Centrale Physique et Chimie 2 MP 2018

JS
9 ?2m`2b

*H+mHi`B+2b miQ`Bbû2b

kyR3

S?vbB[m2@+?BKB2 k
:ûQT?vbB[m2 /2 H THMi2 h2``2

*2 bmD2i T`QTQb2 /2 i`Bi2` /2 /Bp2`b2b TTHB+iBQMb /2 H T?vbB[m2 ¨ Hûim/2 /2 H 
THMi2 h2``2X PM bBMiû`2bb2
/Mb mM T`2KB2` i2KTb mt Kûi?Q/2b /2 K2bm`2 /m +?KT /2 T2bMi2m` i2``2bi`2 
U;`pBKûi`B2V TmBb ¨ H2m`b
TTHB+iBQMb /Mb H2 ;ûMB2 +BpBHX .Mb mM /2mtBK2 i2KTb- QM ûim/B2 H2b Kûi?Q/2b /2 
T`QbT2+iBQM ûH2+i`B[m2 /2b
bQHb miBHBbû2b TQm` bQM/2` /2b i2``BMbX
lM 2Mb2K#H2 /2 pH2m`b MmKû`B[m2b 2bi /BbTQMB#H2 2M }M /ûMQM+ûX
*2`iBM2b [m2biBQMb T2m Qm Tb ;mB/û2b- /2KM/2Mi /2 HBMBiBiBp2 /2 H T`i /m 
+M/B/iX G2m` ûMQM+û 2bi `2Tû`û
T` mM2 #``2 2M K`;2X AH 2bi HQ`b /2KM/û /2tTHB+Bi2` +HB`2K2Mi H /ûK`+?2- H2b 
+?QBt 2i /2 H2b BHHmbi`2`H2 +b û+?ûMi- T` mM b+?ûKX G2 #`K2 pHQ`Bb2 H T`Bb2 
/BMBiBiBp2 2i iB2Mi +QKTi2 /m i2KTb Mû+2bbB`2 ¨ H
`ûbQHmiBQM /2 +2b [m2biBQMbX

A *?KT ;`pBiiBQMM2H 2i +?KT /2 T2bMi2m` i2``2bi`2
AX 

*?KT ;`pBiiBQMM2H +`ûû T` H h2``2

Z RX
úMQM+2` H2 i?ûQ`K2 /2 :mbb TTHB[mû ¨ H ;`pBiiBQM 2M T`û+BbMi H2b MHQ;B2b 2Mi`2 
7Q`+2b ûH2+i`Q@
  H2 +?KT ;`pBiiBQMM2HX
biiB[m2b 2i ;`pBiiBQMM2HH2bX PM MQi2` 
G h2``2 2bi bbBKBHû2 ¨ mM2 #QmH2 ?QKQ;M2 /2 `vQM  - /2 +2Mi`2  2i /2 Kbb2  
mMB7Q`KûK2Mi `ûT`iB2
2M pQHmK2X PM `2T`2 mM TQBMi  /2 H2bT+2 /Mb H2 bvbiK2 /2 +QQ`/QMMû2b bT?û`B[m2b 
/Q`B;BM2 - bbQ+Bû ¨
H #b2 HQ+H2    X PM TT2HH2        HHiBim/2 /mM TQBMi  bBimû ¨ H2tiû`B2m` /2 H 
h2``2 2i
QM bbQ+B2 ¨ +2 TQBMi mM t2  Up2`iB+H2 /m HB2mV /QMi HQ`B;BM2  2bi 2M    2i i2H 
[m2    X
  +`ûû T` H h2``2 ¨ mM2 HiBim/2   X
Z kX
.ûi2`KBM2` H2tT`2bbBQM /m +?KT ;`pBiiBQMM2H 
AX" 

o`BiBQM /m +?KT ;`pBiiBQMM2H p2+ HHiBim/2

aQBi mM +Q`Tb /2 Kbb2 - bbBKBHû ¨ mM TQBMi Kiû`B2H- bBimû ¨ H /BbiM+2   
/m +2Mi`2  /2 H h2``2 UHiBim/2   VX PM /û}MBi H2 p2+i2m` mMBiB`2 HQ+H 
T2`T2M/B+mHB`2 ¨ Ht2  /2 `QiiBQM /2 H h2``2 bm` 2HH2@KK2 U};m`2 RVX
Z jX
JQMi`2` [m2 HBMi2MbBiû /m +?KT ;`pBiiBQMM2H b2HQM H p2`iB+H2 bû+`Bi

