Centrale Physique et Chimie 2 MP 2018

Thme de l'preuve Gophysique de la plante Terre
Principaux outils utiliss gravitation, mcanique du point, lectrostatique
Mots clefs champ gravitationnel, rsistance lectrique, nergie potentielle, thorme de Gauss, anomalie gravimtrique, lignes de champ

Corrig

(c'est payant, sauf le dbut): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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JS
9 ?2m`2b

*H+mHi`B+2b miQ`Bb2b

kyR3

S?vbB[m2@+?BKB2 k
:QT?vbB[m2 /2 H THMi2 h2``2

*2 bmD2i T`QTQb2 /2 i`Bi2` /2 /Bp2`b2b TTHB+iBQMb /2 H T?vbB[m2  Him/2 /2 H 
THMi2 h2``2X PM bBMi`2bb2
/Mb mM T`2KB2` i2KTb mt Ki?Q/2b /2 K2bm`2 /m +?KT /2 T2bMi2m` i2``2bi`2 
U;`pBKi`B2V TmBb  H2m`b
TTHB+iBQMb /Mb H2 ;MB2 +BpBHX .Mb mM /2mtBK2 i2KTb- QM im/B2 H2b Ki?Q/2b /2 
T`QbT2+iBQM H2+i`B[m2 /2b
bQHb miBHBb2b TQm` bQM/2` /2b i2``BMbX
lM 2Mb2K#H2 /2 pH2m`b MmK`B[m2b 2bi /BbTQMB#H2 2M }M /MQM+X
*2`iBM2b [m2biBQMb T2m Qm Tb ;mB/2b- /2KM/2Mi /2 HBMBiBiBp2 /2 H T`i /m 
+M/B/iX G2m` MQM+ 2bi `2T`
T` mM2 #``2 2M K`;2X AH 2bi HQ`b /2KM/ /2tTHB+Bi2` +HB`2K2Mi H /K`+?2- H2b 
+?QBt 2i /2 H2b BHHmbi`2`H2 +b +?Mi- T` mM b+?KX G2 #`K2 pHQ`Bb2 H T`Bb2 
/BMBiBiBp2 2i iB2Mi +QKTi2 /m i2KTb M+2bbB`2  H
`bQHmiBQM /2 +2b [m2biBQMbX

A *?KT ;`pBiiBQMM2H 2i +?KT /2 T2bMi2m` i2``2bi`2
AX 

*?KT ;`pBiiBQMM2H +` T` H h2``2

Z RX
MQM+2` H2 i?Q`K2 /2 :mbb TTHB[m  H ;`pBiiBQM 2M T`+BbMi H2b MHQ;B2b 2Mi`2 
7Q`+2b H2+i`Q@
  H2 +?KT ;`pBiiBQMM2HX
biiB[m2b 2i ;`pBiiBQMM2HH2bX PM MQi2` 
G h2``2 2bi bbBKBH2  mM2 #QmH2 ?QKQ;M2 /2 `vQM  - /2 +2Mi`2  2i /2 Kbb2  
mMB7Q`KK2Mi `T`iB2
2M pQHmK2X PM `2T`2 mM TQBMi  /2 H2bT+2 /Mb H2 bvbiK2 /2 +QQ`/QMM2b bT?`B[m2b 
/Q`B;BM2 - bbQ+B 
H #b2 HQ+H2    X PM TT2HH2        HHiBim/2 /mM TQBMi  bBim  H2ti`B2m` /2 H 
h2``2 2i
QM bbQ+B2  +2 TQBMi mM t2  Up2`iB+H2 /m HB2mV /QMi HQ`B;BM2  2bi 2M    2i i2H 
[m2    X
  +` T` H h2``2  mM2 HiBim/2   X
Z kX
.i2`KBM2` H2tT`2bbBQM /m +?KT ;`pBiiBQMM2H 
AX" 

o`BiBQM /m +?KT ;`pBiiBQMM2H p2+ HHiBim/2

aQBi mM +Q`Tb /2 Kbb2 - bbBKBH  mM TQBMi Ki`B2H- bBim  H /BbiM+2   
/m +2Mi`2  /2 H h2``2 UHiBim/2   VX PM /}MBi H2 p2+i2m` mMBiB`2 HQ+H 
T2`T2M/B+mHB`2  Ht2  /2 `QiiBQM /2 H h2``2 bm` 2HH2@KK2 U};m`2 RVX
Z jX
JQMi`2` [m2 HBMi2MbBi /m +?KT ;`pBiiBQMM2H b2HQM H p2`iB+H2 b+`Bi

