Centrale Physique et Chimie MP 2006

Thème de l'épreuve Alternateurs de bicyclette, thermorégulation d'un cycliste. Étude du chlore et de ses dérivés.
Principaux outils utilisés électrocinétique, thermodynamique, induction, atomistique, diagrammes potentiel-pH, oxydoréduction, thermochimie, solutions aqueuses, diagrammes binaires

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(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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 n__>_ «EE EÊIO-...DÛOE>IQ ëäË... OEQQN DOE>OEQBÜ | ËOEbQOEU m'\3OUQDQ Le sujet de physique se compose de deuxproblèmes indépendants relatifs au cyclotourisme. Le premier aborde le problème de l'éclairage tandis que le second s'intéresse à la régulation thermique du cycliste pendant l'effort. Partie I - Alternateur de bicyclette I.A -- Schéma de principe On peut représenter un alternateur de bicyclette de la façon suivante : 0 Un aimant permanent, assimilable à un dipôle magnétique de moment 1ÎÎ tourne dans le plan (0, fr, È) en faisant avec l'axe (0, ÿ ) un angle 6 : oet , avec ou constante. 0 Une bobine comportant N tours de fil, chaque tour étant assimilable à une spire de rayon a , de résistance r et d'inductance L est placée dans le plan (O,5È,Ë), centrée en O , sa normale étant dans le sens de ÿ . Cette bobine, branchée en série avec une résistance R représentant les lampes de la bicy- clette, est parcourue par un courant i(t) . (On rappellgqu'uq îipôle magnétique de moment Il? est équivalent à une boucle de courant M : IS, S étant supposé beaucoup plus petite que la surface d'une spire de la bobine). I.A.1) a) Rappeler l'expression du champ magnétique créé, en un point de son axe, par un bobine circulaire de rayon a , d'axe Oy , comportant N spires parcourues par le courant i(t) ; on précisera sur un schéma la signification des paramètres uti- lisés dans cette expression. b) Exprimer le flux % du champ magnétique créé par cette bobine à travers la spire, équivalente au dipôle magnétique, de vecteur surface S . c) En utilisant les propriétés des coefficients d'inductance mutuelle % 12 et %21 de deux circuits (1) et (2), déduire de ce qui précède le flux magnétique @ M envoyé par le dipôle dans la bobine de rayon a en fonction du temps t . On expri- mera le résultat en fonction de N , M , a , oe , t et de la perméabilité magnétique du vide u0. I.A.2) En déduire le flux total © traversant la bobine, puis la force électromo trice d'induction @ dont la bobine est le siège, en fonction de M, N, L, a, i, m et MO . I.A.3) En déduire l'équation différentielle vérifiée par i(t) . I.A.4) En régime permanent, on pose i(t) : Icos(oet + xp) , 1 étant un nombre réel positif. Déterminer les expressions de I et il) en fonction des données du problème. I.A.5) Tracer le diagramme de Bode de I [représentation de 2010g(1) en fonc- tion de log(oe) ] et de mp [représentation de u; en fonction de log(oe) ]. Quelle est la fonction réalisée par ce filtre ? I.A.6) Soit U R la tension maximale aux bornes de la résistance R . On pose UM : lim (UR) . Quelle est la valeur de UM '? (D'--) 00 I.A.7 ) Calculer la puissance instantanée absorbée par R . En déduire la puis- sance électrique moyenne (P } absorbée par les lampes de la bicyclette en fonction de UM, R, L, 0), r. électrique Remarque : (X) représente la valeur moyenne de X (t) . I.A.8) Rappeler l'expression du couple Î" exercé sur un dipôle magnétique plongé dans un champ magnétique extérieur B uniforme. En admettant que le champ créé par la bobine est uniforme au niveau de l'aimant tournant, calculer le couple instantané qu'il faut appliquer sur l'aimant pour que la vitesse angu- laire de ce