X
TQm`    ,   

Z 9X
*H+mH2` HHiBim/2 /QMi BH 7mi bûH2p2` TQm` Q#b2`p2` mM2 p`BiBQM /2
R-yyW /2  X
Z 8X
.QMM2` H2tT`2bbBQM /m ;`/B2Mi p2`iB+H /m +?KT ;`pBiiBQMM2HX Zm2
`2T`ûb2Mi2@i@BH T?vbB[m2K2Mi \
Z eX
G2b ;ûQT?vbB+B2Mb miBHBb2Mi +QKK2 mMBiû /2 K2bm`2 /m +?KT /2 T2bMi2m`
H2 ;H p2+  HBM    DNT X úpHm2` H pH2m` /m ;`/B2Mi 2tT`BKû2 2M ;H+KR
2i +QKK2Mi2`X
AX* 

*?KT /2 T2bMi2m` i2``2bi`2

6B;m`2 R

 b2t2`@
Z dX
Gûim/2 2bi +QM/mBi2 /Mb H2 `û7û`2MiB2H i2``2bi`2X 1tT`BK2` H 7Q`+2 /BM2`iB2 
/2Mi`BM2K2Mi 
ÏMi bm` mM +Q`Tb /2 Kbb2 - bBimû ¨ H /BbiM+2    /m +2Mi`2 /2 H h2``2X G pBi2bb2 
M;mHB`2 /2 `QiiBQM
/2 H h2``2 bm` 2HH2@KK2 2bi MQiû2 - H HiBim/2 2bi MQiû2  U};m`2 RVX
Z 3X
G2 TQB/b /mM Q#D2i /2 Kbb2  U   V 2bi û;H- T` /û}MBiBQM- ¨ H bQKK2 /2 H 7Q`+2 
/2 ;`pBiiBQM
2i /2 H 7Q`+2 /BM2`iB2 /2Mi`BM2K2MiX ú+`B`2 H2tT`2bbBQM /m +?KT /2 T2bMi2m`   
2i H2 `2T`ûb2Mi2` bm` mM
b+?ûK m TQBMi X
Z NX
TTHB+iBQM MmKû`B[m2X *QKT`2`- /2 KMB`2 `2HiBp2- H2 i2`K2 /BM2`iB2 /2Mi`BM2K2Mi 
m i2`K2 /
m +?KT ;`pBiiBQMM2H +H+mHû ¨ Hû[mi2m`X *QKK2Mi2`X

kyR3@yj@y8 RN,jR,9N

S;2 RfN

AA Jûi?Q/2b /2 K2bm`2 /m +?KT /2 T2bMi2m` ¨ HB/2 /2 T2M/mH2b
SQm` /ûi2`KBM2` H2 +?KT /2 T2bMi2m` HQ+H2K2Mi- H2b ;ûQT?vbB+B2Mb /BbTQb2Mi /BMb@
i`mK2Mib TT2Hûb ;`pBKi`2bX G2 T`2KB2` ;`pBKi`2 miBHBbû ?BbiQ`B[m2K2Mi  ûiû mM
T2M/mH2X
AAX 

G2 T2M/mH2 /2 _B+?i2`

Z RyX
SQm`[mQB HmiBHBbiBQM /mM T2M/mH2 bBKTH2 U};m`2 kV T2`K2i@2HH2 /2 `2KQM@

i2` ¨ H K2bm`2 /2 HBMi2MbBiû /m +?KT /2 T2bMi2m`  \

Z RRX
1M Redk Hbi`QMQK2 _B+?i2` T`i ¨ *v2MM2 2M :mvM2 p2+ mM2 ?Q`HQ;2
6B;m`2 k
¨ T2M/mH2 `û;Hû2 ¨ S`Bb UT2M/mH2 [mB #i H b2+QM/2V- BH bT2`ÏQBi [m2HH2 `2i`/2 /2

k KBM k3 b T` DQm`X 1M /û/mB`2 H pH2m` /2  ¨ *v2MM2 U¨ S`Bb     NT VX
SQm` [m2HH2UbV `BbQMUbV H2b pH2m`b /2  bQMi@2HH2b /Bzû`2Mi2b ¨ *v2MM2 2i ¨ S`Bb 
\ GHiBim/2 /2 S`Bb p`B2
2Mi`2 k3 2i RjR K 2i HHiBim/2 /2 *v2MM2 2Mi`2 y 2i Ry8 KX
Z RkX
PM /K2i [m2 HBM+2`iBim/2 /2 K2bm`2 T`QpB2Mi 2bb2MiB2HH2K2Mi /2 H K2bm`2 /2 H 
Tû`BQ/2 X Zm2HH2
/2p`Bi i`2 HBM+2`iBim/2 bm` H K2bm`2 /2 H Tû`BQ/2 /m T2M/mH2 miBHBbû T` _B+?i2` 
TQm` [m2 HBM+2`iBim/2 bm`
H K2bm`2 /2  bQBi û;H2 ¨ R ;H UQ`/`2 /2 ;`M/2m` /2 H T`û+BbBQM /2b ;`pBKi`2b 
+im2HbVX
AAX"  G2 T2M/mH2 p2`iB+H
G K2bm`2 /2 HûHQM;iBQM /mM `2bbQ`i p2`iB+H m #Qmi /m[m2H 2bi bmbT2M/m2 mM2 Kbb2
T2`K2i /2 K2bm`2` H2b p`BiBQMb /m +?KT /2 T2bMi2m`X GBM;ûMB2m` Gm+B2M G*Qbi2 
BMp2Miû mM BM;ûMB2mt `2bbQ`i ¨ bTB`H2 /2 HQM;m2m` m `2TQb MmHH2 U};m`2 jVX
Z RjX
aB H2 +?KT /2 T2bMi2m` i2``2bi`2 p`B2 /2 Ry ;H- [m2 pmi H p`BiBQM /2 HûHQM@
;iBQM /mM `2bbQ`i mbm2H /mM H#Q`iQB`2 /2 Hv+û2 \
Z R9X
Zm2H 2bi HBMiû`i /miBHBb2` mM `2bbQ`i /2 HQM;m2m` m `2TQb MmHH2 \

