Centrale Physique et Chimie 2 MP 2018

Thme de l'preuve Gophysique de la plante Terre
Principaux outils utiliss gravitation, mcanique du point, lectrostatique
Mots clefs champ gravitationnel, rsistance lectrique, nergie potentielle, thorme de Gauss, anomalie gravimtrique, lignes de champ

Corrig

(c'est payant, sauf le dbut): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres


 Centrale Physique et Chimie 2 MP 2018 -- Corrig Ce corrig est propos par Pierre Monteiller (ENS Ulm) ; il a t relu par Tom Morel (professeur en CPGE) et Louis Salkin (professeur en CPGE). Ce sujet traite de quelques aspects de gophysique. Il s'intresse  la mesure de grandeurs lies  la Terre, en particulier son champ gravitationnel et la rsistivit lectrique de ses sols. Les cinq parties du sujet sont largement indpendantes mme si les quatre premires portent sur la gravitation.  La premire partie dbute avec des questions de cours sur l'analogie entre lectrostatique et gravitation. Puis, le sujet tudie des causes de variation de l'intensit du champ gravitationnel.  La partie II traite de la mesure du champ gravitationnel par des systmes oscillants. Elle est beaucoup moins guide que les autres, il faut faire preuve d'initiative.  La partie III tudie un systme mcanique capable de mesurer avec prcision le champ de pesanteur. Elle fait appel  des raisonnements nergtiques un peu calculatoires mais classiques.  La partie IV permet d'appliquer les rsultats prcdents  l'analyse d'une anomalie gravimtrique due  l'enfouissement d'une masse dans le sol.  La dernire partie analyse les proprits lectriques des sols. Ce sujet permet de vrifier que les principaux concepts de l'lectrostatique et de la mcanique du point sont compris. De plus, quelques questions font appel au sens physique et ncessitent de bien comprendre les systmes et les phnomnes physiques considrs. C'est un sujet assez long, souvent proche du cours mais il contient plusieurs questions peu guides qui le rendent difficile. Indications Partie I 2 Appliquer le thorme de Gauss  une sphre de rayon R. 3 Pour x 1, (1 + x) 1 + x 7 Si on appelle H le projet orthogonal de M sur l'axe de rotation, la force d'inertie d'entranement applique  une masse m au point M s'exprime par - -- Fie = m 2 HM Partie II 10 La priode T des oscillations d'un pendule simple s'exprime par r T = 2 g 11 Comparer les valeurs des priodes d'oscillation  Cayenne et  Paris. s 2 2 T g 12 Utiliser 2 = + g T Partie III 16 L'nergie potentielle s'crit  une constante prs Ep = 1 k(s - s0 )2 - m g y M 2 17 Exprimer s2 en utilisant la relation de Chasles. 22 On rappelle que cos( - ) = cos cos + sin sin . Partie IV 28 Appliquer le thorme de Gauss  une sphre de rayon r > R. 36 Faire en sorte que g soit indtectable en fonction de . Partie V 40 Utiliser la conservation du flux de - et calculer celui-ci  travers une demi-sphre de rayon r. - 41 La loi d'Ohm locale s'crit - = E /. 46 Les lignes de courant sont orthogonales aux quipotentielles. Gophysique de la plante Terre 1 Le thorme de Gauss stipule que - - G  d S = -4 G Mint ZZ avec Mint la masse contenue dans le volume dfini par la surface . On peut alors rassembler dans un tableau les analogies entre les forces lectrique et gravitationnelle : lectrostatique -- q1 q2 - Felec = er 4 0 d2 Gravitation --- G m1 m2 - Fgrav = - er d2 q m 1 40 -G - 2 Tout plan passant par M contenant le vecteur er est plan de symtrie de la distribution de masse. D'o - GT = GT (M) - er De plus, la distribution de masse est  symtrie sphrique donc GT (M) = GT (r) Appliquons ensuite le thorme de Gauss gravitationnel, avec une sphre de rayon r > RT et de centre C. La masse intrieure  cette sphre vaut MT . Or, ZZ - - GT  d S = 4r2 GT (r) d'o donc Avec r = RT + z, 4r2 GT (r) = -4 GMT GT (r) = - - GT = - GMT r2 G MT - er (RT + z)2 3 D'aprs la question prcdente, la norme du champ gravitationnel s'crit GT (z) = GMT 1 RT 2 (1 + z/RT )2 Ici, z RT . Avec le dveloppement limit (1 + x) 1 + x, il vient GT (z) G MT RT 2 2z 1- RT 4 L'altitude z cherche vrifie la relation suivante GT (z) = 0,99 GT (0) On injecte la forme de GT (z) trouve  la question prcdente pour obtenir GMT 2z GMT = 0,99 1 - RT RT 2 RT 2 d'o Finalement 0,01 = 2z RT z = 0,005  RT = 3,19  104 m 5 Le gradient vertical du champ gravitationnel s'crit, dans l'approximation z RT dGT 2 G MT =- dz RT 3 Il correspond  la variation de l'intensit de GT par unit de hauteur, c'est--dire  la dviation par unit d'altitude de la valeur de g0  la surface de la Terre. 6 Numriquement, dGT = 3,08 Gal.cm-1 dz La variation relative de l'intensit du champ de pesanteur est faible : on peut donc considrer la pesanteur uniforme au voisinage de la Terre. 7 On appelle H le projet orthogonal de M sur l'axe de rotation . On peut alors exprimer la force d'inertie d'entranement comme - -- Fie = m 2 HM = m 2 RT cos - u () H C M - u RT 8 Le champ de pesanteur est dfini par la relation suivante - Fie /m - - m- g = Fie + m G T (RT ) d'o G MT - - g = 2 RT cos - u - er RT 2 - GT - g On peut ds lors reprsenter le champ de pesanteur apparent comme sur la figure ci-contre. 9 Comparons les intensits de la force gravitationnelle et de la force d'inertie d'entranement.  l'quateur, = 0, donc