Centrale Physique et Chimie 2 MP 2018

JS 9 ?2m`2b *H+mHi`B+2b miQ`Bbû2b kyR3 S?vbB[m2@+?BKB2 k :ûQT?vbB[m2 /2 H THMi2 h2``2 *2 bmD2i T`QTQb2 /2 i`Bi2` /2 /Bp2`b2b TTHB+iBQMb /2 H T?vbB[m2 ¨ Hûim/2 /2 H THMi2 h2``2X PM bBMiû`2bb2 /Mb mM T`2KB2` i2KTb mt Kûi?Q/2b /2 K2bm`2 /m +?KT /2 T2bMi2m` i2``2bi`2 U;`pBKûi`B2V TmBb ¨ H2m`b TTHB+iBQMb /Mb H2 ;ûMB2 +BpBHX .Mb mM /2mtBK2 i2KTb- QM ûim/B2 H2b Kûi?Q/2b /2 T`QbT2+iBQM ûH2+i`B[m2 /2b bQHb miBHBbû2b TQm` bQM/2` /2b i2``BMbX lM 2Mb2K#H2 /2 pH2m`b MmKû`B[m2b 2bi /BbTQMB#H2 2M }M /ûMQM+ûX *2`iBM2b [m2biBQMb T2m Qm Tb ;mB/û2b- /2KM/2Mi /2 HBMBiBiBp2 /2 H T`i /m +M/B/iX G2m` ûMQM+û 2bi `2Tû`û T` mM2 #``2 2M K`;2X AH 2bi HQ`b /2KM/û /2tTHB+Bi2` +HB`2K2Mi H /ûK`+?2- H2b +?QBt 2i /2 H2b BHHmbi`2`H2 +b û+?ûMi- T` mM b+?ûKX G2 #`K2 pHQ`Bb2 H T`Bb2 /BMBiBiBp2 2i iB2Mi +QKTi2 /m i2KTb Mû+2bbB`2 ¨ H `ûbQHmiBQM /2 +2b [m2biBQMbX A *?KT ;`pBiiBQMM2H 2i +?KT /2 T2bMi2m` i2``2bi`2 AX *?KT ;`pBiiBQMM2H +`ûû T` H h2``2 Z RX úMQM+2` H2 i?ûQ`K2 /2 :mbb TTHB[mû ¨ H ;`pBiiBQM 2M T`û+BbMi H2b MHQ;B2b 2Mi`2 7Q`+2b ûH2+i`Q@ H2 +?KT ;`pBiiBQMM2HX biiB[m2b 2i ;`pBiiBQMM2HH2bX PM MQi2` G h2``2 2bi bbBKBHû2 ¨ mM2 #QmH2 ?QKQ;M2 /2 `vQM - 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 Centrale Physique et Chimie 2 MP 2018 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Pierre Monteiller (ENS Ulm) ; il a été relu par Tom Morel (professeur en CPGE) et Louis Salkin (professeur en CPGE). Ce sujet traite de quelques aspects de géophysique. Il s'intéresse à la mesure de grandeurs liées à la Terre, en particulier son champ gravitationnel et la résistivité électrique de ses sols. Les cinq parties du sujet sont largement indépendantes même si les quatre premières portent sur la gravitation. · La première partie débute avec des questions de cours sur l'analogie entre électrostatique et gravitation. Puis, le sujet étudie des causes de variation de l'intensité du champ gravitationnel. · La partie II traite de la mesure du champ gravitationnel par des systèmes oscillants. Elle est beaucoup moins guidée que les autres, il faut faire preuve d'initiative. · La partie III étudie un système mécanique capable de mesurer avec précision le champ de pesanteur. Elle fait appel à des raisonnements énergétiques un peu calculatoires mais classiques. · La partie IV permet d'appliquer les résultats précédents à l'analyse d'une anomalie gravimétrique due à l'enfouissement d'une masse dans le sol. · La dernière partie analyse les propriétés électriques des sols. Ce sujet permet de vérifier que les principaux concepts de l'électrostatique et de la mécanique du point sont compris. De plus, quelques questions font appel au sens physique et nécessitent de bien comprendre les systèmes et les phénomènes physiques considérés. C'est un sujet assez long, souvent proche du cours mais il contient plusieurs questions peu guidées qui le rendent difficile. Indications Partie I 2 Appliquer le théorème de Gauss à une sphère de rayon R. 3 Pour x 1, (1 + x) 1 + x 7 Si on appelle H le projeté orthogonal de M sur l'axe de rotation, la force d'inertie d'entraînement appliquée à une masse m au point M s'exprime par - -- Fie = m 2 HM Partie II 10 La période T des oscillations d'un pendule simple s'exprime par r T = 2 g 11 Comparer les valeurs des périodes d'oscillation à Cayenne et à Paris. s 2 2 T g 12 Utiliser 2 = + g T Partie III 16 L'énergie potentielle s'écrit à une constante près Ep = 1 k(s - s0 )2 - m g y M 2 17 Exprimer s2 en utilisant la relation de Chasles. 