Centrale Physique et Chimie MP 2009

Thème de l'épreuve Le seigneur des anneaux
Principaux outils utilisés statique des fluides, rayonnement thermique, analogie électrostatique-gravitation, théorème de Gauss, mécanique du point et des systèmes, mouvement à force centrale, thermochimie, cinétique, diagramme binaire, cristallographie, solutions aqueuses
Mots clefs Cassini-Huygens, Titan, planétologie, glace diamant, Saturne, bilan radiatif, anneaux, pluie d'hélium, développement quadrupolaire, conservation du moment cinétique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                                   

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
     

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


Concours Centrale - Supélec 2009 Épreuve : PHYSIQUE-CHIMIE Filière MP PHYSIQUE-CHIMIE Filière MP PHYSIQUE-CHIMIE Calculatrices autorisées. Le Seigneur des Anneaux Données : Masse Rayon Soleil 2, 00 u 10 30 Saturne 5, 69 u 10 26 Jupiter 1, 90 u 10 27 Période de rotation autour du Soleil Distance au Soleil 8 - - 7 29, 5 ans 1, 43 u 10 km 7 11, 9 ans 7, 78 u 10 km kg 6, 96 u 10 m kg 6, 03 u 10 m (rayon équatorial) 7 5, 82 u 10 m (rayon moyen) kg 7, 15 u 10 km 9 8 Données thermodynamiques à 298 K : 0 · 6 f H : enthalpie standard de formation, 0 · S : entropie molaire standard, 0 · C p : capacité thermique molaire standard à pression constante. N H3(g) Composés 0 ­1 6 f H ( kJ u mol ) - - ­1 192, 5 191, 6 130, 7 ­1 32, 8 29, 1 28, 8 G = 6, 67 u 10 ­1 uK ) 0 ­1 uK ) C p ( J u mol H2(g) ­ 46, 1 0 S ( J u mol N 2(g) Constante de gravitation : ­ 11 ­8 3 ­2 m s ­2 kg ­1 ­4 Constante de Stefan : m = 5, 67 u 10 Numéro atomique : Z(O) = 8 ; Z( H ) = 1 ; Z( N ) = 7 Concours Centrale-Supélec 2009 Wm K 1/12 PHYSIQUE-CHIMIE Filière MP Filière MP ­1 Masse molaire : M O = 16 g u mol ; M H = 1 g u mol ­1 M N = 14 g u mol Nombre d'Avogadro : N A = 6, 02 u 10 Constante des gaz parfaits : R = 8, 314 J u mol Constante d'équilibre de l'autoprotolyse de l'eau à 298 K : Ke = 10 23 mol ­1 ­1 ; ­1 uK ­1 ­ 14 Tous les gaz sont considérés comme parfaits. Notations : u AB : vecteur unitaire dirigé de A vers B . En 2005, la mission Cassini-Huygens a permis d'obtenir de nouvelles connaissances sur le système planétaire de Saturne. La sonde Huygens a traversé l'atmosphère de Titan, un des satellites de Saturne. Partie I - Bilan radiatif de Saturne I.A - Saturne est composée principalement d'éléments légers composant la nébuleuse primordiale, l'hydrogène et l'hélium, sous forme liquide. On modélise, ici et dans toute la suite du problème, cette planète comme une sphère de rayon 7 moyen R Sa = 5, 82 u 10 m . I.A.1) Calculer numériquement la masse volumique moyenne l de Saturne. Commentaire. I.A.2) En supposant la masse volumique uniforme et le référentiel lié à Saturne galiléen, exprimer le champ de pesanteur g ( r ) à une distance r < R Sa du centre O de Saturne, en fonction de G , M Sa , R Sa , r et u r . Application numérique : calculer le champ de pesanteur g o à la surface de Saturne. I.A.3) a) On admet que le champ de pression à l'intérieur de Saturne suit la loi de l'hydrostatique et que la pression à la surface de Saturne est nulle. Établir l'expression du champ de pression P ( r ) pour r < R Sa . Concours Centrale-Supélec 2009 2/12 PHYSIQUE-CHIMIE Filière MP b) Sous une pression supérieure à P mét = 2 Mbars , l'hydrogène existe sous une phase métallique inconnue sur Terre. À quelle distance r mét du centre l'hydrogène est-il dans cet état ? I.A.4) Saturne reçoit de la part du Soleil une puissance lumineuse. On admet que la surface du Soleil se comporte comme un corps noir rayonnant à la température de T S = 5700 K . a) Exprimer la puissance totale émise par le Soleil, \ o , en fonction de T S , R S et m , constante de Stefan. Application numérique. b) Saturne absorbe une fraction a de la puissance interceptée, exprimer la puissance absorbée \ abs par Saturne en fonction de \ o , d SaS , a et R Sa . c) Saturne rayonne comme un corps noir de température T Sa . En supposant qu'il y a équilibre thermique de Saturne, établir l'expression de la température T Sa en fonction de T S , d SaS , R S et a . Application