Centrale Physique et Chimie MP 2014

Thème de l'épreuve Les LIDAR atmosphériques
Principaux outils utilisés électromagnétisme, thermodynamique, cristallographie, solutions aqueuses, statique des fluides, thermochimie
Mots clefs LIDARS, atmosphère, pluies acides, dipôle oscillant, moteur, essence, effet Doppler

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                          

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
           

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


Physique--Chimie <' F| M P Q 4 heures Calculatrices autorisées N Le LIDAR et la physico-chimie atmosphérique Le 27 Septembre 2013 le GIEC (Groupe d'experts Intergouvernementa] sur l'Évolution du Climat) présentait son nouveau rapport : la température moyenne sur Terre qui a déjà augmenté de 0,8 °C depuis l'ère pré--industrielle devrait continuer a s'accroître, de 1,1 a 6,4 C'C durant le siècle prochain. Les activités humaines semblent être la principale cause de ce réchauffement climatique (certitude à 95%) et notamment la production humaine de gaz a effet de serre, principalement le dioxyde de carbone. Le 17 Octobre 2013 l'OMS (Organisation Mondiale de la Santé) et le CIBC (Centre International de Recherche sur le Cancer) déclaraient l'air que nous respirions cancérigène a cause des polluants (particules fines essentiellement) qui le composaient. Dans ces circonstances, il apparaît essentiel de surveiller et de contrôler la qualité de notre atmosphère. Le LIDAR (Light Detection And Ranging) atmosphérique répond parfaitement à ces attentes. En utilisant des sources laser il fournit en effet des informations sur la composition et la concentration des différents constituants de l'atmosphère, et permet également par effet Doppler de suivre le déplacement de nuages de particules. Ce problème étudie le principe de fonctionnement du LIDAR atmosphérique et quelques propriétés de l'atmo- sphère. I LIDARS atmosphériques Le principe de fonctionnement du lidar est proche de celui du radar. C'est un instrument de sondage atmosphé-- rique a distance, utilisant des ondes électromagnétiques dont la longueur d'onde se situe dans le domaine de transparence de l'atmosphère, entre 0,3 um et 10 pm environ. L'émetteur est un laser à impulsions. Le rayonne-- ment émis interagit avec les particules et les molécules de l'atmosphère, dans la direction de la ligne de visée. Une partie du rayonnement est renvoyée dans la direction de l'émetteur : elle est rétrodiffusée. Le lidar mesure l'intensité rétrodiffusée au cours du temps pour la caractérisation des aérosols et des gaz. Certains lidars utilisent l'effet Doppler et mesurent la fréquence du signal rétrodiffusé pour étudier la vitesse des vents par exemple. I.A -- Équations simplifiées du lidar atmosphérique Le laser, situé à l'altitude z : 0, émet un signal électromagnétique de puissance 970. La traversée de l'atmosphère atténue la puissance du faisceau. A l'altitude z, celle-ci est ?(z). Une couche d'atmosphère située entre 2 et 2 + dz rayonne la puissance : d?my : a(z)?(z) dz. L'axe des 2 est orienté suivant la verticale ascendante et a(z) est fonction de la nature et de la concentration des particules et molécules situées à l'altitude 2. On supposera pour simplifier que la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques est la même en tout point, on la note 0. I.A.1) a ) L'aire de la section droite du faisceau laser est notée S. La durée de l'impulsion laser est te- À quelle date est reçue par le laser l'impulsion émise a la date to et diffusée par une molécule se situant à la distance 2 '? Le signal reçu à la date t a été diffusé par des molécules se trouvant dans un cylindre de volume S Az. Donner l'expression puis la valeur numérique de Az sachant que le lidar émet des impulsions de durée tEUR : 7,0 ns. b) Les impulsions sont émises à la fréquence Fg : 20 Hz. Ce lidar permet-il de sonder l'atmosphère jusqu'à une altitude de 12 km ? I.A.2) Établir l'équation différentielle vérifiée par la puissance ?(z). En déduire l'expression de ?(z) en fonction de 970 et de l'intégrale / a(u) du. 0 I.A.3) Seule la puissance diffusée dans la direction du laser est utile. On note k la fraction de la puissance diffusée qui retourne vers le laser. Le facteur k est un coefficient sans dimension dépendant uniquement de la nature de l'interaction entre l'onde électromagnétique et la molécule. On note ?rd(z) la puissance rétrodiffusée par le volume S Az sondé par l'impulsion laser et situé à l'altitude 2. Montrer que, si on note 6(z) : ka(z), ?rd(z) : %ctfi(z)?