onde évanescente. L'objectif de cette sous-partie est donc de construire une analogie entre le comportement d'une onde de de Broglie devant une barrière de potentiel, rencontré en physique quantique, et celui d'une onde électromagnétique dans le cas d'une réflexion totale. 2019-05-13 08:40:06 Page 4/12 (C)EATETSS On rappelle que dans le cas d'un état stationnaire la fonction d'onde associée à une particule de masse m vérifie l'équation de Schrôüdinger indépendante du temps : dans une modélisation à une dimension spatiale, on écrit sa fonction d'onde W(x,t) = b(x)exp(--juwt) où (x) vérifie l'équation h?2 ---- AD(x) + V(x)b(x) = Eb(x) 2m où E = E, + V(x) est l'énergie totale de la particule, Æ, étant son énergie cinétique. I.C.1) Marche de potentiel On rappelle que la fonction d'onde ainsi que sa dérivée spatiale sont continues en un point qui connait une variation finie de potentiel. On considère le profil de potentiel suivant, qui présente une marche en x = 0, _ JO si æ < 0 Ve 20 six > 0

et une particule d'énergie ÆE qui, provenant de la région des x négatifs, 
arrive sur la « marche » de potentiel de
hauteur W,.

Q 21. Montrer que dans la région x < 0 où V(x) = 0, la solution générale est de la forme Dax) = Aexp(jkx) + Bexp(--jkx) où k est choisi positif. Exprimer k en fonction de Æ et de la masse m de la particule. Q 22.  Exprimer de même la solution générale de la fonction d'onde dans la région x > 0 sous la forme
Pp(x) = C'exp(jgx) + D'exp(--jgx).

La grandeur q, éventuellement complexe, est choisie avec R(q) > 0 et, si R(g) = 
0, avec F(q) > 0. En distinguant
les situations £ > V5 et E < V5, exprimer q en fonction de E, V5 et m. Que peut-on dire de D? Q 23.  Exprimer les cocfficients complexes r et { de réflexion et de transmission en amplitude en fonction de q la grandeur v -- T Q 24. Dans cette question, on se place dans le cas Ë > V,. Rappeler pour une 
onde plane harmonique

l'expression du vecteur densité de courant de probabilité, noté J. en fonction 
du vecteur d'onde et de la fonction
d'onde. Donner la définition des coefficients réels À et T'de réflexion et de 
transmission en probabilité en fonction
des vecteurs densité de courant de probabilité incident, réfléchi et transmis 
J.. J. et J,. En déduire l'expression
de À et T'en fonction de v, r, t, puis de v seulement. Vérifier alors À + T = 1 
et interpréter.

Q 25. Dans cette question, on se place dans le cas E < V,. Expliquer qualitativement pourquoi T = 0. I.C.2) Synthèse I.B.2 et I.C.1 Le tableau 1 met en analogie la barrière de potentiel en physique quantique et le franchissement d'un dioptre en optique ondulatoire. Barrière de potentiel VW, > E Réflexion totale nsinti, > 1
h 2
+ =E ke HR = Ki
2m
2 2 2
W>0 -- g <0etqgejk ko>k = |?
Onde évanescente : atténuation au lieu de propaga- Onde évanescente : selon 
EUR,, atténuation au lieu de
tion propagation

IR

k _
v=5=fjetr=f = =fjer---

Existence d'une amplitude de probabilité non nulle
au delà de la marche de potentiel (sur une petite
profondeur 6)

IR

Existence de |?;}| non nul au delà du dioptre (sur une
petite profondeur à)

Tableau 1

Q 26. Donner le contenu des cinq masques |

2019-05-13 08:40:06 Page 5/12 (C)EATETSS

I.C.3) Effet tunnel et réflexion totale frustrée

Soit le profil de potentiel

0 si ït < 0 V(x)=4V0>0 s0 L

2m(V, -- E) : KE v2mE
et v = -- où k = .

h k h

On considère une particule d'énergie Æ qui provient de la région des x 
négatifs. La figure 8 donne sa fonction

d'onde dans les trois régions du potentiel. On montre alors que le coefficient 
T de transmission en probabilité

s'écrit T + exp(--2KkL).