numérique : on donne a = 0, 66 . Calculer T Sa . La température de la surface est de 130 K . Commenter. I.B Pour expliquer l'origine de la puissance émise ainsi que la rareté de l'hélium dans les couches supérieures de Saturne, des physiciens ont proposé le modèle suivant : l'hélium est miscible dans l'hydrogène liquide mais insoluble dans l'hydrogène métallique liquide. Il se forme alors des gouttelettes d'hélium liquide plus denses que l'hydrogène. Ces gouttelettes tombent vers le centre de Saturne sous forme d'une « pluie d'hélium ». On note l He et l H les masses volumiques de l'hélium et de l'hydrogène métallique. On a l He > l H . I.B.1) Soit m la masse d'une gouttelette d'hélium et v He sa vitesse dans le référentiel de Saturne, supposé galiléen. La résultante des forces de frottement sur la gouttelette est F = ­ hv He avec h constante positive. Faire le bilan des forces qui s'appliquent sur la gouttelette au sein de l'hydrogène métallique liquide dans le champ de pesanteur g ( r ) . Écrire le théorème de la résultante cinétique appliqué à cette gouttelette. I.B.2) Soit n le nombre de gouttelettes Figure 1 jm d'hélium par unité de volume. Le vecteur densité de courant d'hélium j He est défini par : dm He = j He u dSdt où dm He est la dS masse d'hélium traversant l'élément de surv He face dS durant dt (figure 1). a) Montrer que j He = nmv H e . gouttelette de masse m Concours Centrale-Supélec 2009 3/12 PHYSIQUE-CHIMIE Filière MP b) La pluie d'hélium descendante est accompagnée d'un flux d'hydrogène montant dont le vecteur densité de courant est lH j H = ­ n --------- mv He l He En régime permanent, montrer que le vecteur densité de courant massique j m = j He + j H s'écrit sous la forme j m = a g ( r ) et exprimer a en fonction de n , m , l H , l He et h . Quelles sont les dimensions de a ? c) Donner une relation analogue en électromagnétisme en précisant les grandeurs. I.B.3) a) Les forces de frottement dissipent de l'énergie mécanique. Exprimer la puissance P F de la force de frottement sur une gouttelette en fonction de h et v He . Exprimer la puissance volumique P V de ces forces en fonction de a et j m puis en fonction de a et g ( r ) b) Donner une analogie de ces relations en électromagnétisme en précisant les grandeurs analogues. c) La pluie d'hélium a lieu dans les couches profondes comprises entre les sphères de rayons R 1 = 0, 2 R Sa et R 2 = 0, 55 R Sa . Exprimer la puissance totale dissipée P diss par cette pluie en fonction de a , G , M Sa , R Sa , T Sa et \ abs . Quelle doit être la valeur numérique de a pour que T Sa soit égal à 130 K ? Partie II Titan, la plus grosse lune de Saturne, est le seul satellite du système solaire à posséder une atmosphère dense. Dans certaine théories sur l'histoire de Titan, son atmosphère primitive, riche en ammoniac ( N H 3 ) et en méthane ( CH 4 ) , se trouvait initialement à une température d'environ 250°C , puis a connu un lent refroidissement. L'irradiation de cette atmosphère primitive par les UV solaires et les rayons cosmiques aurait rapidement dissocié l'ammoniac. Dans les basses couches, moins irradiées, l'ammoniac est resté en équilibre chimique avec du dihydrogène et du diazote. On se propose d'étudier quelques aspects de cet équilibre gazeux, en supposant une pression constante P = 1 bar , sauf en II.A.6. II.A - Une réaction de dissociation de l'ammoniac On étudie la réaction de dissociation de l'ammoniac en dihydrogène et diazote : 2 N H 3 ( g ) = N 2 ( g ) + 3H 2 ( g ) . II.A.1) Déterminer la valeur de l'enthalpie molaire standard de réaction à 0 298 K : 6 r H ( 298 K ) . La réaction est-elle endothermique ou exothermique ? Concours Centrale-Supélec 2009 4/12 PHYSIQUE-CHIMIE Filière MP II.A.2) Lors du refroidissement de l'atmosphère de Titan, dans quel sens l'équilibre se déplace-t-il ? II.A.3) Déterminer la valeur de l'entropie standard de réaction 298 K : 0 6 r S ( 298 K ) . Justifier simplement son signe. 