Centrale Physique et Chimie MP 2004

Thème de l'épreuve Principe et applications de la conductimétrie.
Principaux outils utilisés atomistique, thermochimie, oxydoréduction, dosages acido-basiques, cinétique chimique, électrostatique, électrocinétique
Mots clefs conductimétrie

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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 n__>_ e......___... ...ËÎo-...5@OE>Ê ËË SËN oOEmQ:OE .. ÆOEÈOEQ mäoËcü Principe et applications de la conductimétrie Un conductimètre permet de mesurer la résistance entre deux électrodes métal- liques immergées dans la solution étudiée. Les conductimètres doivent être ali- mentés en courant variable de valeur moyenne rigoureusement nulle afin d'éviter le phénomène de polarisation des électrodes. En effet, la conduction ionique s'accompagne de phénomènes électrostatiques parasites localisés au voisinage des électrodes. Ces phénomènes électrostatiques font l'objet de la partie Physique de ce problème. La partie Chimie est centrée sur plusieurs applications chimiques de la conductimétrie. Partie I - Déplacement d'un ion en solution sous l'action d'un champ électrique statique I.A - Mise en mouvement d'un ion Considérons un ion de charge q k et de masse mk initialement au repos. Lorsqu'on apphque un champ electr1que stat10nna1re E a la solut10n, cet 10n est s_qumis en plus de la force électrique à une force de freinage opposée à l_a vitesse Uk . Dans le cadre du modèle de Stokes, cette force s'écrit F = -- 67m r Hkv k où r Hk est le rayon hydrodynamique de l'ion numéro k et 71 la viscosité de l'eau. I.A.1) En admettant que le champ électrique Ë' : E eîc est uniforme, établir l'expression de ïï,î(t) . On fera apparaître un temps de relaxation 1:k dans l'équa- tion différentielle obtenue. ' I.A.2) On définit la mobilité u k de l'ion numéro k par la norme de la vitesse limite atteinte par cet ion dans un champ électrique de norme unité E = 1 V - m_' . Quelle relation lie u k et er dans ce modèlehydrodynamique ? Donner la relation entre le temps de relaxation 1:k et la mobilité u k . I.A.3) Calculer numériquement TNa sachant que la mobilité de l'ion N a+ vaut 5,19-10"8 m2-s"1 -V". On donne M Na : 23 g-mol"', la constante d'Avo- gadro N Avog : 6, 02-- 1023 mol--1 et la charge élémentaire q = 1, 6- 10_19 C. I.A.4) Donner un ordre de grandeur de la distance parcourue par l'ion avant d'atteindre sa vitesse limite dans un champ électrique de 1 V - m'1 . A titre indicatifi la valeur très faible des temps de relaxation montre qu'il faut abandonner une description individuelle d'un ion donné au profit d'une descrip-- tion statistique d'une population d'ions. I.B - Confrontation à l'expérience pour des ions métalliques Le tableau ci-dessous indique les valeurs des mobilités pour plusieurs ions métalliques ainsi qu'une liste dans le désordre des valeurs numériques des rayons ioniques possibles. rayons ioniques rue en pm(10_12 m) dans le désordre mobilité en m -s"1'--V"'à 25°C 149 167 102 I.B.l) Donner la structure électronique des ions Li+ , N a+ et K + sachant que Z L,- = 3, Z Na : 11, Z K = 19. Indiquer la position des éléments chimiques cor- respondants dans la classification périodique de Mendele'iev. Donner le nom de la famille des métaux Li , Na , K , Rb et Cs . Que peut--on dire des rayons ioni- ques respectifs ? I.B.2) Associer à chaque ion du tableau la valeur correspondante du rayon ionique. Justifier. I.B.3) Montrer que le rayon hydrodynamique r Hk de l'ion k ne peut être pro- portionnel à son rayon ionique r Ik . I.B.4) L'interaction ion-molécule d'eau via le champ élec- H tri / / 1,° \ , ° ' / / \ que cree par 10n est a lor1g1ne de ce