On suppose E < V, et on pose k = V(x) à Région 1 Région 2 Région 3 Vo P,(x) = Aexp(jkx) + rAexp(--jkx) | p,(x) = uAexp(--kx) + vAexp(--k(L -- x)) | b3(x) = tAexp(jk(x -- L)) E L O L æ Figure 8 Formes d'une onde de de Broglie dans une barrière de potentiel L'effet tunnel est associé au fait que l'onde évanescente dans la barrière « déborde » légèrement au-delà de la barrière pour transmettre dans la Région $ une onde à nouveau progressive. De manière analogue, dans la situa- tion de la réflexion totale, l'onde électromagnétique « déborde » légèrement au-delà du dioptre dans la situation d'une réflexion totale si bien qu'en approchant un deuxième dioptre, on peut permettre la transmission d'une onde progressive, ce qui est la réflexion totale frustrée. Cette sous-partie propose d'étudier cette configuration en développant l'analogie avec l'effet tunnel. On considère une onde électromagnétique subissant une réflexion totale dans un prisme rectangle isocèle d'indice n = 1,5. On approche tête-bêche un second prisme rectangle isocèle du premier, de sorte que leurs hypoténuses respectives soient parallèles entre elles, comme indiqué sur la figure 9, et on note L la distance qui les sépare dans la direction horizontale. Les coefficients T'et R désignent respectivement les coefficients de transmission et de réflexion en énergie. Lorsque L tend vers l'infini, on retrouve la situation d'un seul prisme avec une réflexion totale, à savoir T = 0 et R = I. Mais lorsque L devient suffisamment petit, T'n'est plus nul : c'est le phénomène de réflexion totale frustrée. N 1 Figure 9 Q 27. On suppose que la crête d'un sillon est en contact avec le prisme et que le creux d'un sillon en est distant de e -- 30 pm. La diode laser émet à la longueur d'onde À, = 630 nm. À l'aide de l'analogie développée. évaluer le coefficient de transmission en puissance du creux du sillon. Conclure l'étude en expliquant en quoi le dispositif d'un tel capteur optique d'empreinte digitale repose sur le principe de réflexion totale frustrée. IT Stockage de déchets radioactifs à haute activité IT. À -- Énergie cinétique des particules à émises et émission thermique d'un échantillon radio- actif II.A.1) Quelques données sur la radioactivité alpha La radioactivité alpha est le processus de désintégration d'un nucléide radioactif 2X selon le bilan suivant Ay __ A4 4 ÿX = y 0) + He où le noyau He est appelé particule alpha, tandis que le noyau 2X est appelé père et le noyau 2 aY fus. En pratique, la radioactivité alpha concerne les noyaux lourds, Z = 82 -- 96 et À = 210 -- 250. 2019-05-13 08:40:06 Page 6/12 (C)EATETSS La constante radioactive À du radionucléide est son taux de désintégration par seconde. En notant Né) le nombre de radionucléides dans un échantillon donné, In La durée de demi-vie est le temps T -- Bu pendant lequel la moitié des radionucléides d'un échantillon donné se désintègrent. L'activité d'un radionucléide, exprimée en becquerels (Ba), est le nombre de désintégrations par seconde obser- vées dans un échantillon donné. La figure 10 met en relation les durées de demi-vie et l'énergie des particules alpha Æ, de quelques isotopes de l'uranium (7 = 92) et du polonium (7 = 84). La loi vérifiée empiriquement (courbe passant au milieu des points expérimentaux) est Ci V Ea où, pour un élément chimique donné, EUR et C, sont deux constantes. log, T -- + Co ol? ---- Polonium 10 * Uranium TK 10% + + x S = 10 10° 101 À 4,5 O 9,9 6 6,9 7 7,5 8 8,9 9 E, (MeV) Figure 10 Demi-vie fonction de E,, II.A.2) Modèle de Gamow (1928) On suppose que la particule alpha préexiste à l'intérieur du noyau 2 X et est piégée dans un puits de potentiel qui modélise l'interaction forte entre nucléons, dont la portée n'excède pas une dizaine de femtomètres, soit le rayon du noyau, noté À. À l'extérieur du noyau, soit à une distance r > À 
comptée depuis son centre, c'est
l'interaction coulombienne, répulsive, entre la particule alpha He (de charge 
+2e, où e est la charge élémentaire)
et le noyau fils DV (de charge +(Z -- 2)e) qui prédomine.