(z). I.A.4) La lumière rétrodiffusée revient vers l'émetteur en traversant a nouveau l'atmosphère. Cette lumière est reçue par un détecteur d'aire A, situé en z : 0. La puissance reçue par le détecteur est égale à t A Z ÿ(létecteur : Kÿ(0) %6(2) _ EURXp (2/ a(u) du) 0 22 où K est un facteur numérique sans dimension. Commenter soigneusement l'expression de la puissance reçue par le détecteur. Cette puissance reçue est très faible (de l'ordre de quelques nanowatts pour une cible située a 3 kilomètres), le signal doit donc être amplifié. L'étude du signal permet de remonter a la fonction a(z) et donc a la composition du volume d'atmosphère sondé. I .B -- Dipôle rayonnant Les molécules atmosphériques, excitées par l'onde électromagnétique du laser, de pulsation ou, vont se comporter comme des dipôles oscillants, diffusant l'onde reçue. Nous modéliserons, pour simplifier, la molécule comme un dipôle de moment Î9(t) : M p(t)üoe situé en un point 0. Un point de l'espace est repéré par ses coordonnées @ sphériques d'origine 0 et d'axe 0513 (cf figure 1). On pose p(t) : eÉ(t) : eÉO cos(wt). M La longueur d'onde du laser est de l'ordre de quelques micromètres. I.B.1) a ) Quelle est la relation entre la pulsation ou de l'onde et sa longueur y d'onde À si on prend la relation de dispersion d'une OPPM dans le vide ? 90 b} Les échelles de longueur décrivant le système vérifient EO << À et E0 << 7". Figure 1 Préciser la signification physique de ces deux inégalités. 0} Définir la zone de rayonnement. Est--il légitime d'étudier le champ rayonné par la molécule dans cette zone ? I.B.2) L'observation montre que le champ magnétique rayonné par le dipôle décroît en 1/7", qu'il est indépen-- dant de go, qu'il varie en sin9 et que sa norme est proportionnelle à l'accélération des charges donc a la dérivée seconde de p, notée 19". On peut donc écrire : _+ ' 6 B(M,t)=aäsm p" (t--Î)ü 7" (: 47T 90 où a est un coefficient qui s'exprime en fonction de constantes fondamentales. a ) Justifier par un argument de symétrie que le champ magnétique en M est dirigé par üSÛ. b) Quelle est la signification du terme t -- r/c dans l'expression de Ë ? c) Justifier par une analyse dimensionnelle que l'expression a = 1/0 est cohérente. d} Déterminer l'expression du champ électrique sachant que l'onde rayonnée a localement la structure d'une onde plane progressive. I.C -- Puissance rayonnée I.C.1) a ) Établir l'expression du vecteur de Poynting ÎÎ de ce champ. b) Établir que l'expression de la puissance moyenne rayonnée a travers la sphère de centre O et de rayon 7" s'écrit #0 4 2 50 = _ < "'> 127rcw % c} Comment peut--on interpréter le fait que  ne dépend pas de 7" ? I.C.2) La molécule est excitée par l'onde électromagnétique du laser. Le moment dipolaire résultant de cette 2 EUR _) excitation s'écrit : Î9(t) : --2E(0, 15), où 6 est la charge élémentaire, m la masse de l'électron, wo une pulsation w 0 caractéristique de la molécule traduisant l'interaction entre l'électron et le reste de la molécule et E(O,t) le champ électrique émis par le laser au point 0 où se trouve la molécule. Montrer que  peut se mettre sous la forme <50m> : 050 (ï)4 000 où 50 est l'éclairement de l'onde excitatrice, défini comme la puissance moyenne reçue par une surface orthogo-- nale a la direction de propagation et 0 une grandeur que l'on exprimera en fonction de e, ,aO et m et dont on donnera la dimension. I.C.3) On s'intéresse maintenant a des molécules situées au voisinage de l'altitude z. Exprimer alors la grandeur a(z) utilisée précédemment en fonction de a, des pulsations w et wo et de la densité moléculaire n(z) à l'altitude z. Le traitement du signal reçu par le détecteur permet de remonter à la fonction a(z) donc a la concentration en molécules, comme les molécules d'eau, de diazote, de dioxyde de carbone... 2014-03-03 16:16:27 Page 2/8 OE=C BY-NC-SA I.D -- Choioe de la source laser - Étude d'une source laser à solide : le saphir dopé titane : Ti : saphir Les progrès récents dans la réalisation de lasers a solides performants permettent dorénavant de les utiliser dans les lidars. I.D.1) Cristal ionique de Corindon Les saphirs incolores sont constitués d'oxyde d'aluminium (AlpOg) cristallisant en « Corindon » : structure hexagonale d'ions 02_ dans laquelle les ions Al°+ occupent le centre d'une partie des sites octaédriques. La figure 2 présente la maille à base losange d'une structure hexagonale de type Corindon et la position des sites octaédriques. a ) À partir de la configuration électronique