desaccord. La mole-- O<=> cule H 20 présente un moment dipolaire électrique / "> / / \ / _ _ H permanent p , represente par une fleche placee dans un cer cle symbolisant l'encombrement de la molécule d'eau. a) Faire un schéma explicitant la position et l'orientation des moments dipolai-- res des molécules d'eau au voisinage d'un ion positif. b) On suppose que la répartition des charges au sein d'un des ions positifs est de symétrie sphérique. Justifier sans calcul que le champ électrique àla surface de l'ion K + est notablement inférieur à celui de l'ion Li+ . c) Conclure quant àla comparaison rayon hydrodynamique / rayon ionique. I.C - Conductance d'une solution ionique Une diminution de la concentration ionique entraîne une augmentation de la distance moyenne inter--ionique, ce qui rend l'interaction électrostatique entre ions négligeable devant l'action du champ électrique appliqué. Pour des concen- trations suffisamment faibles, la mobilité de l'ion numéro le est donc pratique- ment égale à la valeur limite à dilution infinie notée u9æ- Montrer que la conductivité y d'une solution contenant plusieurs types d'ions de charge _19 qk =qu (q = 1,6- 10 C) et de Concentration % peut se mettre sous la forme y : ëlzklck)tg où À2 représente la conductivité molaire limite de l'ion k . Partie II - Résistance d'une cellule de mesure D'une manière générale, la cellule de mesure étant immergée dans une solution, il faut modifier les équations de Maxwell compte tenu de la valeur élevée du moment dipolaire électrique de la molécule d'eau. On admettra donc pour l'ensemble du problème qu'il suffit de remplacer la permittivité du vide 30 = 8, 84- 10"12 US] par le produit 808, où e,. = 83 (sans dimension) désigne la permittivité relative de l'eau. Deux électrodes métalliques, portées au potentiel +U 0/ 2 pour l'une et --U 0/ 2 pour l'autre, sont immergées dans une solution de chlorure de potassium à la concentration 1,00-10_2 mol - L". On suppose, à ce stade, que la solution en régime stationnaire est électriquement neutre en tout point de la solution et on négligera les ions autres que K+ et Cl ". ILA - Calculer numériquement la conductivité y de la solution en prenant garde àla cohérence des unités : 0+ 43--12 -10-- --3--12 -1 À (K ) : 7,35... 9 -m --mol ,)» (Cl ) : 7,63-10 Q 'm -mol II.B - Donner l'équation aux dérivées partielles vérifiée par le potentiel électri-- que V dans la solution. II.C - Que peut--on dire deslignes de courant électrique au sein du liquide ? II.D - Cellule à électrodes planes parallèles; On considère un premier type de cellule constituée _ U0/2 +U0/2 d'un corps en verre ou en matière plastique suppor-- tant deux plaques de platine platiné (c'est--à-dire recouvert de platine finement divisé) parallèles, de surface S , placées en x = : a/2 . On négligera les effets de bords en supposant que V ne dépend que de x. ' II.D.1) Établir l'expression de .V(x) . Calculer le champ électrique pour --a/ 2 < x < +a / 2 . II.D.2) En déduire l'intensité du courant traversant l'espace situé entre les deux plaques. II.D.3) Exprimer la résistance de la cellule notée Rec 1 l . II.D.4) Application numérique : a = 10 mm , S = 1 cm2. Partie III - Réponse d'une cellule à un échelon de tension : modèle de Helmholtz Une cellule conductrimétrique biplane (voir figure) est soumise à un échelon de tension tel que la différence de potentiel entre les électrodes soit nulle pour t < 0 et égale à U 0 pour t > 0 .Après un bref passage de courant, la cellule devient isolante suite à une accu- mulation d'ions au voisinage des électrodes. Le modèle de double couche de Helmholtz permet d'estimer le temps caractéristique 1: de la cellule. Le champ électrique intense qui règne au voisinage immédiat des surfa- ces métalliques oriente les moments dipolai- res électriques des molécules d'eau. Il en résulte une couche moléculaire d'épaisseur e - 109 m ,qui empêche ensuite les 1ons eux mêmes solvatés d'atteindre la surface char-- gée de l'électrode. Dans ce contexte on suppose que les ions mis en mouvement par le champ électrique régnant en solution durant le régime transitoire s'accumulent sur deux plans, dénommés plans de Hel- mholtz PHE , placés en x : (a/2) ---e et x = --(a / 2) + e. La figure ci--contre donne les variations du potentiel V(x) au sein de la cellule à un instant donné t > 0 . III.A - On adopte le modèle suivant pour rendre compte des faits expérimentaux : on assimile les plans de Helmholtz (PHE) à des surfaces chargées portant une densité superfi- cielle de charges + 01 (()1 > 0 ) selon les Molécules d'eau fixées sur l'électrode ; _ Anion solvaté \ È çctro_de Plan de Helmholtz PHE metall1que schémas ci-- c--ontre. On note 0 la densité superficielle de charge portée par l'élec- trode dont le potentiel est égal à + U 0/ 2 En dehors des PHE, la solution est supposée localement neutre et on néglige les effets de bord. Commenter la courbe des variations du potentiel V(x) dans la cellule. Représenter sur un schéma quelques lignes du champ électrique E . III.B - Énoncer les relations liant les champs électriques, au voisinage d'une surface portant la densité surfacique de charge 0 , de part et d'autre de celle-ci. III.C - Exprimer le champ électrique dans chacun des trois domaines consti- tuant la cellule en fonction des densités de charge 0 et 01 ainsi que de 80 et s,... III.D - Sachant que l'électrode située en x = + a/ 2 est portée au potentiel cons- tant + U 0/ 2 pour t > O , établir la relation liant les densités surfaciques o(t) et ol(t). III.E - À cause de l'accumulation des ions au voisinage des électrodes, on sup- pose isolante la couche située entre une électrode et son PHE. En revanche, le reste dela solution --(a/ 2) + e 5 x 5 (a / 2) -- e est supposé conducteur de conduc- tivité y. En effectuant un bilan de charges sur le plan PHE en x : (a/2)--e entre deux instants t et t + dt très proches, établir l'équation différentielle véri- fiée par 01... . Mettre en évidence le temps caractéristique r . III.F - Le modèle électrocinétique d'une cellule conductimétrique associe la résistance Rcell définie en 11. D. 3 et deux condensateurs de double couche, cha- cun ayant une capacité égale à Cdc. En exploitant l'expression de 1:, donner l'expression de Cdc en fonction de 80,8 ,, S et e. Ce résultat était- il prévisible ? III.G - Calculer numériquement C de . Commenter ce résultat numérique en le comparant aux capacités des condensateurs que vous avez eu l'occasion d'utili- ser en Travaux Pratiques. On prendra S = 1 cm2 . Partie IV - Accumulation des charges au voisinage d'une électrode IV.A - Modèle de Gouy et Chapman Contrairement à ce que montre l'expérience, le modèle de Helmholtz ne prévoit ni l'influence de la concentration en ions ni celle du potentiel de l'électrode sur la capacité de double couche. Gouy et Chapman ont élaboré en 1910 un modèle plus performant qui intègre l'agitation thermique de la solution et les phénomè-- nes électriques. L'électroneutralité de la solution n'est plus vérifiée au voisinage d'une électrode. Les concentrations en ions dépendent du potentiel V(x) suivant la statistique de Maxwell Boltzmann : _ _ gY_ . _ _q_l_/_ . c+ _ coexp( kBT) pour les cations et c_ _ coexp( + kBT) pour les anions. On considère une électrode plane portée au potentiel U 0/ 2 par rapport àla solu-- tion, située dans le plan x = + a/ 2. Loin de l'électrode le potentiel est supposé être nul. On étudie une solution de chlorure de potassium de concentration CO en se limitant au seul cation K + et au seul anion Cl ". On se place en régime stationnaire dans la suite de la partie Physique de ce pro- blème. IV.A.1) Donner l'expression de la densité volumique de charges en fonction de V . IV.A.2) Quelle est l'équation différentielle vérifiée par V(x) ? IV.A.3) En déduire par intégration que 1 dV 2 _ 2c0kBT qV _ ex+e_x î[2Ëi _ 80.8 [ch( Û) -- ],avec chx -- . 