Désintégration alpha du Polonium-212 (Z=84)

Désintégration alpha du Polonium-212 (Z=S4)

"

7 30

20F

Energie particule alpha (MeV)
Energie particule alpha (Me)

à. % l &
4 os Ecinétique
Me L

1 ET 1 1 li 1 1

40 30 20 10 10 20 30 40 1 i L_# I Ï ! À

Ecinétique

Distance des centres en fermis Distance des centres en fermis

Figure 11 D'après http ://www.laradioactivite.com/

Classiquement, la barrière de potentiel assure la stabilité du noyau. Gamow 
interprète la radioactivité alpha par
effet tunnel. L'onde de matière associée à la particule alpha n'est pas 
strictement localisée si bien qu'il existe
une probabilité de l'observer en dehors du noyau. La particule alpha, à 
l'intérieur du noyau, possède une énergie

2019-05-13 08:40:06 Page 7/12 (C2) BY-Nc-SA |

cinétique : elle vient heurter la barrière à une fréquence }f, il y a une 
probabilité P qu'elle traverse la barrière de
potentiel. On montre alors que la constante radioactive s'écrit À = P f.
Calcul de l'effet tunnel

L'énergie potentielle coulombienne, appelée abusivement « potentiel » selon les 
habitudes de la physique quan-
tique, est notée V(r).

V(r)à
Ve
El. V, = 10 MeV
V, = V(R) avec R = 7,5 -- 8,5 fm
R' tel que V(R')=E
R R! T
Vo
Figure 12

Le calcul de la probabilité de transmission par effet tunnel pour le profil 
illustré figure 12 a été proposé en 1926
par Brillouin, Kramers et Wentzel (approximation dite BKW) et s'exprime ainsi :

R
P=exp(--7) avec  7-- | | V2m{V(r) -- E,,) dr.
R

2

e
ATEnhcC

V2me | Te - 1
y & 2(Z --2)avV 2mc (ZE )

La fréquence de collision de la particule alpha avec la barrière s'obtient par 
une approche classique :

En introduisant la constante a -- appelée constante de structure fine, on 
obtient :

__ © f2E, +V)
_ 2R me

Î

II.A.3) Questions

Q 28 Écrire l'énergie potentielle d'interaction coulombienne, notée V(r), entre 
la particule alpha ct le noyau
fils, en fonction de Z, e et de la distance r qui les sépare. On introduira la 
constante de structure fine.

In 2
Q 29  Justifier la formule 7 -- =.

Q 30.  Exprimer l'énergie cinétique de la particule alpha, en fonction de son 
énergie mécanique Æ,, quand
elle est à l'intérieur du puits. Justifier la formule

_ EUR PE +V)
_ 2R me

Î

Q 31. Avec À -- Pf, et moyennant des approximations qu'on explicitera, 
justifier la formule empirique pour
un élément chimique

Ci

7

log, T -- + Co.

Q 32. On considère un échantillon radioactif alpha d'activité massique À, = 3 x 
10!° Bq-g !. Définir la
grandeur intensive « émission thermique massique de l'échantillon », notée w 
(W:kg'). Estimer un ordre de
grandeur de w.

Q 33. Que représente la grandeur pw où p est la masse volumique de 
l'échantillon ?