0 II.A.4) On définit la température d'inversion T i par 6 r G ( T i ) = 0 . Calculer T i dans le cadre de l'approximation d'Ellingham. Que peut-on dire de l'équilibre pour T > T i et T < T i ? II.A.5) Au tout début du refroidissement de l'atmosphère de Titan, on suppose que la température vaut 500 K et qu'il n'y a que de l'ammoniac dans la zone d'étude. L'équilibre chimique s'établit à cette température, puis se maintient pendant le refroidissement, supposé très lent. a) L'équilibre étant atteint, établir une équation liant la constante d'équilibre o K de la réaction et le taux de dissociation _ de l'ammoniac, défini par : quantité dvammoniac dissociée _ = ------------------------------------------------------------------------------------quantité dvammoniac initiale b) Calculer _ à 500 K , puis à 298 K . Comparer aux résultats des questions II.A.2 et II.A.4. D'après ce modèle, l'ammoniac est-il préservé au cours du refroidissement dans la zone étudiée ? II.A.6) Actuellement on pense que l'ammoniac s'est dissocié essentiellement dans la zone étudiée ci-dessus. En supposant qu'une évolution de la pression est responsable de cela, dans quel sens s'est-elle produite ? Décomposition du méthane : la dissociation du méthane est la principale source de radicaux dans l'atmosphère de Titan. Suivant l'altitude considérée, on peut observer différents types de mécanismes. II.B - Dissociation photocatalysée par l'acétylène Autour de 250 km d'altitude, les photons sont principalement absorbés par l'acétylène C 2 H 2 . Il se produit alors le mécanisme suivant : hi 0 0 C 2 H 2 A C2 H + H 0 0 C2 H + CH 4 A C 2 H 2 + C H 3 k o = 3, 2 u 10 ­ 11 ­ 1 s 6 ­ 250 / T k = 1, 7 u 10 e mol ­1 uLus ­1 où la température T est exprimée en Kelvin. II.B.1) Calculer l'énergie d'activation E a de la seconde étape du mécanisme. II.B.2) Quelle est l'équation-bilan de la réaction correspondant à ce mécanisme ? Concours Centrale-Supélec 2009 5/12 PHYSIQUE-CHIMIE Filière MP II.B.3) On cherche à exprimer [ CH 4 ] en fonction du temps. Pour cela on part d'une atmosphère principalement composée de diazote (pression totale P t = 0, 5 mbar , température T = 175 K ). L'atmosphère contient 3 % de méthane ­4 et 2 u 10 % d'acétylène (en mol). La seconde étape du mécanisme est suffisamment rapide par rapport à la première pour que l'on puisse considérer la concentration en acétylène comme constante. a) Montrer que la vitesse de disparition v dis du méthane ne dépend que de k o et de [ C 2 H 2 ] . b) Calculer le temps t 1 en années qu'il faut pour observer la disparition du méthane. II.C - Dissociation directe du méthane À des altitudes supérieures à 350 km , la photolyse du méthane est directe et selon trois voies possibles : CH 4 hi A 0 0 CH3 + H CH 4 A CH 2 + H 2 CH 4 A CH + H 2 + H 0 k 1 = 2, 2 u 10 ­ 11 ­ 1 k 2 = 2, 5 u 10 ­ 11 ­ 1 k 3 = 7 u 10 s s ­ 13 ­ 1 s II.C.1) Déterminer l'expression de la vitesse de disparition du méthane. II.C.2) En déduire l'expression de la concentration en méthane en fonction de temps (On notera [ CH 4 ] 0 la concentration initiale en méthane). II.C.3) Calculer le temps t 2 en années au bout duquel 99, 9 % du méthane est dissocié. 9 II.C.4) L'âge de Titan est d'environ 4 u 10 ans. Qu'en déduisez-vous quant à la présence de méthane dans l'atmosphère de Titan de son origine à nos jours ? II.D - Étude de l'eau solide Une des sources possibles de méthane sur Titan correspondrait à la présence d'un réservoir de clathrates de méthane (structure de molécules d'eau formant des cages dans lesquelles des molécules de méthane sont piégées) dans sa croûte. Il semblerait en effet que Titan possède un épais manteau de glace. Une variété allotropique de la glace est la structure dite « diamant » : les atomes d'oxygène occupent un réseau cubique face centrée d'arête a ainsi que la moitié des sites tétraédriques ; les atomes d'hydrogène pointent vers les sommets des cubes d'arête a / 2 auxquels ils sont liés. On note d 1 la plus courte distance entre un atome d'hydrogène et un atome d'oxygène ( d 1 = 100pm ) et d 2 la plus longue. Le paramètre de la maille a vaut 637 pm . II.D.1) Donner le schéma de Lewis d'une molécule d'eau ainsi que sa géométrie (vous préciserez l'angle entre les deux liaisons O ­ H ). Concours Centrale-Supélec 2009 6/12 PHYSIQUE-CHIMIE Filière MP II.D.2) Dans un réseau cubique face centrée, où se situent les sites tétraédriques ? II.D.3) Représenter un huitième de maille (cube d'arête a / 2 ), dans le cas où le site tétraédrique est occupé. II.D.4) Combien de molécules d'eau comporte une maille ? II.D.5) Déterminer la valeur de la distance d 2 . II.D.6) Déterminer la masse volumique de la glace. Commentaire. II.E - Les océans eau-ammoniac de Titan Pendant le refroidissement de Titan, des mélanges homogènes eau-ammoniac liquides ont formé de véritables océans, qui sont demeurés au contact de l'atmosphère pendant près de 100 millions d'années, sous une température de 20 à 40°C. Le refroidissement se poursuivant, une épaisse couche de glace de plusieurs kilomètres d'épaisseur a fini par se former. Actuellement, la température à la surface de Titan est de l'ordre de -170°C, mais il est probable que les océans eau-ammoniac perdurent sous la glace, à des températures plus élevées. Les conditions passées -- et même actuelles dans certaines zones -- ne seraient pas totalement défavorables à l'apparition ou au maintien de micro-organismes vivants, bien que cette hypothèse n'ait pu être validée ou infirmée pour l'instant. Dans toute cette partie, on considérera que la pression est constante et égale à 1 bar. II.E.1) Donner le schéma de Lewis de la molécule d'ammoniac, ainsi que sa géométrie. II.E.2) L'ammoniac est un ampholyte. Rappeler le sens de ce terme et écrire les équations d'échanges de protons de l'ammoniac avec ses espèces conjugués + ­ (ion ammonium N H 4 et ion amidure N H 2 ). II.E.3) En déduire l'équation de la réaction d'autoprotolyse de l'ammoniac. II.E.4) a) On donne (figure 2) le diagramme binaire liquide-vapeur tracé sous P = 1 bar. Reproduire grossièrement le graphe sur votre copie et positionner les différents domaines d'existence/coexistence et le nom des courbes séparant ces domaines. Quelles sont les températures normales d'ébullition de N H 3 pur et H 2 O pure ? b) Lors du refroidissement de Titan avant formation de la glace, on considère une zone de l'océan eau-ammoniac à l'équilibre avec sa vapeur, à 0°C. Donner la composition des deux phases dans ces conditions. c) On désire reconstituer en laboratoire la phase liquide envisagée à la question précédente. Concours Centrale-Supélec 2009 7/12 PHYSIQUE-CHIMIE Filière MP Pour ce faire, calculer le volume T en oC minimum V S d'ammoniac à 100 mettre au contact d'un litre 90 d'eau liquide, l'ensemble étant 80 maintenu à 0°C. Calculer la masse du mélange liquide ainsi 70 obtenu. Commenter la valeur de 60 V S et proposer un argument 50 microscopique pour expliquer cette hydrosolubilité de N H 3 . 40 Pour cette question, on prendra 30 la masse volumique de l'eau 20 ­3 liquide égale à 1000 kg u m . 10 d) Pour simuler des conditions 0 plus anciennes dans l'histoire de Titan, on porte la phase liquide - 10 de l'échantillon précédent à - 20 40°C. Déterminer la masse de - 30 liquide et de vapeur obtenues, ainsi que leur composition en - 40 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 x H O eau et en ammoniac. Comparer Figure 2 : Diagramme binaire isobare aux résultats précédents. liquide-vapeur eau-ammoniac e) Sous quelle température verrait-on cet échantillon se vaporiser entièrement ? II.E.5) On pense que dans certaines zones des océans de Titan, l'eau a pu être majoritaire, induisant des conditions de pH plus modérées qu'ailleurs. Envisageons l'existence d'un tel milieu affichant une concentration c 0 en N H 3 valant ­1 0, 1 mol u L , avant toute évolution chimique, sous une température de 25°C. À + -- cette température, les pK a des couples N H 4 / NH 3 et N H 3 / NH 2 sont respectivement 9, 2 et 23 . a) Établir le diagramme de prédominance faisant intervenir NH 3 et ses espèces conjuguées (ou l'une d'elles), dans le domaine de pH allant de 0 à 14. b) Que peut-on dire de la base conjuguée de NH 3 dans l'eau ? c) Proposer une réaction prépondérante traduisant le comportement de NH 3 dans la solution. Calculer sa constante d'équilibre. d) En supposant que la réaction est peu avancée à l'état final, calculer le pH de la solution. L'hypothèse était-elle satisfaisante ? Sachant que sur Terre dans ces conditions de pression et de température, on rencontre des micro-organis2 