2 ,. IV.A.4) Calculer l'intensité du champ électrique sur la surface métallique x : a/2 portée au potentiel U 0/2. Application numérique : kB : 1,38-10"2315K_1,U0/2 = 0,25v, co = 1,00- 10"2mol.L"l, T = 300 K. Comparer au champ électrique exercé par le proton sur l'électron dans l'atome d'hydrogène dont le rayon atomique vaut 0,53 - 10'10 m . IV.A.5) Calculer la charge totale q... accumulée dans la solution d'un côté de l'électrode de surface S . IV.A.6) Quelle est la charge qelec portée par l'électrode métallique ? IV.A.7) Exprimer la capacité dynamique de l'interface électrode solution dqelec CIdyn : d UO dans le cadre du modèle de Gouy et Chapman IV.B -- Confrontation à l'expérience : modèle de Stern Des mesures portant sur l'interface Mercure-Fluorure de sodium permettent d'accéder, par extrapolation, aux valeurs correspondantes au potentiel U0 : 0 V . Des données, ramenées à une surface unité de 1m2 , sont consignées dans le tableau ci-dessous : Concentration (:0 en mol - L_1 0,_ 001 0 131 0 207 0,257 0, 0605 IV.B.2) Justifier cette loi expérimentale en associant, comme le fit le chimiste Stern, le modèle de Helmholtz à celui de Gouy et Chapman. Partie V - Applications de la conductimétrie en chimie V.A - Aspect énergétique de la dissolution d'une mole d'un cristal de chlorure de sodium Lorsqu'un composé ionique est introduit dans de l'eau, il « s'hydrate ». Les ions sont entourés de molécules d'eau formant, autour d'eux, une véritable cage. Cette hydratation s'accompagne généralement d'un échange énergétique appelé enthalpie standard d'hydratation A h dH° .La réaction chimique qui modélise la dissolution d'une mole de chlorure de sodium est la suivante: NaCl 2(Na{aq) + Cl(aq)) AdissH°(298 K) Pour le chlorure de sodium, l'enth'alpie réticulaire vérifie : |A H°(298 K)| = 783 kJ-mol"1 Les enthalpies standard d'hydratation des ions chlorure et sodium valent respectivement : rét A,,de°(Cl") : --381 kJ-mol" , Ahde°(Na+) : --409 kJ-mor1 à 298 K. Calculer l'enthalpie standard de dissolution du chlorure de sodium à 298 K. Commenter le signe de cette enthalpie. V.B - Dissociation d'une molécule d'eau Comme la plupart des réactions chimiques s'opèrent dans l'eau, il est important d'étudier la stabilité de cette molécule. La réaction de décomposition d'une molé- cule d'eau s'écrit : 1 H zOziq<-- _'Hz+ 502 1 2 *- H2(g) trice de cette pile est notée E . a) Quelles sont les réactions suscepti- bles de se produire à chaque électrode ? Quelle électrode représente l'anode, la cathode ? Écrire la réaction chimique qui modélise la transformation qui se déroule quand la pile fonctionne. La dif- férence de potentiel E0 est positive, représenter cette différence de potentiel sur un schéma de la pile. b) On admet que la relation qui lie l'enthalpie libre standard A,_G° d'une réac-- tion d'oxydoréduction à la force électromotrice E ° d'une pile est A,,G° : --n ./ E ° où n est la quantité en moles d'électrons échangés au cours de la réaction et .97 la constante de Faraday 97: 9, 65. 