X
TQm`    ,   

Z 9X
*H+mH2` HHiBim/2 /QMi BH 7mi bH2p2` TQm` Q#b2`p2` mM2 p`BiBQM /2
R-yyW /2  X
Z 8X
.QMM2` H2tT`2bbBQM /m ;`/B2Mi p2`iB+H /m +?KT ;`pBiiBQMM2HX Zm2
`2T`b2Mi2@i@BH T?vbB[m2K2Mi \
Z eX
G2b ;QT?vbB+B2Mb miBHBb2Mi +QKK2 mMBi /2 K2bm`2 /m +?KT /2 T2bMi2m`
H2 ;H p2+  HBM    DNT X pHm2` H pH2m` /m ;`/B2Mi 2tT`BK2 2M ;H+KR
2i +QKK2Mi2`X
AX* 

*?KT /2 T2bMi2m` i2``2bi`2

6B;m`2 R

 b2t2`@
Z dX
Gim/2 2bi +QM/mBi2 /Mb H2 `7`2MiB2H i2``2bi`2X 1tT`BK2` H 7Q`+2 /BM2`iB2 
/2Mi`BM2K2Mi 
Mi bm` mM +Q`Tb /2 Kbb2 - bBim  H /BbiM+2    /m +2Mi`2 /2 H h2``2X G pBi2bb2 
M;mHB`2 /2 `QiiBQM
/2 H h2``2 bm` 2HH2@KK2 2bi MQi2 - H HiBim/2 2bi MQi2  U};m`2 RVX
Z 3X
G2 TQB/b /mM Q#D2i /2 Kbb2  U   V 2bi ;H- T` /}MBiBQM-  H bQKK2 /2 H 7Q`+2 
/2 ;`pBiiBQM
2i /2 H 7Q`+2 /BM2`iB2 /2Mi`BM2K2MiX +`B`2 H2tT`2bbBQM /m +?KT /2 T2bMi2m`   
2i H2 `2T`b2Mi2` bm` mM
b+?K m TQBMi X
Z NX
TTHB+iBQM MmK`B[m2X *QKT`2`- /2 KMB`2 `2HiBp2- H2 i2`K2 /BM2`iB2 /2Mi`BM2K2Mi 
m i2`K2 /
m +?KT ;`pBiiBQMM2H +H+mH  H[mi2m`X *QKK2Mi2`X

kyR3@yj@y8 RN,jR,9N

S;2 RfN

AA Ji?Q/2b /2 K2bm`2 /m +?KT /2 T2bMi2m`  HB/2 /2 T2M/mH2b
SQm` /i2`KBM2` H2 +?KT /2 T2bMi2m` HQ+H2K2Mi- H2b ;QT?vbB+B2Mb /BbTQb2Mi /BMb@
i`mK2Mib TT2Hb ;`pBKi`2bX G2 T`2KB2` ;`pBKi`2 miBHBb ?BbiQ`B[m2K2Mi  i mM
T2M/mH2X
AAX 

G2 T2M/mH2 /2 _B+?i2`

Z RyX
SQm`[mQB HmiBHBbiBQM /mM T2M/mH2 bBKTH2 U};m`2 kV T2`K2i@2HH2 /2 `2KQM@

i2`  H K2bm`2 /2 HBMi2MbBi /m +?KT /2 T2bMi2m`  \

Z RRX
1M Redk Hbi`QMQK2 _B+?i2` T`i  *v2MM2 2M :mvM2 p2+ mM2 ?Q`HQ;2
6B;m`2 k
 T2M/mH2 `;H2  S`Bb UT2M/mH2 [mB #i H b2+QM/2V- BH bT2`QBi [m2HH2 `2i`/2 /2

k KBM k3 b T` DQm`X 1M //mB`2 H pH2m` /2   *v2MM2 U S`Bb     NT VX
SQm` [m2HH2UbV `BbQMUbV H2b pH2m`b /2  bQMi@2HH2b /Bz`2Mi2b  *v2MM2 2i  S`Bb 
\ GHiBim/2 /2 S`Bb p`B2
2Mi`2 k3 2i RjR K 2i HHiBim/2 /2 *v2MM2 2Mi`2 y 2i Ry8 KX
Z RkX
PM /K2i [m2 HBM+2`iBim/2 /2 K2bm`2 T`QpB2Mi 2bb2MiB2HH2K2Mi /2 H K2bm`2 /2 H 
T`BQ/2 X Zm2HH2
/2p`Bi i`2 HBM+2`iBim/2 bm` H K2bm`2 /2 H T`BQ/2 /m T2M/mH2 miBHBb T` _B+?i2` 
TQm` [m2 HBM+2`iBim/2 bm`
H K2bm`2 /2  bQBi ;H2  R ;H UQ`/`2 /2 ;`M/2m` /2 H T`+BbBQM /2b ;`pBKi`2b 
+im2HbVX
AAX"  G2 T2M/mH2 p2`iB+H
G K2bm`2 /2 HHQM;iBQM /mM `2bbQ`i p2`iB+H m #Qmi /m[m2H 2bi bmbT2M/m2 mM2 Kbb2
T2`K2i /2 K2bm`2` H2b p`BiBQMb /m +?KT /2 T2bMi2m`X GBM;MB2m` Gm+B2M G*Qbi2 
BMp2Mi mM BM;MB2mt `2bbQ`i  bTB`H2 /2 HQM;m2m` m `2TQb MmHH2 U};m`2 jVX
Z RjX
aB H2 +?KT /2 T2bMi2m` i2``2bi`2 p`B2 /2 Ry ;H- [m2 pmi H p`BiBQM /2 HHQM@
;iBQM /mM `2bbQ`i mbm2H /mM H#Q`iQB`2 /2 Hv+2 \
Z R9X
Zm2H 2bi HBMi`i /miBHBb2` mM `2bbQ`i /2 HQM;m2m` m `2TQb MmHH2 \