dernier soit constante, ainsi que la puissance mécanique instantanée fournie correspondante en fonction de UM, R, L, oe, r. I.A.9) En passant aux valeurs moyennées dans le temps, établir la relation entre {Pmécamque) et {Pélecmque> . Quel est le rendement de l'alternateur ainsi modélisé ? pneu ...... ""'"-- molette I.A.10) Applications numériques : u0 : 4n10_ US] La puissance moyenne absorbée par les lampes de la bicyclette doit être de 3W sous une tension maximale de 6V pour obtenir un fonctionne- ment correct. L'axe de rotation de l'aimant est , solidaire d'un axe mis en mouvement par le contact d'une molette de diamètre dm : 25mm au contact du pneu, au voisinage immédiat de la bande de roule- ment. Le moment magnétique d'un aimant courant vaut 4,0 U.S.I . , la bobine est réalisée en bobinant 100 tours de fils sur un support de 4 cm de diamètre. La résistance électrique obtenue est de 19 . ° Calculer oo pour un vélo avançant à une vitesse de 15 km/h. ° Calculer R pour que la puissance maximale dissipée dans les lampes soit de 3W . ° Calculer la valeur de L permettant d'obtenir la tension convenable aux bor-- nes des lampes quelque soit la vitesse du cycliste. ° Calculer numériquement la quantité B; r. Quelle est sa signification dans le diagramme de Bode ? Le fonctionnement d'un alternateur qui serait cons-- truit conformément à ce modèle théorique serait--il satisfaisant '? I.B - Une réalisation pratique Un inventeur a déposé à l'Institut National de la Propriété Indus- trielle (INPI) dans le courant de l'année 2000, le brevet suivant, peu compréhensible en première lecture : Alternateur sans balais à rotor extérieur « La présente invention concerne un alternateur a induit extérieur sans balai, et plus particulière- ment une dynamo de bicy-- clette, dont l'induit est constitué d'une structure à aimants permanents et d'une culasse en forme de corps de cylindre réalisée dans un matériau magnétique dur ou mou, entre lesquels aimants permanents et l'induit se trouve un passage annulaire dans lequel s'enfonce une bobine à noyau d'air encastrée a une extrémité. Afin de permettre la dissi- pation de la chaleur, l'induit présente des lumières ou fentes ou bien alors, par le biais d'un arbre creux de l'alternateur et de prises d'air, l'air circule et est amené au passage annulaire ou en est évacué. Lors de l'entraînement d'un alternateur a induit extérieur sans balai au moyen d'un induit multipolaire et d'une bobine, laquelle comporte un nom- bre de pôles identique à celui de ses enroulements, les ehroulements à bobine ou une par- tie d'entre eux sont mis en circuit selon la combinaison souhaitée soit parallèlement les uns aux autres soit en série en fonction de la fréquence de la tension alternative qui est obtenue. Grâce à cela, il en résulte une augmentation de la tension d'alternateur ou du rendement électrique.» La suite de ce problème se propose d'étudier théoriquement ce dispositif, en le modélisant ainsi (voir figures ci-après). 24 spires | _ ' induit (stator) ) Figure 2 : lnduit vu de dessus à S] Figure 3 : Ëpire S] seule trace des sp1res / / Figure 1 :Vue générale / Les spires sont représentées hors de l'entrefer Figure 1 bis : vue générale de dessus x L'induit est formé de quatre spires indépendantes, reliées électriquement en série. Chaque spire est constituée de N tours de fil, géométriquement disposés sur deux segments parallèles à l'axe des cylindres, et deux arcs de cercle centrés sur l'axe reliant les segments verticaux. Le fil est bobiné de façon telle que les normales de deux spires adjacentes soient de sens contraire selon %. La hau- teur de chaque spire sera notée h , et le rayon de l'arc de