104 C - mol". Calculer E° pour cette pile. Cette valeur correspond-elle au potentiel rédox normal d'un couple usuel ? Quel est ce couple ? Justifier le résultat. V.C - Quelques _ applications en chimie des méthodes conductimétriques V.C.1) Titrage d'un mélange d'un acide faible et d'un acide fort par de la soude. L'effet de la dilution pH pourra être négligé 1 Y dans les calculs. 1 a) À quelle(s) condi- tion(s) sur les pro- 10 priétés ioniques des produits et des réac- tifs peut-on suivre 8 une réaction chimi- que par 7 \ conductimétrie ? b) Un bécher con- tient 100 mL d'un 5 mélange d'acide chlo- rhydrique et d'un acide faible HA. La 3 burette contient une solution d'hydroxyde 2 de sodium de concen- tration 0,200 mol-L4. Le 0 titrageaété suiviàla 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 (mL) fois par conductimé- trie et par pH -- métrie. Les courbes ci-dessus ont été obtenues. senençqae seqçun i)ldentifier, à partir de la courbe conductimétrique, trois zones distinctes lors du titrage de la solution. Justifier le signe des pentes des segments de droite. À quoi correspondent les ruptures de pente ? En déduire les réactions qui ont lieu au cours du titrage et leur ordre d'apparition. ii)Quelle est la méthode qui vous semble la plus précise pour déterminer les points d'équivalence ? Lorsque v = 0 , pH : l, 60. Quelle est la concentra- tion de l'acide fort introduit dans le bécher ? iii)Quelle est la concentration de l'acide faible introduit dans le bécher ? Quelle est la valeur du pKa de cet acide '? V.C.2) Étude de la cinétique d'une réaction Les conductivités molaires limites (vues en I.C) pour quelques ions sont données dans le tableau suivant : nd t' 'té limi -- -- -- " Ê£)<ÏIÏSIVIm2 monge 3,5><102 2,0><102 5,0><1Ü3 4»1X103 0 ' ° La solution étudiée contient cette fois un mélange équimolaire d'acétate (étha- noate) d'éthyle et de soude. Cette réaction est suivie au cours du temps par con- ductimétrie. Ces composés réagissent selon la réaction CH3COOCZH5 + Ong:: CH3COOQq + CZHSOH . a) À partir des valeurs des y conductivités données dans le tableau précédent, inter-- préter l'évolution de cette courbe. Yo b) Déterminer la conducti-- vité y de la solution en fonc-- tion de sa conductivité initiale Yo» de la conducti- vité finale yoe (au bout d'un temps infini), de la concen- Temps en s tration initiale Ci et de la () concentration x à l'instant t 200 600 1000 1400 en ion éthanoate. Unités arbitraires o) En admettant que l'ordre global de la réaction est de 2 , l'ordre partiel étant de 1 par rapport à chaque réactif, établir la loi reliant x , t, ci et la constante de vitesse de réaction ke . Proposer une représentation graphique en fonction du temps qui permette de vérifier cette hypothèse. V.D - Détermination du pKe de l'eau V.D.1) Quelle est, à 25° C , la conductivité théorique de l'eau pure ? V.D.2) À 25° C , une série de mesures de conductivité d'eau distillée a conduit à la valeur moyenne suivante : 150 MS.m"1 . Peut-on en déduire une valeur de pKe pour l'eau ? Commenter. V.D.3) Afin de mesurer différemment la valeur du pKe de l'eau on construit deux piles : Pile 1 : Pt\H2(gaz)|H3O;q + ClgqlAgCl(s)lAg 

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 Centrale Physique et Chimie MP 2004 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Tiphaine Weber (ENS Cachan) et Rémy Hervé (ENS Lyon) ; il a été relu par Alexandre Hérault (Professeur en CPGE), Aurélien Fraisse (Université de Princeton), Mickaël Profeta (Professeur agrégé) et Jean-Julien Fleck (ENS Ulm). Ce sujet se place à l'interface entre la physique et la chimie en proposant d'étudier le principe de la conductimétrie et quelques-unes de ses applications. Il envisage l'étude de la mobilité ionique et la modélisation d'une cellule conductimétrique à électrodes planes parallèles. De