6B;m`2 j

AAA :`pBKi`2  ~m /2 G*Qbi2 2i _QK#2`;
G2 ;`pBKi`2 /2 G*Qbi2 2i _QK#2`; 2bi mM ;`pBKi`2 [mB T2`K2i /2 K2bm`2`
HBMi2MbBi /m +?KT /2 T2bMi2m` p2+ mM2 BM+2`iBim/2 ivTB[m2 /2 R ;HX
lM2 iB;2 /2 HQM;m2m` - /2 Kbb2 M;HB;2#H2 TQ`i2 mM2 Kbb2   HmM2 /2
b2b 2ti`KBib 2i TBpQi2 bMb 7`Qii2K2Mi miQm` /2 Ht2  U};m`2 9VX G2
KQmp2K2Mi /2 H Kbb2 2bi `2T` T` HM;H2 - Q`B2Mi T` `TTQ`i  Ht2
 - BH 2bi /QM+ TQbBiB7 bm` H };m`2 9X G iB;2 2bi `2i2Mm2 T` mM `2bbQ`i /2
+QMbiMi2 /2 `B/2m` - /2 HQM;m2m`  2i /2 HQM;m2m` m `2TQb  X *2 `2bbQ`i 2bi
}t bm` H iB;2  H /BbiM+2  /m TQBMi TBpQiX G HQM;m2m`  T2mi i`2 Dmbi2X
G2 /BbTQbBiB7 2bi +QMi2Mm /Mb mM THM p2`iB+H- Ht2  2bi T2`T2M/B+mHB`2 
+2 THMX

TBpQi

6B;m`2 9
Z R8X
1tTHB[m2` H2 7QM+iBQMM2K2Mi /m ;`pBKi`2X
Z ReX
SQm` H2 bvbiK2 ;`pBKi`2 UiB;2 Y `2bbQ`i Y Kbb2 V- +`B`2 H2tT`2bbBQM /2 
HM2`;B2 TQi2MiB2HH2
iQiH2  UT2bMi2m` 2i HbiB[m2V /m bvbiK2 2M 7QM+iBQM /2 - - - - -  2i  X
Z RdX

.QMM2` H2tT`2bbBQM /2  2M 7QM+iBQM /2 -  2i X

kyR3@yj@y8 RN,jR,9N

S;2 kfN

X
Z R3X
SQm` mM KQmp2K2Mi /2 `QiiBQM Tm`2 H2 +QmTH2 `bmHiMi  ;BbbMi bm` H iB;2 b+`Bi  
 

JQMi`2` [m2

 TJO 

 DPT 

Z RNX
*2 `2bbQ`i  i 7#`B[m /2 i2HH2 KMB`2 [m2 b HQM;m2m` m `2TQb  bQBi MmHH2 
U};m`2 jVX JQMi`2`
[m2 HQM T2mi /i2`KBM2` H pH2m` /2 HBMi2MbBi /2 H T2bMi2m`  2M MMmHMi +2 
+QmTH2X m`Bi@QM Tm miBHBb2`
mM `2bbQ`i  +HbbB[m2  \
SQm` iQmi2 H bmBi2- H2 `2bbQ`i  mM2 HQM;m2m` m `2TQb MmHH2X
.Mb H T`iB[m2- QM BM+HBM2 H2 TQBMi /2 bmTTQ`i /m `2bbQ`i /mM T2iBi M;H2  U};m`2 
8VX

6B;m`2 8
Z kyX

1tT`BK2` - TmBb HM2`;B2 TQi2MiB2HH2  - 2M 7QM+iBQM /2 - -  2i X

G2b +Qm`#2b /2 H };m`2 e `2T`b2Mi2Mi HM2`;B2 TQi2MiB2HH2 2M 7QM+iBQM /2  /m 
bvbiK2 bMb 2i p2+ BM+HBMBbQM
/m `2bbQ`i UTQm` mM2 K2BHH2m`2 pBbmHBbiBQM- H2b pH2m`b /2b T`Ki`2b miBHBbb 
TQm` i`+2` +2b +Qm`#2b bQMi
/Bz`2Mi2b /2 +2HH2b /m bvbiK2 `2HVX