6B;m`2 j

AAA :`pBKi`2 ¨ ~ûm /2 G*Qbi2 2i _QK#2`;
G2 ;`pBKi`2 /2 G*Qbi2 2i _QK#2`; 2bi mM ;`pBKi`2 [mB T2`K2i /2 K2bm`2`
HBMi2MbBiû /m +?KT /2 T2bMi2m` p2+ mM2 BM+2`iBim/2 ivTB[m2 /2 R ;HX
lM2 iB;2 /2 HQM;m2m` - /2 Kbb2 Mû;HB;2#H2 TQ`i2 mM2 Kbb2  ¨ HmM2 /2
b2b 2ti`ûKBiûb 2i TBpQi2 bMb 7`Qii2K2Mi miQm` /2 Ht2  U};m`2 9VX G2
KQmp2K2Mi /2 H Kbb2 2bi `2Tû`û T` HM;H2 - Q`B2Miû T` `TTQ`i ¨ Ht2
 - BH 2bi /QM+ TQbBiB7 bm` H };m`2 9X G iB;2 2bi `2i2Mm2 T` mM `2bbQ`i /2
+QMbiMi2 /2 `B/2m` - /2 HQM;m2m`  2i /2 HQM;m2m` m `2TQb  X *2 `2bbQ`i 2bi
}tû bm` H iB;2 ¨ H /BbiM+2  /m TQBMi TBpQiX G HQM;m2m`  T2mi i`2 Dmbiû2X
G2 /BbTQbBiB7 2bi +QMi2Mm /Mb mM THM p2`iB+H- Ht2  2bi T2`T2M/B+mHB`2 ¨
+2 THMX

TBpQi

6B;m`2 9
Z R8X
1tTHB[m2` H2 7QM+iBQMM2K2Mi /m ;`pBKi`2X
Z ReX
SQm` H2 bvbiK2 ;`pBKi`2 UiB;2 Y `2bbQ`i Y Kbb2 V- û+`B`2 H2tT`2bbBQM /2 
HûM2`;B2 TQi2MiB2HH2
iQiH2  UT2bMi2m` 2i ûHbiB[m2V /m bvbiK2 2M 7QM+iBQM /2 - - - - -  2i  X
Z RdX

.QMM2` H2tT`2bbBQM /2  2M 7QM+iBQM /2 -  2i X

kyR3@yj@y8 RN,jR,9N

S;2 kfN

X
Z R3X
SQm` mM KQmp2K2Mi /2 `QiiBQM Tm`2 H2 +QmTH2 `ûbmHiMi  ;BbbMi bm` H iB;2 bû+`Bi  

JQMi`2` [m2

 TJO 

 DPT 

Z RNX
*2 `2bbQ`i  ûiû 7#`B[mû /2 i2HH2 KMB`2 [m2 b HQM;m2m` m `2TQb  bQBi MmHH2 
U};m`2 jVX JQMi`2`
[m2 HQM T2mi /ûi2`KBM2` H pH2m` /2 HBMi2MbBiû /2 H T2bMi2m`  2M MMmHMi +2 
+QmTH2X m`Bi@QM Tm miBHBb2`
mM `2bbQ`i  +HbbB[m2  \
SQm` iQmi2 H bmBi2- H2 `2bbQ`i  mM2 HQM;m2m` m `2TQb MmHH2X
.Mb H T`iB[m2- QM BM+HBM2 H2 TQBMi /2 bmTTQ`i /m `2bbQ`i /mM T2iBi M;H2  U};m`2 
8VX

6B;m`2 8
Z kyX

1tT`BK2` - TmBb HûM2`;B2 TQi2MiB2HH2  - 2M 7QM+iBQM /2 - -  2i X

G2b +Qm`#2b /2 H };m`2 e `2T`ûb2Mi2Mi HûM2`;B2 TQi2MiB2HH2 2M 7QM+iBQM /2  /m 
bvbiK2 bMb 2i p2+ BM+HBMBbQM
/m `2bbQ`i UTQm` mM2 K2BHH2m`2 pBbmHBbiBQM- H2b pH2m`b /2b T`Ki`2b miBHBbûb 
TQm` i`+2` +2b +Qm`#2b bQMi
/Bzû`2Mi2b /2 +2HH2b /m bvbiK2 `û2HVX