plus, il comprend l'analyse de plusieurs réactions chimiques réalisées en présence d'une cellule conductimétrique et la présentation de protocoles utilisant la conductimétrie en chimie. Dans une première partie, l'étude dynamique du système formé par un ion dans un champ électrique permet de calculer la mobilité d'un ion isolé, de comparer ce résultat à des données expérimentales et d'en déduire le comportement d'une solution ionique réelle. Les parties II, III et IV ont pour objet la modélisation du comportement d'une cellule conductimétrique à électrodes planes parallèles. La partie II est une introduction au problème à travers l'étude de la résistance d'une telle cellule. La partie III améliore nettement la modélisation en mettant en évidence un effet capacitif dans la cellule. Enfin, la partie IV permet d'affiner le modèle en régime stationnaire en améliorant l'approximation faite sur le comportement électrique de la solution. Dans la dernière partie, après quelques calculs thermodynamiques, la mesure de la conductivité de la solution est appliquée à plusieurs problèmes chimiques. Cette technique analytique est tout d'abord utilisée avec succès pour le dosage d'un mélange d'acides, puis pour le suivi d'une cinétique de saponification. Dans la dernière souspartie enfin, elle échoue dans la mesure du pKe de l'eau, qui n'est possible qu'avec l'utilisation d'une double pile. Au travers de cette thématique unique, ce sujet aborde de manière classique la plupart des notions au programme de chimie de la filière MP. Seules quelques questions qualitatives, à la fin de la première partie, nécessitent l'application des notions de solvatation d'une manière plus originale. Les trois parties de physique nécessitent quant à elles une bonne maîtrise de l'électrostatique et, en particulier, des relations de passage à travers une interface chargée pour un champ électrique. Par ailleurs, certaines analogies avec l'électrocinétique demandent une bonne connaissance du fonctionnement des montages RC. Enfin, les parties II et III supposent de comprendre l'utilisation des bilans de charges et des vecteurs densité de courant, tandis que la partie IV présente quelques subtilités de calcul. Indications I.A.1 Appliquer le principe fondamental de la dynamique. I.A.4 On peut majorer la distance parcourue en utilisant la vitesse limite de l'ion. I.B.1 Les rayons ioniques des cations suivent la même évolution que les rayons atomiques. I.B.4.a Penser à l'allure du champ créé par une sphère uniformément chargée. I.B.4.c L'orientation des molécules de solvant gêne le déplacement des ions. I.C Exprimer la densité de courant en fonction du champ électrique imposé. II.B La solution est supposée électriquement neutre. II.C Penser à la loi d'Ohm locale démontrée à la question I.C. III.A Il faut remarquer que la courbe représentant V(x) est constituée de segments de droite, et que la pente de ces segments est plus importante dans les domaines séparant les électrodes des PHE que dans le domaine entre les PHE. III.B Attention à ne pas oublier la remarque de l'énoncé sur la permittivité de l'eau et les changements que cela implique sur les équations. III.C On peut supposer que le champ extérieur (au-delà des électrodes) est nul, autrement dit que le champ est confiné entre les électrodes. III.F L'expression de la capacité d'un condensateur plan dans l'air (ou le vide) est 0 S C= e III.G Les condensateurs couramment utilisés en TP ont des capacités allant de quelques pF à quelques mF. IV.A Dans toute cette partie, prendre garde aux conversions d'unité pour c0 (l'exprimer en m-3 ). IV.A.2 À nouveau, ne pas oublier que la permittivité de l'eau est