 UCV

 UCV

 U`/V

6B;m`2 e

 U`/V

Z kRX
Zm2H 2bi HBMi`i /pQB` BM+HBM H2 `2bbQ`i \
Z kkX
.Mb H2 +b Q H2 TQBMi /2 bmTTQ`i /m `2bbQ`i 2bi BM+HBM U};m`2 8V- /i2`KBM2` H2 
MQmp2m +QmTH2 
`bmHiMiX JQMi`2` [mBH b+`Bi
     DPT  DPT    TJO  TJO 

Z kjX
.Mb H T`iB[m2- HM;H2  `2bi2 T2iBiX +`B`2 H[miBQM /Bz`2MiB2HH2 p`B}2 T` X 
PM MQi2`  H2
KQK2Mi /BM2`iB2 /2 H iB;2 2i /2 H Kbb2 T` `TTQ`i  Ht2 X
kyR3@yj@y8 RN,jR,9N

S;2 jfN

Z k9X
.i2`KBM2` H TmHbiBQM T`QT`2 /2b Qb+BHHiBQMb 2i H TQbBiBQM KQv2MM2  X
PM Dmbi2 H HQM;m2m`  /2 KMB`2  MMmH2` H TQbBiBQM KQv2MM2 TQm`    X
Z k8X
TTHB+iBQM MmK`B[m2X .2 [m2H M;H2  /QBi@QM BM+HBM2` HBMbi`mK2Mi TQm` Q#i2MB` 
/2b Qb+BHHiBQMb /2
T`BQ/2 ky b bB    NT -       DN 2i    \
Z keX
GTT`2BH 2bi 2MbmBi2 /TH+ /Mb mM2 xQM2 Q    X JQMi`2` [m2 H MQmp2HH2 TQbBiBQM 
KQv2MM2

 2bi ;H2   
X
 UBO 
Z kdX
aB H2 +?KT /2 T2bMi2m` p`B2 /2 Ry ;H [m2H 2bi HQ`/`2 /2 ;`M/2m` /2 H MQmp2HH2 
TQbBiBQM KQv2MM2 \
*QKK2Mi2`X

Ao TTHB+iBQMb /2 H ;`pBKi`B2
G ;`pBKi`B2 2bi Him/2 /2b p`BiBQMb /m +?KT /2 T2bMi2m` /Mb H2bT+2 2i /Mb H2 
i2KTbX 1HH2 T2`K2i /2
/i2`KBM2` H `T`iBiBQM /2b Kbb2b m b2BM /2 H h2``2 2i /pQB` BMbB ++b  b 
bi`m+im`2X S` 2t2KTH2- H
;`pBKi`B2 2bi miBHBb2 TQm` /i2`KBM2` H 7Q`K2 /2 H h2``2 U;Q/bB2V- TQm` 
/i2+i2` /2b +pBib U;MB2 +BpBH
Qm `+?QHQ;B2V- TQm` bmBp`2 H2b biQ+F;2b /2m U?v/`QHQ;B2 +QMiBM2MiH2VX
.Mb +2ii2 T`iB2- MQmb HHQMb /i2`KBM2`- T` mM2 MHvb2 ;`pBKi`B[m2- H2b 
/BK2MbBQMb /mM +Q`Tb bT?`B[m2
2Mi2`` /Mb mM bQH /2 Kbb2 pQHmKB[m2 KQv2MM2  U};m`2 dVX
am`7+2
aQH 

6B;m`2 d
Z k3X
1M miBHBbMi H2 i?Q`K2 /2 :mbb ;`pBiiBQMM2H- /i2`KBM2` H2tT`2bbBQM /m +?KT /2 
T2bMi2m` 2M
mM TQBMi  bBim  H2ti`B2m` /mM2 bT?`2 ?QKQ;M2 /2 `vQM  2i /2 Kbb2 pQHmKB[m2   
  2M
7QM+iBQM /2  - - - - - /BbiM+2 /2  m +2Mi`2 /2 H bT?`2- 2i /m p2+i2m` mMBiB`2  
U};m`2 dVX
G2 +Q`Tb bT?`B[m2 b2 i`Qmp2  mM2 T`Q7QM/2m`  /Mb H2 bQHX GQBM /2 H bT?`2 
UTQm`   V- H2 +?KT /2
T2bMi2m` 2bi p2`iB+H b2HQM  /2 pH2m`  X
Z kNX
.i2`KBM2`  - H +QKTQbMi2 p2`iB+H2 /m +?KT /2 T2bMi2m` +` T` H #QmH2 m TQBMi  
bBim 
mM2 /BbiM+2  /2 H p2`iB+H2X
Z jyX
JQMi`2` [m2 HMQKHB2 ;`pBKi`B[m2      - [mB 7Bi p`B2` H2 +?KT /2 T2bMi2m` TT`2Mi
2M mM HB2m- 2bi B/2MiB[m2 m +?KT /2 T2bMi2m`  +` T` mM2 bT?`2 /2 Kbb2 
pQHmKB[m2 X
Z jRX