Concours Centrale-Supélec 2009 8/12 PHYSIQUE-CHIMIE Filière MP mes (bactéries) pour pH ) 12 , des formes de vie analogues auraient-elles survécu dans la zone océanique de Titan envisagée ici ? Partie III - Les anneaux de Saturne Les anneaux de Saturne sont formés de fragments de roche et de glace d'eau (les « particules » de l'anneau) de 1 à 10 cm , tournant dans le plan équatorial de la planète sur des orbites circulaires. Ils forment des bandes peu denses, très fines (quelques centaines de mètres !) et larges (de l'ordre de 20 000 km ). L'origine des anneaux est due soit à la fragmentation d'un satellite naturel, soit à un nuage de particules qui n'ont pas pu s'agglomérer. On étudie dans cette partie l'évolution d'un nuage de particules initialement concentrées en un anneau fin et étendu. On se place dans le référentiel saturnocentrique, supposé galiléen. On négligera l'attraction gravitationnelle des particules entre elles par rapport à l'attraction de Saturne. III.A - Circularisation de la trajectoire La masse de Saturne est supposée répartie de façon sphérique autour de son centre O . Initialement, le nuage est dense, de masse M . Son centre de masse G gravite autour de Saturne sur une orbite elliptique, d'excentricité e .Les particules décrivent des mouvements individuels complexes (rotation propre de chaque particule dans son référentiel barycentrique, trajectoires influencées par des chocs...), dont l'effet moyen est un mouvement « collectif » de révolution autour de la planète. Le moment cinétique en O dû à ce mouvement étudié dans le référentiel saturnocentrique est appelé moment cinétique orbital. Il est noté L Oorb . Sa norme est supposée constante pour les mouvements étudiés. L'extension du nuage est supposée faible devant r = OG . * III.A.1) On note E c l'énergie cinétique barycentrique du nuage. Donner l'expression de l'énergie mécanique E m du nuage en fonction de M , * M Sa , r , r , G , E c et L Oorb . III.A.2) L'équation polaire de la trajectoire de G est : 2 L Oorb ---------------------------2G M Sa M r = ---------------------------------------- où e est l'angle polaire de la trajectoire et e 0 une constante. 1 + e cos ( e ­ e 0 ) * En déduire l'expression de E m en fonction de M , M Sa , G , E c , L Oorb et e . III.A.3) Le système {Saturne + nuage} est isolé, tandis que les chocs des particules du nuage entre elles provoquent une augmentation de l'énergie cinétique Concours Centrale-Supélec 2009 9/12 PHYSIQUE-CHIMIE Filière MP barycentrique. En déduire que la trajectoire de G se circularise au cours du temps. III.B - Localisation équatoriale La trajectoire du nuage est à présent circulaire mais le plan du cercle, contenant le point O , a une orientation quelconque. Pour expliquer que les anneaux évoluent dans le plan équatorial de Saturne, on tient compte de l'aplatissement de la planète. III.B.1) Expliquer qualitativement, mais précisément, pourquoi la rotation propre de Saturne est la cause de son aplatissement aux pôles. III.B.2) À cause de cet aplatissement, le champ gravitationnel de Saturne n'est plus exactement un champ newtonien. On modélise la répartition de la masse de Saturne par une sphère contenant deux cavités sphériques vides (Figure 3). MonFigure 3 trer que cette répartition crée le même champ gravitationnel que la superposition des trois sphères ci-contre : · ( S 0 ) est homogène, de masse volumique l < 0 , de masse M 0 , de centre O , de rayon R Sa ; · ( S 1 ) et ( S 2 ) sont homogènes, de masse volumique ­ l , de masse ­ m , centrées sur A et B respectivement, de rayon R = R Sa ­ b . On pose b = OA = OB et M Sa = M 0 ­ 2m . III.B.3) a) Exprimer le potentiel gravitationnel V ( r, _ ) en un point P de l'espace créé par Saturne en fonction des données précédentes. b) On se place loin de la planète c'est-à-dire tel que r » R Sa . Montrer que le potentiel V ( r, _ ) se met alors sous la forme : 2 G M Sa £ R Sa £ 3 2 1 ¥ V ( r, _ ) = ­ ------------------- ² 1 ­ J 2 ---------- --- sin _ ­ ---¥¦ ´ 2 ¤2 r ¤ 2 ¦ r où J 2 une constante positive dont on donnera l'expression en fonction de M Sa , m , R Sa et b . c) Application numérique : le rayon équatorial de Saturne ( R Sa ) est supérieur de 11% au rayon polaire ( b ) . Calculer la valeur de J 2 . Concours Centrale-Supélec 2009 10/12 PHYSIQUE-CHIMIE Filière MP III.B.4) Quelle est l'expression de l'énergie mécanique E m du nuage, en fonc* tion de M , V ( r, _ ) , r , G , E c et L Oorb ? III.B.5) Les conditions d'évolution sont les mêmes que dans la question III.A.3. Montrer qu'alors la trajectoire se rapproche du plan équatorial de Saturne. III.C - Étalement du nuage Le nuage est encore compact et peu étendu. Son centre de masse G suit une trajectoire circulaire dans le plan équatorial de Saturne. Cette planète exerce une force newtonienne sur le nuage. Le nuage est d'abord concentré en une masse quasi ponctuelle. Les collisions entre les particules vont étaler ce nuage tout en conservant son moment cinétique orbital L Oorb . On considère que les particules du nuage ont formé un anneau très fin homogène, de rayon r 0 = 150 000 km . III.C.1) Exprimer le moment cinétique orbital L Oorb en O et son énergie mécanique E m de l'anneau en fonction de G , M Sa , M et r 0 . III.C.2) L'anneau fin va s'étaler en un anneau plat, dans le plan équatorial du fait de la dissipation de son énergie mécanique par le biais des collisions entre particules. On suppose que cet anneau plat est homogène, de masse surfacique m , et qu'il s'étend de la distance r 1 à r 2 de O . Exprimer le champ des vitesses v ( r ) pour r 1 < r < r 2 . En déduire l'expression du moment cinétique L o v en O et de l'énergie mécanique E m v de l'anneau en fonction de G , M Sa , M , r 1 et r 2 . III.C.3) a) Montrer que la conservation du moment cinétique de l'anneau implique que r 1 et r 2 sont liés. Exprimer cette relation sous la forme r2 r1 ----- = f ( X ) où X = ----- . Donner l'expression de f ( X ) . r1 r0 b) Exprimer la variation relative d'énergie mécanique r1 r2 6E m Em v ­ Em ------------ = ------------------------- en fonction de ----- et ----- . r2 r0 Em Em Concours Centrale-Supélec 2009 11/12 PHYSIQUE-CHIMIE Filière MP r r On donne le tracé de ----2- en fonction de ----1- . Compléter le tableau ci-dessous et r0 r0 conclure. r1 ----r2 1 6E m -----------Em 0 0, 8 0, 6 0, 5 c) Donner la largeur relative r2 ­ r1 ---------------- de l'anneau lorsque 1% de l'énergie initiale a été dissipée. r0 ··· FIN ··· Concours Centrale-Supélec 2009 12/12

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Centrale Physique et Chimie MP 2009 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Sébastien Dusuel (Professeur en CPGE) et Tiphaine Weber (Enseignant-chercheur à l'université) ; il a été relu par Stanislas Antczak (Professeur agrégé), Sandrine Brice-Profeta (Professeur agrégé en école d'ingénieur), Julien Dumont (Professeur en CPGE) et Thomas Tétart (ENS Cachan). Ce problème, intitulé « Le Seigneur des Anneaux », s'intéresse à des aspects physiques et chimiques ayant trait à la planète aux anneaux bien connus, Saturne. · La première partie porte sur l'un des nombreux mystères qu'offrent aux astrophysiciens les planètes géantes gazeuses, en particulier Saturne et Jupiter : elles rayonnent plus d'énergie qu'elles n'en reçoivent du Soleil. Après un peu de statique des fluides utilisant l'analogie électrostatique-gravitation et permettant de se faire une idée approximative de la structure interne de Saturne, la partie I.A aborde le calcul de sa température de surface. La différence importante entre la température théorique ainsi obtenue et celle que l'on mesure est la motivation de la partie I.B. La luminosité « excessive » de Saturne y est expliquée par la théorie de la « pluie d'hélium », qui dissipe de l'énergie par frottements avec l'hydrogène métallique liquide, dans lequel l'hélium est insoluble. C'est l'occasion d'étudier une analogie entre courants électrique et massique. · La deuxième partie s'intéresse aux données obtenues sur le satellite Titan par la sonde Huygens. Elle fait intervenir l'ensemble du programme de chimie. De la thermodynamique d'une réaction de dissociation de l'ammoniac à la cinétique de la décomposition du méthane, les premières sous-parties permettent de décrire l'évolution de l'atmosphère de Titan. Les deux dernières sous-parties