de l'atome d'aluminium dans son état fondamental, déduire quel 1q+ cation très stable A peut se former à partir de l'aluminium. b) Compte tenu de l'électro--neutralité du cristal ionique déterminer la valeur de p. c) Déterminer la proportion (en pourcentage) de sites octaédriques occupée dans la structure du Corindon. d) Calculer la masse volumique d'un cristal de Corindon. e ) Exprimer en fonction de a et c la plus courte distance, notée dA1_O, entre le centre d'un atome d'hydrogène et d'un atome d'aluminium. En déduire dans le cas d'un contact anion--cation le rayon ionique de l'ion Al". I.D.2) Source laser à solide Ti : saphir Lorsque 0,1% a 1% des ions Al°+ sont substitués par des ions M Q+, les saphirs incolores peuvent devenir colorés. Dans les lasers a solide saphir dopé titane 0,2% en masse, des ions aluminium sont remplacés par du titane. Le saphir dopé titane absorbe alors dans le visible entre 450 et 550 nm et ré--émet entre 650 et 950 nm. a ) Commenter l'évolution des rayons ioniques pour les différents cations du titane. b) La substitution d'un cation métallique par un autre n'est possible que si la variation de rayon ionique n'excède pas 15%. Commenter. II Production anthropogénique de dioxyde de carbone On appelle gaz a effet de serre les gaz présents dans l'atmosphère qui piègent une partie des radiations (no-- tamment infrarouges) émises par le sol vers l'espace et peuvent ainsi provoquer un réchauffement des couches d'air proches de la terre. Les gaz a effet de serre « naturels >> sont primordiaux puisqu'ils permettent d'élever la température moyenne sur Terre de --18 °C à 15 °C, permettant ainsi le développement de la vie. Mais depuis l'ère industrielle des gaz a effet de serre anthropogéniques (créés par l'homme) sont également produits, en quantité toujours plus importante, provoquant (source GIEC) un réchauffement climatique pouvant atteindre jusqu'à 6 °C et une élévation du niveau des océans, par dilatation et fonte des glaciers, pouvant atteindre près d'un mètre. La production anthropogénique de dioxyde de carbone contribuerait à elle seule a plus de 50% a cet effet de serre additionnel. Le transport routier contribue à plus de 25% a la production de dioxyde de carbone anthropogénique. En effet la combustion de l'essence dans les moteurs à explosion des automobiles libère une quantité importante de dioxyde de carbone. Le tableau 1 présente quelques données techniques sur un véhicule Renault Clio IV. Cylindrée VmaX -- Vmin : 900 cm3 Puissance 90 chevaux au régime de 5250 tours par minute (1 cheval : 735 W) Émission de C02 99 g-km"1 Consommation moyenne 4,3 L pour 100 km Tableau 1 Renault Clio IV, modèle essence, version 0.9 energy zen eco2 99g L'octane liquide C8H18... est un composant représentatif des constituants de l'essence. On considérera dans la suite l'essence uniquement constituée d'octane. L'essence alimente un moteur à combustion interne dont le fonctionnement peut être modélisé par un cycle de Beau de Rochas. Les gaz seront supposés parfaits et l'air constitué de 20% de dioxygène et de 80% de diazote. Le rapport y : c,,/c,, de l'air vaut y = 1,4. À chaque tour de cycle, des volumes V1 d'air et VOCt d'octane liquide sont introduits dans un cylindre fermé par un piston mobile. Le cylindre subit les transformations suivantes, supposées réversibles : -- (a) --> (19) compression adiabatique ; -- (0) --> (c) combustion isochore ; -- (c) --> (d) détente adiabatique ; -- (cl) --> (a) transformation isochore. L'état initial (a) est caractérisé par : P1 = 1,0 bar, V1 : VmaX : 1000 cm3, T1 : 300 K et VOCt : 9,2 >< 10_5 L. II .A -- Représenter ce cycle dans un diagramme de Clapeyron (P, V). 2014-03-03 16:16:27 Page 3/8 OE=C BY-NC-SA II .B -- En tenant compte des données techniques, calculer Vmin : V2 puis le coefficient 04 : V1/V2 II. C -- Exprimer la température T 2 et la pression P2 après la compression adiabatique réversible en fonction de oz, de T1 ou Pl. En déduire les valeurs numériques de T2 et P2. II.D -- État physique de l'octane pur La réaction de combustion de l'octane a ensuite lieu, pour former de l'eau et du dioxyde de carbone gazeux. Cette question et la suivante permettent de déterminer l'état physique de l'octane et de l'eau sous la pression P2 et a la température T 2. On considérera dans cette question et la suivante que l'octane et l'eau sont des corps purs. On rappelle la formule de Clapeyron pour un équilibre liquide--vapeur où les indices m indiquent des grandeurs molaires dP _ AH£b dT _ T(V --V m,gaz m,liq) II.D.1) Justifier