différente de celle du vide. Z a/2 IV.A.5 q sol est donnée par q sol = S dx - IV.A.6 IV.B.2 V.A. V.B.2.a V.C.1.b.i V.C.2.b V.D.1 V.D.3.c et peut-être calculée par une intégration par parties faisant intervenir 1/V . On pourra soit utiliser la question III.B, soit penser à l'électroneutralité globale du système. Penser à la mise en série de deux condensateurs de capacité Cdc et d'un élément ayant la capacité dynamique Cdyn déterminée à la question IV.A.7. Utiliser un cycle de Born-Haber. On est en présence de deux électrodes à gaz typiques. Les réactions aux électrodes sont par conséquent l'oxydation ou la réduction des gaz qui bullent dans la solution. Observer le tableau regroupant les conductivités molaires de quelques ions, donné dans la question suivante. Commencer par exprimer , et en fonction des conductivités limites molaires k . Dans l'eau pure, la seule source d'ions est l'autoprotolyse. Les deux piles sont montées en série. I. Déplacement d'un ion en solution sous l'action d'un champ électrique statique A. Mise en mouvement d'un ion I.A.1 On s'intéresse au système formé par un ion de charge qk et de masse mk , soumis à un champ électrique stationnaire. Dans le référentiel du laboratoire cet ion est soumis à trois forces : - - · une force électrique Fe = qk E = qk E - ex ; - - · son poids P = m g qui est négligeable devant la force électrique et dont on k ne tiendra plus compte dans la suite ; - · une force de freinage F = - 6 rHk - vk . La charge de l'ion est du même ordre de grandeur que q, la charge élémentaire. Le champ électrique utilisé dans un conductimètre est de quelques volts (certains fonctionnent à pile). L'ordre de grandeur de la force électrique est Fe 1, 6.10-19 N 60.10-3 10-25 kg et le poids NA N. Ce dernier est donc bien négligeable devant la force électrique. La masse de l'ion a pour ordre de grandeur P 10-24 En appliquant le principe fondamental de la dynamique à cet ion, on trouve - - = m dvk = q - mk - a k k k E - 6 rHk vk dt d'où et mk - d- vk + 6 rHk - vk = qk E dt - mk d vk - qk E - + vk = ex 6 rHk dt 6 rHk mk , homogène à un 6 rHk temps que l'on notera k . L'équation différentielle se simplifie alors en d- vk - qk Ek - k + vk = ex dt mk On voit apparaître la constante caractéristique du système Cette équation différentielle du premier ordre admet des solutions de la forme - - - vk = A e-t/k + B À t = 0, la vitesse de l'ion est nulle, soit - - - A+B = 0 On en déduit - - vk = B (1 - e-t/k ) et 1 -t/k - d- vk = B e dt k En introduisant ces deux relations dans l'équation différentielle, on trouve qk Ek - -t/k - - Be + B 1 - e-t/k = ex mk - qk Ek - B = ex mk d'où qk Ek - vk = 1 - e-t/k - ex mk et par conséquent La constante caractéristique du système, k , correspond au temps de relaxation du système. En effet lorsque t devient très supérieur à k , la vitesse a atteint une limite, on parle alors de régime permanent par opposition au régime transitoire de relaxation qui le précède. I.A.2 La mobilité uk est la norme de la vitesse limite de l'ion pour E = 1 V.m-1 , c'est donc la norme de la solution de l'équation différentielle mk d- vk - qk - + vk = ex 6 rHk dt 6 rHk d- vk pour laquelle est nulle. On a donc dt qk - - ex vk = 6 rHk et uk = Comme k = mk , 6 rHk |qk | 6 rHk uk = |qk | k mk I.A.3 On s'intéresse maintenant plus particulièrement à l'ion Na+ . D'après la question I.A.2, m + × uNa+ Na = Na |qNa+ | On sait que qNa+ = +q et mNa+ mNa = MNa NA L'unité du système international pour la masse molaire, qui doit être utilisée dans les calculs, est le kg.mol-1 et non le g.mol-1 , son unité usuelle. Application numérique : Na = 12, 4.10-15 s Na est de l'ordre de la dizaine de femtosecondes.