2019-05-13 08:40:06 Page 8/12 (C)EATETSS
IT.B --- Température d'un fût de stockage
II.B.1) Présentation d'un fût de stockage

Les déchets à haute activité issus des centrales nucléaires, sont vitrifiés : 
ils sont incorporés dans un verre R7T7
destiné à les confiner durablement. Le verre, appelé colis, est coulé dans des 
fûts d'acier inoxydable. L'activité
radioactive du colis s'accompagne d'un transfert thermique. On considère que la 
température du verre ne doit
pas dépasser 510 °C pour éviter toute transition de phase vitreuse. L'activité 
est divisée d'un facteur 3 après
50 ans. Aïnsi, après une période initiale durant laquelle il est nécessaire 
d'entreposer les colis dans des puits
ventilés, il est envisagé de les stocker profondément sous terre, sans 
ventilation, à condition que leur température
de paroi soit inférieure à 90 °C. L'émission thermique est de l'ordre de 2 kW 
par colis dans la première décennie
du stockage.

Conteneur

Acier inoxydable
Hauteur 1,338 m
Diamètre 43 cm

Colis

Verre borosilicate
Volume 175 L

Masse des déchets 400 kg

Figure 13 Füût de stockage de déchets à haute activité

II.B.2) Bilan thermique

On propose de faire le bilan thermique d'un fût afin de déterminer, en régime 
quasi-permanent, la température
à la surface du fût. On considère pour cela une géométrie cylindrique et on 
néglige les effets de bords. On note
a le rayon du fût et H sa hauteur. On néglige l'épaisseur de l'enveloppe en 
acier en raison de son excellente
conductivité thermique. La température ne dépend alors que de la seule variable 
r et est notée T'(r). Le flux
thermique traversant un cylindre coaxial à l'axe du fût, de même hauteur À que 
le fût et de rayon r < a est noté @(r). On rappelle la loi phénoménologique de Newton. En un point M de l'interface entre un solide et un fluide et en notant T°, la température du solide à sa surface en M et T'; celle du fluide, on observe un transfert thermique dont le vecteur densité de flux thermique s'exprime par J(M) = --h(T;--T,)n, où À est le coefficient de transfert thermique (coefficient conducto-convectif) et n le vecteur unitaire normal à la surface en M, dirigé du solide vers le fluide. Q 34. Déterminer la valeur de l'émission thermique volumique (puissance émise par unité de volume) « du colis. Q 35. Établir soigneusement un bilan local thermique sur une portion de fût délimitée par les surfaces cylindriques de rayons respectifs r et r + dr, où r EUR |0,a]), en tenant compte du transfert thermique cédé au milieu du fait de la radioactivité. En déduire une expression de dr notée équation (IL.1). r ar Q 36.  Rappeler la loi de Fourier. En déduire une expression de @(r) en fonction de dr notée équation (IL.2). r Q 37. En intégrant l'équation (IL.1), puis à l'aide de l'équation (11.2), déterminer T'(r) en fonction de À, u, r, R ct T'(R) température à la paroi du fût. Q 38. Le stockage est-il possible, dans les conditions présentées, lors de la première décennie et à plus long terme ? On argumentera en présentant des évaluations chiffrées de températures. II.C -- Fonte du verre II.C.1) Verre R7T7 Le verre R7T7 (nom issu de ses ateliers de fabrication) est essentiellement constitué d'anions O* et de cations Sit+ (ct, de manière moindre, des cations APT. B* et B**) au sein duquel on met en solution les constituants 2019-05-13 08:40:06 Page 9/12 ICO) 8Y-Nc-sA issus de déchets nucléaires. Ce sont quelques dizaines d'éléments, généralement des éléments métalliques oxydés . J À . 