 UCV

 UCV

 U`/V

6B;m`2 e

 U`/V

Z kRX
Zm2H 2bi HBMiû`i /pQB` BM+HBMû H2 `2bbQ`i \
Z kkX
.Mb H2 +b Q H2 TQBMi /2 bmTTQ`i /m `2bbQ`i 2bi BM+HBMû U};m`2 8V- /ûi2`KBM2` H2 
MQmp2m +QmTH2 
`ûbmHiMiX JQMi`2` [mBH bû+`Bi
     DPT  DPT    TJO  TJO 

Z kjX
.Mb H T`iB[m2- HM;H2  `2bi2 T2iBiX ú+`B`2 Hû[miBQM /Bzû`2MiB2HH2 pû`B}û2 T` X 
PM MQi2`  H2
KQK2Mi /BM2`iB2 /2 H iB;2 2i /2 H Kbb2 T` `TTQ`i ¨ Ht2 X
kyR3@yj@y8 RN,jR,9N

S;2 jfN

Z k9X
.ûi2`KBM2` H TmHbiBQM T`QT`2 /2b Qb+BHHiBQMb 2i H TQbBiBQM KQv2MM2  X
PM Dmbi2 H HQM;m2m`  /2 KMB`2 ¨ MMmH2` H TQbBiBQM KQv2MM2 TQm`    X
Z k8X
TTHB+iBQM MmKû`B[m2X .2 [m2H M;H2  /QBi@QM BM+HBM2` HBMbi`mK2Mi TQm` Q#i2MB` 
/2b Qb+BHHiBQMb /2
Tû`BQ/2 ky b bB    NT -       DN 2i    \
Z keX
GTT`2BH 2bi 2MbmBi2 /ûTH+û /Mb mM2 xQM2 Q    X JQMi`2` [m2 H MQmp2HH2 TQbBiBQM 
KQv2MM2

 2bi û;H2 ¨  
X
 UBO 
Z kdX
aB H2 +?KT /2 T2bMi2m` p`B2 /2 Ry ;H [m2H 2bi HQ`/`2 /2 ;`M/2m` /2 H MQmp2HH2 
TQbBiBQM KQv2MM2 \
*QKK2Mi2`X

Ao TTHB+iBQMb /2 H ;`pBKûi`B2
G ;`pBKûi`B2 2bi Hûim/2 /2b p`BiBQMb /m +?KT /2 T2bMi2m` /Mb H2bT+2 2i /Mb H2 
i2KTbX 1HH2 T2`K2i /2
/ûi2`KBM2` H `ûT`iBiBQM /2b Kbb2b m b2BM /2 H h2``2 2i /pQB` BMbB ++b ¨ b 
bi`m+im`2X S` 2t2KTH2- H
;`pBKûi`B2 2bi miBHBbû2 TQm` /ûi2`KBM2` H 7Q`K2 /2 H h2``2 U;ûQ/ûbB2V- TQm` 
/ûi2+i2` /2b +pBiûb U;ûMB2 +BpBH
Qm `+?ûQHQ;B2V- TQm` bmBp`2 H2b biQ+F;2b /2m U?v/`QHQ;B2 +QMiBM2MiH2VX
.Mb +2ii2 T`iB2- MQmb HHQMb /ûi2`KBM2`- T` mM2 MHvb2 ;`pBKûi`B[m2- H2b 
/BK2MbBQMb /mM +Q`Tb bT?û`B[m2
2Mi2``û /Mb mM bQH /2 Kbb2 pQHmKB[m2 KQv2MM2  U};m`2 dVX
am`7+2
aQH 

6B;m`2 d
Z k3X
1M miBHBbMi H2 i?ûQ`K2 /2 :mbb ;`pBiiBQMM2H- /ûi2`KBM2` H2tT`2bbBQM /m +?KT /2 
T2bMi2m` 2M
mM TQBMi  bBimû ¨ H2tiû`B2m` /mM2 bT?`2 ?QKQ;M2 /2 `vQM  2i /2 Kbb2 pQHmKB[m2   
  2M
7QM+iBQM /2  - - - - - /BbiM+2 /2  m +2Mi`2 /2 H bT?`2- 2i /m p2+i2m` mMBiB`2  
U};m`2 dVX
G2 +Q`Tb bT?û`B[m2 b2 i`Qmp2 ¨ mM2 T`Q7QM/2m`  /Mb H2 bQHX GQBM /2 H bT?`2 
UTQm`   V- H2 +?KT /2
T2bMi2m` 2bi p2`iB+H b2HQM  /2 pH2m`  X
Z kNX
.ûi2`KBM2`  - H +QKTQbMi2 p2`iB+H2 /m +?KT /2 T2bMi2m` +`ûû T` H #QmH2 m TQBMi  
bBimû ¨
mM2 /BbiM+2  /2 H p2`iB+H2X
Z jyX
JQMi`2` [m2 HMQKHB2 ;`pBKûi`B[m2      - [mB 7Bi p`B2` H2 +?KT /2 T2bMi2m` TT`2Mi
2M mM HB2m- 2bi B/2MiB[m2 m +?KT /2 T2bMi2m`  +`ûû T` mM2 bT?`2 /2 Kbb2 
pQHmKB[m2 X
Z jRX