que cette formule se simplifie en dP _ AH£b dT _ TV...,gaZ II.D.2) En supposant le gaz parfait, exprimer le volume molaire Vm,gaz en fonction de la constante des gaz parfaits R, de la pression P et de la température T. II.D.3) En déduire l'expression de la pression de vapeur saturante P en fonction de R, de AHâÛ, de la pression standard. P°, de T et de Téb, température d'ébullition sous pression P°. II.D.4) Faire l'application numérique de la pression de vapeur saturante pour l'octane a la température T2. Conclure sur l'état physique de l'octane pur dans les conditions (P2, T2). ILE -- État physique de l'eau pure La figure A du document réponse présente le diagramme d'état de l'eau. II.E.1) Préciser les noms des états physiques associés aux domaines 1 a 4. II.E.2) Préciser les noms donnés aux points A et C, et l'abscisse du point B. II.E.3) Préciser l'état physique de l'eau pure dans les conditions (P2, T2). II .F -- Écrire l'équation de la réaction de combustion de l'octane que l'on notera (l) (on équilibrera l'équation de la réaction avec une molécule d'octane et on considérera l'eau et l'octane à l'état gazeux). II. G -- Calculer l'enthalpie standard et l'entropie standard de la réaction de combustion (1). Ces grandeurs seront supposées indépendantes de la température. II .H -- En déduire la valeur de la constante d'équilibre a la température T2. Commenter. II .I -- Quelles conditions de pression et de température favorisent la réaction de combustion d'un point du vue thermodynamique ? On justifiera brièvement. II.J -- Calculer pour un tour de cycle les quantités de matière initiales en réactifs et identifier le réactif limitant. II .K -- En considérant la réaction de combustion totale et la consommation moyenne de la voiture en essence, calculer la masse moyenne m1 de CO2 émis par kilomètre. Commenter. III Acidité des eaux de pluie Le pH des eaux de pluie est généralement compris entre 4 et 5,5. Cette acidité est due aux constituants et polluants de l'atmosphère. Une « sur-acidité >> des eaux de pluie peut avoir des conséquences dramatiques : -- en décembre 1952 le smog londonien (brouillard très acide dû a des concentrations anormalement élevées de dioxyde de soufre) provoqua une surmortalité de plus de 4000 personnes ; -- dans les lacs de montagne l'acidification des eaux peut solubiliser les sels d'aluminium toxiques pour la faune aquatique ; -- l'acidité des pluies peut endommager certains monuments, en solubilisant notamment le carbonate de cal-- cium. Cette partie propose de justifier cette acidité et d'étudier l'effet de quelques paramètres sur cette acidité. Dans toute cette partie l'autoprotolyse de l'eau sera négligée. On notera de façon indifférente H2EUROg(aq) ou C02(aq) et H2803(aq) ou 8020...)- III.A -- Acidz'té due au diooeyde de carbone gazeuoe Le dioxyde de carbone gazeux se solubilise dans l'eau (équilibre (3) dans le tableau de données en fin d'énoncé) puis le dioxyde de carbone aqueux peut réagir avec l'eau pour libérer des ions hydronium (seule la première 2014-03-03 16:16:27 Page 4/8 OE=C BY-NC-SA acidité sera considérée). L'acidité due au dioxyde de carbone gazeux peut donc s'interpréter a partir de l'équation chimique (2) : + H30+ @) C02(g) + 2H20(1) : HCOg(aq (aq) ) III.A.1) Exprimer la constante K2 de l'équilibre (2) en fonction de K 3 et Ka1 puis calculer sa valeur a 25 °C. III.A.2) La pression partielle moyenne en CO2 au sommet du Mauna Loa à Hawaii est actuellement de 39,5 Pa. En déduire, dans l'hypothèse où seul le dioxyde de carbone est responsable de l'acidité, le pH de l'eau de pluie se formant au sommet du Mauna Loa. Commenter. III.A.3) En 2100 la pression partielle de CO2 pourrait atteindre 50 Pa. Quelle variation de pH accompagnera cette évolution de la concentration en CO2 dans l'atmosphère ? Commenter. III.B -- Acidité due au diooeyde de soufre gazeuoe De la même façon, le dioxyde de soufre gazeux se solubilise dans l'eau (équilibre (3') des données) puis le dioxyde de soufre aqueux peut réagir avec l'eau pour libérer des ions hydronium (seule la première acidité sera considérée). L'acidité due au dioxyde de soufre gazeux peut donc s'interpréter a partir de l'équation (2') + H30+ @) (aq) SOZ(g) + 2H20(1) : HSO£> Kg). III.B.2) Calculer K2/ a 25 °C. En atmosphère «normalement » polluée la pression partielle en SO2 est de 2><10_9 bar. Calculer le pH de l'eau de pluie en supposant qu'il n'est dû qu'à la solubilisation du 802. Com-- menter. III.B.3) On étudie dans cette question l'effet d'une hausse de température (due au réchauffement climatique) sur ce pH. a ) Rappeler la relation entre la dérivée de ln(K2,) par rapport a la température et l'enthalpie standard de la réaction (2'). b) Exprimer la dérivée du pH par rapport a la température en fonction de l'enthalpie standard de la réaction (2'), de la température et de la constante des gaz parfaits R. c) Quelle variation de pH résulterait d'une augmentation de température de 5 °C à partir de 25 °C ? Commenter. III.C -- Acidité due a la formation « d'acide sulfurique » L'acidité des pluies acides est en fait en grande partie expliquée par l'oxydation dans l'eau des ions hydrogéno-- sulfites HSOg. Cette oxydation peut se faire notamment grâce a l'eau oxygénée H2O2 dont on considérera dans cette partie que la concentration vaut 1 >< 10_9 mol-L'1 dans les eaux de pluie. La figure B du document réponse donne le diagramme potentiel--pH de quelques espèces du soufre (SO2(aq) et ses bases associées et l'ion sulfate soi--). III.C.1) Attribuer a chaque espèce son domaine. Commenter les valeurs de pH correspondant aux segments verticaux. Déduire du diagramme potentiel--pH le potentiel standard du couple SOîÎäq) /SO2(aq)- III.C.2) Etablir l'équation de la droite E = f (pH) associée au couple H2O2(aq) /HZO. La tracer sur le diagramme potentiel--pH partiel du soufre. En déduire l'équation bilan de la réaction d'oxydation se passant au sein des nuages (à pH entre 4 et 5,5). III.C.3) Expliquer pourquoi le pH est alors plus faible que celui calculé à la question III.B.2. Deux raisons sont attendues. IV Formation et suivi des nuages Le lidar permet aussi de suivre la formation et le déplacement des nuages par effet Doppler, en étudiant l'onde diffusée par les particules portées par le vent. La seule différence avec le lidar étudié dans la partie I est dans le mode de détection. Au lieu d'une détection directe, on effectue une détection hétérodyne, dont le principe est décrit en IV.B.2. I V.A -- Stabilité de l'atmosphère Dans un premier temps, nous allons étudier la stabilité de l'atmosphère et son rôle dans la forme des nuages. L'échelle considérée permet de négliger la courbure de la Terre, on suppose donc que la surface de la Terre est plane. On introduit une base de coordonnées cartésiennes (t,, üy, füz), dont l'axe des 2: est vertical ascendant. Le champ de pesanteur ÿ : --güz est supposé uniforme. Les différentes grandeurs physiques qui caractérisent l'air ne dépendent que de l'altitude z. 2014-03-03 16:16:27 Page 5/8 OE=C BY-NC-SA L'air est assimilé a un gaz parfait de masse molaire M , constitué de 20% de dioxygène et de 80% de diazote. IV.A.1) Équilibre de l'atmosphère isotherme On suppose la température uniforme, égale a T0- a} En étudiant l'équilibre d'un petit cylindre de surface de base 8 , d'axe (Oz), situé entre les plans de cote z et 2 + dz, établir l'équation différentielle vérifiée par la pression P(z), en fonction de g, M , R et T(z). b) Montrer que la pression varie en fonction de l'altitude selon la loi Z P(z) : P(O) exp (_Ê) où H est à exprimer en fonction de M , Q, R et T0- 0) Quelle est la dimension de H ? d) Calculer la masse molaire de l'air. 6) Calculer la valeur numérique de H pour une atmosphère a 0 0C. Commenter la valeur obtenue. IV.A.2) Équilibre de l'atmosphère adiabatique On envisage maintenant l'air en évolution adiabatique réversible. &) Énoncer la loi de Laplace reliant la température et la pression pour un gaz parfait en évolution adiabatique réversible pour lequel le rapport v : c,,/c,, est constant. dT b) On définit le gradient de température adiabatique réversible dans l'atmosphère par Pa : --d--. Montrer que Z -- 1 M P.. _ 1__9 V R c) Effectuer l'application numérique. Commenter. d) En déduire la loi d'évolution de la température de l'atmosphère en fonction de l'altitude z. EUR) En déduire l'expression de la pression en fonction de z. f ) Ce modèle vous semble--t--il réaliste pour toute l'atmosphère ? IV.A.3) Stabilité 0111 EUR 11 1EUR1' a S a 1 1 EUR EUR EUR 111 1 1EUR 011 SU. OSEUR 1113111 enan 11EUR a 1HOSp EUR1'EUR EURS EUR11 equ1 1 1EUR 108 a 1q11EUR P 't d' 1 t b'l't' d l"q '1'b , pp 't t q 17 t h' t ' 'l'b hyd t t' mais a priori non isotherme. On définit, comme précédemment, le gradient de température T = --d--. 