117 . / tels que, par exemple, les ions cérium Ce" et Ce**. les ions fer Fe°* et Fe', ete. Ces éléments sont incorporés dans le verre fondu à une température d'environ 1100 °C. Solution de produits de fission tube tournant four à Induction conteneur Figure 14 Schéma du procédé de vitrification Les produits de fission (PF), en solution dans de l'acide nitrique sont calcinés, ce qui permet de les extraire du solvant sous forme oxydée, puis incorporés à de la fritte de verre (les éléments composant le verre) dans le four de fusion. La solution vitreuse obtenue (le « bain de verre ») est directement coulé dans les fûts en acier. Les espèces présentes appartiennent à des couples redox si bien que, pour chaque élément introduit dans la solution vitreuse, il s'établit un équilibre entre les formes oxydée et réduite qui dépend du potentiel électrique de la solution. En particulier, l'oxygène forme le couple O,/O°. Si la solution devient trop oxydante, l'équilibre peut se déplacer en faveur du dioxygène. Il en résulte un moussage de la solution vitreuse dommageable pour le pilotage du procédé de vitrification et pour la qualité finale du verre obtenu (présence de bulles qui, une fois le milieu solidifié, rendraient le verre inhomogène). Aïnsi, lors du processus de vitrification des déchets nucléaires, c'est-à-dire lors de la coulée du verre et de la mise en solution des éléments issus des déchets nucléaires, il est important de maitriser l'équilibre rédox du mélange. II.C.2) Mesure de l'activité du dioxygène dans un baïn de verre On appelle fugacité en oxygène la grandeur notée Jo, : homogène à une pression, qui est la pression de l'oxygène physiquement dissout dans le bain de verre. Cette pression peut différer de la pression partielle en dioxygène F0, er de l'atmosphère placé sur le baïn de verre. Une augmentation de Fo, er toute autre chose égale par ailleurs, entraine une augmentation de Jo, AÂF Électrode de référence Électrode de travail ZrO, dopé à YO: Pt Creuset Verre en fusion Figure 15 La figure 15 présente un dispositif permettant de mesurer f,, dans du verre en fusion. L'électrode de référence mesure le potentiel du couple O,/O* où : Fo, ref Ps -- la forme réduite provient du bain de verre et a la même activité que dans le baïn de verre. -- la forme oxydée O, provient de l'atmosphère, son activité est a, = 2019-05-13 08:40:06 Page 10/12 CERTES On utilise pour cela une membrane (ZrO, dopée à Y,O;) très perméable aux ions O?, ainsi le fil de platine de l'électrode voit le dioxygène de l'atmosphère et les ions O7 du bain. L'électrode de travail mesure, quant à elle. le potentiel du bain de verre, à l'équilibre avec le couple O,/0*7 où : Jo, 1 -- la forme oxydée O, est dans le bain, son activité est a -- -- ]a forme réduite est dans le bain. Il en résulte une différence de potentiel qui s'exprime selon la formule de Nernst : AE -- fl, Jo, . 4F Fo, ref II.C.3) Questions Q 39. Écrire la demi-équation redox du couple O,/O?7. Q 40. En écrivant le potentiel de Nernst de chaque électrode du dispositif de mesure présenté figure 15, retrouver l'expression de la tension mesurée entre les électrodes. On montre que le taux d'incorporation de déchets riches en cérium croît avec le caractère réducteur de la fonte verrière. Néanmoins, il peut en résulter un moussage de la fonte consécutif à la réaction de réduction du cérium IV en cérium II : I 2 Cet + O2 = 2 Cet + 5 02: Q 41. Soit ff la valeur de la pression de dioxygène dans la fonte verrière pour laquelle on y trouve, à 2 l'équilibre, une même quantité de cérium IV que de cérium III Exprimer log Ï6, en fonction des potentiels standard des couples Ce*/Ce* et 0,/07 et de l'activité aç- des ions O?7. C 3+ f ace") en fonction de log ©: Q 42.  Exprimer, à l'équilibre, log ------ a(Ce**) Jo, _ . . * 9 . Que peut-on dire si fo, > f6,
On peut contrôler le rapport redox du cérium en agissant sur :

a. le réglage des gaz de l'atmosphère au-dessus du bain de verre :

b. la modification de la basicité du verre, c'est-à-dire de l'activité des ions 
O*- :

c. l'ajout de matière oxydante ou réductrice.

Q 43. Préciser, pour chaque méthode, le sens du réglage qui convient pour 
contrôler le rapport redox en
faveur de la forme réduite.

Q 44. La solution retenue consiste à incorporer l'élément fer sous forme 
réduite Fell, qui consomme alors le
dioxygène relâché par la réduction du CelY en devenant Felll, Commenter la 
figure 16.