envisagent l'existence d'océans eau-ammoniac souterrains, par une approche cristallographique de la glace diamant puis par l'exploitation du diagramme binaire H2 O/NH3 et le calcul du pH d'une telle solution. Cette partie ne présente pas de difficulté majeure mais elle est longue. Il ne faut pas hésiter, dès que c'est possible, à faire des approximations afin d'alléger les calculs. · La dernière partie explique pourquoi les anneaux de Saturne sont circulaires, localisés dans le plan équatorial de la planète et étendus radialement. Ces questions demandent de maîtriser la mécanique du point (en particulier les mouvements à force centrale) et des systèmes, ainsi que le principe de superposition. Un développement quadrupolaire, introduit de façon didactique (cette notion étant hors-programme), est demandé dans la sous-partie III.B. La difficulté essentielle de cette partie réside dans la compréhension de l'énoncé : les textes introductifs des sous-parties ne sont pas toujours limpides. Bien que ce sujet soit intéressant et de difficulté raisonnable, on peut regretter son manque de précision et de clarté, en particulier dans la troisième partie ; il n'est pas toujours aisé de comprendre quelles approximations sont implicitement faites. De plus amples renseignements sur les sondes Cassini-Huygens et les programmes scientifiques associés sont disponibles en ligne : http://saturne.jpl.nasa.gov (en anglais) http://www.cnes.fr/web/CNES-fr/323-cassini-huygens.php (en français) Indications -- I.A.3.a Commencer par montrer que - g (- r ) = grad P. I.A.4.b On peut utiliser la conservation de l'énergie pour calculer la puissance surfacique atteignant Saturne et la multiplier par la surface qui l'intercepte. I.A.4.c Écrire l'équilibre radiatif de Saturne. - I.B.2 Où se situent les gouttelettes qui vont traverser d S pendant dt ? I.B.3.b Que vaut la puissance volumique de la force de Lorentz ? I.B.3.c La question est plutôt mal posée. Utiliser la question I.B.3.a pour calculer la puissance dissipée. Écrire ensuite un bilan de puissance, en prenant en compte les deux sources d'énergie de Saturne : le Soleil et la pluie d'hélium. II.A.4 L'approximation d'Ellingham permet de calculer r G en négligeant les variations de r H et r S en fonction de la température. II.A.5.a Exprimer les pressions partielles à l'équilibre en fonction de . II.B.3.b Intégrer la loi de vitesse obtenue à la question précédente. Le rapport des concentrations [CH4 ] / [C2 H2 ] est égal au rapport des abondances molaires de ces deux composés dans l'atmosphère. II.D.1 Discuter des encombrements relatifs des doublets liants et non liants autour de l'atome central. II.D.3 Afin de former des liaisons hydrogène, les atomes d'hydrogène se trouvent entre les atomes d'oxygène les plus proches. II.D.4 Pour dénombrer les molécules contenues dans une maille, compter les barycentres de ces molécules à l'intérieur de la maille. Pour l'eau, cela revient à décompter les atomes d'oxygène sur le schéma de la question II.D.2. II.D.5 La distance entre deux atomes d'oxygène adjacents vaut d1 + d2 . II.E.4.a La température normale d'ébullition d'un corps pur est la température pour laquelle ce composé bout, sous la pression atmosphérique. II.E.4.c Modifier la composition du mélange à température constante revient, sur le diagramme binaire, à se déplacer le long d'une horizontale. Il faut ajouter assez d'ammoniac pour avoir la première bulle de vapeur. II.E.4.d Utiliser le théorème des moments chimiques. III.A.1 Utiliser le théorème de König, ainsi que les résultats de mécanique du point pour un mouvement à force centrale. III.A.2 L'énergie mécanique totale Em est la somme de l'énergie cinétique barycentrique Ec et de l'énergie mécanique E m = -G MSa M/(2a) associée au mouvement du barycentre G du nuage dans le champ gravitationnel de Saturne. Exprimer le demi-grand axe a en fonction de e. III.A.3 Comment évolue l'énergie mécanique du système ? III.B.3.b Commencer par développer V(r, ) à l'ordre deux en b/r. III.B.4 Considérer la trajectoire comme circulaire. III.C.1 Établir l'expression de la vitesse v0 d'un point de l'anneau. L'énergie cinétique barycentrique