2: 0) Que vaut F pour un équilibre isotherme ? pour un équilibre adiabatique ? On isole par la pensée un petit volume d'air que l'on appellera particule de fluide. On note Tp(z) sa température, pp(z) sa masse volumique et 6Vp(z) son volume à l'altitude 2. À l'altitude zo, il est a la même température T(zO) et sous la même pression P(z0) que l'air environnant. À la suite d'une perturbation, la particule de fluide se trouve à l'altitude 250 + ôz. L'évolution est suffisamment rapide pour qu'elle puisse être supposée adiabatique réversible. La particule de fluide se retrouve donc à l'altitude zo + 6.2: a la température T ,,(z0 + dz), différente de la température T (zo + ôz) de l'air environnant. En revanche, sa pression est la même que celle de l'air environnant. b} Justifier cette dernière hypothèse. c} Montrer que la résultante des forces qui agissent sur la particule de fluide située à l'altitude 2: peut se mettre sous la forme ? = 5Vp(Z) (MZ) -- pp(Z)) 9%. où p(z) est la masse volumique de l'air environnant. d) En déduire l'équation du mouvement de la particule de fluide, que l'on mettra sous la forme d2 (dz) dt2 +æôz=0 où FL est a exprimer en fonction de F(z0), Fa(z0), g et T(z0). EUR) À quelle condition l'atmosphère est--elle stable ? f ) Montrer qu'une atmosphère isotherme est stable. g) Quelle est la forme des nuages dans une atmosphère stable ? dans une atmosphère instable ? 2014-03-03 16:16:27 Page 6/8 OE=C BY-NC-SA IV.B -- Le LIDAR pour les mesures de vents IV.B.1) Effet Doppler Une onde électromagnétique plane, progressive, harmonique, polarisée rectilignement, est décrite par son champ électrique Ê(M,t) : E0 cos(27rft -- koe + go)üz : E0 cos (27rf (t -- £) + SO) @ (: Cette onde se réfléchit sur une surface métallique parfaite, plane, parallèle au plan (füy, üz), située en a: = 0 a t = 0, animée d'un mouvement de translation rectiligne et uniforme a la vitesse 17 : mîoe, avec "U << 0. a} On cherche l'onde réfléchie sous la forme d'une onde plane, progressive, harmonique, de fréquence f ', d'am-- plitude E...., de phase à l'origine go,. et polarisée elle aussi selon @. Écrire le champ électrique Ê,.(M , t) de l'onde réfléchie. b) Justifier la continuité du champ électrique au niveau du conducteur et montrer que E0r=E0 SÛT=SÛ+7T , 1--0/c f _f1--l--v/c IV.B.2) Application à la mesure de la vitesse du vent On admettra que la relation entre ]" et f est valable dans le cas de l'étude de la question LB, l'onde étant maintenant rayonnée par une molécule animée de la vitesse 6 . Si 6 n'est pas dans la direction 1150, on remplace ?) par 6 - 1156 dans la formule. &) Simplifier l'expression de la fréquence f ' de l'onde rayonnée compte tenu du fait que ?} << c. On exprimera f' -- f en fonction de f, U et c. b) L'impulsion laser excitatrice a pour longueur d'onde À : 10 11m. Quelle variation relative de fréquence cela représente--t--il ? On supposera que la vitesse du vent vaut 60 km-h". c) Pour détecter l'onde diffusée et mesurer sa fréquence, on utilise une détection « hétérodyne ». On superpose sur un détecteur deux signaux : l'onde rétrodiffusée et l'onde du laser d'émission. La réponse du détecteur est proportionnelle à la valeur moyenne du carré de la somme des amplitudes de ces deux signaux, cette valeur moyenne étant prise sur une durée égale au temps de réponse du détecteur, qui est de l'ordre de la nanoseconde. Le signal électronique, copie fidèle en amplitude et en phase du signal optique, est numérisé et traité pour mesurer le décalage en fréquence induit par les mouvements des particules. On écrit l'onde du laser d'émission sous la forme: EOL(M,t) : EO cos(27rft -- çb(M )) et l'onde diffusée: ED(M,t) : E0D cos(27rf't -- çb'(M)). 1 Comparer le temps de réponse TD du détecteur et T = f f' . d) En déduire que le signal obtenu s'écrit 3H('Ï) : 30 (Eâ + Eâp + 2EOEOD COS (27T(f _ f,)t _ (@(M) _ @/(M)))) 6) Quelle est la principale qualité du faisceau laser mise en oeuvre dans cette mesure ? Formulaire 7' 4 / sin3(9) d9 = -- 0 3 Données Célérité de la lumière dans le vide (: = 3,00 >< 108 ms--1 Masse de l'électron m = 9,11 >< 10_31 kg Charge élémentaire @ = 1,60 >< 10_19 C Perméabilité magnétique du vide #0 = 471" >< 10_7 H-m_1 Permittivité diélectrique du vide 50 = 8,85 >< 10-12 F-m--1 Constante des gaz parfaits R = 8,32 J-K_1-mol_1 Constante d'Avogadro NA : 6,02 >< 1023 mol--1 Constante de Boltzmann kB : 1,38 >< 10_23 J-K_1 Constante de Planck h = 6,62 >< 10_34 J-s Champ de pesanteur a la surface de la Terre g = 9,8 ms--2 2014-03-03 16:16:27 Page 7/8 OE=C BY-NC-SA \ RT A 25 °C, on prendra : ? ln(10) OE 0,06 V, potentiel standard E°(H202(aq)/HZO) : 1,77 V. H C N 0 Al S Ti Numéro atomique 1 6 7 8 13 16 22 Masse molaire atomique (g-mol'1) 1,01 12,0 14,0 16,0 27,0 32,1 47,8 CO2 octane Masse molaire moléculaire (g-mol'1) 44,0 114 Masse volumique du liquide (g-L'1) 700 Température d'ébullition a P° : 1,013 bar (°C) --56,6 126 AHâÛ (kJ-mol'1) 34,88 02 (8) 002 (8) %... (8) 00tane (8) Enthalpie standard de formation (kJ-mol'1) 0 --393,5 --241,8 --227,4 Entropie molaire standard (J-K-1-mor1) 205,1 213,8 188,7 436,4 Les enthalpies standard de formation et les entropies molaires standard sont supposées indépendantes de la température. 