JQMi`2` [m2 HMQKHB2 ;`pBKûi`B[m2 bû+`Bi

Z jkX
h`+2` HHHm`2 /2 H +Qm`#2  2M 7QM+iBQM /2  TQm` /2b bT?`2b B/2MiB[m2b 2Mi2``û2b 
¨ /2mt T`Q7QM@
/2m`b /Bzû`2Mi2b  2i    X
Z jjX
Zm2H 2bi H2 HB2M 2Mi`2 H T`Q7QM/2m`  2i H H`;2m` ¨ KB@?mi2m` /2 H +Qm`#2 \ Zm2 
pmi HMQKHB2
;`pBKûi`B[m2 KtBKH2 \
Z j9X
.ûi2`KBM2`- ¨ HB/2 H +Qm`#2 /2 H };m`2 3- H T`Q7QM/2m`  2i H2 `vQM  /2 H bT?`2 
2Mi2``û2X
Z j8X
*QKK2Mi `2M/`2 BM/ûi2+i#H2 T` MHvb2 ;`pBKûi`B[m2 /2 HQ` biQ+Fû /Mb mM2 ;`Qii2 
bT?û`B[m2 \
Z jeX
G ;`Qii2 /2 R K /2 `vQM 2bi ¨ 9 K /2 T`Q7QM/2m`X Zm2HH2 Kbb2 /Q` 2bi@BH 
TQbbB#H2 /2 ++?2` T`
+2ii2 Kûi?Q/2 \ SQm` BM7Q`KiBQM- H Kbb2 pQHmKB[m2 /2 HQ` 2bi     LHN X
Z jdX
lM2 ûim/2 `+?ûQHQ;B[m2 T`ûH#H2 T`ûpQBi H /BbTQbBiBQM /2 /2mt ;`Qii2b bT?û`B[m2b 
/2 KK2 /BK2MbBQM
U};m`2 NVX h`+2` HHHm`2 /2 H +Qm`#2 /2 HMQKHB2 ;`pBKûi`B[m2 ii2M/m2     2M pQmb 
B/Mi /2 H
};m`2 RyX

kyR3@yj@y8 RN,jR,9N

S;2 9fN

 UK;HV

 UKV

6B;m`2 3 MQKHB2 ;`pBKûi`B[m2  TQm`
mM2 bT?`2 2Mi2``û2 p2+    LHN

*H+B`2    LHN

:`b    LHN

6B;m`2 N

6B;m`2 Ry MQKHB2 ;`pBKûi`B[m2 TQm` mM2 TH[m2 ?Q`BxQMiH2 b2KB@BM}MB2

o S`QbT2+iBQM ûH2+i`B[m2 /2b bQHb
G T`QbT2+iBQM ûH2+i`B[m2 2bi HmM2 /2b THmb M+B2MM2b Kûi?Q/2b /2 T`QbT2+iBQM 
;ûQT?vbB[m2X 1HH2 `2TQb2 bm`
HBMi2`T`ûiiBQM /2 H `ûbBbiM+2 ûH2+i`B[m2 /m i2``BMX *2b K2bm`2b /QBp2Mi i`2 
`ûHBbû2b BM bBim- +2ii2 K2bm`2 M2
TQmpMi i`2 `ûHBbû2 2M H#Q`iQB`2 bm` mM û+?MiBHHQM bQ`iB /2 bQM 2MpB`QMM2K2MiX 
1HH2b bQMi T`iB+mHB`2K2Mi
/Tiû2b ¨ Hûim/2 /2b 7B#H2b T`Q7QM/2m`bX
oX 