cercle a . L'ensemble de ces quatre spires est immobile par rapport au repère Oxyz . Le rotor est un cylindre aimanté tournant à vitesse angulaire constante (» autour de l'axe Oz . Ce cylindre présente un entrefer ayant la forme d'une gorge cylindrique dans laquelle l'ensemble des quatre spires peut se placer. Remarques : ° Les quatre spires S i sont isolées électriquement les unes des autres le long des côtés parallèles à l'axe Oz . Un dispositif, non représenté sur la figure, permet de les brancher en série de façon à ce qu'elles soient parcourues par le même courant. ° Les indications des pôles Nord et Sud sont représentés pour des raisons de commodité sur les figures 1 et 1bis dans le plan supérieur des aimants (parallèle à xOy ), mais les pôles sont en réalité au niveau des surfaces cylindriques situées dans l'entrefer, créant ainsi dans ce dernier un champ radial. Soit E) l'angle permettant de repérer un point situé sur une des surface S,, 90 l'angle de rotation du rotor aimanté par rapport au repère Oxyz . + Le champ magnétique B B créé dans l'entrefer sera sup- posé radial, son module indé- pendant de 2 sur toute la hauteur de chaque spire, et dont la dépendance en fonc- tion de 9 -- 90 est représentée par la fonction représentée ci-contre. I.B.1) Montrer que pour la spire S] , le flux (1)! a pour expression : (a) si (80EUR [O, --]) : » = 0,3 U.S.l. Coefficient de transfert conducto--convectif peau/air intervenant dans la loi de Newton, en fonction de V , norme de la vitesse relative de l'air par rapport à la peau : Kc=5+5v ; KC en WK_l m_2 ; V en ms"l Masse du cycliste : m = 80 kg Taille du cycliste : h = 1,80 m II.A - Modélisation II.A.1) Détermination du coefficient global de transfert thermique entre le corps et l'extérieur a) Rappeler la loi de Stefan pour le rayonnement thermique d'un corps noir, et donner sa signification énergétique. b) En considérant que le corps humain se comporte comme un corps noir de température de surface T8 dans un environnement extérieur rayonnant comme un corps noir à la température Ta , montrer que la puissance surfacique échan- gée par le corps humain avec son environnement peut se mettre sous la forme approchée p,. : k(Ta -- Ts) pour T8 peu différente de Ta , ou le est un coefficient que l'on exprimera en fonction de o et Ta Calculer numériquement le pour Ta : 298 K c) On admettra que le coefficient k calculé précédemment pour 298 K varie peu pour les températures ambiantes qui seront considérées par la suite (typique-- ment entre 0° C et 40° C ). En déduire que le coefficient de transfert total entre la peau et l'air (conduction -convection-rayonnement) est alors donné par la formule approchée _ _7 K =11+5V(enWK'm ") CÏ' Il.A.2) Représentation du corps humain Pour faciliter les calculs, on désire modéliser le corps humain par une sphère de rayon R . À l'aide des données numériques fournies, calculer la surface de peau du cycliste. En déduire le rayon R . II.B' - Modèles physiques de thermorégulation II.B. 1) Premier modèle La température interne du corps est Ti tandis que la température ambiante extérieure est Ta . On supposera que les pertes thermiques ne se produisent que sur la surface extérieure, la vitesse de l'air par rapport à la sphère étant nulle. S,Ti et Ta. b) En déduire la plage de température ambiante Ta permettant la régulation thermique. a) Ecrire la relation entre la puissance de thermogenèse PM, Km., c) Faire l'application numérique pour l'organisme au repos. Conclusion ? II.B.2) Deuxième modèle Afin de réguler sa température, le corps humain est capable de limiter ou de favoriser la circulation sanguine dans ses couches périphériques (vasoconstric- tion ou vasodilatation), le sang étant le principal responsable de l'uniformisa- tion de la température interne (homéothermie). On considérera donc toujours le corps humain comme une sphère de même dimension que précédemment. Le volume est décomposé en deux zones : ° une zone centrale de rayon R--e, thermorégulée, dont la température est constante et égale à Ti , ° une zone périphérique de transition d'épaisseur e constituée de tissus faible-- ment irrigués, siège'uniquement d'une conducti0n thermique radiale. a) Equation de la chaleur dans la zone de transition ° Rappeler la loi de Fourier de la conduction) thermique. Préciser la direction du vecteur densité de courant thermique jth ° En faisant un bilan énergétique pour la couche contenue entre les sphères de rayon r et r + dr , établir l'équation aux dérivées partielles vérifiée par T (r, t) dans la zone de conduction (on pourra introduire toute donnée utile non explicitement fournie dans l'énoncé). b) Dans le cas du régime permanent, montrer que T : % + B. Déterminer les constantes A et B en fonction de T,- , Ts , R et e . c) On pose 8 : R--r . En supposant que e « R , montrer que dans la zone de tran- sition, T(s) est alors une fonction linéaire de a (on vérifiera que les valeurs extrêmes de T(s) pour s = 0 et s = e sont convenables). d) En utilisant l'expression du flux thermique, exprimer PM en fonction de R,À,e,T,- et T8. e) Exprimer de même la relation donnant PM en fonction de R, K Ts et Ta . CÏ" f) En déduire la relation donnant T,- -- Ta en fonction de PM. g) Dans les ouvrages de physiologie, on estime que le volume de la zone de con- duction (zone de vasoconstriction/vasodilatation) peut représenter un pourcen- tage x compris entre 20% et 50% du volume total. Calculer e en fonction de R et de x . Faire l'application numérique pour les deux valeurs extrêmes de x . h) On suppose l'air immobile par rapport à la peau. ° pour un organisme au repos, calculer les valeurs extrêmes de Ta pour les- quelles la régulation thermique est possible. ° pour un organisme effectuant un effort modéré, calculer de même les valeurs extrêmes de Ta pour lesquelles la régulation thermique est possible. i) On considère maintenant un cycliste effectuant un effort modéré en roulant à 18 km/h dans une atmosphère sans vent. Calculer les valeurs extrêmes de Ta pour lesquelles la régulationthermique est possible. La régulation est-elle possible si la température extérieure est de 30° C ? II.B.8) Troisième modèle Le dernier phénomène intervenant dans la thermorégulation est la transpira- tion. Dans le domaine de température considéré, l'évaporation de la sueur nécessite une enthalpie massique de changement de phase de l'ordre de LU : 2450 J/g. Soit M le débit massique de sueur produite par l'organisme (en g/heure ). On sup- posera que l'évaporation est suffisamment rapide pour ne pas avoir d'accumula- tion de sueur sur la peau : la surface du corps reste donc pratiquement sèche. a) La transpiration ne modifiant pas de façon notable la conduction de la cha- leur dans la zone périphérique, calculer la différence Ti -- TS . b) En faisant un bilan thermique à la surface, exprimer Ts 4 Ta en fonction de PM' M,LU,R et KCÏ"° c) Déduire des deux relations précédentes l'expression de M en fonction de Ti, Ta, PM et des données du problème. d) Applications numériques : calculer la valeur minimale de M en g/heure dans les cas suivants : ° corps au repos, Ba : 30° C. ' cycliste fournissant un effort important, Ba : 35° C , vitesse V = 18 km/h. ' Les ouvrages de physiologie font état de débit de transpiration pouvant valoir jusqu'à plusieurs litres par heure dans des conditions