02-- T12+ T13+ T14+ Rayon ionique (pm) 126 94 75 69 60%... SOZ(âOÙ _ _ \ pKOE1 = 6,4 pKal, : 1,9 Couples ac1do--bas1ques a 25 °C pKOE2 : 10,3 pKa2, : 7,2 (3) CO2(g) : CO2(aq) K3 : 3,6 X 10_2 à 25 °C (3') SO2(g) : SO2(aq) K3/ : 1,62 à 25 °C Structure cristalline octaédrique type Cortndon Positions des centres des ions O2-- -- a la verticale de O, de A, de B et de C aux altitudes z = 0 et z = c ; -- a la verticale de J, a l'altitude z = (3/2. Positions des centres des sites octaédriques -- a la verticale de ], aux altitudes z = (3/4 et z : 3c/4. Valeurs des paramètres de maille : a = 276 pm et c = 432 pm. Zz\ I I I I I I I I l I I I I I I : |? A _ o / ,_//7 ------------ / / / 1203 / v \ a o %>a B Maille a base losange Base losange Figure 2 Maille a base de losange d'une structure cristalline octaédrique type Corindon oooFlNooo 2014-03-03 16:16:27 Page 8/8 OE=C BY-NC-SA LPJ , aB;Mim`2 , S`ûMQK , úT`2mp2 /2 S?vbB[m2@+?BKB2 6BHB`2 JS LlJú_P .1 SG*1 L2 `B2M TQ`i2` bm` +2ii2 72mBHH2 pMi /pQB` `2KTHB +QKTHi2K2Mi H2M@ii2 S`2bbBQM U#`V Uû+?2HH2 `#Bi`B`2V kkR 9 j k R-yRj y-yR 6B;m`2 R jd9 \ h2KT2`im`2 Uê*V .B;`KK2 /ûii /2 H2m UoV R-8 R-y y-8 y-Rd T> y-8 R-y R-8 k 6B;m`2 " 9 e 3 Ry Rk .B;`KK2 TQi2MiB2H@T> /2 [m2H[m2b 2bT+2b /m bQm7`2 R9

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Centrale Physique et Chimie MP 2014 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Kim Larmier (ENS Ulm) ; il a été relu par Cyril Jean (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Ce sujet développe quelques aspects de la physico-chimie de l'atmosphère et d'un instrument de télédétection par laser permettant sont étude : le LIDAR. Il donne l'occasion d'exploiter une très large partie du programme de physique et de chimie, en proposant des problèmes assez proches du cours. Les quatre parties sont totalement indépendantes, si bien que le sujet peut être commencé indifféremment par l'une ou l'autre, mais les parties elles-mêmes sont relativement cohérentes ­ à l'exception de la quatrième. · Le sujet débute par l'étude de l'interaction avec l'atmosphère du rayonnement émis par un LIDAR. Un raisonnement énergétique macroscopique est tenu dans un premier temps, puis l'aspect microscopique du problème est abordé à travers le rayonnement dipolaire. Quelques questions de cristallographie sont posées. · La deuxième partie se penche, sous l'angle de la thermodynamique, sur la production par l'homme de dioxyde de carbone rejeté dans l'atmosphère : étude d'un moteur thermique, changements d'état et thermochimie de la réaction de combustion de l'octane sont au programme. · La troisième partie examine les processus chimiques potentiellement responsables de la formation des pluies acides, ce qui est l'occasion de mettre en application ses connaissances en chimie des solutions. · Le sujet s'achève sur une partie hybride, regroupant une analyse de l'équilibre vertical de l'atmosphère avant de revenir au LIDAR et aux ondes électromagnétiques pour aborder une méthode de mesure de la vitesse du vent. L'épreuve est d'une difficulté modérée et d'une longueur raisonnable. Les différents thèmes sont bien amenés, quoique sans originalité. Avec les indications fournies dans ce corrigé, il est possible de traiter ce sujet dans le cadre des programmes entrés en vigueur en 2014 car l'immense majorité des questions leur est conforme. Indications Partie I I.A.1.a On reçoit à t un mélange de toutes les émissions entre t0 et t0 + t . I.A.2 Réaliser un bilan de puissance sur la tranche de fluide décrite dans l'énoncé. I.C.2 L'éclairement E0 défini dans l'énoncé est en fait un éclairement surfacique. - - - Il s'exprime hR0 · d S i/dS, R0 étant le vecteur de Poynting de l'onde incidente. I.D.1.c Ne pas être déstabilisé par le fait de trouver un nombre d'aluminium par maille non-entier : une certaine fraction des sites octaédriques est occupée, sur l'ensemble du cristal. L'important est que la composition chimique moyenne d'une maille respecte celle du cristal. I.D.2.b Une substitution doit conserver l'électroneutralité de la structure ! Partie II II.C L'octane est instantanément vaporisé dès son introduction dans le moteur. Il