aQH ?QKQ;M2

Z j3X
1tT`BK2` H `ûbBbiM+2 ûH2+i`B[m2 /mM T`HHûHûTBT/2 ?QKQ;M2 /2 HQM;m2m` - /2 
b2+iBQM  2i /2
`ûbBbiBpBiû    Q  2bi H +QM/m+iBpBiû ûH2+i`B[m2 /m Kiû`Bm U};m`2 RRVX
SQm` /ûi2`KBM2` H `ûbBbiM+2 ûH2+i`B[m2 /mM i2``BM QM BKTQb2 H +B`+mHiBQM /mM 
+Qm`Mi +QMiBMm /BMi2MbBiû
 ¨ H bm`7+2 /m bQH [mB b2 `ûT`iBi 2M T`Q7QM/2m`X *2ii2 QTû`iBQM 2bi `ûHBbû2 
;`+2 ¨ /2b ûH2+i`Q/2b [m2 HQM
THMi2 /Mb H2 bQH mt TQBMib  2i  U};m`2 RkVX G i2MbBQM 2bi K2bm`û2 ¨ HB/2 /mM 
pQHiKi`2 2Mi`2 H2b TQBMib
 2i X
Z jNX
.Mb H T`iB[m2 QM miBHBb2 mM +Qm`Mi Hi2`MiB7 i`b #bb2 7`û[m2M+2X SQm` [m2HH2 
`BbQM \

kyR3@yj@y8 RN,jR,9N

S;2 8fN

o

6B;m`2 RR

o

aQH- `ûbBbiBpBiû 
6B;m`2 Rk

6B;m`2 Rj
Z 9yX
*QMbB/û`QMb b2mH2K2Mi HûH2+i`Q/2 TH+û2 2M  U};m`2 RjVX PM MQi2    H2 p2+i2m` 
/2MbBiû pQHmKB[m2
/2 +Qm`Mi m TQBMi X G i2``2 2bi +QMbB/û`û2 +QKK2 ?QKQ;M2X Zm2HH2 2bi H 7Q`K2 
/2b HB;M2b /2 +Qm`Mi /Mb
H i2``2 \ .QMM2` H2tT`2bbBQM /2    2M 7QM+iBQM MQiKK2Mi /2 HBMi2MbBiû /m +Qm`Mi 
 2i /2 X
  2i H2 TQi2MiB2H ûH2+i`B[m2   m TQBMi  2M 7QM+iBQM /2 -  2i X
Z 9RX
1tT`BK2` H2 +?KT ûH2+i`B[m2 
PM bmTTQb2 [m2 H pH2m` /m TQi2MiB2H 2bi MmHH2 ¨ ;`M/2 /BbiM+2X
Z 9kX
.Mb H2 +b /2b /2mt ûH2+i`Q/2b U};m`2 R9V- 2tT`BK2` H2 TQi2MiB2H ûH2+i`B[m2  m 
TQBMi  2M 7QM+iBQM
/2 -  -  2i X PM bmTTQb2 [m2 H pH2m` /m TQi2MiB2H 2bi MmHH2 ¨ ;`M/2 /BbiM+2X 
Zm2HH2 `2HiBQM /û}MBi H2b
û[mBTQi2MiB2HH2b \

6B;m`2 R9
1tT`BK2` H /Bzû`2M+2 /2 TQi2MiB2H      Hm2 bm` H2 pQHiKi`2 U};m`2 RkVX JQMi`2` 
[m2 H

`ûbBbiBpBiû bû+`Bi  
Q  2bi H2 7+i2m` ;ûQKûi`B[m2 ¨ 2tT`BK2` 2M 7QM+iBQM /2b /BbiM+2b  -  -  

2i  X
Z 99X
.Mb H2 +b /2 H +QM};m`iBQM /Bi2 /2 q2MM2` U};m`2 R8V- H2b TQBMib - -  2i  bQMi 
û[mB/BbiMib
2bT+ûb /2 H HQM;m2m` X 1tT`BK2` H2 7+i2m` ;ûQKûi`B[m2 X
Z 9jX

6B;m`2 R8

kyR3@yj@y8 RN,jR,9N

S;2 efN

y-9 o

y-e o

R-k8 o
R o
y-3 o

j o
k o

9 o

R-8 o

R-8 o

9o

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jo

Ro
R-k8 o

y-3 o

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Z 98X
G2b +Qm`#2b /2 H };m`2 Re T`ûb2Mi2Mi H2 `ûbmHii /2 H bBKmHiBQM /2b 
û[mBTQi2MiB2HH2b i`+û2b TQm` /2mt
ûH2+i`Q/2b /BbiMi2b /2 Ry K bBimû2b 2M   N THMiû2b /Mb mM i2``BM /2 `ûbBbiBpBiû 
   NX GBMi2MbBiû
/m +Qm`Mi 2bi     "X Zm2 pmi H2 7+i2m` ;ûQKûi`B[m2 +Q``2bTQM/Mi /Mb H 
+QM};m`iBQM /2 q2MM2` \
*2ii2 pH2m` 2bi@2HH2 2M ++Q`/ p2+ H bBKmHiBQM /2 H };m`2 Re \