n'intervient plus ici. III.C.2 Procéder comme à la question précédente pour trouver v(r). En déduire le moment cinétique et l'énergie mécanique par intégration. Trouver le lien entre et M pour éliminer . III.C.3.a Qu'implique LO orb = LO ? III.C.3.b On aura plutôt avantage à exprimer Em /Em en fonction de X uniquement. Le Seigneur des Anneaux I. Bilan radiatif de Saturne I.A.1 La masse volumique moyenne de Saturne vaut = 3 MSa -3 3 = 689 kg.m 4 RSa Saturne étant composée d'éléments légers comme l'hydrogène et l'hélium, elle est en moyenne moins dense que l'eau liquide. Tout comme les données de l'énoncé, les applications numériques sont fournies avec trois chiffres significatifs. On aurait aussi pu comparer la masse volumique de Saturne à celle de la Terre, à condition de se souvenir que cette dernière a un rayon moyen de 6,37.106 m et une masse de 5,97.1024 kg. L'application numérique donne Terre = 5,51.103 kg.m-3 , soit huit fois plus que la masse volumique de Saturne. En fait, Saturne est la seule planète du système solaire à être moins dense que l'eau liquide. Jupiter, qui est aussi une géante gazeuse, a une masse volumique de Jupiter = 1,24.103 kg.m-3 , valeur qu'on peut calculer avec les données de l'énoncé, en remarquant tout de même que Jupiter a un rayon (équatorial) de 7,15.107 m et non de 7,15.107 km. Quant au Soleil, étoile du système solaire, ces mêmes données fournissent Soleil = 1,42.103 kg.m-3 , valeur à nouveau supérieure à celle de l'eau liquide. I.A.2 Si la masse est supposée uniformément répartie, la distribution de masse est à . L'analogie électrostatiquesymétrie sphérique, ce qui implique que - g (- r ) = g(r) - u r gravitation permet d'écrire, pour le théorème de Gauss, ZZ - - g · d S = -4 G Mint S où Mint est la masse intérieure à la surface fermée S. Choisissons comme surface de Gauss S la sphère de rayon r < RSa , pour obtenir 3 4 r 4 r2 g(r) = -4 G r3 = -4 G MSa 3 RSa puis G MSa - - g (- r)=- 3 r ur RSa À la surface de Saturne, la formule précédente fournit (en norme) g0 = -g(RSa ) = G MSa = 11,2 m.s-2 2 RSa La notation - g (r) de l'énoncé est à proscrire, car le champ de gravitation - - - dépend de et en g ( r ) = g(r) ur ne dépend pas que de r, puisque - u r coordonnées sphériques. Qui plus est, l'énoncé confond à tort champ de pesanteur et champ de gravitation, probablement sous prétexte que le référentiel lié à Saturne est supposé galiléen. Or, ce n'est pas le cas en pratique puisque Saturne tourne sur elle-même avec une période T = 10 h 47 min. Par conséquent, toujours dans l'approximation (grossière) d'une distribution de masse à symétrie sphérique, le champ de pesanteur à l'équateur vaut 2 2 = 9,68 m.s-2 g0 - RSa T soit une correction de près de 14% ! La prise en compte de la non-sphéricité de Saturne modifierait sans aucun doute ce résultat, mais on se contente ici d'utiliser le modèle suggéré dans l'énoncé. I.A.3.a La symétrie sphérique de la distribution de masse montre que le champ de - -- pression ne dépend que de r. La loi de la statique des fluides FV = grad P ne met ici -- en jeu que la force volumique correspondant à la gravitation, soit - g (- r ) = grad P. La seule relation non triviale qui en découle vient de la projection sur - u r dP G MSa - 3 r = dr RSa dont l'intégration par rapport à r, avec la condition P(RSa ) = 0, fournit G MSa 2 P(r) = RSa - r2 pour r < RSa 3 2 RSa Dans ce modèle (grossier), la pression au centre de Saturne a une valeur de G MSa P(0) = = 225 GPa. Ceci justifie de négliger la pression en surface. 2 RSa I.A.3.b L'hydrogène métallique existe pour r < rmét tel que G MSa 2 2 Pmét = RSa - rmét 3 2 RSa r 2 RSa Pmét soit rmét = RSa 1 - = 1,93.107 m G MSa Cette valeur correspond à 33,1% du rayon de Saturne. I.A.4.a D'après la loi de Stefan, le Soleil émet une puissance surfacique TS 4 , qu'on multiplie par la surface 4 RS 2 du Soleil pour obtenir la puissance totale émise 0 = 4 RS 2 TS 4 = 3,64.1026 W I.A.4.b Par conservation de l'énergie, la puissance surfacique rayonnée par le Soleil 0 à la distance dSaS a pour expression 2 . Saturne intercepte cette puissance 4 dSaS 2 surfacique sur une surface RSa et par conséquent 2 RSa abs = a 0 2 dSaS