Verre de
confinement
de PF

(sans fritte
réductrice)

D
|

£
e
S
1L î aim mm 7 | Formation
de bulles
Fritte à Redox
Î contrôlé.
Absence
de bulles.
; | | |

1000 1100 1200 1300
Température (°C)

Figure 16

2019-05-13 08:40:06 Page 11/12 CHENE
Célérité de la lumière dans le vide

Constante d'Avogadro
Charge élémentaire
Permittivité du vide

Électron-volt

Constante de Planck réduite

Constante de structure fine

Masse de la particule alpha

Conductivité thermique du verre

Données

Cocfficient conducto-convectif air/solide (convection naturelle)

Cocfficient conducto-convectif air/solide (convection forcée)

Préfixes du système international d'unités

c = 3,00 x 10° mess !

N, = 6,02 x 10% mol !

e=1.6x10 ©C

Ep = 8,85 x 10 Fm !

1eV = 1.6 x 10 J

h = 6,582 x 10 eV.
e? I

a -- Arephe FR 137

m = 3727 MeV/c°

=1W-K lim!

h=9W.K !l:m °?

h = 25 W.K l:m °

Facteur Nom Symbole Facteur Nom Symbole
10! déca da 107! déci d
10° hecto h 1072? centi C
10° kilo k 10 milli m
106 méga M 10 micro LL
10° giga G 10 ° nano n
10 téra T 10 pico P
101 péta P 1071 femto f
101 exa E 101 atto a
10°! zetta Z 10 ?1 zepto Z
10 yotta Y 10 74 yocto y

ee eFINee.e

2019-05-13 08:40:06

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CETTE

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique et Chimie 2 MP 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tom Morel (professeur en CPGE) et Alexandre Herault
(professeur en CPGE) ; il a été relu par Vincent Freulon (professeur en CPGE), 
Louis
Salkin (professeur en CPGE) et Augustin Long (professeur en CPGE).

Ce sujet composé de deux parties indépendantes porte sur la capture d'empreintes
digitales et le stockage de déchets radioactifs.
· La première partie est composée de trois sous-parties relativement 
indépendantes. Dans un premier temps, on étudie le système de détection de 
l'empreinte
dans le cadre de l'optique géométrique. Ensuite, on caractérise le phénomène
de réflexion totale à partir des lois de l'électromagnétisme. Une analogie 
quantique avec l'effet tunnel permet enfin d'exprimer les conditions 
d'apparition du
phénomène de réflexion totale frustrée.
· La seconde partie étudie la radioactivité . À partir d'une approche quantique,
on exprime la durée de demi-vie de l'élément radioactif considéré. On 
s'intéresse
ensuite aux aspects thermiques liés au stockage des déchets. La dernière 
souspartie de ce problème traite de l'emprisonnement des produits de fission 
dans du
verre en fusion. Ce verre est ensuite coulé dans les fûts de stockage. Les 
espèces
à piéger, souvent des cations métalliques, sont actives du point de vue rédox
et interagissent avec l'oxygène en fonction du potentiel du verre fondu. Cette
partie de chimie étudie essentiellement le couple O2 /O2- dans le but d'éviter
la formation de bulles qui feraient mousser le verre en fusion. Ce couple est
très présent dans le verre ; les ions oxyde en sont un constituant essentiel et
le dioxygène provient de l'atmosphère présente au-dessus du verre en fusion.
Les questions utilisent presque uniquement la relation de Nernst.
Cette épreuve de longueur raisonnable alterne questions proches du cours et 
raisonnements plus difficiles. Peu de résultats intermédiaires sont donnés ; 
toutefois,
le sujet comporte suffisamment de passages indépendants pour qu'il soit toujours
possible de progresser.

Indications
Partie I
1 On peut utiliser l'approximation des petits angles dans les conditions de 
Gauss.
6 La distance entre les images de chaque crête est || a.
7 Pour  = -2, si e  |p|, e  p .