 UKV

9 o

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 UKV

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 UKV

 UKV

6B;m`2 Re
Z 9eX

h`+2`- 2M 2tTHB[mMi pQi`2 /ûK`+?2- HHHm`2 /2b HB;M2b /2 +Qm`MiX

oX"  JQ/H2 ¨ /2mt i2``BMb
.Mb H2 +b /mM KBHB2m BM?QKQ;M2 QM T`H2 /2 `ûbBbiBpBiû TT`2Mi2X .Mb H2 KQ/H2 /Bi 
¨ /2mt i2``BMb- H2
bQH 2bi +QMbiBimû /2 /2mt +Qm+?2b bmT2`TQbû2b /2 `ûbBbiBpBiû  2i /ûTBbb2m`  
TQm` H +Qm+?2 bmTû`B2m`2 2i
/2 `ûbBbiBpBiû  2i /ûTBbb2m` BM}MB2 TQm` H +Qm+?2 BM7û`B2m`2 U};m`2 RdVX G 
`ûbBbiBpBiû TT`2Mi2 2bi K2bm`û2
TQm` /Bzû`2Mib 2bT+2K2Mib 2Mi`2 ûH2+i`Q/2b U/BbiM+2  p`B#H2VX

kyR3@yj@y8 RN,jR,9N

S;2 dfN

6B;m`2 Rd AHHmbi`iBQM /m bQM/;2 ûH2+i`B[m2 U/T`b *?Qmi2m 2i :B`Qmt UkyyeVVHHm`2 
/2b HB;M2b /2 +Qm`Mi
Z 9dX
o2`b [m2HH2 pH2m` i2M/ ¨ T`BQ`B H `ûbBbiBpBiû TT`2Mi2 HQ`b[m2  2bi 7B#H2 \ 
HQ`b[m2  2bi i`b
;`M/2 \
Z 93X
G +Qm`#2 /2 H };m`2 R3 `2T`ûb2Mi2 H `ûbBbiBpBiû TT`2Mi2  K2bm`û2 
2tTû`BK2MiH2K2Mi 2M 7QM+iBQM
/2 H /BbiM+2 X .ûi2`KBM2` H `ûbBbiBpBiû  2i  /2b i2``BMb BMbB [mmM2 2biBKiBQM 
/2 H pH2m`  ûTBbb2m` /2 H +Qm+?2 bmTû`B2m`2X PM bB/2` /2 H#[m2 *>R /QMMû };m`2 
RN [mB `2T`ûb2Mi2   2M 7QM+iBQM
/2  2M û+?2HH2 #B@HQ;`Bi?KB[m2X *?[m2 +Qm`#2 /2 +2i #[m2 +Q``2bTQM/ BMbB ¨ H 
+Qm`#2 /mM bQM/;2
ûH2+i`B[m2 2tû+miû bm` mM bQmb@bQH +QKTQbû /2 /2mt i2``BMb Q H T`2KB`2 +Qm+?2  
mM2 ûTBbb2m`  2i mM2
`ûbBbiBpBiû  X

_ûbBbiBpBiû TT`2Mi2 UKV

 UKV

6B;m`2 R3 J2bm`2 /2mt i2``BMb

.QMMû2b MmKû`B[m2b
*QMbiMi2 /2 ;`pBiiBQM mMBp2`b2HH2

      LH N T

_vQM /2 H h2``2

      LN

Jbb2 /2 H h2``2

      LH

lMBiû /2 K2bm`2 /2 H T2bMi2m`

 HBM    DNT

P`/`2 /2 ;`M/2m` /2 H b2MbB#BHBiû /2b ;`pBKi`2b +im2Hb

   ËHBM

kyR3@yj@y8 RN,jR,9N

S;2 3fN

ABAQUE CH 1

1
2

100

h1

Module de l'échelle logarithmique

8

2/ 1=

100
h1
1

a

50
10
A·B
2 

30
20
15
12
9
7
5
4
3
2.5
2
1.5
1.25

0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.25
0.2
0.15

0.1

0.07
0.05

0.03

0

0.02

6B;m`2 RN #[m2 *>R
r r r 6AL r r r

kyR3@yj@y8 RN,jR,9N

S;2 NfN

Centrale Physique et Chimie 2 MP 2018 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Pierre Monteiller (ENS Ulm) ; il a été relu par Tom
Morel (professeur en CPGE) et Louis Salkin (professeur en CPGE).

Ce sujet traite de quelques aspects de géophysique. Il s'intéresse à la mesure 
de
grandeurs liées à la Terre, en particulier son champ gravitationnel et la 
résistivité
électrique de ses sols. Les cinq parties du sujet sont largement indépendantes 
même
si les quatre premières portent sur la gravitation.
· La première partie débute avec des questions de cours sur l'analogie entre 
électrostatique et gravitation. Puis, le sujet étudie des causes de variation 
de l'intensité du champ gravitationnel.
· La partie II traite de la mesure du champ gravitationnel par des systèmes
oscillants. Elle est beaucoup moins guidée que les autres, il faut faire preuve
d'initiative.
· La partie III étudie un système mécanique capable de mesurer avec précision le
champ de pesanteur. Elle fait appel à des raisonnements énergétiques un peu
calculatoires mais classiques.
· La partie IV permet d'appliquer les résultats précédents à l'analyse d'une 
anomalie gravimétrique due à l'enfouissement d'une masse dans le sol.
· La dernière partie analyse les propriétés électriques des sols.
Ce sujet permet de vérifier que les principaux concepts de l'électrostatique et
de la mécanique du point sont compris. De plus, quelques questions font appel au
sens physique et nécessitent de bien comprendre les systèmes et les phénomènes
physiques considérés. C'est un sujet assez long, souvent proche du cours mais il
contient plusieurs questions peu guidées qui le rendent difficile.