JQMi`2` [m2 HMQKHB2 ;`pBKi`B[m2 b+`Bi

Z jkX
h`+2` HHHm`2 /2 H +Qm`#2  2M 7QM+iBQM /2  TQm` /2b bT?`2b B/2MiB[m2b 2Mi2``2b 
 /2mt T`Q7QM@
/2m`b /Bz`2Mi2b  2i    X
Z jjX
Zm2H 2bi H2 HB2M 2Mi`2 H T`Q7QM/2m`  2i H H`;2m`  KB@?mi2m` /2 H +Qm`#2 \ Zm2 
pmi HMQKHB2
;`pBKi`B[m2 KtBKH2 \
Z j9X
.i2`KBM2`-  HB/2 H +Qm`#2 /2 H };m`2 3- H T`Q7QM/2m`  2i H2 `vQM  /2 H bT?`2 
2Mi2``2X
Z j8X
*QKK2Mi `2M/`2 BM/i2+i#H2 T` MHvb2 ;`pBKi`B[m2 /2 HQ` biQ+F /Mb mM2 ;`Qii2 
bT?`B[m2 \
Z jeX
G ;`Qii2 /2 R K /2 `vQM 2bi  9 K /2 T`Q7QM/2m`X Zm2HH2 Kbb2 /Q` 2bi@BH 
TQbbB#H2 /2 ++?2` T`
+2ii2 Ki?Q/2 \ SQm` BM7Q`KiBQM- H Kbb2 pQHmKB[m2 /2 HQ` 2bi     LHN X
Z jdX
lM2 im/2 `+?QHQ;B[m2 T`H#H2 T`pQBi H /BbTQbBiBQM /2 /2mt ;`Qii2b bT?`B[m2b 
/2 KK2 /BK2MbBQM
U};m`2 NVX h`+2` HHHm`2 /2 H +Qm`#2 /2 HMQKHB2 ;`pBKi`B[m2 ii2M/m2     2M pQmb 
B/Mi /2 H
};m`2 RyX

kyR3@yj@y8 RN,jR,9N

S;2 9fN

 UK;HV

 UKV

6B;m`2 3 MQKHB2 ;`pBKi`B[m2  TQm`
mM2 bT?`2 2Mi2``2 p2+    LHN

*H+B`2    LHN

:`b    LHN

6B;m`2 N

6B;m`2 Ry MQKHB2 ;`pBKi`B[m2 TQm` mM2 TH[m2 ?Q`BxQMiH2 b2KB@BM}MB2

o S`QbT2+iBQM H2+i`B[m2 /2b bQHb
G T`QbT2+iBQM H2+i`B[m2 2bi HmM2 /2b THmb M+B2MM2b Ki?Q/2b /2 T`QbT2+iBQM 
;QT?vbB[m2X 1HH2 `2TQb2 bm`
HBMi2`T`iiBQM /2 H `bBbiM+2 H2+i`B[m2 /m i2``BMX *2b K2bm`2b /QBp2Mi i`2 
`HBb2b BM bBim- +2ii2 K2bm`2 M2
TQmpMi i`2 `HBb2 2M H#Q`iQB`2 bm` mM +?MiBHHQM bQ`iB /2 bQM 2MpB`QMM2K2MiX 
1HH2b bQMi T`iB+mHB`2K2Mi
/Ti2b  Him/2 /2b 7B#H2b T`Q7QM/2m`bX
oX 

aQH ?QKQ;M2

Z j3X
1tT`BK2` H `bBbiM+2 H2+i`B[m2 /mM T`HHHTBT/2 ?QKQ;M2 /2 HQM;m2m` - /2 
b2+iBQM  2i /2
`bBbiBpBi    Q  2bi H +QM/m+iBpBi H2+i`B[m2 /m Ki`Bm U};m`2 RRVX
SQm` /i2`KBM2` H `bBbiM+2 H2+i`B[m2 /mM i2``BM QM BKTQb2 H +B`+mHiBQM /mM 
+Qm`Mi +QMiBMm /BMi2MbBi
  H bm`7+2 /m bQH [mB b2 `T`iBi 2M T`Q7QM/2m`X *2ii2 QT`iBQM 2bi `HBb2 
;`+2  /2b H2+i`Q/2b [m2 HQM
THMi2 /Mb H2 bQH mt TQBMib  2i  U};m`2 RkVX G i2MbBQM 2bi K2bm`2  HB/2 /mM 
pQHiKi`2 2Mi`2 H2b TQBMib
 2i X
Z jNX
.Mb H T`iB[m2 QM miBHBb2 mM +Qm`Mi Hi2`MiB7 i`b #bb2 7`[m2M+2X SQm` [m2HH2 
`BbQM \