extrêmes. Le modèle présenté ici vous paraît-il satisfaisant ? e) Ce qui est présenté ici ne vaut que pour une atmosphère sèche. Dans une atmosphère humide, la vitesse de l'évaporation diminue quand la pression par-- tielle de l'eau augmente, jusqu'à s'annuler quand cette pression devient égale à la pression de vapeur saturante à la température considérée. Expliquer quelle est l'influence du taux d'humidité de l'atmosphère sur la régulation thermique. Partie III - Le chlore et ses dérivés La désinfection des eaux de piscine fait encore largement appel au chlore et à ses dérivés. L'objet du problème suivant est d'aborder quelques aspects de ce traitement. III.A - L'élément chlore III.A.1) Donner la structure électronique du chlore. III.A.2) a) A quelle famille d'éléments chimiques appartient le chlore ? b) Donner le nom des autres éléments chimiques de cette famille. III.A.3) Donner la structure de Lewis de Cl2, Cl', H C10, ClO' . III.A.4) Indiquer la géométrie de la molécule HClO, obtenue à partir de la méthode VSEPR. III.B - Oxydoréduction III.B.1) Dans les conditions standard, à 298 K, le potentiel chimique du dichlore en solution aqueuse vaut : u°(298K)Clz(aq) : + 5, 70 w...." (u°(298K)CZ2(g) = o kJ. mol--l) . Déterminer la concentration en Cl2(aq) d'une eau en présence de dichlore gazeux sous une pression de 1 bar, à 298K . III.B.2) Lecture du diagramme E = f ( pH ) ci-après. a) Déterminer le nombre d'oxydation de l'élément chlore pour les espèces inter-- venant dans le diagramme: Cl2(aq), Cl',HClO, ClO'. Quelles sont les espèces qui peuvent se comporter comme des oxydants, des réducteurs ? b) Identifier les espèces A, B, C, D . c) Déterminer, à partir du diagramme et en justifiant la méthode utilisée : ° le potentiel standard du couple H ClO/ Cl" . ° le pKa du couple HClO/ClO' 0 Comparer les valeurs déterminées à celles indiquées dans l'énoncé. d) Calculer les pentes des différentes frontières du diagramme. III.B.3) Écrire la réaction de dismutation du dichlore en solution aqueuse, cal- culer sa constante d'équilibre. E(V) 1.8 ..l"ll"llll'l I'll-""IIIIII SII-"."IIIIII Ë_!---I".-E--I Illllllllflll'l Il.lllllllfi!ll I'll-IIIIIIIË! 11 13 14 pH Diagramme potentiel- pH du chlore 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 0.9 0.80 Le diagramme ci-dessus est tracé pour une concentration totale en élément chlore dans la solution aqueuse de c = 0, 100 mol.L_l . La frontière entre espèces correspond à l'égalité des concentrations molaires en élément chlore de part et d'autre de cette frontière. III.C - L'eau de Javel L'eau de Javel est une solution aqueuse équimolaire d'ions N a+ et Cl O' . Le degré chlorométrique désigne le nombre de litres de dichlore qui peuvent être libérés par l'addition d'acide chlorhydrique en quantité non limitante à un litre d'eau de Javel dans les conditions normales de température et de pression (273 K, 1, 013bar) . III.C.1) À combien de moles de dichlore correspond un litre d'eau de J avel com- merciale à 48 « degrés chlorométriques » ? . .. 3 Dans une p1sc1ne de 60 m degrés chlorométriques. , on introduit de l'eau de {Javel commerciale à 48 III.C.2) Quelle est la concentration des ions ClO_ , en mol.L_l , d'une solution à 1 mg.L_l en élément chlore ? En déduire le volume d'eau de J avel commerciale à verser dans la piscine pour obtenir la même concentration. III.C.3) Quel est alors le pH de l'eau de la piscine ? III.C.4) Quel volume d'acide chlorhydrique à 9 mol.L_ amener le pH de cette eau à 7,5 . -- l . do1t -on verser pour III.C.5) Quelle est la propriété de cette eau ? III.C.6) Quel risä1»ue y a-t-il à verser de l'acide chlorhydrique dans de l'eau de J ave] concentrée ? III.D - Réaction de Deacon La production de dichlore est actuellement assurée essentiellement par électro- lyse d'une solution aqueuse de chlorure de sodium. Cependant, dans le cas où on souhaite valoriser le chlorure d'hydrogène obtenu comme sous produit dans des synthèses organiques, on utilise la réaction de Deacon : 4HCl(g) + Oz(g) : 2H20(g) + 2Clz(g) III.D.1) a) Calculer l'enthalpie libre standard de réaction en fonction de la température (on se placera dans le cadre de l'approximation d'Ellingham). b) Calculer la constante d'équilibre K° à 750 K lll.D.2) Sous une pression de 1 bar, maintenue constante, àla température de 750 K, on mélange une mole de dioxygène et 4 mole de chlorure d'hydrogène. Calculer la composition du système à l'équilibre. ' IlI.D.8) Indiquer et justifier dans quel sens évolue cet équilibre, si : a) on augmente la température, la pression étant maintenue constante ; b) on augmente la pression, la température étant maintenue constant ; c) on introduit une faible quantité d'air, la pression et la température étant maintenues constantes. III.D.4) Cette réaction est catalysée par du chlorure de cuivre Il . Quel est l'effet du catalyseur sur la réaction '? III.E - Diagramme binaire H Cl/ H 20 Diagramme binaire H 20/ H Cl 9 120 ---- <°C> Ï,Z rar--- ,, -|--L' - l\') Illll!lilfill llllllllli -100 Pour ajuster le pH d'une eau trop basique, on peut ajouter de l'acide chlorhydri- que, solution aqueuse de chlorure d'hydrogène. Le diagramme binaire liquide vapeur du mélange H 2O/H Cl sous une pression de 1 bar est représenté ci-des- sus. (En abscisse est porté le pourcentage en masse en chlorure d'hydrogène, en ordonnée la température en °C ). III.E.l) Préciser la nature des domaines A, B, C, D. Indiquer le nom des cour- bes frontières entre D, B et A ; entre D, B et C. Quelle est la particularité du point E ? III.E.2) Déterminer à 25°C sous une pression de 1 bar, la composition de la phase liquide, en équilibre avec la phase vapeur. En déduire la solubilité du chlorure d'hydrogène, en litres pour 1 kg d'eau. III.E.3) La solution commerciale a un titre massique en H Cl égal à 83 %. a) Déterminer la température de début d'ébullition de cette solution. b) Un kilogramme de cette solution commerciale est portée à 90°C, sous une pression de 1 bar. Déterminer : ° la masse de la phase liquide ; ° la masse de la phase vapeur ° la masse de chlorure d'hydrogène contenu dans la phase vapeur ; ° la masse de chlorure d'hydrogène contenu dans la phase liquide. Données : Nombre atomique du chlore Z = 17 , de l'oxygène Z = 8 , de l'hydrogène Z = 1 Masse molaire atomique du chlore : 35, 5 - 10""kg.mol"' --3 1 Masse molaire atomique de l'hydrogène : 1,0 - 10 couple HClO/ClO'pKa : 7,5 ; [(eau : 10--14 ; R = 8,314 J.mol_'.K_l Dans la relation de Nernst, on prendra %Ln( 10) = 0, 059V à 298 K kg.moÎ Potentiels rédox standards : HClO/Cl' Clz(aq)/Cl' HClO/Cl2(aq) I,(aq)/I' S4oä'/s,oâ' E (à pH : 0' 1,49V 1,39 1,59 0,62 0,08 en Volt AfS°(298 1<)J.mo1"'.K"l 186,77 223,06 000 FIN ooo

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 Centrale Physique et Chimie MP 2006 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Stanislas Antczak (Professeur agrégé) et Nicolas Agenet (ENS Ulm) ; il a été relu par Julien Dubuis (ENS Cachan), Sandrine Brice-Profeta (Professeur agrégé en école d'ingénieurs), Mickaël Profeta (Professeur en CPGE) et Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE). Ce sujet comporte trois parties : deux parties de physique liées au cyclisme et une partie de chimie. · La première partie propose l'étude de deux modèles d'alternateur de bicyclette. Elle fait appel à des connaissances en électricité