Indications
Partie I
2 Appliquer le théorème de Gauss à une sphère de rayon R.
3 Pour x  1,

(1 + x)  1 + x

7 Si on appelle H le projeté orthogonal de M sur l'axe de rotation, la force 
d'inertie
d'entraînement appliquée à une masse m au point M s'exprime par
-
--
Fie = m  2 HM
Partie II
10 La période T des oscillations d'un pendule simple s'exprime par
r

T = 2
g
11 Comparer les valeurs des périodes d'oscillation à Cayenne et à Paris.
s
2  2
T
g

12 Utiliser
2
=
+
g
T

Partie III
16 L'énergie potentielle s'écrit à une constante près
Ep =

1
k(s - s0 )2 - m g y M
2

17 Exprimer s2 en utilisant la relation de Chasles.
22 On rappelle que cos( - ) = cos  cos  + sin  sin .
Partie IV
28 Appliquer le théorème de Gauss à une sphère de rayon r > R.
36 Faire en sorte que g soit indétectable en fonction de µ.
Partie V

40 Utiliser la conservation du flux de -
 et calculer celui-ci à travers une demi-sphère
de rayon r.

-

41 La loi d'Ohm locale s'écrit -
 = E /.
46 Les lignes de courant sont orthogonales aux équipotentielles.

Géophysique de la planète Terre
1 Le théorème de Gauss stipule que
- 

-
G · d S = -4 G Mint

ZZ

avec Mint la masse contenue dans le volume défini par la surface . On peut alors
rassembler dans un tableau les analogies entre les forces électrique et 
gravitationnelle :
Électrostatique
--
q1 q2 -

Felec =
er
4  0 d2

Gravitation
---
G m1 m2 -

Fgrav = -
er
d2

q

m

1
40

-G

-
2 Tout plan passant par M contenant le vecteur 
er est plan de symétrie de la
distribution de masse. D'où
-

GT = GT (M) -
er
De plus, la distribution de masse est à symétrie sphérique donc
GT (M) = GT (r)
Appliquons ensuite le théorème de Gauss gravitationnel, avec  une sphère de 
rayon
r > RT et de centre C. La masse intérieure à cette sphère vaut MT . Or,
ZZ
-
 -

GT · d S = 4r2 GT (r)

d'où

donc

Avec r = RT + z,

4r2 GT (r) = -4 GMT
GT (r) = -
-

GT = -

GMT
r2

G MT -

er
(RT + z)2

3 D'après la question précédente, la norme du champ gravitationnel s'écrit
GT (z) =

GMT
1
RT 2 (1 + z/RT )2

Ici, z  RT . Avec le développement limité (1 + x)  1 + x, il vient
GT (z) 

G MT
RT 2

2z
1-
RT

4 L'altitude z cherchée vérifie la relation suivante
GT (z) = 0,99 GT (0)
On injecte la forme de GT (z) trouvée à la question précédente pour obtenir

GMT
2z
GMT
= 0,99
1
-
RT
RT 2
RT 2
d'où
Finalement

0,01 =

2z
RT

z = 0,005 × RT = 3,19 · 104 m

5 Le gradient vertical du champ gravitationnel s'écrit, dans l'approximation z  
RT
dGT
2 G MT
=-
dz
RT 3
Il correspond à la variation de l'intensité de GT par unité de hauteur, 
c'est-à-dire à
la déviation par unité d'altitude de la valeur de g0 à la surface de la Terre.
6 Numériquement,
dGT
= 3,08 µGal.cm-1
dz
La variation relative de l'intensité du champ de pesanteur est faible : on peut 
donc
considérer la pesanteur uniforme au voisinage de la Terre.
7 On appelle H le projeté orthogonal de M sur l'axe de rotation . On peut alors
exprimer la force d'inertie d'entraînement comme
-
--

Fie = m  2 HM = m  2 RT cos  -
u
()

H

C

M 
-
u
RT

8 Le champ de pesanteur est défini par la relation suivante
-
Fie /m

-
-

m-
g = Fie + m G T (RT )
d'où

G MT -
-

g =  2 RT cos  -
u -
er
RT 2

-

GT

-

g

On peut dès lors représenter le champ de pesanteur apparent
comme sur la figure ci-contre.
9 Comparons les intensités de la force gravitationnelle et de la force 
d'inertie d'entraînement. À l'équateur,  = 0, donc