kyR3@yj@y8 RN,jR,9N

S;2 8fN

o

6B;m`2 RR

o

aQH- `bBbiBpBi 
6B;m`2 Rk

6B;m`2 Rj
Z 9yX
*QMbB/`QMb b2mH2K2Mi HH2+i`Q/2 TH+2 2M  U};m`2 RjVX PM MQi2    H2 p2+i2m` 
/2MbBi pQHmKB[m2
/2 +Qm`Mi m TQBMi X G i2``2 2bi +QMbB/`2 +QKK2 ?QKQ;M2X Zm2HH2 2bi H 7Q`K2 
/2b HB;M2b /2 +Qm`Mi /Mb
H i2``2 \ .QMM2` H2tT`2bbBQM /2    2M 7QM+iBQM MQiKK2Mi /2 HBMi2MbBi /m +Qm`Mi 
 2i /2 X
  2i H2 TQi2MiB2H H2+i`B[m2   m TQBMi  2M 7QM+iBQM /2 -  2i X
Z 9RX
1tT`BK2` H2 +?KT H2+i`B[m2 
PM bmTTQb2 [m2 H pH2m` /m TQi2MiB2H 2bi MmHH2  ;`M/2 /BbiM+2X
Z 9kX
.Mb H2 +b /2b /2mt H2+i`Q/2b U};m`2 R9V- 2tT`BK2` H2 TQi2MiB2H H2+i`B[m2  m 
TQBMi  2M 7QM+iBQM
/2 -  -  2i X PM bmTTQb2 [m2 H pH2m` /m TQi2MiB2H 2bi MmHH2  ;`M/2 /BbiM+2X 
Zm2HH2 `2HiBQM /}MBi H2b
[mBTQi2MiB2HH2b \

6B;m`2 R9
1tT`BK2` H /Bz`2M+2 /2 TQi2MiB2H      Hm2 bm` H2 pQHiKi`2 U};m`2 RkVX JQMi`2` 
[m2 H

`bBbiBpBi b+`Bi  
Q  2bi H2 7+i2m` ;QKi`B[m2  2tT`BK2` 2M 7QM+iBQM /2b /BbiM+2b  -  -  

2i  X
Z 99X
.Mb H2 +b /2 H +QM};m`iBQM /Bi2 /2 q2MM2` U};m`2 R8V- H2b TQBMib - -  2i  bQMi 
[mB/BbiMib
2bT+b /2 H HQM;m2m` X 1tT`BK2` H2 7+i2m` ;QKi`B[m2 X
Z 9jX

6B;m`2 R8

kyR3@yj@y8 RN,jR,9N

S;2 efN

y-9 o

y-e o

R-k8 o
R o
y-3 o

j o
k o

9 o

R-8 o

R-8 o

9o

ko
jo

Ro
R-k8 o

y-3 o

y-e o

y-9 o

Z 98X
G2b +Qm`#2b /2 H };m`2 Re T`b2Mi2Mi H2 `bmHii /2 H bBKmHiBQM /2b 
[mBTQi2MiB2HH2b i`+2b TQm` /2mt
H2+i`Q/2b /BbiMi2b /2 Ry K bBim2b 2M   N THMi2b /Mb mM i2``BM /2 `bBbiBpBi 
   NX GBMi2MbBi
/m +Qm`Mi 2bi     "X Zm2 pmi H2 7+i2m` ;QKi`B[m2 +Q``2bTQM/Mi /Mb H 
+QM};m`iBQM /2 q2MM2` \
*2ii2 pH2m` 2bi@2HH2 2M ++Q`/ p2+ H bBKmHiBQM /2 H };m`2 Re \