et en induction et met l'accent sur la discussion de la validité des modèles proposés. Il importe de lire l'énoncé précisément pour avoir les idées claires sur la réalité pratique des dispositifs et pour ne pas oublier des termes en cours de calcul. · La deuxième partie passe en revue plusieurs modèles de thermorégulation d'un cycliste. Le cycliste n'est là qu'un prétexte à l'étude des effets de conduction, convection, rayonnement et évaporation qui permettent d'évacuer de la chaleur d'un corps sphérique. Là encore, de nombreuses applications numériques permettent de valider ou d'invalider les modèles proposés. · La partie chimie de ce sujet aborde différents points de la chimie du chlore. Les propriétés électroniques de quelques-uns de ses composés sont tout d'abord décrites. Puis on s'intéresse au diagramme potentiel-pH de cet élément et de ses dérivés à divers états d'oxydation pour étudier la dismutation du dichlore. L'utilisation de l'eau de Javel comme désinfectant de l'eau d'une piscine est ensuite vue plus en détail. La valorisation du chlorure d'hydrogène pour former du dichlore est l'occasion de s'intéresser à la réaction de Deacon. Pour finir, on utilise le diagramme binaire eau-HCl pour étudier le comportement du mélange en fonction de sa composition et de la température. C'est un sujet classique nécessitant, comme toujours, beaucoup de rigueur et de précision. Le côté résolument appliqué des études effectuées donne un bon aperçu de la démarche de modélisation et de confrontation avec la réalité. Indications - - I.A.1.b Le dipôle étant assimilable à une petite boucle, on peut écrire B = B · S . Considérer que le dipôle est placé au centre de la bobine. I.A.1.c M12 = M21 . I.A.3 Ne pas oublier les deux résistances R et r. I.A.4 On peut résoudre en complexes en posant i = Re (i) et en exprimant sin t sous la forme Re (-j e j t ). I.A.5 Étudier les asymptotes pour tracer le diagramme de Bode. I.A.7 Exprimer I en fonction de UM . - - - I.A.8 = M B . Appliquer le théorème du moment cinétique pour déterminer le couple mécanique à fournir pour maintenir constante. I.A.9 Développer le cos(t + ) pour calculer la valeur moyenne. Un rendement est égal à ce qui est produit divisé par ce qui coûte. I.A.10 Calculer L avec l'expression de UM . I.B.2 0 est défini à près : pour avoir une expression temporelle générale, il faut remplacer 0 par t - n. I.B.6 La fonction i(t) doit être continue. II.A.1.b Linéariser Ta 4 - Ts 4 . II.B.1.a PM est une puissance perdue par le corps humain. II.B.2.c T est une fonction affine de , que l'on obtient en développant T au premier ordre en /R. II.B.2.d Calculer 4 R2 j th (R). II.B.2.h Pour calculer les valeurs extrêmes de Ta , ne pas oublier que x peut prendre toutes les valeurs entre 20% et 50%. II.B.3.b Dans PM , il faut ajouter aux effets de convection et de rayonnement la puissance µ Lv perdue par évaporation. II.B.3.d Attention à l'unité demandée pour µ. III.B.1 Déterminer le potentiel chimique de Cl2 en phase gazeuse et en phase aqueuse. Il y a égalité des potentiels chimiques à l'équilibre. III.C.1 Utiliser la relation des gaz parfaits. Ne pas oublier que le volume s'exprime en m3 et la pression en Pa. III.C.3 Faire l'approximation d'une réaction peu avancée pour calculer le pH. III.C.4 Remarquer que l'on veut atteindre pH = pKa et écrire la réaction de l'action de H+ sur ClO- . III.D.2 Faire un bilan de matière et exprimer la constante d'équilibre. Pour exprimer les pressions partielles, on notera que le nombre de moles en phase gazeuse n'est pas constant. III.D.3.c Ajouter de l'air revient à ajouter un constituant actif, le dioxygène et un constituant inerte, le