22 On rappelle que cos( - ) = cos cos + sin sin . Partie IV 28 Appliquer le théorème de Gauss à une sphère de rayon r > R. 36 Faire en sorte que g soit indétectable en fonction de µ. Partie V 40 Utiliser la conservation du flux de - et calculer celui-ci à travers une demi-sphère de rayon r. - 41 La loi d'Ohm locale s'écrit - = E /. 46 Les lignes de courant sont orthogonales aux équipotentielles. Géophysique de la planète Terre 1 Le théorème de Gauss stipule que - - G · d S = -4 G Mint ZZ avec Mint la masse contenue dans le volume défini par la surface . On peut alors rassembler dans un tableau les analogies entre les forces électrique et gravitationnelle : Électrostatique -- q1 q2 - Felec = er 4 0 d2 Gravitation --- G m1 m2 - Fgrav = - er d2 q m 1 40 -G - 2 Tout plan passant par M contenant le vecteur er est plan de symétrie de la distribution de masse. D'où - GT = GT (M) - er De plus, la distribution de masse est à symétrie sphérique donc GT (M) = GT (r) Appliquons ensuite le théorème de Gauss gravitationnel, avec une sphère de rayon r > RT et de centre C. La masse intérieure à cette sphère vaut MT . Or, ZZ - - GT · d S = 4r2 GT (r) d'où donc Avec r = RT + z, 4r2 GT (r) = -4 GMT GT (r) = - - GT = - GMT r2 G MT - er (RT + z)2 3 D'après la question précédente, la norme du champ gravitationnel s'écrit GT (z) = GMT 1 RT 2 (1 + z/RT )2 Ici, z RT . Avec le développement limité (1 + x) 1 + x, il vient GT (z) G MT RT 2 2z 1- RT 4 L'altitude z cherchée vérifie la relation suivante GT (z) = 0,99 GT (0) On injecte la forme de GT (z) trouvée à la question précédente pour obtenir GMT 2z GMT = 0,99 1 - RT RT 2 RT 2 d'où Finalement 0,01 = 2z RT z = 0,005 × RT = 3,19 · 104 m 5 Le gradient vertical du champ gravitationnel s'écrit, dans l'approximation z RT dGT 2 G MT =- dz RT 3 Il correspond à la variation de l'intensité de GT par unité de hauteur, c'est-à-dire à la déviation par unité d'altitude de la valeur de g0 à la surface de la Terre. 6 Numériquement, dGT = 3,08 µGal.cm-1 dz La variation relative de l'intensité du champ de pesanteur est faible : on peut donc considérer la pesanteur uniforme au voisinage de la Terre. 7 On appelle H le projeté orthogonal de M sur l'axe de rotation . On peut alors exprimer la force d'inertie d'entraînement comme - -- Fie = m 2 HM = m 2 RT cos - u () H C M - u RT 8 Le champ de pesanteur est défini par la relation suivante - Fie /m - - m- g = Fie + m G T (RT ) d'où G MT - - g = 2 RT cos - u - er RT 2 - GT - g On peut dès lors représenter le champ de pesanteur apparent comme sur la figure ci-contre. 9 Comparons les intensités de la force gravitationnelle et de la force d'inertie d'entraînement. À l'équateur, = 0, donc