 UKV

9 o

j o

y-9 o
y-e o
y-3 o
R o
R-k8 o
R-8 o

yo
y-k o

y-k o

 UKV

Ro
y-3 o
y-e o
y-9 o

R-8 o
R-k8 o

ko

jo

9o

y-k o

yo

k o

y-k o

 UKV

 UKV

6B;m`2 Re
Z 9eX

h`+2`- 2M 2tTHB[mMi pQi`2 /K`+?2- HHHm`2 /2b HB;M2b /2 +Qm`MiX

oX"  JQ/H2  /2mt i2``BMb
.Mb H2 +b /mM KBHB2m BM?QKQ;M2 QM T`H2 /2 `bBbiBpBi TT`2Mi2X .Mb H2 KQ/H2 /Bi 
 /2mt i2``BMb- H2
bQH 2bi +QMbiBim /2 /2mt +Qm+?2b bmT2`TQb2b /2 `bBbiBpBi  2i /TBbb2m`  
TQm` H +Qm+?2 bmT`B2m`2 2i
/2 `bBbiBpBi  2i /TBbb2m` BM}MB2 TQm` H +Qm+?2 BM7`B2m`2 U};m`2 RdVX G 
`bBbiBpBi TT`2Mi2 2bi K2bm`2
TQm` /Bz`2Mib 2bT+2K2Mib 2Mi`2 H2+i`Q/2b U/BbiM+2  p`B#H2VX

kyR3@yj@y8 RN,jR,9N

S;2 dfN

6B;m`2 Rd AHHmbi`iBQM /m bQM/;2 H2+i`B[m2 U/T`b *?Qmi2m 2i :B`Qmt UkyyeVVHHm`2 
/2b HB;M2b /2 +Qm`Mi
Z 9dX
o2`b [m2HH2 pH2m` i2M/  T`BQ`B H `bBbiBpBi TT`2Mi2 HQ`b[m2  2bi 7B#H2 \ 
HQ`b[m2  2bi i`b
;`M/2 \
Z 93X
G +Qm`#2 /2 H };m`2 R3 `2T`b2Mi2 H `bBbiBpBi TT`2Mi2  K2bm`2 
2tT`BK2MiH2K2Mi 2M 7QM+iBQM
/2 H /BbiM+2 X .i2`KBM2` H `bBbiBpBi  2i  /2b i2``BMb BMbB [mmM2 2biBKiBQM 
/2 H pH2m`  TBbb2m` /2 H +Qm+?2 bmT`B2m`2X PM bB/2` /2 H#[m2 *>R /QMM };m`2 
RN [mB `2T`b2Mi2   2M 7QM+iBQM
/2  2M +?2HH2 #B@HQ;`Bi?KB[m2X *?[m2 +Qm`#2 /2 +2i #[m2 +Q``2bTQM/ BMbB  H 
+Qm`#2 /mM bQM/;2
H2+i`B[m2 2t+mi bm` mM bQmb@bQH +QKTQb /2 /2mt i2``BMb Q H T`2KB`2 +Qm+?2  
mM2 TBbb2m`  2i mM2
`bBbiBpBi  X

_bBbiBpBi TT`2Mi2 UKV

 UKV

6B;m`2 R3 J2bm`2 /2mt i2``BMb

.QMM2b MmK`B[m2b
*QMbiMi2 /2 ;`pBiiBQM mMBp2`b2HH2

      LH N T

_vQM /2 H h2``2

      LN

Jbb2 /2 H h2``2

      LH

lMBi /2 K2bm`2 /2 H T2bMi2m`

 HBM    DNT

P`/`2 /2 ;`M/2m` /2 H b2MbB#BHBi /2b ;`pBKi`2b +im2Hb

   HBM

kyR3@yj@y8 RN,jR,9N

S;2 3fN

ABAQUE CH 1

1
2

100

h1

Module de l'chelle logarithmique

8

2/ 1=

100
h1
1

a

50
10
AB
2 

30
20
15
12
9
7
5
4
3
2.5
2
1.5
1.25

0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.25
0.2
0.15

0.1

0.07
0.05

0.03

0

0.02

6B;m`2 RN #[m2 *>R
r r r 6AL r r r

kyR3@yj@y8 RN,jR,9N

S;2 NfN

Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres



Centrale Physique et Chimie 2 MP 2018 -- Corrig
Ce corrig est propos par Pierre Monteiller (ENS Ulm) ; il a t relu par Tom
Morel (professeur en CPGE) et Louis Salkin (professeur en CPGE).

Ce sujet traite de quelques aspects de gophysique. Il s'intresse  la mesure 
de
grandeurs lies  la Terre, en particulier son champ gravitationnel et la 
rsistivit
lectrique de ses sols. Les cinq parties du sujet sont largement indpendantes 
mme
si les quatre premires portent sur la gravitation.
 La premire partie dbute avec des questions de cours sur l'analogie entre 
lectrostatique et gravitation. Puis, le sujet tudie des causes de variation 
de l'intensit du champ gravitationnel.
 La partie II traite de la mesure du champ gravitationnel par des systmes
oscillants. Elle est beaucoup moins guide que les autres, il faut faire preuve
d'initiative.
 La partie III tudie un systme mcanique capable de mesurer avec prcision le
champ de pesanteur. Elle fait appel  des raisonnements nergtiques un peu
calculatoires mais classiques.
 La partie IV permet d'appliquer les rsultats prcdents  l'analyse d'une 
anomalie gravimtrique due  l'enfouissement d'une masse dans le sol.
 La dernire partie analyse les proprits lectriques des sols.
Ce sujet permet de vrifier que les principaux concepts de l'lectrostatique et
de la mcanique du point sont compris. De plus, quelques questions font appel au
sens physique et ncessitent de bien comprendre les systmes et les phnomnes
physiques considrs. C'est un sujet assez long, souvent proche du cours mais il
contient plusieurs questions peu guides qui le rendent difficile.