faut alors considérer le mélange air/octane comme un gaz parfait. II.D.4 Comparer la pression partielle d'octane (elle est bien sûr inférieure à P2 ) dans le moteur dans ces conditions et sa pression de vapeur saturante. II.I Utiliser les lois de Le Châtelier et Van't Hoff. Partie III III.B.1 La molécule de CO2 est linéaire tandis que la molécule de SO2 est coudée. III.B.3.c Vérifier le résultat à la lumière de la loi de Van't Hoff. III.C.3 Envisager un déplacement d'équilibre. Partie IV - IV.A.1.a L'expression de la - force de pression d F exercée sur un élément de surface dS centré en M est : d F = P(M) dS - n , où - n est le vecteur normal à la surface. IV.A.2.b IV.A.2.f IV.A.3.c IV.A.3.d IV.B.1.b IV.B.2.d IV.B.2.e La résultante des forces de pression sur le volume proposé par l'énoncé se calcule alors en 3 termes : la force exercée sur la section supérieure, celle exercée sur la section inférieure et celle sur la section latérale. Un argument de symétrie permet d'annuler simplement cette dernière. Utiliser la différentiation logarithmique. Que dire de T(z) lorsque z + ? La résultante des forces de pression est égale à la poussée d'Archimède, c'est-à-dire l'opposé du poids d'un volume d'air qui occuperait exactement le volume de la particule de fluide. Il faut exprimer i (z) en fonction des gradients thermiques. Considérer que la particule et le fluide ambiant ne subissent pas la même évolution thermique. La composante tangentielle du champ électrique est toujours continue. Le calcul de la moyenne sur D d'une fonction dépendante du temps nécessite de comparer la durée caractéristique d'évolution de cette fonction et D . Quels sont les principaux avantages d'un laser par rapport à une lampe classique ? I. LIDARS atmosphériques I.A.1.a L'impulsion rayonnée par une molécule en z doit parcourir l'aller-retour entre le laser et ladite molécule, soit la distance d = 2 z. La lumière parcourt cette distance pendant l'intervalle de temps d 2z t - t0 = = c c 2z soit t = t0 + c molécule rétrodiffusante z faisceau incident faisceau rétrodiffusé 0 Laser Ce résultat vaut pour une impulsion infiniment brève émise à t0 . En réalité, l'impulsion a une certaine durée et peut être considérée comme une succession d'impulsions infiniment brèves émises entre t0 et t0 + t . À la date t, arrivent au récepteur simultanément toutes les impulsions émises dans cet intervalle de temps. La dernière a alors atteint l'altitude z - z telle que 2z 2 (z - z) t = t0 + = (t0 + t ) + c c c t dont on tire z = = 1,05 m 2 I.A.1.b Le risque est que les signaux issus de deux impulsions successives ­ ayant donc atteint des altitudes différentes ­ arrivent simultanément au récepteur. Le signal relatif aux deux hauteurs atteintes se trouve alors superposé. Considérons deux impulsions consécutives, émises respectivement à t0 et t0 + T , T étant la période des impulsions (T = F -1 ). Les signaux issus de ces deux impulsions arrivent au même instant t au récepteur si les couches de l'atmosphère qui les rétrodiffusent sont séparées d'une hauteur z max telle que 2z 2 (z + z max ) t = t0 + = (t0 + T ) + c c c c T soit z max = = = 7 500 km 2 2 F Cette valeur étant très supérieure à 12 km, il n'y a pas de superposition entre les signaux issus d'impulsions consécutives, il est donc possible de sonder correctement l'atmosphère jusqu'à une telle hauteur. L'épaisseur de l'atmosphère est considérée égale à environ 100 km. Au-delà, il n'y a presque plus de molécules pour rétrodiffuser le signal du LIDAR. I.A.2 Réalisons un bilan de puissance sur une tranche d'atmosphère de section S comprise entre les cotes z et z + dz. P(z + dz) z + dz S dP ray (z) z S P(z) Cette portion de fluide reçoit algébriquement · la puissance du laser incident en z : +P(z) ; · la puissance du laser émergent en z + dz : -P(z + dz) ; · la puissance rayonnée par l'atmosphère vers l'extérieur : -dP ray (z). Considérons que l'atmosphère ne s'échauffe pas sous l'action du laser, si bien que la somme de ces puissances doit être nulle. Ainsi, on écrit 0 = P(z) - P(z + dz) - dP ray (z) soit P(z + dz) - P(z) = -dP ray (z) ou encore En substituant à dP ray vérifiée par P(z) : dP dz = -dP ray (z) dz l'expression proposée, on trouve l'équation différentielle dP = -(z)P(z) dz Séparons les variables : dP = -(z)dz P et intégrons entre z = 0 et z : ln On obtient alors P(z) P0 =- Z z (u) du 0 Z z P(z) = P0 exp - (u) du 0 Ce type d'expression est caractéristique pour décrire l'atténuation d'un rayonnement à la traversée d'un milieu. La loi de Beer-Lambert peut