diazote. Calculer explicitement la variation de l'affinité chimique dA. mHCl mHCl III.E.2 Le titre en HCl est défini par xHCl = = . Attention aux mtot mHCl + meau unités dans la relation des gaz parfaits. III.E.3.a Appliquer le théorème des moments. I. Alternateur de bicyclette I.A.1.a Avec les notations utilisées sur le schéma ci-dessous, l'expression du champ magnétique créé par une spire est - µ0 i(t) B = sin3 - y 2a a O - B - z - y - x y i(t) On en déduit le champ créé par une bobine de N spires : - µ0 N i(t) B = sin3 - y 2a I.A.1.b Le dipôle magnétique est assimilable à une boucle de courant de très petite dimension, proche de l'axe de la bobine. On peut donc considérer le champ magnétique comme homogène sur la surface de la boucle de courant du dipôle magnétique ; ceci permet d'assimiler le champ magnétique sur toute la boucle à celui de son centre, calculé à la question I.A.1.a. - Le flux de ce champ magnétique à travers la spire de vecteur surface S est par conséquent : - - B = B · S - L'angle entre les deux vecteurs - y et M est appelé . - i(t) - - - S Or - y et B sont colinéaires, de même que M et S . - - Par conséquent, l'angle entre B et S est = t. Enfin, y en supposant que le dipôle est situé au centre de la - - bobine, l'angle vaut ici /2, donc sin3 = 1. Ainsi, B M B = µ0 N i(t) S cos t 2a Le fait que le dipôle est situé au centre de la bobine n'est pas dit dans l'énoncé : on est donc obligé de le supposer. Comme l'angle n'est jamais mentionné, cette supposition paraît légitime. I.A.1.c L'inductance mutuelle MBM de la bobine dans le dipôle magnétique est définie par B = MBM i(t). On déduit de la question précédente la valeur de cette mutuelle inductance : µ0 N S MBM = cos t 2a De même, le coefficient d'inductance mutuelle MMB du dipôle dans la bobine est défini par M = MMB I, où M est le flux magnétique envoyé par le dipôle dans la bobine et I l'intensité du courant parcourant la boucle équivalente au dipôle. Or, d'après le théorème de Neumann, on peut écrire MMB = MBM , ce qui permet de calculer le flux M : µ0 N I S cos t 2a On reconnaît dans la quantité I S la valeur M du moment magnétique du dipôle. D'où M = M = µ0 N M cos t 2a I.A.2 Pour calculer le flux total traversant la bobine, il faut ajouter au flux magnétique créé par le dipôle le flux magnétique créé par la bobine elle-même, par auto-induction. Ce flux valant L i(t), le flux total s'écrit = L i(t) + µ0 N M cos t 2a On calcule ensuite la force électromotrice d'induction e = - e = -L d : dt di µ0 N M + sin t dt 2a I.A.3 Le circuit comportant la bobine est assimilable à une maille contenant un générateur de force électromotrice e, un conducteur ohmique (les fils de la bobine ellemême) de résistance r et un autre conducteur ohmique (les lampes de la bicyclette) de résistance R. Les effets auto-inductifs ayant déjà été pris en compte dans le calcul de e, il ne faut pas ajouter une inductance dans le circuit. Le sens de e est défini par celui de , lui-même compté positif dans le sens du vecteur surface. Or la surface a été orientée d'après le sens de l'intensité i du courant dans la bobine. On en conclut que la f.é.m. e et l'intensité du courant i sont orientées dans le même sens. On peut donc écrire e = (R + r) i(t) Compte tenu de l'expression de e obtenue à la question précédente, cela donne l'équation différentielle que vérifie i(t) : L di µ0 N M + (R + r) i = sin t dt 2a I.A.4 Cherchons les solutions de l'équation différentielle ci-dessus sous la forme i(t) = I cos(t + ). Pour connaître I et , on peut résoudre l'équation différentielle à l'aide des notations complexes (avec j2 = -1). Posons i(t) = I e j(t+) ce qui donne i(t) = Re (i(t))