Indications
Partie I
2 Appliquer le thorme de Gauss  une sphre de rayon R.
3 Pour x  1,

(1 + x)  1 + x

7 Si on appelle H le projet orthogonal de M sur l'axe de rotation, la force 
d'inertie
d'entranement applique  une masse m au point M s'exprime par
-
--
Fie = m  2 HM
Partie II
10 La priode T des oscillations d'un pendule simple s'exprime par
r

T = 2
g
11 Comparer les valeurs des priodes d'oscillation  Cayenne et  Paris.
s
2  2
T
g

12 Utiliser
2
=
+
g
T

Partie III
16 L'nergie potentielle s'crit  une constante prs
Ep =

1
k(s - s0 )2 - m g y M
2

17 Exprimer s2 en utilisant la relation de Chasles.
22 On rappelle que cos( - ) = cos  cos  + sin  sin .
Partie IV
28 Appliquer le thorme de Gauss  une sphre de rayon r > R.
36 Faire en sorte que g soit indtectable en fonction de .
Partie V

40 Utiliser la conservation du flux de -
 et calculer celui-ci  travers une demi-sphre
de rayon r.

-

41 La loi d'Ohm locale s'crit -
 = E /.
46 Les lignes de courant sont orthogonales aux quipotentielles.

Gophysique de la plante Terre
1 Le thorme de Gauss stipule que
- 

-
G  d S = -4 G Mint

ZZ

avec Mint la masse contenue dans le volume dfini par la surface . On peut alors
rassembler dans un tableau les analogies entre les forces lectrique et 
gravitationnelle :
lectrostatique
--
q1 q2 -

Felec =
er
4  0 d2

Gravitation
---
G m1 m2 -

Fgrav = -
er
d2

q

m

1
40

-G

-
2 Tout plan passant par M contenant le vecteur 
er est plan de symtrie de la
distribution de masse. D'o
-

GT = GT (M) -
er
De plus, la distribution de masse est  symtrie sphrique donc
GT (M) = GT (r)
Appliquons ensuite le thorme de Gauss gravitationnel, avec  une sphre de 
rayon
r > RT et de centre C. La masse intrieure  cette sphre vaut MT . Or,
ZZ
-
 -

GT  d S = 4r2 GT (r)

d'o

donc

Avec r = RT + z,

4r2 GT (r) = -4 GMT
GT (r) = -
-

GT = -

GMT
r2

G MT -

er
(RT + z)2

3 D'aprs la question prcdente, la norme du champ gravitationnel s'crit
GT (z) =

GMT
1
RT 2 (1 + z/RT )2

Ici, z  RT . Avec le dveloppement limit (1 + x)  1 + x, il vient
GT (z) 

G MT
RT 2

2z
1-
RT

4 L'altitude z cherche vrifie la relation suivante
GT (z) = 0,99 GT (0)
On injecte la forme de GT (z) trouve  la question prcdente pour obtenir

GMT
2z
GMT
= 0,99
1
-
RT
RT 2
RT 2
d'o
Finalement

0,01 =

2z
RT

z = 0,005  RT = 3,19  104 m

5 Le gradient vertical du champ gravitationnel s'crit, dans l'approximation z  
RT
dGT
2 G MT
=-
dz
RT 3
Il correspond  la variation de l'intensit de GT par unit de hauteur, 
c'est--dire 
la dviation par unit d'altitude de la valeur de g0  la surface de la Terre.
6 Numriquement,
dGT
= 3,08 Gal.cm-1
dz
La variation relative de l'intensit du champ de pesanteur est faible : on peut 
donc
considrer la pesanteur uniforme au voisinage de la Terre.
7 On appelle H le projet orthogonal de M sur l'axe de rotation . On peut alors
exprimer la force d'inertie d'entranement comme
-
--

Fie = m  2 HM = m  2 RT cos  -
u
()

H

C

M 
-
u
RT

8 Le champ de pesanteur est dfini par la relation suivante
-
Fie /m

-
-

m-
g = Fie + m G T (RT )
d'o

G MT -
-

g =  2 RT cos  -
u -
er
RT 2

-

GT

-

g

On peut ds lors reprsenter le champ de pesanteur apparent
comme sur la figure ci-contre.
9 Comparons les intensits de la force gravitationnelle et de la force 
d'inertie d'entranement.  l'quateur,  = 0, donc