8 Calculer le demi-angle au sommet du triangle formé par M2 et la lentille puis
vérifier si l'approximation des petits angles est valide.
11 Le doigt ne peut pas être éclairé s'il y a réflexion totale sur la face du 
prisme.
15 La relation de la question 14 est valable peu importe la valeur de x.
17 Exprimer les champs magnétiques incident, réfléchi et transmis.
19 Déterminer les signes possibles de ktz 2 .
22 Il ne peut pas y avoir d'onde qui se propage vers les x décroissants pour x 
> 0.
27 Faire l'analogie entre l'expression de  et le résultat de la question 19.
Partie II
30 La particule  fait un aller-retour de longueur 2R dans le puits pendant une 
durée
 = 1/f .
38 Calculer T(R) en utilisant la continuité du flux en r = R.
41 L'équilibre implique l'unicité des potentiels pour tous les couples.
42 Utiliser la relation de la question 41 pour remplacer la différence des 
potentiels

et a(O2- ).
standard par un terme dépendant de fO
2

I. Capture d'empreintes digitales
par réflexion totale frustrée
1 D'après la figure ci-contre,
tan i =

HI
HA

et

I

tan r =

HI
HA1

r

i
A

A1

H

Dans les conditions de Gauss, on peut utiliser l'approximation des petits 
angles :
tan i  sin i et tan r  sin r. Or, la relation de Snell-Descartes s'écrit
n sin i = sin r

c'est-à-dire n tan i  tan r. Avec les relations trigonométriques précédentes,
HA1 =

1
HA
n

2 On a p = OA1 et p = OA1 . Par conséquent,
D1 = A1 A1
= A1 O + OA1
D1 = -p + p

Avec la formule du grandissement p =  p,
p=

D1
-1

et

p =

 D1
-1

Utilisons la formule de conjugaison de Descartes,
1
1
-1 -1
1
= - =
-
f
p
p
 D1
D1
d'où

f =

 D1
- 2 + 2 - 1

3 Pour un objet réel, p < 0 et pour une image réelle p > 0. L'image est alors
renversée sur l'écran :
<0 D1 1 = - - + 2 f Notons g() cette fonction. Sa dérivée vaut 1 g  () = -1 + 2 Par conséquent, g  () < 0 si  < -1 et g  () > 0 si  > -1.
On a

Le rapport D1 /f  est donc borné inférieurement.
Le minimum est atteint pour  = -1. En ce point, D1 /f  = 4, d'où
f 6

D1
4

4 D'après les questions 2 et 3, pour  = -2, p = 2D1 /3. Il vient

2
D1
9
Déterminons la valeur numérique de D1 . La relation de Chasles permet d'écrire
p = 3f 

et

f =

D = AA1
= AA1 + D1
= AH + HA1 + D1
1
HA + D1
n
1
D = L - L + D1
n

1
D1 = D - L 1 -
= 9 cm
n
= L+

d'où
Par conséquent,

p = 6 cm

et

(d'après la question 1)

f  = 2 cm

5 Reprenons l'expression de f  obtenue à la question 2 et développons-la :

D1 
2 - 2 -   + 1 = 0
f
Il s'agit d'une équation du second degré. Le discriminant  vaut

D1 D1
= 
-4 >0
f
f

D1 + 
+ = 1 -
Les deux solutions sont
-
-
2f 
2
D'après ces expressions, on ne garde que - car |+ | < 1, ce qui n'est pas attendu. On doit diminuer f  pour augmenter ||. En diminuant trop la valeur de la distance focale f  , on augmente les aberrations géométriques. 6 Pour distinguer deux crêtes successives sur le capteur CCD, les positions des images de chaque crête doivent se situer sur deux pixels différents. À travers la lentille, la distance entre les deux images est || a. Il faut alors vérifier || a > c
On doit donc prendre un pixel de largeur c telle que
c < 200 µm 7 Appliquons la relation de conjugaison de Descartes au couple (M2 , M2 ) : 1 1 1 - = p - e p-e f D'après la valeur numérique de , on peut supposer que si e  |p|, e  p . Développons alors la relation précédente à l'ordre le plus bas non nul en e/p et e /p : 1 e 1 e 1 1 + - 1 + p p p p f